Наймарк М.А.

Теория

представлений групп

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 512
ББК 22.144
Н 20

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 09-01-07068

Н а й м а р к
М. А.
Теория
представлений
групп.
—
2-е
изд.
—
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 576 с. — ISBN 978-5-9221-1260-4.

В книге в доступной форме, но без снижения математической строгости,
излагаются основы теории конечномерных представлений групп, в частности,
представлений конечных групп, компактных групп и классических групп,
а также излагаются основные понятия и предложения теории групп Ли и их
конечномерных представлений.
Для студентов старших курсов и аспирантов математических, физических
и химических факультетов, научных работников: математиков и физиков-
теоретиков.

ISBN 978-5-9221-1260-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2010

c⃝ М. А. Наймарк, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Пр ед и с л о в и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
8

Г л а в а I. Алгебраические основы теорий представлений . . . . .. .. .. .
9
§ 1. Основные понятия теории групп. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .
9
§ 2. Основные понятия и простейшие предложения теории представле-
ний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
31

Г л а в а II.
Представления конечных групп . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
67
§ 1. Основные предложения теории представлений конечных групп . .. .
67
§ 2. Групповая алгебра конечной группы . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
88
§ 3. Представления симметрической группы . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
105
§ 4. Индуцированные представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
118
§ 5. Представления группы SL(2, Fq) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
123

Г л а в а III.
Основные понятия теории представлений топологиче-
ских групп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
138
§ 1. Топологические пространства. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
138
§ 2. Топологические группы. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
145
§ 3. Определение конечномерного представления топологической груп-
пы; примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
156
§ 4. Общее определение представления топологической группы . . .. .. .. .
164

Г л а в а IV. Представления компактных групп . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
172
§ 1. Компактные топологические группы . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
172
§ 2. Представления компактных групп. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .
189
§ 3. Групповая алгебра компактной группы . . . . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
218

Г л а в а V. Конечномерные
представления
связных
разрешимых
групп; теорема Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
235
§ 1. Связные топологические группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
235
§ 2. Разрешимые и нильпотентные группы . . . . . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
243
§ 3. Теорема Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
248

Оглавление

Г л а в а VI. Конечномерные представления полной линейной груп-
пы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
251

§ 1. Некоторые подгруппы группы G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
251
§ 2. Описание неприводимых конечномерных представлений группы
GL(n, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
259
§ 3. Разложение конечномерного представления группы GL(n, C) на
неприводимые представления . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .
276

Г л а в а VII. Конечномерные представления комплексных классиче-
ских групп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
286

§ 1. Комплексные классические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
286
§ 2. Конечномерные непрерывные представления комплексных класси-
ческих групп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
296

Г л а в а VIII.
Накрывающие пространства и односвязные группы . .
303

§ 1. Накрывающие пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
303
§ 2. Односвязные пространства и принцип монодромии . . . . . . . .. .. .. .
306
§ 3. Накрывающие группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
312
§ 4. Односвязность некоторых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
316

Г л а в а IX.
Основные понятия теории групп и алгебр Ли. . . . .. .. .. .
325

§ 1. Аналитические многообразия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
325
§ 2. Алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
339
§ 3. Группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
343

Г л а в а X. Алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
369

§ 1. Некоторые определения. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
369
§ 2. Представления нильпотентных и разрешимых алгебр Ли . . . .. .. .. .
374
§ 3. Радикалы алгебры Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
381
§ 4. Теория реплик. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
385
§ 5. Форма Киллинга. Критерии разрешимости и полупростоты алгебры
Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
389
§ 6. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли . . . . . . . .. .. .. .
393
§ 7. Полупростые алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
402
§ 8. Подалгебры Картана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
407
§ 9. Структура полупростых алгебр Ли . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
411
§ 10. Классификация простых алгебр Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
428
§ 11. Группа Вейля полупростой алгебры Ли . . . . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
450
§ 12. Линейные представления полупростых комплексных алгебр Ли. .. .
453
§ 13. Характеры конечномерных неприводимых представлений полупро-
стой алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
461

Оглавление
7

§ 14. Вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли . .. .. .. .
481
§ 15. Общие теоремы об алгебрах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
497

Г л а в а XI.
Группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
501
§ 1. Формула Кемпбелла–Хаусдорфа . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .
501
§ 2. Теорема Картана . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
511
§ 3. Третья теорема Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
515
§ 4. Некоторые свойства групп Ли в целом . . . . . . . . . .. . . . . . .. .. .. .
520
§ 5. Разложение Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
530
§ 6. Разложение Ивасавы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
536
§ 7. Универсальная накрывающая полупростой компактной группы Ли
543
§ 8. Комплексные полупростые группы Ли и их вещественные формы
548

Г л а в а XII.
Конечномерные неприводимые представления
полу-
простых групп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
556
§ 1. Представления комплексных полупростых групп Ли . . . .. . . .. .. .. .
556
§ 2. Представления вещественных полупростых групп Ли . . . . . .. .. .. .
562

С п и с о к л и т е р а т у р ы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
564
Пр ед м е т н ы й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .
569

Предисловие

Эта книга написана для студентов старших курсов, аспирантов
и научных работников — математиков, физиков и химиков, желающих
изучить основы теории конечномерных представлений групп.
Предполагается, что читателю известны основные сведения из ли-
нейной алгебры, математического анализа и теории аналитических
функций. Все остальные, нужные для чтения этой книги сведения
излагаются в самой книге, в том месте, где они используются, или
снабжаются библиографическими указаниями.
Первые две главы посвящены алгебраическим аспектам теории
представлений и представлениям конечных групп. В следующих главах
излагаются основные сведения из теории представлений топологиче-
ских групп, теории групп и алгебр Ли и их представлений.
Такое расположение материала помогает читателю постепенно усва-
ивать все более трудные вопросы теории. С другой стороны, по мнению
автора, именно алгебра является основой для всей излагаемой теории.
В связи с ограничением в объеме в этой книге изложена тео-
рия только конечномерных представлений. Автор намерен изложить
в другой книге более общую теорию, включающую бесконечномерные
представления.
Автор выражает глубокую благодарность А. И. Штерну, который
оказал большую помощь в работе над рукописью не только как редак-
тор, но фактически как соавтор. Им написаны главы VIII–XI, § 2, 3
главы IV, § 4, 5 главы II, п. 2.10 главы I.
Автор глубоко благодарен А. А. Кириллову, прочитавшему книгу
в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний.

Май, 1975 г.
М. А. Наймарк

Г л а в а I

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИЙ

ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

В этой главе изложены те понятия и предложения теории представ-
лений, которые носят чисто алгебраический характер и, следовательно,
не используют топологические и аналитические факты. Строго говоря,
к каждому вводимому в гл. I понятию следовало бы добавить эпитет
«алгебраический», например, алгебраическая группа, алгебраический
изоморфизм, алгебраическая эквивалентность и т. д. Однако ради крат-
кости мы будем в гл. I этот эпитет только подразумевать и использо-
вать его в других главах лишь в тех местах, где может возникнуть
недоразумение.

§ 1. Основные понятия теории групп

1.1. Определение группы. Множество G называется группой,
если определено произведение g1g2 каждых двух элементов g1, g2 ∈ G,
удовлетворяющее следующим условиям 1):
а) g1g2 ∈ G для любых g1, g2 ∈ G;
б) (g1g2) g3 = g1(g2g3) для любых g1, g2, g3 ∈ G;
в) в G существует единственный элемент e такой, что eg = ge = g
для каждого g ∈ G; e называется единичным элементом группы G;
г) для каждого элемента g ∈ G существует один и только один
элемент, обозначаемый g −1, такой, что gg −1 = g −1g = e; элемент g −1
называется обратным к g. Очевидно, g есть обратный к g −1, так что
(g −1)−1 = g.
Группа G называется коммутативной (или абелевой), если g1g2 =
= g2g1 для всех g1, g2 ∈ G, и некоммутативной в противном случае.
В случае коммутативной группы вместо g1g2 пишут также g1 + g2,
и тогда единичный элемент обозначают через 0. При таком обозначении
произведения говорят, что группа задана в аддитивной записи.

1) В действительности, эти условия можно ослабить. Например, достаточ-
но в условии в) потребовать только существование единичного элемента.
Его единственность отсюда следует. Действительно, если e, e′ — единичные
элементы, то e′e = e′ и e′e = e и потому e′ = e (подробнее см., например,
Курош [1]). Однако минимальный список аксиом, определяющих группу, нам
не понадобится.

Гл. I. Алгебраические основы теорий представлений

Группа называется конечной, если число ее элементов конечно;
в противном случае группа называется бесконечной. Число элементов
конечной группы G называется ее порядком и обозначается |G|. Конеч-
ную группу G, состоящую из элементов g1, ... , gm, m = |G|, можно
задать, записав ее таблицу умножения:

g1
g2
...
gm

g1
g1g1
g1g2
...
g1gm

g2
g2g1
g2g2
...
g2gm

.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

gm
gmg1 gmg2 ...
gmgm
,

в которой на пересечении j-й строки и k-гo столбца написано произве-
дение gjgk. Эта таблица называется таблицей Кэли группы G.

Пр и м е р ы. 1. Совокупность R1 1) всех действительных чисел есть
группа, если определить в ней умножение как сложение действитель-
ных чисел, эта группа называется аддитивной группой действитель-
ных чисел. Единичным элементом этой группы является число нуль,
а обратным элементом к числу x — число −x. Аналогично определяет-
ся аддитивная группа C1 комплексных чисел.

2. Совокупность R1
0 всех отличных от нуля действительных чи-
сел образует группу, если определить в ней умножение как обычное
умножение чисел. Эта группа называется мультипликативной груп-
пой действительных чисел. Единицей этой группы является число 1,
а обратным к числу x — число 1/x. Аналогично определяется мульти-
пликативная группа C1
0 комплексных чисел.

3. Множество G0 = {1, i, −1, −i} с обычным умножением —
группа.
Таблица Кэли этой группы имеет вид

1
i −1
−i

1
1
i −1
−i

i
i −1
−i
1

−1 −1
−i
1
i

−i
−i
1
i −1
.

1) Как правило, буква R1 будет обозначать в дальнейшем аддитивную
группу вещественных чисел, а буква R будет использоваться в случаях, когда
множество вещественных чисел рассматривается как поле.

§ 1. Основные понятия теории групп
11

4. Пусть X — линейное пространство, GX — совокупность всех
линейных операторов в X, взаимно однозначно отображающих X на
X. Определим в GX умножение как умножение операторов. Тогда
GX — группа. Единичным элементом здесь является единичный опе-
ратор 1 (т. е. такой, что 1x = x для всех x ∈ X), а обратным элемен-
том к оператору A — обратный оператор A−1. Если X конечномерно
(dim X = n < ∞), то в фиксированном базисе в X операторы A ∈ GX
задаются невырожденными (т. е. с определителем ̸= 0) матрицами n-го
порядка.
5. Совокупность всех комплексных матриц n-го порядка с не рав-
ным нулю определителем есть группа, если определить в ней умноже-
ние как умножение матриц; эта группа обычно обозначается GL(n, C).
Единицей в ней является единичная матрица, а обратным элементом
к матрице a является обратная матрица a−1. Аналогично определяется
группа GL(n, R) всех вещественных матриц n-го порядка с не равным
нулю определителем. При n ⩾ 2 эти группы некоммутативны.
6. Пусть SL(n, C) — совокупность всех комплексных матриц n-го
порядка с определителем, равным единице. Определим в SL(n, C)
произведение как произведение матриц. Тогда SL(n, C) — группа,
ибо при умножении матриц определители перемножаются. Аналогично
определяется группа SL(n, R) всех вещественных матриц n-го порядка
с определителем, равным единице.
7. Пусть G′
0 — совокупность всех поворотов квадрата ABCD вокруг
его центра O, совмещающих этот квадрат с ним самим. Всего таких
различных 1) поворотов имеется четыре: поворот α0 на угол 0, поворот
α1 на угол 90◦, поворот α2 на угол 180◦ и поворот α3 на угол 270◦ (все
против часовой стрелки), переводящие соответственно точку A в A, B,
C, D.
Произведением αβ двух поворотов α, β называется результат при-
менения сначала поворота β, а затем — поворота α. Нетрудно прове-
рить, что при таком определении произведения G′
0 — группа четвертого
порядка.
8. Совокупность N всех целых чисел есть группа, если определить
в N умножение как сложение целых чисел. Эта группа называется
группой целых чисел.
9. Пусть Np — совокупность всех целых чисел, кратных p, где p —
фиксированное натуральное число; Np = {np, n ∈ N}. Определим в Np
умножение как сложение чисел из Np. Очевидно, Np — группа.
10. Пусть Ωp — совокупность всех корней p-й степени из единицы,
где p — фиксированное натуральное число. Как известно, оно состоит
из чисел ei2πk/p, k = 0, 1, ... , p − 1. Произведением чисел из Ωp будем

1) Два поворота не считаются различными, если приведут к одному и тому
же положению квадрата.

Гл. I. Алгебраические основы теорий представлений

считать их обычное произведение. Очевидно, что тогда Ωp — группа.
Отметим, что Ω4 = G0 (см. пример 3).
Группы в примерах 1–3, 7–10 коммутативны. Группы в примерах
3, 7 — конечные четвертого порядка, в примере 10 — конечная p-го
порядка, группы в примерах 1, 2, 4–6, 8, 9 — бесконечные.
1.2. Подгруппы; смежные классы. Множество H ⊂ G называется
подгруппой группы G (кратко, подгруппой в G), если из g1, g2 ∈ H
следует, что также gg −1
2
∈ H. В частности, при g1 = g2 мы получа-
ем, что e ∈ H, и потому из g1, g2 ∈ H следует, что также g −1
1
∈ H
и g1g2 ∈ H. Следовательно, при том же определении умножения, что
и в G, множество H также является группой.
Так, R1, R1
0, GL(n, R), N являются подгруппами в C1, C1
0,
GL(n, C), R1 соответственно (см. примеры 1, 2, 5, 8 п. 1.1); SL(n, C)
и SL(n, R) — подгруппы в GL(n, C) и GL(n, R), SL(n, R) — подгруп-
па в SL(n, C) (см. примеры 5, 6 п. 1.1). Очевидно, исходная группа G,
а также и подмножество {e}, состоящее из одного единичного элемента
группы G, являются ее подгруппами; они называются тривиальными
подгруппами группы G; все другие подгруппы в G (если они суще-
ствуют) называются ее нетривиальными подгруппами.
Очевидно также, что пересечение любого множества подгрупп в G
есть также подгруппа в G; в частности, пересечение всех подгрупп,
содержащих данное множество S ⊂ G, есть подгруппа, и притом ми-
нимальная подгруппа, содержащая S; она обозначается G(S).
I. Пусть H — совокупность всевозможных конечных произведе-
ний элементов gi ∈ S и их обратных g −1
i
; тогда G(S) = H.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, H — подгруппа, содержащая S;
с другой стороны, всякая подгруппа, содержащая S, содержит H;
следовательно, G(S) = H в силу минимальности G(S).
В том случае, когда S состоит из одного элемента g0, подгруппа
G(g0) называется циклической; очевидно, G(g0) состоит из всевоз-
можных степеней g n
0 , n = 0, ±1, ±2, ...; некоторые из них могут
совпадать. Если все эти степени различны, то g0 называется элемен-
том бесконечного порядка, a G(g0) — циклической группой беско-
нечного порядка. Если же среди этих степеней есть хотя бы две
равные, например, g l
0 = g m
0
при m > l, то g m−l
0
= e; в этом случае
g0 называется элементом конечного порядка. Наименьшее из целых
положительных чисел p, для которых g 0
j = e, называется порядком
элемента g0. Очевидно, в случае элемента g0 конечного порядка p,
группа G(g0) состоит из элементов e, g0, g 2
0 , ... , g p−1
0
, которые все
различны; G(g0) называется тогда циклической группой p-го порядка.
Группа G называется циклической, если существует такой элемент
g0 ∈ G, что G = G(g0).
Пусть H — подгруппа группы G; всякое множество Hg0 (т. е.
совокупность всех элементов hg0, h ∈ H) называется правым смежным
классом группы G по подгруппе H; аналогично определяются левые

§ 1. Основные понятия теории групп
13

смежные классы. Каждый элемент смежного класса называется его
представителем; класс с представителем g обозначим {g}, или g.
Если g — представитель класса Hg0, то Hg = Hg0. Действительно,
g = hg0 при некотором h ∈ H и потому Hg0 = H(hg0) = (Hh) g0 =
= Hg0. Отсюда следует, что различные правые (левые) смежные клас-
сы не имеют общих элементов. Кроме того, каждый элемент g ∈ G
принадлежит какому-то правому смежному классу, именно классу Hg.
Следовательно,
II. Вся группа G распадается на попарно не пересекающиеся
правые смежные классы.
Очевидно, аналогичное предложение имеет место и для левых
смежных классов.
Множество всех правых смежных классов группы G по подгруп-
пе H, рассматриваемых каждый как один элемент, называется фактор-
пространством или пространством смежных классов группы G по
подгруппе H и обозначается G/H. Число элементов в G/H, если оно
конечно, называется индексом подгруппы H в G и обычно обозначает-
ся |G/H|. Если группа G конечна, то и H конечна и число элементов
каждого смежного класса Hg одно и то же и совпадает с |H|. Отсюда
и из II заключаем, что |G| = |H| |G/H|. Следовательно,
III. Порядок подгруппы конечной группы есть делитель порядка
группы.
П р и м е р ы. 1. Пусть G = R1, H = N (см. примеры 1 и 8 п. 1.1),
а каждый класс g ∈ R1/N имеет вид gα = {n + α, α ∈ N}, где α —
фиксированное для данного класса число из интервала 0 ⩽ α < 1; α на-
зывается дробной частью числа n + α. Таким образом, класс в R1/N
однозначно определяется дробной частью любого своего представителя.
2. Пусть G = N;
 = N2 (см. примеры 8, 9 п. 1.1), т. е. H —
подгруппа в N, состоящая из всех четных чисел; N/H состоит из
двух элементов: g0 = H, g1 = {1 + h, h ∈ H}. Другими словами, g0 —
совокупность всех четных чисел, g1 — совокупность всех нечетных
чисел.
3.
Пусть G = N, H = Np, N/H
состоит
из p классов
g0,
g1, ... , gp−1, где gk = {k + h, h ∈ H}, k = 0, 1, ... , p − 1. Эти классы
называются классами вычетов по модулю p.
1.3. Нормальный делитель; фактор-группа. Подгруппа H груп-
пы G называется нормальным делителем группы G (кратко, — нор-
мальным делителем в G), если для каждого элемента g ∈ G

gH = Hg,
(1.3.1)

т. е. для каждых g ∈ G, h1 ∈ H существует такой элемент h2 ∈ H,
что ghl = h2g. Очевидно, соотношение (1.3.1) означает, что каждый
левый смежный класс gH совпадает с правым cмежным классом Hg.
Если группа G коммутативна, то, очевидно, каждая подгруппа в G

Гл. I. Алгебраические основы теорий представлений

является нормальным делителем группы G. В общем же случае могут
существовать подгруппы, не являющиеся нормальными делителями.
Очевидно также, что исходная группа G, а также множество {e},
состоящее из одного единичного элемента e ∈ G, является нормальным
делителем в G. Они называются тривиальными нормальными дели-
телями группы G, а все другие ее нормальные делители (если они
существуют) называются нетривиальными нормальными делителями
в G. Группа G называется простой, если она не имеет нетривиальных
нормальных делителей. Если H — нормальный делитель в G, то
в фактор-пространстве G/H можно определить умножение следующим
образом: произведением (Hg1)(Hg2) классов Hg1, Hg2 называется
класс Hg1g2. Это определение не зависит от выбора представите-
лей классов Hg1, Hg2. Действительно, если g ′
1 ∈ Hg1, g ′
2 ∈ Hg2, то
g ′
1 = h1g1, g ′
2 = h2g2 и в силу (1.3.1) glh2 = h′
2g1 при некотором
h′
2 ∈ H. Отсюда g ′
1g ′
2 = (h1g1)(h2g2) = h1(g1h2) g2 = h1h′
2g1g2; следо-
вательно, Hg ′
1g ′
2 = Hh1h′
2g1g2 = Hg1g2. Нетрудно также проверить,
что определенное таким образом произведение удовлетворяет условиям
а)–в) п. 1.1, причем единичным элементом e в G/H является e = H;
следовательно, при этом определении произведения G/H — группа.
Она называется фактор-группой группы G по нормальному делителю
H и обозначается по-прежнему G/H.

П р и м е р ы
и
у п р а ж н е н и я. 1. Пусть G = GL(n, C), H =
= SL(n, C) (см. пример 5 п. 1.1); тогда H — нормальный делитель в G.
Действительно, для любых g ∈ G, h ∈ H имеем det(ghg −1) = det g ·×
× det h · det g −1 = det h = 1 и потому ghg −1 ∈ H.
Найдем фактор-группу G/H. Если g1 и g2 принадлежат одному
классу g ∈ G/H, то g2 = hg1 и потому det g2 = det h · det g1 = det g1.
Обратно, если det g2 = det g1, то det(g2g −1
1 ) = 1 и потому g2g −1
1
∈ H,
т. е. g2 и g1 принадлежат одному и тому же классу g ∈ G/H. Поэтому
класс g однозначно задается числом λg = det g, где g ∈ g. Из опре-
деления произведения в G/H следует, что λg1g2 = det(g1g2) = det g1 ·×
× det g2, где g1 ∈ g1, g2 ∈ g2, т. е. λg1g2 = λg1 · λg2. Очевидно, что
соответствие g → λg есть взаимно однозначное отображение группы
G/H = GL(n, C)/SL(n, C) на группу C1
0 (см. пример 2 п. 1.1). Анало-
гично, соответствие g → λg = det g при g ∈ g ∈ GL(n, R)/SL(n, R)
есть взаимно однозначное отображение группы GL(n, R)/SL(n, R) на
группу R1
0, удовлетворяющее условию λg1g2 = λg1λg2.

2. Пусть K2 — совокупность всех матриц k =

λ−1
0
µ
λ

, а Z2 —

совокупность всех матриц z =

1
0
µ
1

, где λ, µ — комплексные числа

и λ ̸= 0. Тогда K2 — подгруппа в SL(2, C) и Z2 — нормальный
делитель в K2. Доказать, что 1) Z2 — нормальный делитель в K2;
2) каждый элемент k ∈ K2/Z2 однозначно задается числом λk = λ, где

§ 1. Основные понятия теории групп
15

k =

λ−1
0
µ
λ

 ∈ k; 3) соответствие k → λk есть взаимно однозначное

отображение группы K2/Z2 на группу C1
0 (см. пример 2 п. 1.1).

3. Пусть G = R1, H = Np (см. примеры 1 и 8 п. 1.1). Так как
R1 коммутативна, то N — нормальный делитель в R1; R1/N состоит
из классов g = {n + α, n ∈ N}, 0 ⩽ α < 1 (см. пример 1 п. 1.2).
По определению умножения в R1/N

gαgβ = {n + α + β, n ∈ N} = {n + γ, n ∈ N} = gγ,

где γ = [α + β].

4. Пусть G = N, H = Np (см. примеры 8, 9 п. 1.1); N коммутативна
и потому Np — нормальный делитель в N, а N/Np = {g0, g1, ...
... , gp−1} (см. пример 3 п. 1.2). Из определения умножения в N/Np
следует, что gkgl = {k + l + pn, n ∈ N} = {m + pn, n ∈ N} = gm, m —
остаток от деления k + l на p. Группа N/Np называется группой
вычетов по модулю p.

1.4. Центр. Совокупность всех элементов группы G, перестано-
вочных с каждым элементом из G, называется центром группы G
и обозначается Z(G). Таким образом, элемент g0 из G тогда и только
тогда принадлежит Z(G), когда gg0 = g0g для всех g ∈ G. Z(G) —
подгруппа группы G.
Действительно, если g1, g2 ∈ Z(G), то g1g = gg1 и g2g = gg2 для
всех g ∈ G. Отсюда g −1g −1
2
= g −1
2 g −1, и так как g −1 пробегает всю
группу G, то также g −1
2
∈ Z(G); отсюда для каждого g ∈ G имеем
g1g −1
2 g = g1gg −1
2
= gg1g −1
2 ; следовательно, g1g −1
2
∈ Z(G).

Элементы из Z(G) перестановочны с каждым элементом из G;
в частности, они перестановочны между собой. Следовательно, Z(G) —
коммутативная группа. Если сама группа G коммутативна, то
Z(G) = G. Z(G) — нормальный делитель группы G. Действительно,
для каждого g ∈ G имеем gZ(G) = Z(G) g.

П р и м е р ы и у п р а ж н е н и я. 1. Пусть G = GL(n, C) (см. при-
мер 5 п. 1.1). Найдем Z(G). Если z ∈ Z(G), то

gz = zg
для всех
g ∈ G.
(1.4.1)

Полагая в (1.4.1)

g =



λ1
λ2
...
λn



,