Теория электрических цепей

Москва
Горячая линия – Телеком
2014

Рекомендовано федеральным государственным бюджетным образовательным 
учреждением высшего профессионального образования 
«Санкт-Петербургским государственным электротехническим университетом «ЛЭТИ» 
в качестве учебного пособия для бакалавров и магистров высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению подготовки
210700 – «Информационные технологии и системы связи»
Регистрационный номер рецензии № 2144 от 07.12.2012 МГУП

УДК 621.373(075)   
ББК 32.884.1 

 С54 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор техн. наук, профессор Ю. А. Ковалгин (СПбГУТ им. 
проф. Бонч-Бруевича);  доктор техн. наук, профессор В. Н. Митрохин 
(МГТУ им. Баумана);  доктор техн. наук, профессор Б. Я. Рябко 
(СибГУТИ);  доктор техн. наук, профессор  Н. И. Смирнов (МТУСИ) 

Соболев В. Н.  

С54
Теория электрических цепей. Учебное пособие для вузов. – 
М.: Горячая линия – Телеком, 2014. – 502 с.: ил. 

ISBN 978-5-9912-0342-5. 
Изложены основные разделы теории электрических цепей 
(ТЭЦ). Наряду с подробным изложением теоретического материала, соответствующего действующей программе учебной дисциплины ТЭЦ, приведены примеры решения конкретных задач и задания для самостоятельных компьютерных исследований с методическими указаниями по их выполнению при помощи программных 
систем  MathСad  и  Micro-Cap. 
Для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки – «Информационные технологии и системы связи» квалификации (степени) «бакалавр» и квалификации (степени) «магистр». 
ББК 32.884.1 
Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 

Учебное издание 

Соболев Владимир Николаевич 

Теория электрических цепей 
Учебное пособие для вузов 

Редактор  Ю. Н. Чернышов 
Компьютерная верстка  Ю. Н. Чернышова 
Обложка художника  О. В. Карповой 

Подписано в печать  13.03.2014.  Печать цифровая. Формат 6088/16.  
Уч. изд. л. 31,5.  Тираж 1000  экз. (1-й завод 100 экз.)  

ISBN 978-5-9912-0342-5                                        © В. Н. Соболев, 2014 
© Издательство «Горячая линия – Телеком», 2014  

Предисловие

Дисциплина «Теория электрических цепей» призвана сформировать те базовые знания, которые в дальнейшем будут использованы
студентами, обучающимися по различным электротехническим и радиотехническим специальностям, в процессе освоения многих последующих специальных дисциплин. Не менее важным является привитие навыков применения современных вычислительных средств при
исследовании, анализе и синтезе различных электрических схем и устройств.
Данная книга сочетает в себе качества традиционного учебника
и описания самостоятельных исследований, выполняемых в домашних условиях на ПК или в компьютерных классах. Это стимулирует
активную работу с книгой и пробуждает у студента чувство сопричастности к изучаемым явлениям. Материал предъявляется дозировано,
каждый пункт в описании подчинён одной главной мысли. Поэтому
изучение не следует прерывать, не проработав начатый пункт до конца. Книга обеспечивает многоплановость её использования: от ознакомления с основными теоретическими положениями, подкреплёнными соответствующими примерами расчёта, до подробной проработки
содержания курса с составлением отчёта о изученном материале и
выполненных экспериментах. В последнем случае отчет по каждому
параграфу должен содержать как минимум следующее:
• название работы;
• формулировку цели работы;
• формулы (с пояснениями), графики и таблицы рассчитанных величин, полученные в процессе предварительной подготовки;
• вопросы для самопроверки и краткие ответы на них;
• схемы, использованные в процессе выполнения экспериментов на
персональном компьютере;
• значения, полученные в процессе обработки результатов компьютерных экспериментов;
• графики, отражающие частотные или временн´ые зависимости величин, полученные в процессе компьютерных экспериментов;
• выводы по результатам экспериментов для каждого пункта исследований.

Предисловие

Перед выполнением экспериментальной части каждой работы необходимо внимательно ознакомиться с соответствующими методическими указаниями.
При написании данной книги автор исходил из предположения,
что студенты знакомы с широко распространённой системой Mathcad
из курса «Информатика». Поэтому здесь описываются приёмы управления только системой схемотехнического моделирования MicroCap, причём соответствующий материал предъявляется постепенно
на протяжении всей книги и только в том объёме, который диктуется
текущей необходимостью.
Предлагаемое учебное пособие может быть использовано при любой форме обучения (дневное, заочное, дистанционное). Книга может
рассматриваться и как расширенное описание лабораторного практикума по дисциплине ТЭЦ.

Г л а в а
1

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ОБЩИЕ
МЕТОДЫ АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1. Элементы электрических цепей и законы
электротехники

1.1.1. Цели изучения

1. Ознакомление с основными понятиями, использующимися при
описании электрических цепей.
2. Ознакомление со свойствами идеализированных элементов
электрических цепей.
3. Изучение основных соотношений электрических величин и законов электротехники.

1.1.2. Основные теоретические положения

1.1.2.1. Электрической цепью∗ называется совокупность электрических элементов и коммутационных устройств, соединённых проводами.
В качестве элементов электрических цепей обычно выступают источники и потребители электрической энергии, в качестве коммутационных устройств — ключи и переключатели.
Коммутационные устройства и провода при анализе электрических цепей с сосредоточенными параметрами рассматриваются как
идеализированные объекты. Провода не обладают ни резистивным
сопротивлением, ни ёмкостью, ни индуктивностью, ключи и переключатели выполняют свои действия мгновенно.
1.1.2.2. Элементы электрических цепей делятся на активные и
пассивные. Активными элементами являются источники электрической энергии, пассивными элементами — резисторы, конденсаторы и
катушки индуктивности. Каждый реальный пассивный элемент обладает тремя параметрами: резистивным сопротивлением R, ёмкостью

∗ Электрическую цепь часто называют электрической схемой.

Г л а в а 1

Рис. 1.1. Пассивные элементы электрических
схем
Рис. 1.2. Модель резистора на
СВЧ

C и индуктивностью L. Однако эти элементы конструктивно выполняются так, чтобы один из перечисленных параметров имел большое
значение, а остальные (называемые паразитными параметрами) — малое. Поэтому влиянием паразитных параметров на низких и средних
частотах можно пренебречь. На этом основании в теории электрических цепей рассматриваются идеализированные пассивные элементы. Они часто называются по их основному параметру: резистивное
сопротивление, ёмкость, индуктивность. Их условные графические
обозначения приведены на рис. 1.1.
В тех случаях, когда всё же необходимо учитывать влияние паразитных параметров, их отражают в схеме включением соответствующих дополнительных идеализированных элементов. Например, на
сверхвысоких частотах электрическая модель резистора может быть
такой, как показано на рис. 1.2, где Lп и Cп — дополнительно включённые элементы.
Пассивные элементы делятся на неэнергоёмкие (R) и энергоёмкие (C и L).
Действительно, в резистивных сопротивлениях электрическая энергия переходит в тепловую и не возвращается в схему.
В емкостных и индуктивных элементах энергия накапливается в электрических и магнитных полях (соответственно) и при определённых
обстоятельствах может возвращаться в электрическую цепь.
В табл. 1.1 приведены известные из курса физики соотношения
между электрическими величинами для линейных идеализированных
элементов. Здесь и далее строчными буквами обозначены переменные
во времени напряжения, токи и мощности, а прописными буквами —
постоянные величины: u, U — напряжения; i, I — токи; p, P — мощности; w, W — энергии; T — интервал времени; индексом 0 отмечены
начальные значения величин.
1.1.2.3. Кроме рассмотренных линейных пассивных элементов существуют нелинейные элементы (НЭ), напряжение на полюсах (клеммах, зажимах) которых связано нелинейной зависимостью с током,
протекающим через них. График этой зависимости, т. е. вольт-амперной характеристики (ВАХ), у НЭ имеет вид не прямой линии, как у
линейного элемента, а кривой или ломаной линии. Нелинейный элемент можно определить как элемент, значение основного параметра
которого (R, L или C) зависит от приложенного к нему напряжения

Основные законы и общие методы анализа электрических цепей
7

Таблица 1.1
Соотношения между электрическими величинами

для R
для С
для L

u = Ri;
i = u/R
i = C du

dt ;

u = 1

C

∫

i dt + U0

u = L di

dt ;

i = 1

L

∫

u dt + I0

p = ui = u2

R = i2R
p = ui = Cu du

dt
p = ui = Li di

dt

wR =
∫ t

−∞
p dt =
∫ t

−∞
ui dt =
wC =
∫ t

−∞
p dt =
wL =
∫ t

−∞
p dt =

= 1

R

∫ t

−∞
u2 dt = R
∫ t

−∞
i2 dt
=
∫ t

−∞
uC du

dt dt = Cu2

2
=
∫ t

−∞
iL di

dt dt = Li2

2

U = RI
I = C · 0 = 0
U = L · 0 = 0

P = UI = U2

R = I2R
P = UI = U · 0 = 0
P = UI = 0 · I = 0

WR = UIT = U2

R T = I2RT
WC = CU2

2
WL = LI2

2

Таблица 1.2

Обозначение НЭ
Графическое изображение
Соотношение тока и напряжения

R(u)
u = R(u)i

L(i)
u = d[iL(i)]

dt

C(u)
u =
∫
i

C(u) dt

или протекающего по нему тока.
Условные графические обозначения и соотношения токов и напряжений на полюсах НЭ приведены
в табл. 1.2.
В качестве примера на рис. 1.3 представлены вольт-амперные характеристики некоторого нелинейного резистора (a), туннельного диода (b) и линейного резистора (v).
У нелинейного резистивного элемента различают статическое и
динамическое (дифференциальное) сопротивление.
Статическое сопротивление НЭ (сопротивление постоянному току) пропорционально котангенсу угла наклона прямой, проходящей
через данную точку графика ВАХ и начало координат. В разных точках ВАХ оно имеет разные значения (см. рис. 1.3,a, где RA = UA/IA,
RB = UB/IB, RA ̸= RB).
Дифференциальное сопротивление НЭ (сопротивление переменному току) du/di пропорционально котангенсу угла наклона касательной к графику ВАХ в заданной точке. В разных точках ВАХ не

Г л а в а 1

Рис. 1.3. Вольт-амперные характеристики пассивных элементов

линейного элемента оно также имеет разные значения (см. рис. 1.3,a,
где rA = ∆uA/∆iA, rB = ∆uB/∆iB; rB > rA, а также рис. 1.3,b, где
rA = ∆uA/∆iA, rB = ∆uB/∆iB, rB > rA, rD = rN = ∞, rF < 0,
rM ≈ 0).
Статическое и дифференциальное сопротивления НЭ в одной и
той же точке ВАХ также имеют разные значения (см. построение для
точки B на рис. 1.3,a).
У линейного элемента статическое и дифференциальное сопротивления равны и во всех точках ВАХ имеют одинаковые значения:
RA = RB = rA = rB = R (на рис. 1.3,v все треугольники подобны).
1.1.2.4. У реального источника электрической энергии (рис. 1.4,a)
напряжение U между его полюсами A и B и ток I через нагрузку
зависят от сопротивления нагрузки Rн∗. Действительно, для цепи,
изображённой на рис. 1.4,a, по закону Ома имеем∗∗

I =
E

r + Rн
= var;
U = IRн =
ERн
r + Rн
= var .
(1.1)

Одновременная зависимость и тока, и напряжения от нагрузочного

∗ Стрелка на символе резистора означает, что допускается плавное изменение его сопротивления.

∗∗ Здесь и далее var означает изменение соответствующей величины (I
или U) при изменении нагрузочного сопротивления Rн, а const — независимость соответствующей величины от Rн.

Основные законы и общие методы анализа электрических цепей
9

Рис. 1.4. Реальный источник (a) и идеальные источники (b, v) электрической
энергии

сопротивления объясняется наличием конечного внутреннего сопротивления источника r. В теории электрических цепей введены понятия идеальных источников: источника напряжения и источника тока.
У источника напряжения внутреннее сопротивление r равно нулю, поэтому он обеспечивает на нагрузочном элементе Rн напряжение
U, значение которого не зависит от Rн и всегда равно ЭДС (рис. 1.4,b):

U = IRн = E

Rн
Rн = E = const .

Однако ток I в полной мере зависит от сопротивления нагрузки:

I = E

Rн
= var .

У источника тока внутреннее сопротивление равно бесконечности, и поэтому этот источник обеспечивает в той ветви, где он расположен, ток, независящий от внешнего сопротивления Rн (рис. 1.4,v):
J = const. Однако напряжение между его полюсами зависит от сопротивления нагрузки: U = JRн = var.

Рис. 1.5. Две модели реального источника

Модель
реального
источника
можно представить либо в виде источника напряжения, последовательно с которым включено резистивное
сопротивление (рис. 1.5,a), либо в виде источника тока, параллельно с которым включено то же самое сопротивление (рис. 1.5,b). Можно показать, что схему с источником напряжения (рис. 1.5,a) несложно преобразовать в эквивалентную ей схему
с источником тока (рис. 1.5,b) и наоборот, использовав соотношения
J = E/r или E = Jr. При этом, как отмечено ранее, сопротивления
r в обеих схемах имеют одно и то же значение.
Из соотношений (1.1) следует, что
• при Rн = 0 имеем U = 0 и I = E/r;
• при Rн = ∞ имеем U = E и I = 0;
• величины U и I связаны линейной зависимостью.

Г л а в а 1

Рис. 1.6. Вольт-амперные характеристики источников электрической энергии

Следовательно, по двум точкам можно построить график вольтамперной
характеристики
реального
источника,
показанный
на
рис. 1.6,a. На рис. 1.6,b и v сплошными линиями изображены графики ВАХ источника тока и источника напряжения, а пунктирными —
ВАХ моделей реальных источников с различными значениями внутренних сопротивлений при r2 > r1 > 0 и r2 < r1 < ∞ соответственно.
1.1.2.5. Кроме рассмотренных независимых источников электрической энергии, существуют зависимые источники (например, электронные лампы, транзисторы, операционные усилители).
Значение
ЭДС или номинала тока идеализированного зависимого источника
зависит от напряжения или тока в другой ветви электрической цепи. Различают четыре типа зависимых источников:
• источник
напряжения,
управляемый
напряжением
(ИНУН,
рис. 1.7,a);
• источник напряжения, управляемый током (ИНУТ, рис. 1.7,b);
• источник тока, управляемый напряжением (ИТУН, рис. 1.7,v);
• источник тока, управляемый током (ИТУТ, рис. 1.7,g).
Реальный зависимый источник может быть представлен в электрической цепи тем или иным идеализированным зависимым источником. Коэффициенты κ, r, g и β определяются конструкцией заме
Рис. 1.7. Электрические модели зависимых источников
Рис. 1.8. Транзистор и его схемы
замещения