Инженерные методы расчета задач теплообмена

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
Ю. В. Видин, В. В. Иванов, Р. В. Казаков 
 
 
 
 
 
Инженерные методы расчета  
задач теплообмена 
 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2014 

УДК 536.24 
ББК 22.365.55 
В421 
 
Рецензент: 
В. С. Логинов, доктор физико-математических наук,  
профессор кафедры теоретической и промышленной теплотехники  
Томского национального исследовательского  
Политехнического университета 
 
 
 
 
Видин, Ю. В.  
В421 
 
Инженерные методы расчета задач теплообмена : монография / Ю. В. Видин, В. В. Иванов, Р. В. Казаков. – Красноярск : 
Сиб. федер. ун-т, 2014. – 168 с. 
 
 
ISBN 978-5-7638-2940-2 
 
 
 
 
В монографии изложены приближенные аналитические методы решения 
линейных и нелинейных задач теплопереноса. 
Критерием ценности любого приближенного аналитического способа и 
его конкурентоспособности по сравнению с другими известными методами 
должен служить комплекс свойств, главными из которых следует считать 
простоту в использовании при разумной точности итоговых результатов, логичность построения и достаточную общность, т. е. возможность примене-
ния к широкому классу задач и процессов. Последнее качество особенно 
важно в связи с тем, что одинаковые закономерности встречаются в различных областях науки и техники и метод, получивший распространение в одной отрасли, успешно может быть внедрен и в других. 
Книга предназначена научным сотрудникам, аспирантам, инженерамэнергетикам. 
 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
 

УДК 536.24 
ББК 22.365.55 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-2940-2 
© Сибирский федеральный университет, 2014 

Введение 

При инженерном рассмотрении задач, как правило, главной целью является получение итогового результата в численном виде. 
Большинство проблем, с которыми приходится сталкиваться современному инженеру-исследователю, могут быть описаны достаточно 
общими дифференциальными уравнениями в частных производных. 
При этом, естественно, реальное физическое явление, или процесс, и 
его математическую модель разделяет ряд допущений и упрощений. 
Чем эти упрощения значительнее, тем легче проводить теоретический 
анализ изучаемого явления. Однако результаты могут оказаться сравнительно грубым приближением фактической действительности. Поэтому на первом этапе, наиболее ответственном, необходимо составить оптимальное математическое описание исследуемого технологического процесса или объекта. На втором, не менее сложном, этапе 
следует получить аналитическое решение поставленной задачи. Методы, предложенные в настоящей книге, позволяют во многих случаях «обойти» трудности этой проблемы. 
Основные способы интегрирования задач технической физики 
можно распределить на следующие группы: 
• строгие аналитические; 
• приближенные аналитические; 
• конечно-разностные; 
• методы моделирования. 
Строгие аналитические методы дают возможность исследовать 
ограниченный круг линейных задач. Обычно точные зависимости выражаются очень сложными функциональными рядами, которые затруднительно использовать в расчетной практике. Но в то же время 
эти решения служат эталоном при проверке точности других методов. 
В последние годы широкое распространение получили всевозможные численные методы анализа. Это, в первую очередь, связано с 
бурным прогрессом в области электронно-вычислительной техники. 
Применение сеточных способов объясняется также их универсальностью. Методы численного анализа позволяют учитывать многие факторы, в частности переменность физических свойств веществ, наличие фазовых превращений, нелинейность и несимметричность граничных условий и т. п. При использовании конечно-разностных способов решение системы дифференциальных уравнений сводится к 

решению системы алгебраических уравнений. При этом значения искомой функции выдаются для некоторых фиксированных точек объема тела и для определенных моментов времени. Развернутая теория 
численных схем изложена в монографии А. А. Самарского [66]. Здесь 
же приведена наиболее полная библиография по этому вопросу. 
К разновидностям численных методов может быть отнесен и зональный принцип [2, 72, 78]. Согласно этому способу температурное 
поле в пространстве рассматривается в виде непрерывной функциональной зависимости, дающей плавное изменение искомой функции от 
координаты. Расчет же температурного поля по времени производится 
шагами, причем на протяжении одного шага условия на поверхности 
исследуемого объекта полагаются неизменными и линейными. 
При другом подходе тело разбивается на ряд тонких слоев так, 
что температура по их сечению может считаться везде одинаковой. 
Это дает возможность дифференциальное уравнение в частных производных заменить эквивалентной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда температурное поле получается непрерывным по времени, но дискретным в пространстве [61]. 
Приближенный анализ многих задач теплообмена может быть 
осуществлен на основе методов математического моделирования, получивших так же, как и численные, широкое применение в последнее 
время при изучении разнообразных инженерных вопросов. 
Использование моделирования для исследования явлений переноса тепла основывается на формальной одинаковости математических систем уравнений, описывающих различные по своей физической сущности процессы. В настоящее время теория моделирования 
достаточно разработана и проведена ее глубокая экспериментальная 
проверка. 
Решение исследуемой задачи на аналоговом устройстве проводится экспериментальным путем, и результаты опыта переводятся в 
параметры исходной системы уравнений. Наибольшее распространение имеют модели, построенные на электрической и гидравлической 
аналогиях. 
Методы математических аналогий так же, как и численные, обладают большой универсальностью, но меньшей по сравнению с ними точностью. Эти способы особенно рационально использовать при 
изучении температурных полей и тепловых потоков в деталях и конструкциях сложной конфигурации. Специфические свойства этих методов и техника моделирования подробно изложены в монографиях 
[39, 52, 54]. 

Значительные успехи в развитии методов численного интегрирования и моделирования отнюдь не преуменьшают важности приближенных аналитических методов, а создают благоприятные предпосылки для их совершенствования. Противопоставление и взаимное 
исключение этих методов не правомерно. Очевидно, в определенных 
условиях целесообразно применять первые, в других – вторые. Иногда может оказаться, что их разумно использовать на некоторых этапах совместно. Обычно при исследовании многопараметрических 
процессов более предпочтительным является аналитический способ, 
так как применение в этом случае сеточных не рационально, потому 
что дорогостоящий (по затратам средств и времени) числовой материал, получаемый с помощью ЭВМ, практически не поддается анализу и обобщению и, следовательно, не может, быть представлен в виде, 
удобном для широкого инженерного использования. Конечноразностные методы эффективны при выполнении большой серии однотипных расчетов. К ним приходится также обращаться в тех случаях, когда требуется провести отдельный конкретный расчет для задачи, решение которой аналитическими методами чрезвычайно сложно 
или вообще невозможно. 
Требования к точности приближенных методов должны быть 
разумными. По-видимому, нет смысла применять сверхточные решения, если исходные параметры процесса заданы с существенной 
погрешностью, что в реальных условиях обычно и имеет место. 
Кроме того, не всегда ошибка, присущая методу, может быть строго 
оценена из-за сложности проведения теоретического анализа. Однако это не должно служить основанием для игнорирования такого 
метода. В настоящее время в научных и инженерных исследованиях 
используются расчетные методики, не имеющие достаточно глубокого обоснования их точности. Как правило, в этих случаях границы применимости рекомендуемого метода устанавливаются путем 
сравнения расчетов по приближенным решениям с результатами 
численного или математического интегрирования. Если возможно 
получить строгое аналитическое решение, то сопоставление производится с ним. 
Число существующих аналитических приближенных методов 
достаточно обширно. Главными из них являются следующие: интегральные, вариационные, разложения искомой функции в ряд по степеням известной величины, считающейся малой (метод малого параметра),сведения задач переноса к интегральным уравнениям. Теория 
этих методов, их математические возможности весьма полно изложе

ны в [30, 31, 44, 70, 77, 79] и специальных работах [34, 49, 56, 64, 65, 
68, 69]. 
Однако нужно иметь в виду, что не всегда эти методы оказываются эффективными, а иногда и вообще не могут быть применены. 
Постоянное расширение круга теплофизических задач, встречающихся в практике, вызывает необходимость модернизации, развития известных методов интегрирования и создания новых, более универсальных. 

ГЛАВА 1. Приближенные аналитические  
методы решения линейных задач  
теплопереноса 

В большинстве случаев строгое аналитическое решение для 
температурного поля выражается в виде бесконечных рядов, сходимость которых в начальные моменты времени очень медленная. Поэтому использовать их в расчетной практике на иррегулярной стадии 
прогрева весьма затруднительно. Как показал А. В. Лыков [55], с помощью операционного метода Лапласа можно получить достаточно 
простые приближенные зависимости, пригодные для нахождения 
температурного поля при малых значениях Fo. Однако такие формулы удается вывести для относительно несложных задач (тело однородное, равномерная начальная температура, неизменность граничных условий, отсутствие внутренних источников тепла и т. д.). В связи с этим разработка инженерных методов расчета распределения потенциалов на начальном этапе для реальных условий нагрева заслуживает внимания и должна считаться актуальной. 
Известно, что род граничных условий существенно влияет на 
математическую форму аналитического решения. Представляется целесообразным всестороннее изучить тепловые задачи с граничными 
условиями второго и третьего рода. Граничные условия первого рода 
методически правильнее считать частным случаем условий третьего 
рода. 

1.1. Нестационарная теплопроводность  
однородных тел при граничных условиях  
второго рода 

Рассмотрим процесс нагрева одномерного тела с неравномерным 
начальным полем температуры от внешнего источника, тепловой поток которого в общем случае зависит от времени. Тогда строгое решение будет иметь вид 

( ,
)
Г
( )d
Г
( )d

Fo
Г
Fo
Q

1
−1

0
0
ϑ ψ
=
ψ
ϑ ψ
ψ +
η
η+
∫
∫
 

2

1
0
( )[
( )exp
d

Fo

n
n
n
n
K
A
Q
∞

=
+
ψ
η
μ η η+
∑
∫
 

 

1
1
2

0
( )
( )d
]exp
Г
n
n
n
B
K
Fo
−
+
ψ
ϑ ψ
ψ
ψ
−μ
∫
.  
(1.1) 

Здесь собственные функции Кn(ψ) и характеристические числа μn 
зависят от конфигурации тела. В табл. 1.1 приводятся их значения.  
Выражения для коэффициентов An и Bn даны в табл. 1.2. 

ТАБЛИЦА 1.1 
Вид собственных функций Кn(ψ)  
и значения характеристических чисел μn 

Параметр 

Пластина (Г=1) 
Цилиндр (Г=2) 
Шар (Г=3) 

Кn(ψ) 
Корни μn 
уравнения
ctg
0
∞ =
 
Кn(ψ) 
Корни μn 
уравнения

1( )
0
I μ =
Кn(ψ) 
Корни μn 
уравнения
tg
0
μ =
 

1n  
cos
n
μ ψ 

3,1416 

0(
)
n
J μ ψ

3,8317 
sinμ ψ
μ ψ

n

n
 

4,4934 

2n  
6,2832 
7,0156 
7,7253 

3n  
9,4248 
10,1735 
10,9041 

ТАБЛИЦА 1.2 
Значения коэффициентов An и Bn 

Коэффициенты 
Г=1 
Г=2 
Г=3 

An 
2( 1)n
−
 

0

2
(
)
n
J μ

2
cos
n
μ
 

Bn 
2 
2
0

2
(
)
n
J μ
2
2
cos
n
n
μ
μ
 

В том случае, когда 
0
( )
const
T
T
ψ =
=
и 
(
)
Q
const
Q Fo =
=
, с помощью операционного метода удается получить простые инженерные 
соотношения для нахождения поля температуры в начальный период 
прогрева [47]:  
неограниченная пластина (Г=1): 

 
0
1
1
( ,
)
2
ierfc
ierfc
2
2
Fo
Q Fo

Fo
Fo

− ψ
+ ψ
⎛
⎞
ϑ ψ
= ϑ +
+
⎜
⎟
⎝
⎠
, 
(1.2) 

неограниченный цилиндр (Г = 2): 

   
2
0
1
(1 3 )
1
( ,
)
[2
ierfc
i erfc
...]
2
2
2
Fo
Fo
Fo
Q
Fo
Fo
− ψ
+ ψ
− ψ
ϑ ψ
= ϑ +
+
+
ψ
ψ ψ
,  (1.3) 

сферическое тело (Г = 3): 

0
1
1
( ,
)
[exp
erfc
2
Q
Fo
Fo
Fo
Fo
⎛
⎞
− ψ
− ψ
⎛
⎞
ϑ ψ
= ϑ +
−
×
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
ψ
ψ
⎝
⎠
⎝
⎠
 

 

1
erfc
]
2 Fo

− ψ
−
 
(1.4) 

При малых величинах Fo эти формулы обладают высокой точностью. В общем же случае таких зависимостей не имеется. 
Приведем решение (1.1), использовав принцип интегрирования 
по частям, к несколько иному виду. Выполняя эту операцию по отношению к интегралам, входящим в бесконечные суммы уравнения 
(1.1), имеем 

1
2
0
( ,
)
Г
( )d
(
)
( )
Q (
)P ( )

Fo
Fo
Q
Q Fo P
Fo
′
ϑ ψ
= ϑ+
η
η+
ψ +
ψ −
∫
 

[
]

2
2
1
(0)
(1)
( )exp
n
n
n
n
n

A
Q
K
Fo

∞

=
′
−
− ϑ
×
ψ
−μ
−
μ
∑
 

[
]
(0)
(1)
(Г 1)
(1)
(Г 1)
(1)
Q′
′′′
′′
′
−
+ ϑ
+
−
ϑ
−
−
ϑ
× 

2
4
1
( )exp
n
n
n
n
n

A K
Fo

∞

=
×
ψ
−μ
+
μ
∑
 

Fo
2
2
4
1
0
( )exp
[
( )
exp
d
n
n
n
n
n
n

A K
Fo
Q

∞

=
′′
+
ψ
−μ
×
η ×
μ η η+
μ
∑
∫
 

1
1
2

0
[
2(Г
1)
Г
IV
Г
n
B
−
−
′′′
+
ψ
ϑ
+
−
ϑ ψ
+
∫
 

 

2
(
1)(Г
3)
]
( )d
].
n
Г
K
′′
′
⎛
⎞
ϑ
ϑ
+
−
−
−
ψ
ψ
⎜
⎟
ψ
ψ
⎝
⎠
 
(1.5)