Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

1

УДК 519.2:303.732.4 
UDC 519.2:303.732.4 
 
 
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДЛЯ 
СГРУППИРОВАННЫХ ДАННЫХ 
STATISTICAL ESTIMATION FOR THE 
GROUPED DATA 
 
 
Орлов Александр Иванович 
д.э.н., д.т.н., к.ф.-м.н., профессор 
Orlov Alexander Ivanovich 
Dr.Sci.Econ., Dr.Sci.Tech., Cand.Phys-Math.Sci., 
professor 
Московский государственный технический 
университет им. Н.Э. Баумана, Россия, 105005, 
Москва, 2-я Бауманская ул., 5, prof-orlov@mail.ru

Bauman Moscow State Technical University, 
Moscow, Russia  

 
 
Описана вероятностная модель группировки данных, 
в том числе многомерных. Обобщена формулы 
Эйлера-Маклорена. С ее помощью получены 
поправки Шеппарда и поправки на группировку для 
коэффициента корреляции. Найдены и изучены 
асимптотические поправки на группировку в общем 
случае. Оценена точность приближения 

The probabilistic model of grouping data (including 
multidimensional data) is described. We have also 
generalized Euler-Maclaurin’s formulas. With its 
help Sheppard’s corrections and corrections on 
grouping for correlation coefficient are received. We 
have found and studied asymptotical corrections on 
grouping data generally. Accuracy of approach has 
been estimated 
 
 
Ключевые слова: СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, 
ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА, МОДЕЛЬ 
ГРУППИРОВКИ ДАННЫХ, ОБОБЩЕНИЕ 
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА. ПОПРАВКИ 
НА ГРУППИРОВКУ, ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ 

Keywords: STATISTICAL METHODS, 
MATHEMATICAL STATISTICS, APPLIED 
STATISTICS, MODEL OF GROUPING DATA, 
GENERALIZED EULER-MACLAURIN’S 
FORMULA, CORRECTIONS ON GROUPING, 
ACCURACY OF APPROACH 
 
 
1. Введение 

 
При вычислении различных статистических характеристик часто 

пользуются сгруппированными данными. Погрешность группировки - 

один из видов погрешностей наблюдений. До появления компьютеров 

группировку проводили для облегчения расчетов. К сожалению, 

устаревшие рекомендации по обязательному проведению группировки 

укоренились в курсах по «общей теории статистики». В отмененном из-за 

низкого научного уровня ГОСТ 11.006-74 (СТ СЭВ 1190-78) «Прикладная 

статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с 

теоретическим» группировку предписывалось проводить даже при 

проверке согласия по критериям Колмогорова и омега-квадрат, что 

приводило к ошибочным статистическим выводам.  

 
В современных условиях нет необходимости сокращать число 

арифметических операций при анализе статистических данных. Вместо 

гистограмм для описания распределения в настоящее время рекомендуют 

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

2

использовать непараметрические оценки плотности [1]. Однако с 

существующей традицией приходится считаться, следовательно, надо 

уметь оценивать влияние группировки данных на статистические 

характеристики. 

 
Другая 
причина 
использования 
сгруппированных 
данных 
– 

неточность измерений, приводящих либо к автоматическому (с помощью 

средств измерения) округлению, либо к округлению, проводимому 

специалистом, осуществляющим измерение. 

 
В настоящей статье рассмотрим статистические методы анализа 

сгруппированных данных. Начнем с одномерных данных.  

 

2. Вероятностная модель группировки 

 
Пусть выборка объема n  взята из непрерывного распределения 

числовой случайной величины X  с плотностью вероятности 
)
(x
f
. Пусть 

элементы выборки сгруппированы по интервалам длины h , центры 

которых находятся в точках 
ih
a
ai
+
=
0
, где 
,...
2
,1
,0
±
±
=
i
(Поскольку для 

непрерывной случайной величины вероятность попадания в точку 

соприкосновения интервалов равна 0, то нет необходимости указывать, к 

какому из интервалов относятся такие точки.) В таких случаях при 

вычислении 
моментов 
и 
других 
выборочных 
характеристик 
по 

сгруппированным данным обычно предполагается [2, с.393-394], что все 

выборочные значения, принадлежащие некоторому интервалу, совпадают 

с центром этого интервала. Тогда фактически рассматривается выборка из 

дискретного распределения, в соответствии с которым случайная величина 

Y  принимает значения 
ih
a
ai
+
=
0
 с вероятностями  

∫

+

−
=
=
=

2

2

)
(
)
(

h
a

h
a

i
i

i

i

dx
x
f
a
Y
P
p
.