НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ

бАзОвый куРс

Учебное пособие

Москва
ИНФРА-М
2013

н.А. сАЛЬКоВ

Допущено  
УМО по образованию в области архитектуры 
в качестве учебного пособия для студентов вузов,  
обучающихся по направлению «Архитектура» 

Сальков Н.А.
Начертательная геометрия: базовый курс: Учеб. пособие. — М.: 
ИНФРА-М, 2013. — 184 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-005774-3

Настоящее учебное пособие написано для студентов 1-го курса специ-
альности «Архитектор». Пособие полностью отвечает требованиям ФГОС 
3-го поколения, утвержденного Минобрнауки Российской Федерации. По-
собие является базовым курсом по начертательной геометрии.
Может быть полезно для студентов других направлений обучения, а также 
преподавателям геометро-графических дисциплин.

 ББК 22.151я73

С16

ISBN 978-5-16-005774-3
© Сальков Н.А., 2013

Р е ц е н з е н т ы:
Трушин С.И., д-р техн. наук, профессор МГСУ;
Ржевский В.Н., заслуженный архитектор России;
Вышнепольский В.И., канд. пед. наук, доц., заведующий кафедрой инженерной 
графики МГУТХТ

УДК 514(075.8)
ББК 
22.151я73
 
С16

ПРЕДИСЛОВИЕ

Со времени появления учебного курса начертательной геометрии в 

России в 1810 году его структура, в общем, не претерпела особенных 
изменений. В основу каждого раздела был положен тот или иной гео-
метрический образ: точка, прямая, плоскость и т.д. Изданные по на-
стоящее время учебники в той или иной мере повторяют предложен-
ную в начале XIX века структуру курса.

В большинстве учебников даже не упоминаются или упоминаются 

вскользь такие основные понятия, как метрические и позиционные 
задачи, которые, в принципе, и составляют содержание курса.

Предлагаемая в данной работе структура курса начертательной 

геометрии – научно, методически и системно обоснована, позволяет
алгоритмизировать процесс преподавания и решения задач.

Курс читался в Московской академии коммунального хозяйства и 

строительства в течение 20 лет для студентов-строителей, шесть лет 
читается в Московском государственном академическом художест-
венном институте им. В.И. Сурикова для архитекторов.

Еще одна отличительная особенность курса – это раздел, раскры-

вающий начертательную геометрию как основу для геометрии анали-
тической.

Настоящее издание содержит материал, в котором рассматривают-

ся:

– прямая задача начертательной геометрии: конструирование, по-

лучение и построение чертежей пространственных геометрических 
образов, являющихся геометрическими моделями реальных инженер-
ных прообразов;

– обратная задача: решение на полученных графических моделях 

различных геометрических задач, связанных с отношениями про-
странственных геометрических фигур.

Курс назван базовым, так как только на его основе можно рассмат-

ривать впоследствии истинно строительную часть курса: тени в орто-
гональных проекциях, аксонометрические проекции и построение 
теней в аксонометрических проекциях, перспективу и тени в перспек-
тиве, проекции с числовыми отметками.

Часто задают вопрос: «Зачем нужна начертательная геометрия?»
По многим причинам, основные из которых следующие:
1. Только начертательная геометрия разъясняет, как получаются 

тот или иной вид чертежей, с которыми предстоит работать абсолют-
но всем специалистам технического профиля.

2. Только начертательная геометрия показывает, как на чертеже 

задавать те или иные геометрические фигуры.

3. Только начертательная геометрия объясняет, как на чертеже ре-

шать те или иные геометрические задачи.

1.  ОБЩИЕ  ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Начертательная геометрия – это научная дисциплина, разраба-

тывающая и исследующая методы отображения пространства одного 
измерения на пространство другого измерения (в учебном плане при-
нято отображение трехмерного пространства на двумерный носитель, 
например, на плоскость) и решающая на полученных моделях геомет-
рические задачи, связанные с пространственными формами и отно-
шениями.

В данном учебном пособии рассмотрим отображение трехмерного 

пространства на плоскость.

Из определения начертательной геометрии следует:
1. Предметом начертательной геометрии (то, что изучает начер-

тательная геометрия как наука) являются пространственные формы и 
отношения, взятые в «чистом виде».

Как ветвь геометрии, начертательная геометрия изучает только 

геометрические формы той или иной инженерной конструкции, абст-
рагируясь от материала, из которого эта конструкция изготавливается. 
Физические свойства материала не являются предметом исследования 
начертательной геометрии – этим занимаются другие науки, полу-
чающие от начертательной геометрии только форму конструкции. 
Таким образом, начертательная геометрия является более общей нау-
кой, впрочем, как и любой другой раздел математики.

У начертательной геометрии, как и у любой другой науки, имеется 

свой собственный метод исследования.

2. Методом начертательной геометрии является проекционный 

метод, то есть, чертеж, представленный на уровне графической моде-
ли тех или иных пространственных форм и отношений.

Носителем чертежа в подавляющем большинстве случаев является 

плоскость.

Что же мы имеем.
С одной стороны – начертательная геометрия занимается исследо-

ванием общих принципов построения чертежей независимо от их 
служебного назначения или технологии изготовления объекта, задан-
ного на чертеже, то есть является теоретической основой построения 
чертежей. С другой стороны – чертеж является пока что единствен-
ным способом фиксации и передачи инженерной мысли. Следова-
тельно, знание начертательной геометрии и умение применять ее ме-
тод к решению практических задач – необходимое условие подготов-
ки бакалавра, специалиста и магистра в области не только архитекту-
ры, но и всех технических профессий.

Для студента изучение начертательной геометрии сводится к изу-

чению способов геометрического конструирования пространственных 

образов, заданию их на чертежах и приобретению знаний, умений и 
навыков в решении задач, связанных с определением геометрических 
характеристик.

Знание абстрактных геометрических образов, законов конструиро-

вания геометрических фигур, теоретических основ получения чертежа 
необходимы архитектору для решения пространственных объемно-
планировочных задач, позволяет исследовать и анализировать про-
дукт деятельности архитектора.

Вся деятельность архитектора укладывается в две задачи:
1. Конструирование и задание геометрических фигур на чертеже.
2. Анализ, исследование геометрических фигур на представленной 

графической модели пространства, решение задач, связанных с опре-
делением различных геометрических характеристик.

Первая задача называется прямой задачей, вторая – обратной за-

дачей начертательной геометрии.

1.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ

1.2.1.  Геометрические образы

Геометрические образы различают, прежде всего, по метриче-

ским характеристикам. Договоримся, что геометрических образов в 
трехмерном пространстве всего три: точка, линия, поверхность (в 
конце ХХ века добавилось еще и геометрическое тело, но мы будем 
изучать только три геометрических образа). А вот геометрических 
фигур, напротив, – великое множество: это и точка, и бесконечное 
разнообразие различных линий, и огромное количество поверхностей, 
и даже геометрические тела. 

Геометрическая фигура – это любое точечное подмножество то-

чечного пространства (точка, линия, поверхность, любое их сочетание 
и количество).

Под геометрическим телом будем понимать множество точек 

части пространства, ограниченного со всех сторон поверхностями, –
этакое замкнутое в некоем «мешке» сообщество точек.

Рассмотрим подробнее каждый из геометрических образов.

1.2.2. Точка

Точка – нульмерный геометрический образ. Она не имеет никаких 

измерений (длины, высоты, ширины и т.д.) и не отличается от других 
точек по форме, поскольку никакой формы у нее нет.

1.2.3. Линия. Плоская линия

Линия – одномерный геометрический образ. Она не имеет ширины 

и толщины, у нее есть только одно измерение – длина. Это единствен-
ное измерение дало линии возможность приобретать бесчисленное 
множество разнообразных форм. Существуют линии пространствен-
ные и плоские.

Плоская линия – это линия, все точки которой принадлежат одной 

плоскости.

Самой простой плоской линией является прямая линия (линия пер-

вого порядка). Все остальные плоские линии – кривые.

Линию можно представить как траекторию движущейся точки. Та-

кой способ образования, когда некоторый геометрический образ, пе-
ремещаясь в пространстве, создает геометрический образ последую-
щей мерности, называется кинематическим.

Среди плоских кривых линий особо выделяют кривые второго по-

рядка. К ним относятся: эллипсы (частный случай – окружность), ги-
перболы и параболы. Эти кривые называются коническими сечениями 
(в некоторых источниках – кониками), так как могут быть получены 
посредством рассечения конуса второго порядка (например, конуса 
вращения) плоскостью.

Порядок линии определяется максимально возможным количест-

вом точек пересечения ее плоскостью. Прямая линия может иметь с 
любой из плоскостей только одну точку пересечения, поэтому она 
является линией первого порядка. А вот окружность можно рассечь 
плоскостью в двух точках, отсюда окружность – линия второго по-
рядка.

Более детальное знакомство с кривыми второго порядка предстоит 

в других разделах.

Рассмотрение кривых 3-го и более высоких порядков не представ-

ляется возможным в учебном курсе начертательной геометрии из-за 
их огромного количества.

1.2.4. Особые прямые и особые точки плоских кривых

Особыми прямыми являются касательная и 

нормаль.

Рассмотрим рис.1.1. Касательная прямая t

может быть получена следующим образом.

Прямая линия (А,В), лежит в одной плоско-

сти с плоской кривой k и пересекается с ней в 
точках А и В. Такая прямая называется секу-
щей.

Будем перемещать секущую (А,В) так, что-

бы точки А и В стремились к точке Т. Когда 
длина дуги кривой k между точками А и В бу-
дет равна нулю, точки А и В сольются с точкой 
Т, а секущая займет положение прямой t. Пря-
Рис. 1.1

мая t в данном случае называется касательной прямой к линии k в 
точке Т.

Перпендикуляр n (см. рис.1.1) к прямой t, проведенный через точ-

ку Т, называется нормалью кривой k.

На плоских кривых могут быть особые точки (рис.1.2).

Рис.1.2

1. Точка перегиба (рис.1.2,а, точка А). Если возьмем некоторую 

перемещающуюся по кривой k точку М и поведем через эту точку 
касательную к кривой, то при перемещении точки М по направлению 
стрелки  касательная плавно вращается (в данном случае против часо-
вой стрелки). В точке А вращение касательной изменяется на проти-
воположное, точка М продолжает перемещаться в прежнем направле-
нии.

2. Точка возврата первого рода (острие) (рис.1.2,б, точка В). В 

этой точке перемещающаяся точка М меняет свое направление на 
противоположное, а касательная t не изменяет направления вращения, 
продолжая вращаться в прежнем направлении.

3. Точка возврата второго рода (клюв) (рис.1.2,в, точка С). В 

этой точке как перемещающаяся точка М, так и касательная меняют 
направления своего движения.

4. Точка повторения (рис.1.2,г, точка D) – точка, в которой кривая 

несколько раз касается одной прямой.

5. Узловая точка (рис.1.2,д, точка Е). В этой точке кривая сама 

себя пересекает. В приведенном примере показана двойная точка. 
Может быть тройная, четырехкратная и т.д. точка, в которой кривая 
сама себя пересекает три, четыре и т.д.  количество раз. В узловой 

точке пересекаются соответственно 2, 3, 4 и т.д. касательных или 
нормалей.

6. Точка излома (рис.1.2,е, точка F). В такой точке  точка М, пе-

ремещаясь, меняет направление движения. Между направлением 
движения до точки F и направлением движения после точки F имеет-
ся некоторый угол . То же происходит  и с касательной t: слева от 
точки F касательная имеет положение t1, а сразу после точки F поло-
жение t2. Таким образом, плавность вращения касательной t прерыва-
ется, а разрыв составляет тот же угол . 

1.2.5. Пространственная кривая линия

Существуют линии, все точки которых не могут принадлежать од-

ной плоскости. Такие линии называются пространственными кривы-

ми линиями. Самые распространенные из про-
странственных кривых линий – винтовые линии.

На рис.1.3 представлена винтовая линия, рас-

положенная на поверхности цилиндра вращения. 
Такую линию можно рассматривать как постро-
енную кинематическим способом: она может 
быть получена в результате перемещения точки А
по образующей t и одновременного вращения 
образующей t вокруг оси цилиндра (или конуса) 
вращения.

Винтовые линии имеют широкое применение 

в технике: линии резьбы, пружины, ребра шнека, 
кромки винтовых пандусов и т.д.

1.2.6. Поверхность

Поверхность – двумерный геометрический образ. Она имеет два 

измерения и не имеет третьего – толщины. Как объект исследования 
поверхность может быть задана:

1) поверхностью какой-либо технической формы;
2) геометрическим местом точек или линий;
3) уравнением;
4) результатом перемещения линии (поверхности) в пространстве –

кинематический способ формирования;

5) дискретным каркасом.
Порядок поверхности может быть определен максимальным коли-

чеством точек пересечения ее с прямой линией.

Самой простой поверхностью является плоскость – поверхность 

первого порядка.

Рис. 1.3

а)
б)
в)

Рис. 1.4

На рис.1.4 показан кинематический способ образования плоскости.
На рис.1.4,а образование плоскости происходит посредством пе-

ремещения (скольжения) прямой l по двум пересекающимся прямым 
а и b. Траектория движения прямой l образует в пространстве плос-
кость, поэтому l называется образующей. На рис.1.4,б образующая  
прямая l перемещается по параллельным прямым а и b. На рис.1.4,в 
образующая l, вращаясь, вокруг точки А, скользит по прямой d.

Не только плоскость можно образовать кинематически. Так, ли-

нию можно представить как траекторию перемещающейся в про-
странстве точки (плоская линия может быть представлена как траек-
тория точки, перемещающейся в плоскости). Поверхность можно 
представить как траекторию перемещающейся в пространстве линии.

Перемещающаяся линия (на рис.1.4 – прямая l) называется обра-

зующей поверхности. Линии, по которым скользит образующая, на-
зываются направляющими (на рис.1.4 – это прямые а, b и d, а также 
точка А).

Часть плоскости, ограниченная со всех сторон плоскими линиями, 

называется куском или отсеком плоскости. Совокупность отсеков 
плоскостей, последовательно соединенных между собой по прямым 
линиям – ребрам, – называется гранной поверхностью.

Рис. 1.5
Рис. 1.6

Если ребра a, b, d (рис.1.5) гранной поверхности пересекаются, она 

называется пирамидальной. Линии q1 и q2 – линии обреза поверх-

ности. 

Если ребра a, b, d параллельны между собой (рис.1.6), то гранная 

поверхность называется призматической.

Если поверхность не является плоскостью или гранной поверхно-

стью, то она является кривой поверхностью.

Криволинейная (кривая) поверхность также может быть образова-

на кинематически. При этом в качестве образующих и направляющих 
могут фигурировать как прямые, так и кривые линии.

Образующая линия в процессе перемещения может менять свои 

размеры и форму.

Непрерывное множество образующих иногда называют непре-

рывным каркасом поверхности. Все разнообразие поверхностей 
определяется разнообразием форм образующей и направляющих (или 
законов перемещения образующей). 

При исследовании поверхности обычно выделяют:
1. Линейчатые поверхности – поверхности, которые могут быть 

образованы перемещением в пространстве прямой линии.

2. Поверхности вращения – поверхности, которые могут быть об-

разованы вращением некоторой линии вокруг некоторой прямой – оси 
поверхности.

3. Циклические поверхности – поверхности, которые могут быть 

образованы перемещением в пространстве окружности.

4. Винтовые поверхности – поверхности, у которых хотя бы одна 

из точек образующих совершает винтовое движение.

Все эти поверхности мы и будем рассматривать далее.

1.2.7. Классификация поверхностей

Рассмотрим наиболее важные признаки классификации поверхно-

стей. Поверхности могут быть классифицированы по следующим 
признакам:

1. По способу задания: кинематические, каркасные, заданные 

уравнением, заданные геометрическим местом точек, линий или как 
огибающие множество поверхностей, заданные моделью и т.д.

2. По закону движения образующей: поверхности с поступатель-

ным движением образующей, с вращательным движением образую-
щей (поверхности вращения), с винтовым движением образующей 
(винтовые поверхности).

3. По форме образующей: поверхности с прямолинейной обра-

зующей (линейчатые поверхности) и поверхности с криволинейной 
образующей.

4. По закону изменения формы образующей: с образующей посто-

янной формы и с образующей переменной формы.

5. По признаку развертывания поверхности на плоскость: развер-

тывающиеся поверхности и неразвертывающиеся.