Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Замечательные кривые

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 616842.01.99
Добрина, Е. А. Замечательные кривые [Электронный ресурс] : учеб. пос. / Е. А. Добрина, О. А. Саввина. - Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2005. - 74 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/416075 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.

Е.А.ДОБРИНА, О.А.САВВИНА

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Учебное пособие

Елец - 2005

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. А. БУНИНА









Е. А. Добрина, О. А. Саввина




                ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ





        Учебное пособие











Елец - 2005

УДК 514.74
ББК 22.15
    Д 55

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого государственного университета имени И. А. Бунина от 30. 11. 2005 г., протокол №5




Научный редактор:
        доктор педагогических наук профессор Н. Г. Подаева


Рецензенты:
кандидат физико-математических наук И. А. Елецких (Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина); кандидат педагогических наук доцент О. В. Тарасова (Орловский государственный университет)





     Добрина Е.А., Саввина О.А.
Д 55 Замечательные кривые: учебное пособие. - Елец: ЕГУ им.
      И.А. Бунина, 2005. - 74 с.
     В настоящем издании излагаются элементы аналитической геометрии сквозь призму изучения наиболее популярных кривых.
      Основная цель книги - облепить подготовку учителя к проведению элективных курсов, поэтому пособие предназначено, в первую очередь, преподавателям средних школ. Насыщенность материала книги историческими сведениями и интересными фактами из области естествознания отличает это издание от других и придает ему направленность на широкий круг читателей.
                                                     УДК 514.74
                                                     ББК 22.15




                               © Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, 2005
                               © Е.А. Добрина. О.А. Саввина. 2005


ВВЕДЕНИЕ


    В 60-х гг. XX столетия в советскую школу была внедрена новая форма организации образовательного процесса - факультативы. Являясь более гибкой формой обучения, факультативы давали возможность полнее отразить в школьном образовании новые достижения науки, позволяли более важное место в обучении отвести выполнению учащимися творческих заданий, выработке навыков самостоятельного поиска знаний. Факультативные занятия, по сути, стали творческой лабораторией учителя, в которой опробовалось не только новое содержание образования, но и новые формы и методы преподавания.
    В настоящее время в связи с реализацией «Концепции модернизации российского образования на период до 2010г.» факультативные занятия утратили свой статус и свое предназначение. На смену факультативным занятиям в школу пришла новая форма организации обучения - элективные курсы, основная задача которых состоит в обеспечении профильного обучения на старшей ступени школы.
    В 2003 г. Департамент общего и дошкольного образования Министерства образования и науки Российской Федерации направил информационное письмо об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования. В нем говорилось: «Элективные курсы (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные курсы - обязательны для старшеклассников».
    Элективные курсы как бы ’’компенсируют” во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.
    Однако широкий спектр и разнообразный характер элективных курсов поставил некоторые школы и отдельных преподавателей в затруднительное положение, определяемое как нехваткой педагоги

з

ческих кадров, так и отсутствием соответствующего учебно-методического обеспечения. В связи с этим и возникла идея создания учебно-методического пособия по элективному курсу «Замечательные кривые».
    В основу пособия положен факультативный курс «Замечательные кривые», который был разработан одним из авторов (Е. А. Добриной) в 2002-2003 гг., и фрагменты которого были опробованы в МОУ СОШ № 22 г. Ельца в 2003-2004 уч. г.
    В пособии рассматривается содержание элективного курса, а также приводится другое методическое обеспечение - программа, дидактические материалы, примерные конспекты занятий.
    Выбор тематики курса обусловлен тем, что именно в обучении аналитической геометрии (методы которой красной нитью проходят через всё содержание пособия) в школе и вузе наблюдается наибольшая рассогласованность.
    Представленный элективный курс вносит определенный вклад в реализацию преемственности в геометрическом образовании в системе школа-вуз.
    Материал данного пособия распределяется между авторами следующим образом: Введение и Тема 1 подготовлены О. А. Саввиной, Тема 2, Тема 3 и раздел «Методическое обеспечение» составлены Е. А. Добриной.

ТЕМА 1. ЧТО ИЗУЧАЕТ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ? ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ КООРДИНАТ



    Появление аналитической геометрии в XVII веке было подготовлено длительным периодом открытий в геометрии, алгебре, изучении отдельных кривых.
    Надо заметить, что в XVII веке под аналитическими понимались всякие приложения алгебры к геометрии. Теперь под аналитической геометрией подразумевают метод рассмотрения задач на основе понятия координат. Именно такое название - «аналитическая геометрия» - для книги использовал Ньютон «Geometria Analytica» (написана в 1671 г., опубликована в 1736 г.), а также и Лакруа в 1801 г. («Elements de geometric analytique», 1801 г.).
    Начало аналитической геометрии, в современном понимании этой науки, было положено в работах великих французских математиков - П. Ферма¹ «Введение в теорию плоских и простран


Ферма (Fermat) Пьер (17.8.1601- 12.1.1665), французский математик. По профессии юрист: с 1631 был советником парламента в Тулузе. Автор ряда выдающихся работ, большинство из которых было издано после смерти Ф. его сыном, - «Различные сочинения» (1679); при жизни Ферма полученные им результаты становились известны учёным благодаря переписке и личному общению.
Ферма является одним из создателей теории чисел, где с его именем связаны две знаменитые теоремы: Ферма великая теорема и Ферма малая теорема. В области геометрии Ферма в более систематической форме, чем Р. Декарт, развил метод координат, дав уравнения прямой и линий второго порядка и наметив доказательство положения о том, что все кривые второго порядка - конического сечения. В области метода бесконечно малых систематически изучил процесс дифференцирования, дал общий закон дифференцирования степени и применил этот закон к дифференцированию дробных степеней. В подготовке современных методов дифференциального исчисления большое значение имело создание им правила нахождения экстремумов. Своими работами Ферма оказал большое влияние на дальнейшее развитие математики. В области физики с именем Ферма связано установление основного принципа геометрической оптики.

5

4

ственных кривых», обнародованной в 1636 г. (опубликованной лишь в 1679 г.), и Р. Декарта² «Геометрия» (см. титульный лист ла
     ² Рене Декарт (Rene Deskartes - латинизированное имя — Картезий; Cartesius) родился 31 марта 1596 г. в местечке Лаэ (департамент Турень) в семье состоятельного землевладельца, члена парламента. Рене рос болезненным, но очень любознательным мальчиком. Окончив иезуитский коллеж Лафлеш, Декарт выбрал военную карьеру. Однажды, находясь в гарнизоне Бреды, он подошел к толпе, читавшей объявление, в котором предлагалось решить труднейшую геометрическую задачу. На другой день молодой Декарт нашел решение и показал его известному в то время профессору Бекману.
     Декарт много путешествовал и, наконец, остановился на достаточно продолжительное время в Голландии. В 1635 г. Декарт знакомится с простой девушкой Элен, и у молодой пары рождается дочь, но, не дожив до 12 лет, девочка умирает. Неприятности преследуют Декарта одна за другой. Философское учение Декарта становится предметом горячих споров. Противники Декарта организуют против него гонения, обвиняя его в атеизме.
     Декарт начинает всерьез задумываться о возвращении во Францию, но бурные политические события не позволяют Декарту вернуться на Родину. В таких неблагоприятных обстоятельствах он неожиданно получает приглашение от королевы Швеции. Королева желала прослыть просвещенной правительницей и строила планы создания шведской Академии наук. С большой неохотой Декарт вынужден принять приглашение и отправиться в Швецию. Королева встретила его с радушием, но предложила Декарту свой распорядок дня, к которому он не привык. Декарт посещал королеву «для разговоров о предмете учености» в пять часов утра, хотя имел привычку вставать поздно и размышлять по утрам, лежа в постели. Зима 1650 г. была сурова, Декарт простудился и заболел, а 11 февраля умер от пневмонии.
     Декарт - автор теории, объясняющей образование и движение небесных тел вихревым движением; частиц материи. В основе философии Декарта - дуализм души и тела, «мыслящей» и «протяжённой» субстанции. Материю он отождествлял с протяжением (или) пространством, движение сводил к перемещению тел. Общая причина движения, по Декарту — Бог, который сотворил материю, движение и покой. Человек — связь безжизненного телесного механизма с душой, обладающей мышлением и волей. Безусловная основа всего знания, по Декарту — непосредственная достоверность сознания («... я мыслю, следовательно, я существую...»).
     Декарт заложил основы аналитической геометрии, предложив координатный метод и переменную величину. Он явился основоположником исследований свойств уравнений; сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней (правило Декарта); поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости (представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций такого же рода); указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах и его корни находятся с помощью циркуля и линейки, когда оно приводимо. В область изучения геометрии Декарт включил «геометрические» линии (названные позднее Г. Лейбницем алгебраическими), которые можно описать движениями шарнирных механизмов, и исключил «механические» (трансцендентные) кривые. Заложив основы аналитической геометрии, сам Декарт продвинулся в этой области недалеко — не рассматривались отрицательные абсциссы, не затронуты вопросы аналитической геометрии трёхмерного пространства. Тем не менее, его «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики.
      Самой большой заслугой Декарта признается введение понятия переменной величины. Т.е. благодаря Декарту у их в уравнении типа у=ах+в стали рассматриваться не просто как неизвестные, а как переменные величины, а само уравнение - как выражение зависимости между двумя переменными величинами. Однако, надо признать, что при этом несправедливо мало внимания уделяется другим удивительным и полезным математическим находкам Декарта, например, созданию математической символики и терминологии. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин и коэффициентов, а также обозначения степеней. Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной. Важно отметить, что Декарту принадлежит изобретение термина «мнимое» число.

тинского издания), представляющей собой последнюю часть его труда «Рассуждение о методе», опубликованном в 1637 г. В этих работах ученые ввели идею переменной величины и координатный метод. Переменные величины Декарт рассматривает в двоякой форме: в виде текущей координаты точки, движущейся по кривой, и в форме переменнрго элемента множества чисел, соответствующих точкам координатного отрезка. Для введения метода координат ученые применяют сходные подходы. Задается только одна ось -ось абсцисс, на которой откладываются от выбранного начала отрезки, соответствующие значениям одной переменной. Значение другой переменной изображается из конца отложенного отрезка под выбранным для данной задачи углом. Так, к примеру, Декарт определял кривую третьего порядка, получившую впоследствии наименование «декартов лист». «Особенность метода координат, созданного Декартом, - по словам Ващенко-Захарченко,- заключается в том, что он внес в геометрию при решении вопросов различного рода характер общности, который она до него не имела. До Декарта геометры исследовали только частные свойства некоторых кривых; такое направление существовало у всех древних геометров. Метод, внесенный в геометрию Декартом, придал ей характер, который она до него не имела, так как при помощи одной формулы стало возможно выразить свойства, принадлежащие целым классам кривых».
    Однако координатный метод не сразу был однозначно и по заслугам оценен современниками. Долгое время велись дискуссии о правомерности, возможностях и достоинствах методов новой геометрии. Среди противников нового метода оказался, к примеру, Роберваль.
    Во второй половине XVII в. весьма медленно происходило совершенствование координатного метода и накопление аналитически изученного материала в работах современников (комментаторов) и ближайших последователей Декарта: Ф. Скаутена, Де -Бона, Я. Де-Витта, Де-Лагира, Ж. Озанам и др. В 70-90-х гг. XVII в. Лейбниц ввел термины «координата» и «абсцисса».

7

6

            GEOMETRIA, a


    RENATO DES CARTES

Anno i6j7 Gallice edita; poftca autcm Uni cum N о т i s

FLO^IMONDI DE 'BCAFNE, Tn Curia В Icfcnfi Confiliarii Regii, Gallice confcripris in Latinamlinguamvcrra, & CommenuiibilluRrata.
Opera at^ueJhJio
FRANGISCIa SCHOOTEN, in Acad.Lugd.BatavaMnhefeos ProfcfToni.
Nunc demtim ab eodcm diligent er raogitita , lotupletioribut Commttttariif inflrutta >      «X¹ fgitf efcejponibw, ш ad uberiorem explicaiimcm, quam ad ampHan&un bujut Gcometrii excel! ent iam fademibui, fxor7wT4i

Quorum omnium Catalogum pagina vcrfa exhibet.

-Л Af S T E L 2£ D Ji M I,
Apud Ludovicum & Danielem Elzevirios, cl э he lix.
Титульный лист первого (скоутеновского) латинского издания „Геометрии* Декарта

    Мощный импульс развития аналитическая геометрия получила в начале XVIII века благодаря работам И. Ньютона «Перечисление кривых третьего порядка» (1704 г.), в которой описаны 4 типа и 72 вида кривых третьего порядка; Бине «Приложение алгебры к геометрии» (1705 г.) и Лопиталя «Аналитический трактат о конических сечениях» (1707 г.). В 1731 г. в сочинении «Исследование о кривых двойной кривизны» французский математик А.-С. Клеро впервые обстоятельно изложил метод координат в пространстве, в т.ч. показал применение координат в пространстве к поверхностям и кривым двойной кривизны, происходящих от их пересечения. Клеро, подобно Лагиру, ввел в этой работе третью координату. Большое значение для систематизации и придания аналитической геометрии более удобной формы имели работы Эйлера. Во втором томе «Введения в анализ бесконечных» (1748 г.) Эйлер глубоко исследовал широкий круг вопросов аналитической геометрии, включая и вопросы геометрии пространства.
    Изложение Эйлера отличается последовательностью и систематичностью. Сначала он вводит понятия декартовых координат, устанавливает связь между линией и ее уравнением, дает классификацию линий, разъясняет суть метода преобразования прямоугольных и косоугольных координат, исследует общее уравнение прямой. При этом Эйлер впервые для преобразования координат использует тригонометрические функции. Затем средствами алгебры классифицирует кривые по их порядкам и выясняет ряд вопросов: сколько точек пересечения с прямой может иметь алгебраическая кривая и-го порядка, как «ведут» себя на бесконечности линии второго порядка, каковы асимптоты кривых и пр. В последних главах изучаются по их свойствам, а также рассматриваются поверхности. Причем для исследования кривых используются как декартовы, так и полярные координаты.
    В 1750 г. в Женеве выходит работа «Введение в анализ кривых линий» Г. Крамера, в которой впервые обе координаты были определены равноправно и введена ось ординат.
    В работах Г. Монжа и С. Лакруа сделан большой шаг вперед в построении аналитической геометрии, однако, своим предметом эти ученые имели, в первую очередь, геометрию пространства. Лишь незадолго до конца столетия С. Лакруа перенес новое расположение материала и новые обозначения в плоскую геометрию.

9

8

    Развитие аналитической геометрии сопровождалось открытием все новых и новых типов кривых, некоторые из которых и станут предметом дальнейшего рассмотрения в этом пособии.




§ 1. Прямоугольные координаты

    Координатами называются числа, при помощи которых можно определить положение точки. Например, положение точки на поверхности земного шара определяются ее географическими координатами - шириной и долготой.
    Положение точки на прямой можно задать действительным числом — координатой точки. Для этого нужно выбрать на прямой произвольную точку (начало координат), положительное направление и единицу длины, т.е. задать систему координат на прямой.
    Прямая, на которой выбрано определенное направление, называется осью. Числовая ось - это прямая, на которой выбрано начало координат, положительное направление и единица длины.
    Начало координат обычно обозначатся буквой 0(0 - первая буква латинского слова origine — начало). Термин «origine» впервые употребил Ф. Лагир в 1679 г. Точка Оделит прямую на две полупрямых. Одна из них (произвольно выбранная) называется положительной полуосью, другая — отрицательной полуосью. Положительная полуось отмечается стрелкой. Положительная полуось задает положительное направление на прямой.
    Координатой (абсциссой) точки А на числовой оси называется число х, которое определяется следующим образом: х=а, если точка А расположена справа от начала координат; х= - а, если точка А расположена слева от начала координат. х=0, если точка Л совпадает с началом координат О.
    Здесь а - расстояние точки А от начала координат О. При этом пишут А (х).
    Если координату обозначают буквой х, то числовая ось обозначается Ох.
    Система координат на прямой устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Для установления такого соответствия необходимо ис

пользовать все действительные числа, в том числе и иррациональные. Рассмотрим, например, окружность с центром в начале координат и радиусом, равным стороне квадрата со стороной 1. Она пересечет ось координат в точках -Уг и -Vi , т.е. в точках с иррациональными координатами.
   Действительными числами можно задавать не только точки, но и векторы (направленные отрезки) оси.
   Рассмотрим вектор на оси Ох.

   Величиной вектора а на оси Ох называется число х, которое определяется следующим образом:
х⁼ а > если направление а совпадает с направлением оси Ох;


х— а ’если направление а противоположно направлению оси Ох.


Здесь а - модуль (длина) вектора


а •

   Величину вектора можно выразить через координаты его начала и конца. Если вектор ав на оси Ох задан координатами начала А(х/) и конца В(х₂), то его величина равна разности координат конца и начала

Х₂-Х/.

    Зная величину вектора ав , можно найти расстояние d между точками А и В:


    Пр им ер. Найти координаты векторов мк, вс по координатам их начала и конца и расстояние между началом и концом каждого из них, если М(1), К(3), В(5), С(9).
    Решение.


   Определим сначала координаты вектора мк: 3-1=2, тогда мк (2).
   Аналогично определяются координаты вс (4).


и

ю

Проекция вектора на ось

   Для того, чтобы ввести понятие координат точек и координат векторов на плоскости, нужно сначала дать определение проекции точки и проекции вектора на ось.
   Проекцией точки А на ось Ох называется точка Ах пересечения оси с прямой АВ , перпендикулярной оси Ох.


  А                     
О Ах         х          
  В                Рис.1

Рассмотрим вектор ав и ось х, расположенные в одной плоскости




6

    Проекцией вектора ав на ось х называется величина вектора
А^вх от проекции Ах точки А до проекции Вх точки В на ось х:

Пр ав ⁼ ав , если направление ав совпадает с направлением х,


Пр ав - - ав , если направление ав противоположно направлению

х.

    Проекцию вектора ав на ось х обозначают (АВ)Л.

   Вектор Ахвх называют составляющей вектора ав в направлении оси х. Поэтому можно сказать, что проекция вектора на ось - это величина его составляющей в направлении данной оси.

Декартова система координат на плоскости
   Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными осями координат с общим началом: Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат.
   Радиус-вектором точки А относительно декартовой прямоугольной системы координат Оху называют вектор ОА = г.

   Координатами точки А относительно декартовой прямоугольной системы координат Оху называют проекции ее радиус-вектора на оси координат:

                      х= Прх г, у=- Пру г, или
х=(ОР)Х} y=(OQ)y,

где Р - проекция точки А на ось Ox, Q - проекция точки А на ось Оу.

   Координаты точки можно определить также как координаты ее проекций Р, Q на оси координат Ох и Оу, т.е.,

   Х=Хр , y=yQ.

   Координаты точки записывают рядом с ее обозначениями в скобках: А(х,у). Координатах называется абсциссой, координатау~ ординатой точки А. Задать точку - значит задать ее координаты, найти точку - значит найти ее координаты.
   Координатами вектора а относительно декартовой прямоугольной системы координат Оху называют его проекции на оси координат:
ах=Прха> ау= ПрУ2

13

12

   При этом пишут

R¹ =(х-а)г +(у-Ь)г.

    Координаты вектора МХМ₂, заданного координатами начала М/(х/,у/) и конца М₂ (х₂, у2), равны разностям координат конца и начала

ах =x₂-xi, ау=у₂-у1.



Расстояние между точками на плоскости.
    Найдем расстояние d между точками Mₜ (xj, у/) и М₂ (х₂, у₂), заданными своими координатами относительно декартовой прямоугольной системы координат Оху.
Пусть а=М}М₂. Тогда d = a. Но ах = Xz-Xj, ау = УгУь Используя формулу для модуля вектора, получаем
d = y)(x₂ -х,)² +(_и₂ - Xi)² •
    Если отрезок MjM₂ параллелен оси Ох, то у/ = у₂, откуда следует, что d = |х₂ -xj.

Уравнения кривых на плоскости в декартовых координатах. Параметрический способ задания кривых

    Рассмотрим кривую L на плоскости, на которой выбрана декартова прямоугольная система координат Оху.
    Уравнение fix, у) = О относительно декартовых прямоугольных координат х, у называется уравнением кривой L, если ему удовлетворяют координаты тех, и только тех точек, которые принадлежат кривой L.
    Составим, например, уравнение окружности радиуса R с центром С(а, Ь).
    Точка К принадлежит окружности в том, и только том случае, если CK=R или R = J(x-a)²+(у-Ь)². Следовательно, уравнение окружности имеет вид


   Если х,у заданы как функции одной и той же переменной t, определенные в некотором промежутке a<,t<.p, т.е.,


то при изменении t в этом промежутке точка М(х, у) описывает кривую.
   Переменная / называется параметром, а уравнения, выражающие х, у через t - параметрическими уравнениями кривой. В механике роль параметра t часто играет время, а уравнения являются уравнениями движения точки.


§ 2. Полярные координаты

   Уравнения многих кривых удобно задавать не в декартовой, а в других системах координат. Одной из распространенных систем координат на плоскости является полярная система координат.
   Рассмотрим на плоскости луч ОЕ с начальной точкой О и некоторой точкой Е такой, что |(2£| = 1. Луч будем называть полярной осью, точку О - полюсом, точку Е - единичной точкой. Пусть М -произвольная точка плоскости:


    Длину отрезка ОМ, измеренного с помощью отрезка ОЕ, называют длиной полярного радиуса точки М и обозначают р. Поло

15

14

жительный угол от луча ОЕ до луча ОМ называют полярным углом точки М и обозначают (р.
    Если точка М совпадает с полюсом, то р = 0, а угол (р не имеет определенного значения. Однако в некоторых задачах углу ср для полюса придают определенное значение.
    Рассмотрим, например, окружность с центром в точке Е, проходящую через полюс О\


    Тогда полярному углу точки М этой окружности, совпадающей с полюсом О, целесообразно приписывать значения (р = лт2, так как при движении точки М по окружности к полюсу секущая ОМ стремится к прямой, перпендикулярной полярной оси. Пара чисел ср и р называются полярными координатами точки М.
    Если известны полярные координаты точки М, то ее декартовы координаты определяются по формулам
х = p'cos(p, у = p-sirxp
    Обратно, если известны декартовы координаты х и у точки М, то ее полярные координаты определяются по формулам:

P=,jx¹+y²; cos<p⁼x/p— . х — ; sin<p=y/p= , у ■
                                ■jx²+y²            ух'+у²
    При решении некоторых задач на одной прямой, проходящей через полюс, приходится рассматривать две точки М и N, расположенные по разные стороны относительно точки О. В таком случае имеет смысл принять за полярный угол этих точек общий угол, например, от луча ОЕ до луча ОМ. Тогда р для точки М будем считать числом положительным, а для точки N- отрицательным.


   Полярные координаты (р и р<0 называются обобщенными полярными координатами точки. Полярный угол ср отсчитывают от полярной оси, считая его положительным в том случае, когда отсчет ведется против часовой стрелки.
   Полярный радиус-вектор можно брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом (р, а во втором - в противоположном направлении.
   Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые можно проиллюстрировать на примерах.
   Сначала рассмотрим так называемые алгебраические спирали, т.е. кривые, полярные уравнения которых являются алгебраическими относительно р и ср и имеют вид/(р,(р)=0. Если перейти к прямоугольной системе координат, то очевидно, что эти уравнения уже не будут алгебраическими. Их называют трансцендентными.
   Трансцендентные кривые можно рассматривать как алгебраические линии бесконечно высокого порядка. Действительно, разлагая в ряд левую часть уравнения f (^х² +у², arctg у/х)=0, мы получим уравнение, содержащее алгебраические функции, однако число членов в нем будет неограниченным, а степень бесконечно большой. Поэтому число характерных точек алгебраических кривых (точек пересечения с заданной прямой, точек перегиба, особых точек и т.д.) в случае трансцендентных кривых может быть бесконечным. Трансцендентные кривые могут иметь также характерные точки, которые не существуют у алгебраических кривых. К ним относятся: точка прекращения, обладающая той особенностью, что окружность достаточно малого радиуса, проведенная из такой точки как из центра, пересекает кривую только в одной точке; угловая точка, в которой прекращаются две ветви кривой, причем каждая из них имеет в этой точке свою касательную; асимптотическая точка, в которой неограниченно приближается ветвь кривой, делая вокруг этой точки бесконечное число оборотов.
   Таким образом, кривые можно задать следующими способами:
  1) параметрическим x=x(t); y=y(t);
  2) с помощью прямоугольных декартовых координат:
- явным заданием кривой у = f(x),

17

16