РЕШЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА ДЛЯ ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКОГО ЦИЛИНДРА


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МЕХАНИКА



2008. Вып.2

УДК 536.421.4:532.781
© И. М. Цун


            РЕШЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
            ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
            ДЛЯ ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКОГО ЦИЛИНДРА


Сравниваются последствия двух допущений о форме фронта кристаллизации термически тонкого цилиндра.
Ключевые слова: динамическая задача Стефана, экструдирование расплавленного металла, фронт кристаллизации, термически тонкий цилиндр, длина участка кристаллизации.


   Экструдирование расплавленного металла с последующей кристаллизацией в математической физике формализуется динамической задачей Стефана. В этом процессе капиллярную струю диаметром 0,2^3 мм направляют в охлаждающую среду. В литературе имеются два допущения о форме фронта кристаллизации цилиндра: плоской и двумерной осесимметричной поверхностях фронта.
   Н. Р. Берманом и другими авторами [1] рассматриваласв кристаллизация цилиндра диаметром 5 ^ 30 мкм, движущаяся со скоростью до 8 м/с. Фронт кристаллизации при этом был аксиоматизирован как плоскость, перпендикулярная оси цилиндра. В источниках указывается (см., например, [2]) на значительную грубость этого допущения. Так, Ш. Кэвеш [2] определял металлографическим методом направление нормали к фронту кристаллизации в цинковой литой проволоке диаметром 267 мкм, полученной экструдированием расплава в воду. У поверхности угол между нормалью и осью проволоки составлял 79°. Таким образом, фронт кристаллизации следует считать двумерным, что и предполагаем.
   Пусть диск толщиной 41 переместится совместно с цилиндром на величину 4z = v 4т в направлении движения, где v — скорость движения, 4т — время. При этом в диске за счет кристаллизации кольца толщиной 4r выделяется количество тепла 4Q = —4НПл2nr 4r 41 рж, а потери тепла составят 4Q = q 2nrY. 41 4т, где 4НПЛ — теплота кристаллизации, q — удельный тепловой поток r внешней поверхности, r — текущий радиус фронта кристаллизации, rB = r 1 у/(r/r 1)² + [1 — (r/r 1)²] (р^/рт} — текущий внешний радиус кристаллизирующегося жидкого цилиндра, r 1 — начальный радиус жидкого цилиндра, рж, рт — плотности металла в жидком и твердом состояниях. Приравнивая два выражения для 4Q и переходя к пределу при 4т ^ 0, получим уравнение, описывающее продвижение фронта кристаллизации по сечению цилиндра:

	

dR dr

  рж 4L d! V¹ ⁺ -2 Q’ где R = r/r ¹ ’ Q = p^/p^ d ¹ = ² r ¹ •