Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Неопределенный интеграл

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 615392.01.99
Лурье, И. Г. Неопределенный интеграл [Электронный ресурс] : учебное пособие / И. Г. Лурье. - Москва : Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2013. - 78 с. - ISBN 978-5-9558-0287-9 (Вузовский учебник), 978-5-16-006333-1 (ИНФРА-М). - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/403660 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Москва
 ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2013

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

И.Г. ЛуРьЕ

Лурье И.Г.

Неопределенный интеграл: учебное пособие — М.: Вузовский 
учебник: ИНФРА-М,  2013. —  78 с. 

ISBN 978-5-9558-0287-9 (Вузовский учебник) 
ISBN 978-5-16-006333-1 (ИНФРА-М)

Настоящее учебное пособие написано в соответствии с действующей 
учебной программой по математике для вузов. Пособие предназначено для 
студентов первых курсов всех специальностей и имеет своей целью помочь 
студентам овладеть методами и техникой интегрирования. Оно также может быть 
использовано студентами старших курсов.
В пособии содержится большое количество типовых примеров с подробным 
решением, а в конце каждой темы предложены примеры для самостоятельной 
работы.

 

© Вузовский учебник, 2009, 2012

ISBN 978-5-9558-0287-9 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-006333-1 (ИНФРА-М) 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение……………………………………………………………………………………..3 
§1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного 
интеграла…………………………………………………………………………………….4 
§2. Основные методы интегрирования……………………………………………….…..9 
2.1. Непосредственное интегрирование………………………………………….....9 
2.2. Метод замены перемнной……………………………………………………....13 
2.2.1. Интегрирование методом внесения множителя под 
знак дифференциала…………………………………………………………....13 
2.2.2. Метод постановки, метод замены перемнной………………………….19 
2.3. Метод интегрирования по частям……………………………………………...23 
§3. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен……….….30 
§4. Интегрирование рациональных функций……………………………………………33 
4.1. Простейшие дроби и их интегрировании……………………………………...33 
4.2. Разложение правильной рациональной дроби на сумму 
простейших дробей…………………………………………………………………..37 
4.3. Интегрировнаие рациональных дробей с помощью разложения 
на простейшие дроби………………………………………………………………...40 
§5. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции…….…48 
§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций…………………………....61 
6.1. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью 
алгебраических подстановок…………………………………………………….….61 
6.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью 
тригонометрических подстановок………………………………………………….68 
§7. Об интегрировании в элементарных функциях с помощью 
справочной литературы…………………………………………………………………...72 
Приложение 1. Некоторые тригонометрические формулы и соотношения…………...74 
Приложение 2. Таблиза основных производных………………………………………..75 
Приложение 3. Таблица основных интегралов………………………………………….76 
Список рекомендуемой литературы……………………………………………………...77 
 

Введение 
 
 
Приступая к изучению темы "Неопределенный интеграл", необходимо знать 
таблицу производных, общие правила и методы дифференцирования. Интегрирование 
есть действие, обратное дифференцированию. Однако, интегрирование значительно 
сложнее дифференцирования. Так, если нахождение производной элементарных 
функций производится по установленным правилам и формулам (некоторому 
алгоритму), то вычисление интегралов – задача сложная, она требует знания различных 
методов интегрирования, логического мышления, индивидуального подхода, времени. 
Чтобы правильно выбрать метод интегрирования, удачно применить подстановку 
или просто произвести преобразования подынтегрального выражения и свести данный 
интеграл к табличному, нужен большой опыт и практика. Обучаемый должен 
приложить огромное старание для приобретения умения и навыков интегрирования. 
Настойчивость и желание, помноженные на кропотливый труд, обязательно 
приведет к успеху. 
 

Единственный путь, ведущий 
к знанию – деятельность. 
Бернард Шоу 
 
 
§1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. 
Свойства неопределенного интеграла. 
Литература: [1], ч. 1, гл. Х, § 1-3. [2], гл. 5, § 5.1. 

Во многих теоретических и прикладных вопросах математического анализа 

приходится решать задачу, обратную дифференцированию, а именно: по заданной 
производной F' (x)=f(x) или, что то же самое, по заданному дифференциалу dF(x) найти 
первоначальную функцию F(x). 

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором 
промежутке изменения переменной х, если в каждой точке этого промежутка 
производная функции F(x) равна f(х), или, что то же самое, дифференциал функции F(x) 
равен выражению f (x)dx, то есть 

( )
( )
x
f
x
F
=
′
 
или 

( )
( )dx
x
f
x
dF
=
 
Функция 
( )
3
12x
x
F
=
, является первообразной для функции 
( )
2
36x
x
f
=
, так как 
(
)
2
!
3
36
12
x
x
=
 или (
)
dx
x
x
d
2
3
36
2
=
. 
Функция 
( )
x
x
F
2
cos
=
 является первообразной для функции 
( )
x
x
f
2
sin
2
−
=
, так как 

(
)
x
x
2
sin
2
2
cos
−
=
′
 или (
)
xdx
x
d
2
sin
2
2
cos
−
=
. 

Функция 
( )
x
x
F
ln
=
 является первообразной для функции 
( )
x
x
x
f
ln
2
=
, так как 

(
)
x
x
x
ln
2
ln 2
=
′
 или (
)
dx
x
x
x
d
ln
2
ln 2
=
. 

Если функция 
( )
x
f
 имеет первообразную 
( )
x
F
, то она имеет бесконечное множество 
первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении 
( )
С
ч
А
+
, где С  - 
произвольная постоянная. 

Для функции ( )
2
2
1
x
e
x
f
=
 первообразной будет функция ( )
2
e
x
F
=
, так как 
2
2
2
1
x
x
e
e
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
. 

Функция 
( )
10
2
1
+
=

x
e
x
F
, 
( )
5
2
2
−
=

x
e
x
F
, 
( )
π
+
=
2
3

x
e
x
F
, 
( )
3
ln
2
4
−
=

x
e
x
F
,…, 
( )
С
e
x
F

x

т
+
=
2
 

также будут первообразными для функции 
( )
2
2
1
x
e
x
f
=
, так как 
2
2
2
1
10

x
x
e
e
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
, 

2
2
2
1
5

x
x
e
e
=
′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
, 
2
2
2
1
x
x
e
e
=
′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+π
, 
2
2
2
1
3
ln

x
x
e
e
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
−
,…, 
2
2
2
1
x
x
e
C
e
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
. 

 
 

Свойства первообразных. 
 
Свойство 1. Если функция 
( )
x
F
 есть первообразная для функции 
( )
x
f
, а функция 
( )
x
Φ

есть первообразная для функции 
( )
x
ϕ
, то функция 
( )
( )
x
x
F
Φ
+
 есть первообразная для 
функции ( )
( )
x
x
f
ϕ
+
, то есть 

( )
( )
(
)
( )
( )
x
x
f
x
x
F
ϕ
+
=
′
Φ
+
, 
или 

( )
( )
(
)
( )
( )
(
)dx
x
x
f
x
x
F
d
ϕ
+
=
Φ
+
. 
 
Свойство 2. Если функция 
( )
x
F
 есть первообразная для функции 
( )
x
f
, а k  - 

произвольная постоянная, то функция 
( )
x
kF
 - первообразная для функции 
( )
x
kf
, то есть 

( )
(
)
( )
x
kf
x
kF
=
′
 
или 

( )
(
)
( )dx
x
kf
x
kF
d
=
. 
 
Свойство 3. Если функция 
( )
x
F
 есть первообразная для функции 
( )
x
f
, а k  и b  - 

постоянные, причем 
0
≠
k
, то 
(
)
b
kx
F
+
2
1
 есть первообразная для функции 
(
)
b
kx
f
+
, то 

есть 

(
)
(
)
b
kx
f
b
kx
F
k
+
=
′
+
1
 

или 

(
)
(
)dx
b
kx
f
b
kx
F
k
d
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
 

Пример. Найти общий вид первообразных для функции ( )
2
1
3 +
= x
x
f
. 

Решение. 

Так как для 
3
x  одна из первообразных есть 4

4
x , а для 
2
1
x  одной из первообразных 

является 
x
1
−
, то согласно свойству 1, одной из первообразных для функции 

( )
2
1
3 +
= x
x
f
 - будет функция 
( )
x
x
x
F
1
4

4
−
=
. Общий вид всех первообразных будет 

представлять функция ( )
C
x
x
x
x
F
+
−
=
1
4

4
. 

Пример. Найти общий вид первообразных для функции ( )
x
x
f
cos
5
=
. 

Решение. 
Так как для 
x
cos  одна из первообразных есть 
x
sin
, то, согласно свойству 2, получаем 
( )
x
x
F
sin
5
=
. 
Пример. Найти общий вид первообразных для функции 
(
)
2
3
sin
−
=
x
y
. 

Решение. 
Для 
x
sin
 одной из первообразных является 
x
cos , поэтому, применяя свойство 3, имеем 

( )
(
)
C
x
x
F
+
−
−
=
2
3
cos
3
1
. 

Задача. Материальная точка массой 2кг движется по оси Ox  под действием силы, 
направленной вдоль этой оси. В момент времени t  эта сила равна 
( )
2
3 −
= t
t
F
. Найти 
закон ( )t
S
 движения точки, если известно, что при 
c
t
2
=
 скорость точки равна 3м/с. 
Решение. 
Согласно второму закону Ньютона, 
ma
F =
, где a  - ускорение. 

Учитывая условие 
2
=
m
, получаем ( )
1
2
3 −
=
=
t
m
F
t
a
. 

Скорость ( )t
v
 точки есть первообразная для ее ускорения ( )t
a
, поэтому ( )
1
2
4
3
C
t
t
t
v
+
−
=
. 

Постоянную 
1
C  находим из условия ( )
3
2 =
v
: 

2
,3
2
4
4
3

1
1
=
=
+
−
⋅
C
C
, 

( )
2
4
3
2
−
−
=
t
t
t
v
. 

Функция ( )t
S
 есть первообразная для скорости ( )t
v
, поэтому 

( )
2
2
3
2
1
4
1
C
t
t
t
S
+
+
=
. 

Постоянную 
2
C  находим из условия ( )
1
2 =
S
: 

3
,1
4
4
2
1
8
4
1

2
2
−
=
=
+
+
⋅
−
⋅
C
C
. 

И так закон движения точки: ( )
3
2
2
1
4
1
2
3
−
+
−
=
t
t
t
t
S
. 

Определение. Совокупность всех первообразных функции 
( )
x
f
 называется 

неопределенным интегралом от функции ( )
x
f
 и обозначается 
( )
∫
dx
x
f
. 

Таким образом, по определению 
( )
( )
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
, где ( )
x
f
 - подынтегральная функция 
( )dx
x
f
 - подынтегральное выражение, x  - переменная интегрирования, C  - является 
произвольной постоянной, а символ ∫ - знаком интеграла. 

Отыскание неопределенного интеграла от функции 
( )
x
f
 называется интегрированием 
этой функции. 
Геометрически в системе координат XOY  графики всех первообразных функций от 
данной функции 
( )
x
f
 представляют семейство кривых, зависящих от одного параметра 
С , которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси OY  
(рисунок 1). 
 

 
 
 

Основные свойства неопределенного интеграла 
 
Свойство 1.Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования 
равна подынтегральной функции, то есть 

( )
(
)
( )
x
f
dx
x
f
=
′
∫
. 

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному 
выражению, то есть 

( )
(
)
( )dx
x
f
dx
x
f
d
=
∫
. 

Свойство 3. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс 
произвольная постоянная, то есть 

( )
( )
∫
+
=
C
x
F
x
dF
. 

Замечание. Знаки интеграла и дифференциала, если они стоят рядом, взаимно 
уничтожаются. 
 
Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного 
интеграла, то есть 

( )
(
)
( )
∫
∫
=
dx
x
f
k
dx
x
kf
. 

Свойство 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа 
функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, то есть 
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
∫
±
=
±
dx
x
dx
x
f
dx
x
x
f
ϕ
ϕ
, 

если интегралы в правой части равенства существуют. 
Свойство 6.Если 
( )
( )
∫
+
=
C
x
F
dx
x
f
 и 
( )
x
u
ϕ
=
 - некоторая дифференцируемая функция 

от x , то 

( )
( )
C
u
F
dx
u
f
+
=
∫
. 

Это свойство называется свойством инвариантности (постоянства) интеграла. Основные 
формулы интегрирования представлены таблицей простейших интегралов (см. 
приложение №3). В этих формулах a -постоянная, u -независимая переменная ил любая 
дифференцируемая функция от независимой переменной. При вычислении интегралов 
будем пользоваться этой таблицей. 
Найти следующие интегралы: 

1. ∫ 3
5
x

dx . 

Решение. 
dx
x
x

dx
∫
∫

−
=
3
5

3
5
. 

Применяя формулу 1 при 
x
u
n
=
−
=
,
3
5
. 

Получаем 
C
x
C
x
C
x
dx
x
x

dx
+
−
=
+
−
=
+
+
−
=
=

−
+
−
−
∫
∫
3
2

3
2
1
3
5

3
5

3
5
2

3

3
2
1
3
5
. 

2. ∫
+ 3
2t
dt
. 

Решение. Согласно формуле 8 при 
3
,
=
=
a
t
u
, получаем ∫
+
=
+
C
arctg
t
dt

3

1

3

1
3
2
. 

3. ∫
− 5
2
ϕ

ϕ
d
. 

Решение. Согласно формуле 12 при 
5
,
−
=
=
a
u
ϕ
, получаем ∫
+
−
+
=
−
C
d
5
ln
5

2

2
ϕ
ϕ
ϕ

ϕ
. 

Замечание. Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат 
интегрирования можно проверить путем дифференцирования, ибо, как было упомянуто, 
интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. 
4. Найти ∫
⋅
dz
z
z 5
3
 и проверить результат дифференцированием. 

Решение. 
∫
∫
+
=
=
⋅
C
dz
dz

z
z
z
z
15
ln
15
15
5
3
, согласно формуле 4 при 
15
,
=
=
a
z
u
. 

Проверка. Находим дифференциал полученной функции и убеждаемся, что он равен 
подынтегральному выражению. 

dz
dz
dz
C
C
d
z
z
z
z
15
15
ln
15
15
ln
1
15
ln
15
15
ln
15
=
⋅
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
. 

 
 
Найти следующие интегралы: 
 

1) ∫
3
x
dx ;                                           2) ∫
2
3y
dy ;                                          3) ∫
− t

d

2

ϕ
; 

 

4) ∫ 3
2
u

du ;                                         5) ∫
+ 3
2
ϑ

ϑ
d
;                                     6) ∫
+ 7
2z

dz
; 

 

7) ∫
ada
sin
;                                     8) ∫
−
2
2
r

dr
;                                   9) ∫
dx
e x
x
3
3
; 

 

10) ∫
x

dx

2
cos
5
;                                  11) ∫
− 4
2
β

β
d
;                                   12) ∫
dx
7
4
γ
γ
; 

 

13) ∫
−
2
81
y
dy
;                                14) ∫
dw
w

w

4
32
;                                   15) ∫
s
ds

2
sin
7
. 

Первые шаги – всегда 
самые трудные. 
Рабиндранат Тагор 
 
§2. Основные методы интегрирования 
Основными методами вычисления неопределенного интеграла являются: 
непосредственное интегрирование, метод подстановки (замены переменной) и метод 
интегрирования по частям. 
Рассмотрим каждый из этих методов. 
 
2.1. Непосредственное интегрирование 
Литература: [1], ч. 1, гл. Х, §1-3. [2], гл. 5, § 5.1. 
Отыскание 
интеграла 
с 
помощью 
таблицы 
основных 
интегралов 
и 
тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием. 
Метод непосредственного интегрирования заключается в прямом использовании 
таблицы интегрирования. Здесь могут представиться следующие случаи: 
1) 
данный 
интеграл 
находится 
непосредственно 
по 
соответствующему 
табличному интегралу, что рассмотрено в §1; 
2) данный интеграл после применения свойств 4 и 5 приводится к одному или 
нескольким табличным интегралам; 
3) данный интеграл после элементарных преобразований над подынтегральной 
функцией и применения свойств 4 и 5 приводится к одному или нескольким табличным 
интегралам. 
 
Найти следующие интегралы. 

1. ∫
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
−
−
dx
x
x
x
3
2
6
4
2
3
. 

Решение. Используя свойства 4 и 5 и формулы (1) и (2) таблицы интегралов, имеем 

∫
∫
∫
∫
∫
=
+
−
−
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
−
−
−
dx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
3
2
6
4
3
2
6
4
2
1
2
3
2
3
 

C
x
x
x
x
+
+
+
−
−
−
=

+
−
3
1
2
1
2
3
6
4
4

1
2
1
3
4
. 

Замечание. Постоянная интегрирования C  равна алгебраической сумме четырех 
постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную 
постоянную (
)
C
C
C
C
C
=
+
+
+
4
3
2
1
. 

2. ∫
+
dx
x

x

2

3
2
. 

Решение. Разложим подынтегральную функцию на слагаемые, деля числитель почленно 
на знаменатель. Затем интегрируем слагаемые отдельно. 

=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
+
+
⋅
=
+
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
=
+
+
−
+
−
∫
∫
∫
∫
C
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x

x
dx
x

x

1
2
1
2

3

1
2
3
2

1

2

3

2

1

2

3

2
2

3
1
2
1
1
2
3

2
1
2
3
2
2
 

C
x
x
+
⋅
+
=
2
3
5
2
2
5
. 

3. (
)(
)
∫
+
+
+
dx
x
x
x
3
2
1
3
. 

Решение. 

(
)
∫
∫
=
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
3
3
2
2
3
3
2
2
3
1
2
1
6
5
3
4
3
3
3
 

C
x
x
x
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=

+
+
+
+
3
4
9
3
4
11
12
2
7
3
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
6
5
2
2
1
3
4

3
4
2
3
12
11
2
3
7
1
3
1
1
2
1
1
6
5
2
1
3
4

. 

4. ∫
⋅
dx
e x
x
2
2
. 

Решение. Преобразуя подынтегральную функцию и применяя затем формулу (4), имеем 

(
)
(
)
(
)
C
e
e
dx
e
dx
e

x
x
x
x
+
=
⋅
=
⋅
∫
∫
2

2
2
2
2
ln
2
2
2
. 

5. (
)
∫
+
−
dx
x
x
5
cos
3
sin
2
. 

Решение. Используя свойства 4 и 5 и формулы (2), (6), (7) имеем  
∫
∫
∫
+
+
−
−
=
+
−
C
x
x
x
dx
xdx
xdx
5
sin
3
cos
2
5
cos
3
sin
2
. 

6. (
) dx
tgx
ctgx
2
∫
−
. 

Решение. Возведя в квадрат и используя свойства 4 и 5, находим 
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
+
⋅
−
=
+
+
⋅
−
=
−
xdx
tg
tgxdx
ctgx
xdx
ctg
dx
x
tg
x
tg
tgx
ctgx
x
ctg
tgx
ctgx
2
2
2
2
2
2
2
2
. 

Воспользуемся тригонометрическими формулами 

x

x
tg
2
2
cos
1
1
=
+
; 

x

x
ctg
2
2
sin
1
1
=
+
; 
1
=
⋅ctgx
tgx
. 

Подставив формулы в интегралы, получим 

=
−
+
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ dx
x
dx
dx
dx
x
dx
dx
x
dx
dx
x
2
2
2
2
cos
2
sin
1
cos
1
2
1
sin
1
 

C
tgx
x
ctgx
C
x
tgx
x
x
ctgx
+
+
−
−
=
+
−
+
−
−
−
=
4
2
 (по формулам (2), (8), (9)). 

7. ∫
−
dx

x

x

2

3

cos
cos
4
5
. 

Решение. Применяя свойства 4 и 5 и формулы (7), (8), находим 

∫
∫
∫
∫
∫
+
−
=
−
=
−
=
−
C
x
tgx
xdx
dx

x

dx

x
x
dx

x

dx

x

x
sin
4
5
cos
4
cos
5
cos
cos
4
cos
5
cos
cos
4
5

2
2

3

2
2

3
. 

8. ∫
+
dx
x
x
x
8
cos
7
cos
9
cos
. 

Решение. Используя тригонометрическую формулу 
2
cos
2
cos
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
+
+
=
+
 и 

формулу (7), получим 
∫
∫
∫
+
=
=
=

+
+

C
x
xdx
dx
x
x
x
dx
x

x
x
x
x

sin
2
cos
2
8
cos
cos
8
cos
2
8
cos
2
7
9
cos
2
7
9
cos
. 

9. ∫
− 4
9
2
x

dx
. 

Решение По свойству 4 и формуле (12) получаем