Геометрическое моделирование в начертательной геометрии

3 

Министерство образования и науки  Российской Федерации 
 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун 
 
 
 
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ  
В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ  
ГЕОМЕТРИИ 
 
Допущено Учебно-методическим объединением 
по образованию в качестве учебного пособия 
для студентов, обучающихся по направлению 
«Архитектура», 25.01.2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2011 

2 

УДК 514.181(076) 
ББК 22.151.3(я73) 
С89 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: А. В. Слабуха, канд. архитектуры, проф., советник Российской академии архитектуры и строительных наук, зав. кафедрой градостроительства СФУ; 
А. А. Фаткуллина, канд. архитектуры, доц. кафедры «Начертательная геометрия» МАРХИ 
 
 
 
 
 
 
 
Супрун, Л. И. 
С89           Геометрическое моделирование в начертательной геометрии : учеб. пособие / Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун. – Красноярск : 
Сиб. федер. ун-т, 2011. − 256 с. 
ISBN 978-5-7638-2212-0 
 
 
Пособие предназначено для студентов направления «Архитектура». Содержит общие и специальные разделы начертательной геометрии: конструирование геометрических моделей, позиционные задачи, метрические и конструктивные задачи, тени в ортогональных проекциях, перспектива и тени, аксонометрия и тени, проекции с числовыми отметками.  
Пособие отражает опыт преподавания курса начертательной геометрии 
студентам-архитекторам с 1982 года. 
 
 
УДК 514.181(076) 
ББК 22.151.3(я73) 
 
 
ISBN  978-5-7638-2212-0                                                             Сибирский федеральный  
 
                                                                                        университет, 2011 

3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Начертательная геометрия входит в группу общетехнических 
дисциплин, составляющих основу всякого инженерного образования. 
Она учит грамотно владеть выразительным техническим языком  
языком чертежа, умению составлять и свободно читать чертежи, изучение начертательной геометрии способствует развитию у студентов 
пространственных представлений и пространственного воображения  
качеств, характеризующих высокий уровень инженерного мышления 
и необходимых для решения прикладных задач. 
Начертательная геометрия завоевала себе достойное место в 
высшей школе как наука, без которой немыслимо образование инженера и архитектора. 
Материал настоящего учебного пособия представляет собой 
краткую версию курса начертательной геометрии, читаемого в первых двух семестрах на кафедре геометрического моделирования и 
компьютерной графики для студентов, обучающихся по направлению 
270100 «Архитектура».  
Учебное пособие включает в себя 7 разделов: конструирование 
геометрических моделей, позиционные задачи, метрические задачи, 
тени в ортогональных проекциях, перспектива и тени, аксонометрия и 
тени, проекции с числовыми отметками. В основу учебного пособия 
положен принцип четкого и краткого изложения учебного материала, 
иллюстрированного большим количеством примеров и сопровождаемого задачами, содержащими дополнительный материал. 
Для начертательной геометрии проектирование обучения основывается на деятельностных педагогических технологиях, подразделяющихся на два направления: усвоение теоретических знаний и выполнение практических заданий. Материалы разработанного учебного 
пособия соответствуют перспективным требованиям обеспечения 
фундаментальной подготовки специалистов, работающих в области 
архитектуры и дизайна. Они позволяют приобрести одну из ключевых 
профессиональных компетенций – «умение решать графическими методами многие важные теоретические и практические задачи». 
В учебном пособии указана учебная литература для желающих 
ознакомиться с другими вариантами изложения разделов программы. 
Пособие ни в коем случае не заменяет учебника и оставляет студентам возможность для самосовершенствования. 

4 

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ 

 
Обозначения геометрических образов, символы их взаиморасположения и логических операций, составляющие геометрический 
язык начертательной геометрии, приняты с учётом обозначений и 
символов курса геометрии средней школы. 
1. Точки – заглавными буквами латинского алфавита или цифрами: A, B, C, D,…,1, 2, 3, …; 
линии  строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, e, f,…; 
плоскости и поверхности – строчными и прописными буквами 
греческого алфавита: α, , , , … ; 
углы – строчными буквами греческого алфавита: α, , , , … . 
2. Плоскость проекций – буквой греческого алфавита π с добавлением индекса: 
π1 – первая или фронтальная плоскость проекций, 
π2 – вторая или горизонтальная плоскость проекций, 
π3, π4, π5, …  дополнительные плоскости проекций. 
3. Оси проекций – строчными буквами: х12, х13, х23, х34,… . 
4. Оси в аксонометрии и перспективе: х, y, z. 
5. Проекции на плоскостях: 
π1  A1, B1, …, 11, 21, …, a1, b1, …, α1, 1, 1, …, 
π2  A2, B2, …, 12, 22, …, a2, b2, …, α2, 2, 2, …, 
π3  A3, B3, …, 13, 23, …, a3, b3, …, α3, 3, 3, …, 
π4 – A4, B4, …, 14, 24, …, a4, b4, …, α4, 4, 4, …. 
6. Символы: 
  принадлежность: A  a – точка A принадлежит линии a; 
∩  пересечение: a ∩ b – линии a и b пересекаются; 
  результат: a1 ∩ b1  С1 – a1 пересекают b1 в точке С1, 
равенство: AB =CD  длина отрезка AB равна длине отрезка CD; 
  следовательно: K  m, K  n  m ∩ n = K; 
  тождественное равенство или совпадение: A1  B1   проекции точек А и В совпадают; 
  перпендикулярность: p  m; 
║  параллельность: с║d; 
  соответствие: А2А1 – проекция А2 соответствует проекции А1. 
  отрицание (наличие в символе смысла частицы «не»): A  b  
точка A не принадлежит линии b. 

1.2. Операция линейного проецирования 
 

5 

1. КОНСТРУИРОВАНИЕ  
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 
 
1.1. Предмет и метод  
начертательной геометрии 
 
Активная деятельность человека связана с передачей и переработкой информации о явлениях внешнего мира. Причем одну и ту же 
информацию можно передать различными способами. Желая, например, определить форму и размеры проектируемого сооружения, можно использовать словесные объяснения, математические символы, рисунок, чертеж, макет. Если различные физические предметы или явления позволяют извлекать одну и ту же информацию, то говорят, что 
они моделируют друг друга. Каждый такой предмет является моделью других и наоборот. Так, например, азбуку Морзе можно считать 
однозначной моделью алфавита. Человек и имя, мысль и речь – примеры неоднозначных моделей. 
Начертательная геометрия изучает способы конструирования 
геометрических моделей, позволяющих передавать и обрабатывать 
геометрическую информацию. 
Геометрическая информация  это сведения о форме, размерах 
и взаимном расположении геометрических образов. Геометрический 
образ – это точка, прямая, плоскость, поверхность. 
Геометрическая модель должна быть однозначной и удобной в 
использовании 
Простейшая такая модель может быть получена методом линейного проецирования. 
 
1.2. Операция линейного проецирования 
 
Выберем в пространстве плоскость π и точку S, не принадлежащую π. Точку S назовем центром проецирования, а плоскость π – 
плоскостью проекций или плоским полем проекций (множество точек 
плоскости называется очечным или плоским полем). Центр S и плоскость π составляют аппарат проецирования. 
Выбрав аппарат проецирования, можно построить проекцию 
любой точки А пространства. Для этого через S и А проводим луч и 

1. Конструирование геометрических моделей 

6 

отмечаем его пересечение с картиной: SA∩π = А′ (рис. 1).  Луч SA называется проецирующим лучом, а точка А′ – проекцией точки А. 
 
 

 
 

В зависимости от положения центра S относительно картины различают 
следующие виды проецирования: центральное и параллельное. 
Если центр S находится на конечном расстоянии, то проецирование называется центральным (рис. 1). При параллельном проецировании центр бесконечно удален, и все проецирующие 
лучи проходят параллельно друг другу. 
Параллельное 
проецирование 
в 
свою очередь подразделяется на ортогональное и косоугольное. 

Рис. 1 

Если проецирующие лучи перпендикулярны картине π, то проецирование называется ортогональным (рис. 2, а). 
Если проецирующие лучи проходят под острым углом к картине π то проецирование называется косоугольным (рис. 2, б). 
 

а 
б 

Рис. 2 
 
Поскольку проецирующими элементами являются прямые линии, то рассмотренное проецирование называется линейным. 
Отметим свойства линейного проецирования, в котором зафиксированы центр проецирования и плоскость проекций. 
Свойство 1. Каждой точке К пространства соответствует единственная ее проекция К ′, если эта точка не совпадает с центром про

1.2. Операция линейного проецирования 
 

7 

ецирования, но каждой точке M ′ плоскости проекций соответствует 
бесчисленное множество точек М, М 1, М 2, … пространства, для которых точка M ′ является проекцией (рис. 3). 
Свойство это следует непосредственно из определений, поэтому 
не нуждается в доказательстве. 
Свойство 2. Линейной проекцией прямой линии является также 
прямая линия, если эта проекция не вырождается в точку (рис. 4). 
Центр S и проецируемая прямая АВ определяют в пространстве 
плоскость σ. При пересечении σ с плоскостью π получается проекция 
A′B′ прямой АВ. Но две плоскости пересекаются по прямой линии. 
Следовательно, А′В′ − прямая линия. Проекция прямой вырождается в 
точку только лишь в том случае, когда эта прямая проходит через 
центр проецирования. 
Свойство 3. Линейное проецирование сохраняет инцидентность 
(взаимную принадлежность) элементов (рис. 4). 
 
 

Рис. 3 
Рис. 4 
 
 
Так, если в пространстве точка С принадлежит прямой АВ, то 
проекция С′ будет принадлежать проекции A′B′. Это следует из того, 
что все проецирующие лучи, проходящие через А, В и С, лежат в одной проецирующей плоскости σ и, следовательно, пересекают π в 
точках, лежащих на линии пересечения плоскостей σ и π. 

1. Конструирование геометрических моделей 

 

8 

1.3. Метод двух изображений 
 
Имея аппарат линейного проецирования, состоящий из одного 
центра и одной плоскости проекций, нельзя построить однозначную 
модель точки пространства. В этом случае на основании свойства 1 не 
возникает взаимно однозначного соответствия между точкой пространства и её проекцией на плоскость π. Поэтому удвоим аппарат 
проецирования. Возьмем в пространстве две плоскости π1 и π2, расположенные под произвольным углом друг к другу, и два центра S1 и S2. 
Пусть проецирование на обе плоскости будет центральным (рис. 5). 
 

 
Рис. 5 
 
Плоскость π1 будем называть первой плоскостью проекций (или 
первым полем проекций), π2 – второй плоскостью проекций (или вторым полем проекций). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью проекций. Обозначим ее х12 = π1∩π2. Линию S1S2, соединяющую центры проецирования, назовем линией центров. Отметим 
точки пересечения ее с π1 и π2: S1S2∩π1 = U1, S1S2∩π2 = U2·U1 и U2 назовем исключенными точками. 
S1, S2, π1, π2, U1, U2 составляют аппарат проецирования метода 
двух изображений. Возьмем произвольную точку А пространства и 

1.3. Метод двух изображений 

9 

спроецируем ее из S1 и S2 на π1 и π2. Получим пару проекций А1 и А2. 
Докажем, что они определяют однозначную модель точки А. 
Центры S1, S2 и проецируемая точка А определяют некоторую 
плоскость α. Она пересекает плоскости проекций π1 и π2 по прямым 
U1X = α∩π1 и U2X = α∩π2, где Х = α∩х12. Так как проецирующий луч 
S1A проходит через две точки, лежащие в плоскости α, то он весь лежит в этой плоскости. Поэтому точка пересечения его с плоскостью π1 
обязательно попадет на прямую U1X, т. е. А1 U1X. По тем же самым 
соображениям проекция А2 должна попасть на U2X, т. е. А2U2X. Точки А1 и А2 будут единственными, поскольку прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Таким образом, можно сказать, что произвольной точке А пространства поставлена в соответствие единственная пара проекций А1, А2: А(А1,А2). 
Справедливо и обратное утверждение. Представим, что имеем 
центры S1, S2, плоскости π1, π2 с исключенными точками U1, U2 и две 
проекции А1U1X, A2U2X. Докажем, что в этом случае можно построить единственную точку А пространства, являющуюся прообразом пары точек А1, А2. 
Соединим А1 с S1 и А2 с S2. Эти прямые лежат в одной плоскости 
α, определенной треугольником U1XU2. Следовательно, они, пересекаясь, дают единственную точку А. Таким образом, (А1, А2)А. Что и 
требовалось доказать. На основании доказанного можно утверждать, 
что пара (А1, А2), полученная рассмотренным методом двух изображений, задает однозначную модель точки А, не принадлежащей линии 
центров S1S2. Проекции А1 и А2 одной и той же точки А пространства 
будем в дальнейшем называть соответственными точками, а лучи 
U1X и U2X, на которых они лежат – соответственными лучами. 
В зависимости от взаимного расположения плоскостей проекций π1, π2 и центров проецирования S1, S2 возникают различные частные варианты метода двух изображений. 
 
 
1.4. Метод ортогональных проекций  
(метод Монжа) 
 
Пусть π1π2 и проецирование на обе плоскости ортогональное 
(рис. 6, а). В таком случае линия центров S1S2, будет бесконечно уда

1. Конструирование геометрических моделей 

 

10 

лена, следовательно, бесконечно удаленными окажутся и исключенные точки U1 и U2. Определим их направление. 
Так как S1Aπ1 и S2Aπ2, то проецирующая плоскость α перпендикулярна одновременно π1 и π2. Следовательно, линия пересечения 
этих плоскостей (ось проекций х12) перпендикулярна α. Поэтому U1X 
 x12 и U2X  х12. Значит исключенные точки U1 и U2 бесконечно удалены в направлении, перпендикулярном х12. Полученная модель точки 
является пространственной. Для перехода к плоской модели мысленно удалим проецируемую точку А вместе с проецирующими лучами и 
повернем плоскость π2 вокруг оси х12 до совмещения с π1. Вследствие 
перпендикулярности лучей U1X и U2X к х12 исключенные точки U1 и 
U2 при совмещении совпадут. Модель примет вид, представленный на 
рис. 6, б. Здесь плоскости π1 и π2 условно показаны ограниченными. 
Но на плоской модели контуры плоскостей проекций не нужны. Их 
можно убрать.  
 

а 
б 
в 
Рис. 6 
 

В результате получим чертеж, изображенный на рис 6, в.  
Чертеж, полученный при совмещении плоских полей, называется эпюром. 
Рассмотренный вариант построения модели впервые был предложен французским ученым Гаспаром Монжем и потому называется 
методом Монжа, а эпюр – эпюром Монжа. 
Совпавшие лучи U1X и U2X, на которых располагаются соответственные точки А1 и А2, в дальнейшем будем называть линией связи.