Математика


Федеральная служба исполнения наказаний Вологодский институт права и экономики










Е. Е. Филипова, Д. В. Сергеева, И. Н. Слободская




МАТЕМАТИКА

Учебное пособие для направления 38.03.03 - «Управление персоналом»





















Вологда
2015

УДК 51+372.851
ББК22.1я73
    Ф53





Рецензенты:
В. В. Мухин - проф. каф. математического и программного обеспечения ЭВМ Череповецкого гос. ун-та, д-р физико-математических наук, проф.;
О. А. Панфилова - зам. начальника каф. информатики и математики ВИПЭ ФСИН России, канд. технических наук


    Филипова, Е. Е.
Ф53 Математика : учебное пособие для направления 38.03.03 - «Управление персоналом» / Е. Е. Филипова, Д. В. Сергеева, И. Н. Слободская; Федер. служба исполнения наказаний, Вологод. ин-т права и экономики. -Вологда : ВИПЭ ФСИН России, 2015. - 378 с. : ил., табл.
          ISBN 978-5-94991-312-3

          Учебное пособие содержит теоретический и практический материал по геометрии и линейной алгебре, математическому анализу, теории вероятностей и основам математической статистики, линейному программированию.
          Предназначено для организации аудиторной и самостоятельной работы курсантов и студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.03 - «Управление персоналом».
УДК 51+372.851
ББК22.1я73










ISBN 978-5-94991-312-3

          © ФКОУ ВПО «Вологодский институт права и экономики Федеральной службы исполнения наказаний», 2015
                                 © Филипова Е. Е., Сергеева Д. В., Слободская И. Н., текст, 2015

ВВЕДЕНИЕ


    Важное место в подготовке экономиста-бакалавра отводится изучению математики, так как она является инструментом для анализа социально-экономических процессов, происходящих в обществе. Кроме того, математика имеет большое значение для формирования научной картины мира и мировоззрения человека. Через решение конкретных теоретических и практических задач математика способствует развитию определенных интеллектуальных качеств, учит рассуждать, принимать решения в сложных ситуациях, преодолевать трудности. Традиционно одним из методов обучения математике является решение задач, поэтому в процессе подготовки специалистов требуются не только учебники, но и задачники.
    Данное учебное пособие содержит теоретический и практический материал по геометрии и линейной алгебре, математическому анализу, теории вероятностей и основам математической статистики, линейному программированию. Его структура охватывает основные теоретические положения разделов курса, примеры решения задач, достаточное количество заданий для закрепления теоретического материала на практических занятиях и при самостоятельной работе учащихся, ответы к большинству задач. Также в издании представлены упражнения, демонстрирующие возможности приложения математики в экономике.

з

Раздел I

ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА





§ 1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

1.1. Понятие вектора
   Вектором называется направленный отрезок. Если А - начало вектора, а В - его конец, то такой вектор обозначается через АВ. Вектор также может обозначаться одной буквой латинского алфавита а (рис. 1).

а
               А *
Рис. 1


    Вектор, начало и конец которого совпадают, называется пулевым и обозначается 0. Нулевой вектор не имеет направления.
    Длиной (или модулем) вектора АВ называется длина отрезка АВ, обозначается она АВ . Если вектор обозначается через а, то его модуль обозначается |а|. Длина нулевого вектора равна нулю.
    Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если при этом их направления совпадают, то они называются одинаково направленными (сонаправлен-ными). Два вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и имеют противоположные направления. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
    Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и их длины равны.

    Теорема 1.1 (об откладывании вектора от точки). Для любого вектора а и любой точки А пространства существует единственная точка

4

В пространства такая, что АВ = а. В этом случае говорят, что вектор АВ получается откладыванием вектора а от точки А.
    Пусть а и b - произвольные векторы. Отложим их от одной точки О (рис. 2). Углом между векторами а и b называется наименьший угол (р, на который нужно повернуть один из векторов, чтобы он совпал по направлению с другим вектором. Угол между векторами может составлять от 0° до 180°.

Рис. 2

     Вектор в любой системе координат характеризуется своими координатами. Если в прямоугольной декартовой системе координат Оху начало и конец вектора соответственно заданы своими координатами л(х₁₅у]), ^(Л2 > 3?2 )> то Для нахождения координат вектора АВ(х,у) надо из координат конца (точки В) вектора вычесть координаты начала вектора (точки А):
х = х₂ -х₁? у = у₂ -j/p                        (1.1)
     Аналогичные формулы справедливы для вектора в пространстве. Если точки А и В имеют координаты                 и B(x₂,y₂ᵢz₂), то координаты
вектора AB(x,yₜz) находятся по формулам:

X = Х₂ -Xₗₛ у = у₂ - yⱼ} Z = Z₂“Z].



(1.1')

1.2. Линейные операции над векторами
    Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число.

5

    Рассмотрим выполнение операций над векторами на плоскости. Аналогичные определения, свойства и теоремы можно сформулировать для векторов в пространстве.
    Пусть даны векторы а =   , а₂) и b = (fy, Z>2).
    Суммой векторов а и b называется вектор с = (с],с₂)> координаты которого равны сумме соответствующих координат а и b :
                     <4 = ал +6₁₅ с₂ = а₂ + Ь₂.                (1.2)

    Произведением вектора а * 0 на действительное число ос 0 называется вектор, обозначаемый аа = (х,у), координаты которого равны произведению числа а и соответствующей координаты вектора а:

х = у = 0С<7₂‘


(1-3)

    Если а = 0 и (или) а = 9, то аа = 0.
    Теорема 1.2 (условие равенства двух векторов). Два вектора а = э ) и ~ (^1^2) РабНЫ тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны: а} = Ь\, а₂ = Ъ₂.


    Свойства линейных операций над векторами
    Пусть а, Ъ нс- произвольные векторы, аир- произвольные действительные числа:
    1) а 4- 0 = а (наличие нулевого вектора);
    2) а + (- а) = 0 (наличие противоположного вектора);
    3) a+ b = Ь + а (коммутативность сложения);
    4) (а + Ь^+ с = а + (b + с) (ассоциативность сложения);
    5) 1 • а = а (умножение на 1), -1 * а = -а (умножение на (-1));
    6) ос(рй) - (ар)а (ассоциативность умножения вектора на числа);
    7)     (а + р)а = аа + Ра (дистрибутивность относительно сложения чисел);
    8)     а(а + £)= aa + ab (дистрибутивность относительно сложения векторов).
    Теорема 1.3 (условие коллинеарности двух векторов). Два вектора а = (#1, «2 ) и b = (by, Ь₂ ) коллинеарны тогда и только тогда, когда их со-.                                            ai а₂
ответствующие координаты пропорциональны: —.
                                             61 6₂

6

    Упражнения
    1.1.    Даны точки А(2, - 3, 8), в(- 1, 2, 1) в прямоугольной декартовой системе координат. Найти длину вектора ВА,
    1.2.   Даны векторы а = (- 1, 2, - 4), b = (1, 0, 5), с = (3, - 6, - 2).

Найти координаты векторов:
    а) а + b; б) а - b; в) а + с; г) а + b + с; д) 2 а; е) О b; ж) 2а + b;
з) (а + р)с; и) X (а - с).
    1.3. Даны векторы а = (3, - 5, 1), b = (О, 2, 4). Найти:

      а) а ; б) а + Ь ; в) а + b ; г) 2 а ; д)

- 2а ; е) - 2 а ;

ж)

    1.4. Найти значения а, при которых длина вектора аа (а 0) удовле

творяет следующим условиям: а) аа - а ; б) аа

     1.5.     Даны координаты точек А, В, С, D. Проверить, коллинеарны ли векторы АВ и CD, если да, то сонаправлены ли они:
    а)  Л(0, 3, 5), В(2, 4, 2), С(10, - 5, 0), 0(18, -1, - 12);
    б)  Л(- 2, 3, 8), В(- 1, 4, 2), С(3, - 5, 9), ©(4, - 4, 15);
    в)  А(2, 3, 4), В(- 1, 10, 2), С(- 5, 12, - 1), Z)(4, - 9, 5).
    1.6. Даны векторы а - (а, 3, 8), b = (1, Р, 4). Найти значения аир,


при которых векторы а и Ъ будут коллинеарны.


    Упражнения для самостоятельной работы

    1.7. Даны векторы т = (3, - 8, 1), п = (0, 4, - 2), р - (2, 7, 5). Найти


координаты векторов:

    a) — п + р; б) - т - п - р; в) ат - ап.


    1.8. Даны векторы а = (0, -1, 3), b = (7, 0, 4), с = (2, 5,-5). Найти:

      а) а + b + с ; б) а + b + с ; в) а

    1.9.     Даны координаты точек А, В, С, D. Проверить, коллинеарны ли векторы АВ и CD, если да, то сонаправлены ли они:
    а)  Л(2,3,-1), В(-3,0,4), С(2,-1,8), £>(4,5,б);
    б)  Л(2,-3,2), 5(10,3,16), С(-10,4,9), £>(-6,7,2);

7

    в) А(-1, 5,9), В(0, 6,10), с(5,2,0), D<2, -1, - 3).
    1.10. Даны векторы а = (а, р, 1), b = (х, 3, z). Подобрать значения а, р,



х и z, при которых векторы а и b будут коллинеарны.



1.3. Скалярное произведение векторов

    Два вектора а и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. Нулевой вектор считается ортогональным любому вектору. Обозначение ортогональности векторов то же, что и для перпендикулярности: а ± b.
    Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

ab = a b cos ср.


(1.4)

    Если хотя бы один из векторов а или b нулевой, то ab - 0.

    Свойства скалярного произведения векторов
    Пусть а, b и с - любые векторы, а - произвольное действительное число:
    1) ab = Ьа (коммутативность);
    2) (octffe = (ассоциативность относительно умножения на чис

    3)      la + b 1с = ас 4- Ьс (дистрибутивность относительно сложения векторов).

     4) аа = а ;
     5)     скалярное произведение ненулевых векторов а и b равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны:
ab = 0 <х> а ± b (а 9, b Ф 0).
     Длина вектора а может быть представлена как корень квадратный из скалярного квадрата вектора а:


(1-5)

8

    Если в прямоугольной декартовой системе координат Оху начало и конец вектора соответственно заданы своими координатами
В(х2>У2)» то координаты вектора АВ(х,у) определяются формулами (1.1), а длина вектора АВ(х,у) следующей формулой:

            АВ = ^х²+у² + = ^(х₂-х₁')² + (у₂-уУ .


(1-6)

    Если в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz начало и конец вектора соответственно заданы своими координатами
т⁰ координаты вектора AB(x,y,z) определяются формулами
(1. Г), а длина вектора АВ(х, у, z) следующей формулой:


АВ = Jx^Ty+z² = 7(х2-х])²+(у2-я)²+и₂-я)².   (1.6')


    Пусть векторы а и b заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат: « = (^,^2) и ^ = (^1^2)* Тогда скалярное произведение векторов а и Ъ определяется как сумма произведений соответствующих координат:

                     ab =     + «2^2 •


(1.7)

    Угол между векторами а и b вычисляется по формуле:


cosq> =

       4-672^2
7<я²+а2-Л²⁺/,2

(1.8)

Условие ортогональности векторов а и b на плоскости имеет вид:

qZ>l+a2&2=0.

(1-9)

Для векторов а = (aj,a₂,a₂) и b - (b\,b₂,by) в пространстве можно за
писать формулы, аналогичные формулам (1.7), (1.8):

ab - <7^1 + 772^2 ⁺ Л3^3»

(1.7')

COS ф =

ab _        + «2^2 ⁺ а3^3
а Ь д/яр + а% + «з ^b\ +b2+bj

(1.8Э

Условие ортогональности векторов а и b в пространстве имеет вид:

<7^1 + 672^2 ⁺ а3^3 ⁼ 9 •

(1-9')

9

    Упражнения
    1.11. Найти скалярное произведение векторов а и Ь',
    а)  а = (3, - 5, 0), b = (- 2, 4, 3);
    б)  а = (- 3, 1, 2), b = (4, 6, 3);
    в)  а = (а, - а, За), b = (- Р, - Р, - 2р).
    1.12.     Найти скалярное произведение векторов а + b и Ъ, если а = (3, - 2, 1), b = (0, 4, - 3).
    1.13. Найти угол между векторами:
    а) а = (- 1} 2, 0) и b = (5, - 3, 1);
    б) 2а и а - Ь, если а = (1, - 1, 2), b = (О, 2, 1).
    1.14. Проверить, ортогональны ли векторы:
    а) а = (3, 0, - 6) и b = (4, 12, 2);
    б)  а = (5, - 3, 8) и b = (1, 4, - 3);
    в)  — а и а-b, если а = (10, - 2, 4), b = (0, -26,17). 2*
    1.15.     Даны векторы а = (- 5, а, б) и b = (1, - 2, б). Найти а, если а и b ортогональны.
    Упражнения для самостоятельной работы
    1.16.      Найти скалярное произведение векторов а и Ь. Проверить векторы а и b на ортогональность.
    а)д = (0,2,-1), М2,-4,3);
    б) а = (ос, За, 1), Ъ = (5, - 2, а).
    1.17.     Найти скалярное произведение векторов а и Ь, если |а| = 3, b = 2, а угол между ними равен 60°.
    1.18.     Найти угол между векторами:
    а) а = (1,-3,2) и 6 = (2, 0,-1);
    б) 2а и а;
    в) - За и а.

ю