Движение бинарной смеси в плоских и цилиндрических областях

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

Российская академия наук

Сибирское отделение

Институт вычислительного моделирования

В. К. Андреев, Н. Л. Собачкина

ДВИЖЕНИЕ БИНАРНОЙ СМЕСИ
В ПЛОСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБЛАСТЯХ

Монография

Красноярск
СФУ
2012

УДК 536.2:532/533
ББК 22.365.5

А65

Р е ц е н з е н т ы:
доктор физико-математических наук, профессор В. М. Белолипецкий

доктор физико-математических наук, профессор С. В. Хабиров

Андреев, В. К.

А 65

Движение бинарной смеси в плоских и цилиндрических областях: монография / В. К. Андреев, Н. Л. Собачкина. Красноярск: Сиб. федер.
ун-т, 2012. 188 с.

ISBN 978-5-7638-2372-1

В монографии представлены результаты исследований конкретных нестационарных движений бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии, возникающих в достаточно длинных плоских и цилиндрических слоях. Рассмотрены
свойства инвариантных решений уравнений термодиффузии, когда на границе
раздела двух смесей поверхностное натяжение линейно зависит от температуры
и концентрации. Для возникающих сопряженных начально-краевых задач получены априорные оценки всех полей, показывающие их экспоненциальную сходимость с ростом времени к стационарным значениям. Приведены результаты
численных расчетов поведения скоростей, температур и концентраций в слоях.
Дано обобщение решений Остроумова–Бириха на движение смесей в цилиндрической трубе.
Результаты монографии будут полезны научным работникам, преподавателям, студентам старших курсов, магистрантам и аспирантам вузов, занимающимся конвективными течениями.

УДК 536.2:532/533
ББК 22.365.5

ISBN 978-5-7638-2372-1

c⃝ В. К. Андреев,

Н. Л. Собачкина, 2012

c⃝ Сибирский

федеральный
университет, 2012

Оглавление

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1
Однонаправленные двухслойные движения смесей
в плоских и цилиндрических слоях. . . . . . . . . . . . . . . . .
12

1.1. Постановка задачи о движении двух бинарных
смесей с поверхностью раздела . . . . . . . . . .
12

1.2. Совместное однонаправленное движение бинарных смесей в плоских слоях при заданном перепаде давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20

1.3. Движение смесей под действием термоконцентрационных сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

1.4. Совместное однонаправленное движение вязкой
теплопроводной жидкости и бинарной смеси
в трубе под действием перепада давления . . . .
68

1.5. Термоконцентрационное движение вязкой теплопроводной жидкости и бинарной смеси в трубе .
103

Глава 2
Влияние эффекта Соре на движение смесей со свободной границей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.1. Движение плоского слоя жидкости с двумя свободными границами под действием эффекта Соре
117

2.2. Движение плоского слоя жидкости со свободной
границей и твердой стенкой . . . . . . . . . . . .
134

2.3. Движение бинарной смеси с цилиндрической свободной границей
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
140

Глава 3
Движение бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.1. Основные уравнения и граничные условия . . . .
158

3.2. Стационарные ползущие движения . . . . . . . .
162

Оглавление

3.3. Нестационарные ползущие движения . . . . . . .
164

3.4. Решение стационарной задачи в первом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Введение

Среди множества моделей, используемых в механике жидких
сред, можно выделить так называемые классические модели,
к которым относятся уравнения газовой динамики, Эйлера идеальной жидкости, Навье – Стокса вязкой жидкости, Обербека–
Буссинеска конвективных течений. В последнее время в связи
с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно
привести модели вязкого теплопроводного газа [1], микроконвекции [2], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [3, 4]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования уравнений подмоделей усложненных сред. В частности,
точные решения всегда играли и продолжают играть огромную
роль в формировании правильного понимания качественных
особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве
“тестовых задач” для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных
методов.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена
монография [5]. Отметим также монографию [6], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Марангони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Введение

В данной книге рассматриваются конкретные подмодели
движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии.
Эти подмодели возникают при движении смесей в достаточно длинных плоских или цилиндрических слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными или
частично инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии. Соответствующие системы уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных, однако начально-краевые задачи для них являются очень трудными для исследования.

Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной
температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (т. е. процесс
перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом
их разделения). На практике часто встречается нормальная
термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты —
в более нагретые области. В отдельных случаях наблюдается аномальная термодиффузия, когда направление движения
компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию
в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой
конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов
в жидких и газовых смесях [7, 8]. Термодиффузия используется для определения состава нефти и разделения ее компонентов [9], нанесения различных покрытий на изделия из металлов

Введение
7

и играет важную роль в процессе выращивания кристаллов.
Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [10]. Термодиффузия также
влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды
подвергаются различным режимам нагрева [11, 12]. Роль эффекта Соре важна и при переносе вещества через клеточные
мембраны [13].

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье – Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массопереноса (вывод уравнений см., например,
в работах [14, 15]). Часто используется приближение Обербека – Буссинеска, предназначенное для описания конвективных
течений в естественных земных условиях. Предполагается, что
плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкого компонента:

ρ = ρ0(1 − β1T − β2C).
(0.1)

Здесь ρ0 — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а через T и C обозначены малые отклонения от средних значений; β1 — коэффициент теплового расширения смеси; β2 — концентрационный коэффициент плотности
(β2 > 0, поскольку C — концентрация легкого компонента).

Движение смеси описывается системой уравнений [3, 4]

ut + (u · ∇)u = − 1

ρ0
∇p + ν∇2u + g(β1T + β2C),

Tt + u · ∇T = χ∇2T,

Ct + u · ∇C = D∇2C + αD∇2T,
(0.2)

∇ · u = 0,

где u — вектор скорости; p — отклонение давления от гидростатического; ν — коэффициент кинематической вязкости; g —

Введение

вектор ускорения свободного падения; χ — коэффициент температуропроводности; D — коэффициент диффузии; α — параметр термодиффузии. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид
α = −DT/T0D, где DT — коэффициент термодиффузии; T0 —
средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения α<0, а для аномальной термодиффузии α>0.

При выводе системы (0.2) предполагается [16], что диффузионный поток компонента смеси равен

i = −ρ0(D∇C + DT∇T).

В чистой жидкости эффекта Соре нет, поэтому коэффициент
DT должен обращаться в ноль при C = 0 и C = 1. Поскольку для малых отклонений температур и концентраций от равновесных значений T0 и C0 все коэффициенты переноса можно считать постоянными, то часто используется соотношение
DT = C0(1 − C0)D′
T, причем D′
T также называется коэффициентом термодиффузии [16].

В частном случае (C = 0, α = 0) система (0.2) переходит
в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости (модель Обербека – Буссинеска). Для данной модели известно достаточно много точных решений, значительная часть которых приведена в монографиях [3, 17]; они являются стационарными, т. е. не зависят от времени. Эти работы посвящены
исследованию устойчивости различных типов конвективных течений, а также механического равновесия. Групповые свойства
уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались
в статье [18], а для стационарных плоских течений — в более
ранней работе [19] (см. также монографию [5]). В указанных
работах построен ряд точных решений, часть из которых была
найдена ранее другими методами.

Введение
9

Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [20, 21], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты
исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в монографии [3]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур
изучалась в работе [22], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [23]. Отметим также работу [24], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии.

В указанных выше публикациях были найдены точные решения уравнений (0.1), описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако все эти решения имеют групповую природу [5]. Групповые свойства системы (0.1)
в случае g = 0 рассмотрены в работе [25]; там же отмечена
важность изучения нестационарных движений смесей.

Приведем краткое изложение материала книги.
В гл. 1, 2 рассмотрены конкретные нестационарные движения бинарных смесей при наличии поверхности раздела или
свободной границы.

В гл. 1 исследованы свойства инвариантного решения уравнений термодиффузии в плоском слое, когда на границе раздела двух смесей поверхностное натяжение линейно зависит от
температуры и концентрации. Для возникающей сопряженной
начально-краевой задачи получены априорные оценки возмущений поля скоростей и температур, показывающие их экспоненциальную сходимость с ростом времени к стационарным
значениям. Возмущения концентрации также выходят на стационарный режим — это доказывается с помощью преобразования Лапласа.

Введение

Изучено инвариантное решение задачи о совместном движении вязкой теплопроводной жидкости и бинарной смеси в цилиндрической трубе, которое происходит под действием нестационарного перепада давления или термоконцентрационных
сил на границе раздела. Жидкие среды не смешиваются и имеют общую поверхность раздела. Задача сводится к сопряженной начально-краевой задаче для параболических уравнений.
Получены априорные оценки возмущений скоростей, температур и концентраций. Найдено стационарное состояние системы
и доказано, что если градиент давления в одной из жидкостей
достаточно быстро со временем стремится к нулю, то возмущения всех величин также стремятся к нулю. Если градиент давления имеет ненулевой предел при t → ∞, то решение выходит
на стационарный режим. Поля скоростей в пределе будут такими же, как у сопряженного течения Пуазейля, а температура
и концентрация представляются полиномом четвертого порядка по радиальной координате.

В гл. 2 рассмотрены плоские и осесимметрические нестационарные движения бинарной смеси вблизи точек локального
нагрева свободной границы в случае, когда поверхностное натяжение есть линейная функция температуры и концентрации.
Эти движения описываются частично инвариантными решениями уравнений термодиффузии. Соответствующие им системы
уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных, однако начально-краевые задачи для них
очень трудны для исследования. Здесь только отметим, что свободная поверхность сама является искомым элементом задачи.

Специальным преобразованием координат задачи сведены
к задачам уже в фиксированной области. Получены некоторые
точные частные решения, являющиеся “тестовыми” для численного решения на основе тау-метода (модификация метода
Гал¨еркина) общих нелинейных задач. В плоских задачах та

Введение
11

кие решения строятся в виде рядов по полиномам Лежандра,
а в осесимметрических — по смещенным полиномам Якоби. Дан
анализ влияния внешнего потока тепла и эффекта Соре на положение свободных границ.

В гл. 3 получены решения стационарной и нестационарной
задачи о ползущем движении бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе. Показано, что нестационарное решение выходит на стационарный режим при t → ∞. Найдены решения стационарной задачи при достаточно малых числа
Рейнольдса в первом приближении.

Материалы монографии использовались при чтении лекций
для студентов старших курсов, магистрантов и аспирантов Института математики Сибирского федерального университета.

Главы 1, 2 написаны В. К. Андреевым, гл. 3 — Н. Л. Собачкиной.

Авторы выражают искреннюю благодарность Н. Ф. Ильиной
за большую работу при подготовке рукописи к изданию.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант
№ 11–01–00283) и СО РАН (интеграционный проект № 116).

Глава 1
Однонаправленные двухслойные движения
смесей в плоских и цилиндрических слоях

Хорошо известно, что определение поля скорости при однонаправленном движении вязкой жидкости в слое или круглой
трубе сводится к решению линейной начально-краевой задачи
для параболического уравнения [1, 2]. При этом решение находится в виде конечных формул (например стационарное течение Пуазейля) либо в виде рядов. В данной главе изучаются
аналогичные движения с границей раздела двух бинарных смесей в слое, а также вязкой жидкости и бинарной смеси в трубе.
Если движение происходит только под действием термоконцентрационных сил на границе раздела, то эти задачи моделируют
тепловой насос, что очень важно в условиях невесомости или
микроканалах.

Результаты этой главы основаны на работах [3]–[12].

1.1.
Постановка задачи о движении двух бинарных
смесей с поверхностью раздела

Рассмотрим движение двух несмешивающихся несжимаемых
бинарных смесей с общей границей раздела. Обозначим через
Ωj (j = 1, 2) области, занятые жидкостями с поверхностью
раздела Γ, uj(x, t), pj(x, t) — соответственно, вектор скорости
и давление, Tj(x, t) и Cj(x, t) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений
термодиффузионного движения в отсутствие внешних сил имеет вид
duj
dt + 1

ρj
∇pj = νj∇2uj,
dTj
dt = χj∇2Tj,

dCj
dt = Dj∇2Cj + αjDj∇2Tj,
∇ · uj = 0,
(1.1.1)