Статистические методы управления качеством металлопродукции

Министерство образования и науки  Российской Федерации 
 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В. И. Белокопытов  
 
 
 
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  
УПРАВЛЕНИЯ   КАЧЕСТВОМ  
МЕТАЛЛОПРОДУКЦИИ 
 
 
 
Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 150106 «Обработка металлов давлением» направления подготовки 150100 «Металлургия», 
13.09.2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2011 

УДК 669.01:658.562.6(07) 
ББК 30.609я73 
Б43 
 
 
 
 
 
Рецензенты: М. В. Чукин, доктор технических наук, профессор заведующий кафедрой машиностроительных и металлургических технологий Магнитогорского государственного технического университета им.         
Г. И. Носова; Р. И. Галиев кандидат технических наук, доцент директор 
прокатного завода «Алюком» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Белокопытов, В. И. 
Б43              Статистические методы управления качеством металлопродукции : учеб. пособие / В. И. Белокопытов. – Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2011. – 108 с. 
ISBN 978-5-7638-2229-8 
 
 
В учебном пособии изложены вопросы, касающиеся применения теории 
вероятностей и математической статистики в таких областях, как научная работа, контроль и управление качеством продукции, управление действующим технологическим процессом. Приведены примеры, даны варианты расчетных заданий, а также справочные данные для их выполнения. 
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по специальности 150106 «Обработка металлов давлением» направления подготовки 150100 «Металлургия» 
 
 
УДК 669.01:658.562.6(07) 
ББК 30.609я73 
 
 
 
ISBN  978-5-7638-2229-8                                                             Сибирский федеральный  
 
                                                                                        университет, 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….. 
5
1. ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ, РАСЧЕТ  
    КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК, ПРОВЕРКА  
    ГИПОТЕЗЫ НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ……………. 
6
1.1. Построение гистограммы………………………………………. 
6
1.2. Количественные характеристики распределения…………….. 
8
1.3. Нормальное распределение……………………………………. 
10
Задание……………………………………………………………….. 
15
Вопросы для самоконтроля…………………………………………. 
15
2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ПРОВЕРКА   
    КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОЦЕНОК…………………………………… 
16
2.1. Проверка средних значений……………………………………. 
16
2.2. Проверка ошибок при оценке дисперсии……………………… 
20
2.3. Проверка различия средних арифметических………………… 
22
2.4. Статистическое оценивание количественных значений.  
       Интервальная оценка…………………………………………… 
24
2.5. Статистическая проверка доли дефектных изделий  
       в генеральной совокупности…………………………………… 
26
Задание………………………………………………………………. 
27
Вопросы для самоконтроля…………………………………………. 
29
3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ…………. 
31
3.1. Корреляционный анализ………………………………………… 
31
3.2. Регрессионный анализ…………………………………………… 
33
Задание………………………………………………………………… 
37
Вопросы для самоконтроля………………………………………….. 
38
4. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА…………………………….. 
39
4.1. Полный факторный эксперимент………………………………. 
40
4.2. Дробный факторный эксперимент……………………………… 
48
Задание………………………………………………………………… 
52
Вопросы для самоконтроля………………………………………….. 
54
5. ПОИСК ОПТИМАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ…………………………….. 
55
5.1. Поиск оптимальной области методом крутого восхождения… 
55
5.2. Симплексный метод поиска экстремума целевой функции….. 
60
Задание………………………………………………………………… 
64
Вопросы для самоконтроля………………………………………….. 
65
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ЛИСТКИ  
    КАК ФОРМЫ РЕГИСТРАЦИИ ДАННЫХ………………………… 
66
6.1. Контрольный листок для регистрации распределения  
       измеряемого параметра в ходе производственного процесса… 
66
6.2. Контрольный листок для регистрации видов дефектов………. 
67

6.3. Контрольный листок причин дефектов………………………… 
68
Задание………………………………………………………………… 
70
Вопросы для самоконтроля………………………………………...... 
71
7. ДИАГРАММЫ………………………………………………………... 
72
7.1. Диаграмма Парето……………………………………………….. 
72
7.2. Диаграмма Исикавы……………………………………………... 
75
Задание………………………………………………………………… 
77
Вопросы для самоконтроля………………………………………….. 
78
8. КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ…………………………………………… 
79
8.1. Контрольная карта для выборочного среднего и размаха……. 
79
8.2. Контрольная карта для доли дефектных изделий…………….. 
83
8.3. Рассмотрение показаний контрольных карт…………………… 
86
8.4. Анализ технологических процессов  
       на основании контрольных карт………………………………… 
87
Задание………………………………………………………………… 
91
Вопросы для самоконтроля…………………………………………. 
92
9. ОДНОСТУПЕНЧАТЫЙ ВЫБОРОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ  
    ПО КОЛИЧЕСТВЕННЫМ ПРИЗНАКАМ, ОСНОВАННЫЙ  
    НА ОПЕРАТИВНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ……………………….. 
93
9.1. Метод, гарантирующий среднее значение  
       показателя качества в партии…………………………………… 
93
9.2. Метод, гарантирующий долю дефектных изделий в партии…. 
96
Задание………………………………………………………………… 
98
Вопросы для самоконтроля………………………………………….. 
99
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………. 
100
ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………. 
102
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Целью дисциплины «Статистические методы управления качеством 
металлопродукции» является формирование у студента навыков организации технологического эксперимента в условиях лаборатории и цеха, сбора 
данных о состоянии качества изделий, обработки результатов измерений и 
представления их в форме, удобной для анализа и принятия решений, связанных с управлением технологическими процессами. 
В результате изучения данной дисциплины студент должен уметь: 
выбирать методы испытаний, анализировать и обрабатывать результаты 
исследований и измерений, оценивать технические и организационные 
решения с позиций достижения необходимого качества металлопродукции. 
В связи с вышеизложенным основным содержанием предлагаемого 
пособия являются теоретические аспекты расчетов, связанных с определением количественных характеристик распределения, статистическим оцениванием и проверкой количественных оценок, корреляционным и регрессионным анализом, планированием и обработкой результатов эксперимента, построением контрольных карт и осуществлением выборочного контроля продукции. 
При написании пособия использовались работы авторов, в которых 
изложены отдельные теоретические положения и справочные материалы 
(см. библиографический список). 
В учебном пособии акцент сделан на самостоятельную работу по заданному варианту заданий, что дает возможность расширения и углубления знаний, умений и навыков, определяемых содержанием базовых дисциплин основной образовательной программы подготовки специалиста, и 
позволит сформировать на их основе компетенции, необходимые в дальнейшей профессиональной деятельности выпускника. 
Общекультурные компетенции:  
1. Владеть основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации. 
2. Оформлять, представлять и докладывать результаты выполненной 
работы. 
Профессиональные компетенции:  
1. Уметь использовать фундаментальные общеинженерные знания. 
2. Уметь использовать принципы системы менеджмента качества. 
3. Уметь выбирать методы исследования, планировать и проводить необходимые эксперименты, интерпретировать результаты и делать выводы. 
4. Уметь использовать физико-математический аппарат для решения 
задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности. 

1. ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ, РАСЧЕТ 
КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК, ПРОВЕРКА 
ГИПОТЕЗЫ НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 
 
 
Одним из способов графического изображения плотности распределения является гистограмма (столбиковая диаграмма). Это такой вид диаграммы, который при помощи столбиков, расставленных в ряд на мелких 
размерных интервалах, отражает состояние качества проверенной партии 
изделий и помогает разобраться в состоянии измерений или качества изделий в генеральной совокупности, выявить в ней положение среднего значения и характер рассеивания. 
 
 
 
1.1. Построение гистограммы 
 
 
Рассматривая табл. 1.1, можно понять, что одним зрительным восприятием этих данных невозможно получить достоверную информацию о 
состоянии качества изделий в генеральной совокупности (например, в партии изделий). Следовательно, эти данные необходимо упорядочить, т. е. 
составить гистограмму.  
 
 
Таблица 1.1 
 
Коэффициенты деформации деталей в процессе термообработки 
 
№ 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
0 

1 
0,9 
1,5 
0,9 
1,1 
1,0 
0,9 
1,1 
1,1 
1,2 
1,0 

2 
0,6 
0,1 
0,7 
0,8 
0,7 
0,3 
0,5 
0,8 
1,2 
0,6 

3 
0,5 
0,8 
0,3 
0,4 
0,5 
1,0 
1,1 
0,6 
1,2 
0,4 

4 
0,6 
0,7 
0,5 
0,2 
0,5 
0,3 
0,5 
0,4 
1,0 
0,8 

5 
0,7 
0,8 
0,3 
0,4 
0,6 
0,7 
1,1 
0,7 
1,2 
0,8 

6 
0,8 
1,0 
0,6 
1,0 
0,7 
0,6 
0,3 
1,2 
1,4 
1,0 

7 
1,0 
0,9 
1,0 
1,2 
1,3 
0,9 
1,3 
1,2 
1,4 
1,0 

8 
1,4 
1,4 
0,9 
1,1 
0,9 
1,4 
0,9 
1,8 
0,9 
1,4 

9 
1,1 
1,4 
1,4 
1,4 
0,9 
1,1 
1,4 
1,1 
1,3 
1,1 

0 
1,5 
1,6 
1,6 
1,5 
1,6 
1,5 
1,6 
1,7 
1,8 
1,5 

При составлении гистограммы (рис. 1.1) рекомендуется придерживаться следующего порядка: 
1) среди измеренных значений находят максимальное хmax и минимальное хmin значения и определяют широту распределения по формуле     
R = хmax – хmin. В данном случае R =1,8 – 0,1 = 1,7; 
2) рассчитывают количество интервалов (классов): 
10
100 


n
k
, 
где n – число наблюдений; 
 
 
 

 
 
3) делят широту распределения R на количество интервалов k, полученный результат округляют и принимают за широту интервала: 
h = R/k = 1,7/10 = 0,17  0,2; 
4) размечают в бланке регистрации (табл. 1.2) интервалы варьирования, устанавливая граничные значения с конца одной из сторон, а также 
вписывают значения середины интервалов; 
5) просматривают табл. 1.1 по порядку от первой до последней 
строчки и при чтении каждого результата соответствующую метку (черточку) заносят в тот класс, к которому относится данное наблюдение. Каждый знак IIII соответствует пяти наблюдениям, поэтому подсчет частот 
значительно облегчается; 
 

    0,1        0,3       0,5       0,7       0,9       1,1       1,3       1,5       1,7       1,9 

20

15

10

5

Ч 
а 
с 
т 
о 
т 
а 
 

Коэффициент деформации, % 
 
Рис. 1.1. Гистограмма

Таблица 1.2 
 
Бланк регистрации плотности распределения 
 

№ п/п 
Интервал 
Значение середины 
интервала 
Подсчет 
частот 
Частота f 
Накопленная частота 

1 
0,1 – 0,3 
0,2 
II 
2 
2 

2 
0,3 – 0,5 
0,4 
IIII  III 
8 
10 

3 
0,5 – 0,7 
0,6 
IIII IIII  III 
13 
23 

4 
0,7 – 0,9 
0,8 
IIII IIII IIII 
15 
38 

5 
0,9 – 1,1 
1,0 
IIII IIII IIII IIII
20 
58 

6 
1,1 – 1,3 
1,2 
IIII IIII IIII II 
17 
75 

7 
1,3 – 1,5 
1,4 
IIII IIII III 
13 
88 

8 
1,5 – 1,7 
1,6 
IIII  IIII 
9 
97 

9 
1,7 – 1,9 
1,8 
III 
3 
100 

 
 
6) по оси абсцисс наносят границы интервалов, а по оси ординат –  
шкалу для частот. Над интервалами вычерчивают прямоугольники, высота 
которых пропорциональна частотам. 
 
 
 
1.2. Количественные характеристики распределения 
 
 
Для численного выражения распределения наиболее часто используют следующие количественные характеристики: среднее арифметическое, сумму квадратов отклонений, дисперсию и среднее квадратическое 
отклонение. 
Среднее арифметическое  
Предположим, что в результате измерений получены величины х1, х2, 
х3, ... , хn, число которых равно n. Тогда среднее арифметическое х  определяют по формуле 

n
х
х
х
х
х
n





...
3
2
1
, 

или  

n
x
n

x
х

n

i
i



 1
.  
                             (1.1)    

                    
В тех случаях, когда измеряемые величины разделяют на интервалы, 
то, обозначив значения середины каждого интервала через хj = х1, х2, 

х3,…,xk а частоту в этих интервалах, соответственно, через fj = f1, f2, f3,…, fk , 
среднее арифметическое х  вычисляют по формуле 
 

n
f
x
f
x
f
х
х
k
k





2
2
1
1
. 

 
В сокращенном виде формула будет иметь вид 
 





k

j
j
j f
x
n
х
1
1
.                                      (1.2) 

 
Рассеивание значений  
Для количественной оценки рассеивания значений часто используют 
сумму квадратов отклонений, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. 
Отклонением называют разницу между каждым измеренным значением величины и ее средним арифметическим (хi – х ). Если применить это 
ко всем измеренным данным, то полученная сумма возведенных в квадрат 
отклонений и будет представлять собой сумму квадратов (отклонений) S: 
 

2
2
2
2
1
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
S
n 







, 
 






 








n

i

n

i

n

i
i

i
i
n

x
x
x
x
S
1
1

2

1
2
2)
(
.                                 (1.3) 

 
Если сумма квадратов отклонений S выражает рассеивание значений 
во всем комплексе данных, то дисперсия 
2
e
 , полученная делением S на 
число n – 1 данных, является мерой рассеивания на каждую отдельную 
единицу данных: 
 































 


















k

j
j
j

n

i

n

i

n

i
i

i
i
е

f
x
x
n

n

x
x
n
x
x
n
n
S

1

2

1
1

2

1
2
2
2

)
(
1
1

1
1
)
(
1
1
1
           

(1.4)

 

Взятый с положительным знаком квадратный корень из дисперсии 
называют средним квадратическим отклонением е: 
 
 













































k

j
j
j

n

i

n

i
i

i
е
е
f
x
x
n
n

x
x
n
n
S
1

2

1

2

1
2
2
1
1
1
1
1
/
.    (1.5) 

 
 
 
1.3. Нормальное распределение 
 
 
При большом числе данных сужение интервалов в распределении 
влечет за собой постепенное приближение гистограммы к гладкой кривой. Если же число данных будет беспредельно большое, то гистограмма 
превратится в безукоризненную кривую. В этом случае кривая может 
рассматриваться в качестве распределения генеральной совокупности 
(рис. 1.2).  
Если кривая распределения имеет тенденцию в центре обнаруживать 
один пик, причем симметрично справа и слева от среднего арифметического она принимает форму колокола, то такую кривую называют нормальным распределением, или распределением Гаусса. 
Закон, или функцию нормального распределения, выражают следующей формулой: 
 

























2

2
1
exp
2
1
)
(
x
x
f
y
, 
               (1.6) 

 
где  – среднее арифметическое генеральной совокупности;  – среднее 
квадратическое отклонение. 
Величины  и  называют параметрами распределения. Для удобства 
вычисления функции распределения y = f (x) случайные величины нормируют по формуле 
 





 x
u
. 

Нормальное распределение с параметрами  = 0 и  =1 называется 
нормированным нормальным распределением (рис. 1.3). Функция нормального нормированного распределения примет вид  
 








2
2
1
exp
2
1
)
(
u
u
f
y
.                           
(1.7) 

 
 

Рис. 1.2. Нормальное распределение 
Рис. 1.3. Нормированное  
нормальное распределение 
 
 
При анализе качества продукции количество замеров не всегда 
бывает достаточным для определения законов распределения. Но если 
заранее известен закон распределения, то для нахождения важнейших 
числовых характеристик распределения нужно небольшое количество 
замеров. В том случае, когда закон распределения случайной величины 
близок к нормальному, для обработки результатов опытов необходимо 
определение двух статистических оценок параметров распределения: х  
и 
e
  В связи с этим проверка нормальности распределения составляет 
основное содержание предварительной обработки результатов эксперимента.  
Некоторое представление о близости эмпирического распределения 
к нормальному дает анализ показателей асимметрии и эксцесса. Показатель асимметрии определяют по формуле  
 

3
3

e

m




, 
 
                       
  (1.8) 

где третий центральный момент 
 







j
j
f
x
x
n
m
3
3
1
1
,                                   (1.9) 

 
среднее квадратическое отклонение  
 







j
j
e
f
x
x
n

2)
(
1
1
. 
                      (1.10) 

 
Показатель эксцесса вычисляют по формуле 
 

3
Э
4
4 



e

m
,                                         (1.11) 

 
где четвертый центральный момент  
 







j
j
f
x
x
n
m
4
4
1
1
.                           (1.12) 

 
Для симметричных распределений m3 = 0, m4/e
4 = 3, следовательно,  
А = 0 и Э = 0. 
Несмещенные оценки для показателей асимметрии и эксцесса находят по следующим формулам: 
 


 




2
1
*
n
n
n
,                                     (1.13) 

 



 



6
Э
1
3
2
1
*
Э







n
n
n
n
. 
           (1.14) 

 
Для проверки гипотезы нормальности распределения следует также 
вычислить средние квадратические отклонения для показателей асимметрии и эксцесса: 
 
 







3
1
2
1
6






n
n
n
n
n
,             
 
(1.15)