Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Ч. 3. Четырехполюсники и трехфазные цепи

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Ю. НЕЙМАН

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ 

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Часть 3

Четырехполюсники и трехфазные цепи

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета 

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 621.3.011.71(075.8)

Н 46

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. А.В. Сапсалев,
канд. техн. наук, доц. Ю.В. Петренко

Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники

для студентов дневного и заочного отделений

электротехнических специальностей

Нейман В.Ю.

Н 46
Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. 

Ч. 3. Четырехполюсники и трехфазные цепи: учеб. пособие / 
В.Ю. Нейман. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. – 144 с.

ISBN 978-5-7782-1547-4

В пособии на значительном числе примеров решения типовых за
дач рассматриваются методы расчета четырехполюсников и трехфазных цепей. Предлагаются аналогичные задачи для самостоятельного 
решения с ответами.

Показаны приемы использования персонального компьютера для 

автоматизации расчетов электрических цепей.

Структура и содержание пособия соответствуют программе курса 

«Теоретические основы электротехники» для электротехнических специальностей вузов.

Предназначено для самостоятельной работы студентов, а также 

может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.

УДК 621.3.011.71(075.8)

ISBN 978-5-7782-1547-4
© Нейман В.Ю., 2010
© Новосибирский государственный 

технический университет, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................................................................
4

1. Основы расчета четырехполюсников......................................................
5

2. Расчет трехфазных цепей при симметричной нагрузке ........................
26

3. Расчет трехфазных цепей при несимметричной нагрузке.....................
48

4. Расчет аварийных режимов работы трехфазных цепей.........................
65

5. Мощность трехфазной системы, измерения активной мощности ........
85

6. Расчет трехфазных цепей с несимметричной системой ЭДС. Основы 

метода симметричных составляющих......................................................
105

7. Применение математической программной среды  MathCAD при рас
четах четырехполюсников и режимов работы трехфазных цепей .....
119

Библиографический список....................................................................... ....143

ВВЕДЕНИЕ

Цель пособия – оказать помощь студентам, изучающим курс «Тео
ретические основы электротехники», в их самостоятельной работе. 

Усвоение материала из разделов курса «Четырехполюсники» и 

«Трехфазные цепи» становится возможным только с приобретением 
практических навыков, получаемых в процессе решения задач.

Так же как и первые две части пособия, третья состоит из отдель
ных разделов, разбитых по темам в соответствии с программой курса. 
Часть задач рассмотрена с их решением. В задачах, приведенных для 
самостоятельного решения, даны только ответы.

По каждой из задач изложен подробный алгоритм расчета, который 

поясняется на примере четырех и более задач с их решениями.

Приведенные примеры расчета электрических цепей соответствуют 

типовым задачам, которые могут оказаться полезными при подготовке 
к практическим занятиям и выполнении домашних заданий, а также 
при подготовке к экзаменам, обладают требуемой сложностью и трудоемкостью.

В качестве помощи студентам в изучении дисциплины рассмотре
ны приемы работы на компьютере с целью автоматизации расчетов 
электрических цепей в среде MathCAD. Предполагается, что учащийся 
имеет начальное представление о математическом пакете MathCAD из 
пройденного курса информатики. Это позволяет переложить выполнение рутинных математических расчетов на компьютер.

1. ОСНОВЫ РАСЧЕТА 

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Соотношения между напряжениями и токами на входе и выходе 

четырехполюсника связаны между собой основными уравнениями. 
Это позволяет, не производя расчетов токов и напряжений внутри заданной схемы, получить аналитическую зависимость между токами и 
напряжениями на входе и выходе четырехполюсника. 

Расчет пассивных четырехполюсников сводится к определению ко
эффициентов, связывающих его уравнения, характеристических параметров и передаточных свойств четырехполюсников.

Задача 1.1

Определить коэффициенты четырехполюсника (рис. 1.1) для урав
нений, составленных по А-форме, записать матрицу А-параметров 
при 
100 Ом
r
, 
25Ом
L
x
, 
50 Ом
С
x
. Выполнить проверку уравне
ния связи коэффициентов.

Рис. 1.1
Рис. 1.2

1
U

r

2
U
11
I
22
I

C
jx

L
jx

1
I
2
I

1I
2I

1
2
r
C
x

L
x

1I
2I

1
2

Решение

1. Решение получим приведением уравнений, составленных по ме
тоду контурных токов, к виду основных уравнений четырехполюсника, 
записанных в  А-форме:

2
1
2
U
AU
BI ,

1
2
2
I
CU
DI .

Положительные направления напряжений, токов и обходов конту
ров зададим в соответствии с расчетной схемой, приведенной на 
рис. 1.2.

2. По методу контурных токов для схемы (рис. 1.2) получим систе
му уравнений 

11
22
1

22
11
2

,

.

L
L

L
C
L

I
r
jx
I
jx
U

I
jx
jx
I
jx
U

Переходя от контурных токов к действительным токам 
1
11
I
I
, 

2
22
I
I
, получим

1
2
1

1
2
2

,

.

L
L

L
L
C

I
r
jx
I jx
U

I jx
I
jx
jx
U

Из второго уравнения системы выразим ток 
1I
и подставим в пер
вое уравнение. После некоторых преобразований системы приведем ее 
к уравнениям четырехполюсника А-формы:

2
1
2
1
;
C

C

L
L

jx r
r
U
U
r
jx
I
jx
jx

1
2
2

1
1
C

L
L

jx
I
U
I
jx
jx
.

3. Из сравнения полученной системы уравнений с основными 

уравнениями четырехполюсника, записанными в A-форме при заданных числовых значениях, находим А-параметры:

100
1
1
1
4
25
L

r
A
j
jx
j
,

50 100
100
50
25

C

C

L

jx r
j
B
r
jx
j
jx
j

100
50 Ом
j
,

1
1
0,04 См
25
L

С
j
jx
j
,

50
1
1
1
25

C

L

jx
j
D
jx
j
.

4. Матрица А-параметров равна

1
4
100
50

0,04
1

A B
j
j
A
C D
j
.

5. Проверка выполнения уравнения связи коэффициентов

1
4
1
100
50
0,04
1
AD
BC
j
j
j
.

Уравнение связи коэффициентов выполняется.

Задача 1.2

Определить коэффициенты уравнений  А-формы и записать систе
му уравнений несимметричного Т-образного четырехполюсника 
(рис. 1.3) в матричной форме. Найти характеристические сопротивления и постоянную передачи четырехполюсника, если 
4 Ом
r
, 

1
6 Ом
L
x
, 
2
7 Ом
L
x
, 
2Ом
M
x
, 
3 Ом
С
x
.

Решение

1. Решение получим для схемы с развязкой индуктивных связей 

(рис. 1.4)  приведением уравнений, составленных по методу контурных 

Рис. 1.3
Рис. 1.4

токов, к виду основных уравнений четырехполюсника, записанных в 
А-форме:

2
1
2
U
AU
BI ,

1
2
2
I
CU
DI .

2. С учетом заданных положительных направлений контурных то
ков 
11
I
, 
22
I
для расчетной схемы (рис. 1.4) получим

11
1
3
22
3
1

22
2
3
11
3
2

,

,

I
Z
Z
I
Z
U

I
Z
Z
I
Z
U

где 
1
1
6
2
4 Ом
L
M
Z
jx
jx
j
j
j
;

2
4
2 Ом
M
Z
r
jx
j
;

2
3
7
2
3
2 Ом
L
M
C
Z
jx
jx
jx
j
j
j
j
.

Переходя к действительный токам, полагая в схеме (рис. 1.4) 

1
11
I
I
, 
2
22
I
I
, получим

1
1
3
22
3
1

1
3
22
2
3
2

,
I
Z
Z
I
Z
U

I Z
I
Z
Z
U .

1
U

r

2
U
11
I
22
I

2
L
jx

1
I
2
I

1I
2I

1
2

C
jx

1
L
jx
M
jx
M
jx

M
jx
1
L
x

1

1I

2

2I

2
L
x

C
x

r

M
x

Выразим ток 
1I
из второго уравнения системы и подставим в пер
вое уравнение. После приведения системы к уравнениям четырехполюсника А-формы окончательно получаем

1
1
2

1
2
2
1
2

3
3

1
,
Z
Z Z
U
U
Z
Z
I
Z
Z

2

1
2
2

3
3

1
1
Z
I
U
I
Z
Z
.

3. Из сравнения полученных уравнений четырехполюсника по 

рис. 1.4 с основными уравнениями, записанными в А-форме для коэффициентов, получим

1

3

4
1
1
3
2

Z
j
A
Z
j
,

1
2

1
2

3

4 4
2
4
4
2
12
10 Ом
2

j
j
Z Z
B
Z
Z
j
j
j
Z
j
,

3

1
1
0,5 См
2
С
j
Z
j
,

2

3

4
2
1
1
2
2 Ом
2

Z
j
D
j
Z
j
.

Проверка: 
3 2
2
12
10
0,5
1
AD
BC
j
j
j
.

4. Система уравнений четырехполюсника в матричной форме

1
2

1
2

3
12
10

0,5 2
2

U
U
j

I
I
j
j
.

5. Характеристическое (входное) сопротивление со стороны пер
вичных выводов 1 и 1I четырехполюсника (рис. 1.3):

о

1
о

46,86 39,8
3 12
10

0,5 2
2
1,41 135

c

j
AB
Z
C D
j
j

о
о
33,23 174,8
5,76 87,4 Ом .

Характеристическое (входное) сопротивление со стороны вторич
ных выводов 2 и 2I четырехполюсника (рис. 1.3):

о

2
о

44,18
5,2
2
2 12
10

0,5 3
1,5
90

c

j
j
D B
Z
C A
j

о
о
29,45 84,8
5,43 42,4 Ом .

6. Постоянная передачи четырехполюсника:

ln
a
jb
AD
BC

ln
3 2
2
12
10
0,5
j
j
j

о
о
ln
8,48
45
7,81 50,2

o
23,8
о
о
о
ln 2,91 22,5
2,79
25,1
ln 5,7
23,8
ln 5,7
j
e

o
23,8
= ln 5,7
ln
1,74
0,42
j
e
j
, 

где  
1,74 Нп
a
– собственное затухание четырехполюсника;

о
23,8
0,42 рад.
b
– коэффициент фазы.

Задача 1.3

Для схемы (рис. 1.5) по значениям напряжений и токов в режимах 

холостого хода и короткого замыкания определить коэффициенты четырехполюсника и записать матрицу A-параметров, если 
15 Ом
r
, 

10 Ом
L
x
, 
5Ом
С
x
.

Рис. 1.5
Рис. 1.6

Решение

1. Система основных уравнений, записанных в A-форме при пита
нии четырехполюсника со стороны первичных выводов, имеет вид

2
1
2
U
AU
BI ,

1
2
2
I
CU
DI .

Комплексные коэффициенты A, B , C и D могут быть определе
ны на основе анализа состояния заданной схемы при разомкнутых и 
замкнутых вторичных выводах и соответствующих этим состояниям 
уравнениям четырехполюсника.

2. В режиме холостого хода (рис. 1.6) 
2x
0
I
основные уравнения 

приводятся к виду

1x
2x
U
AU
;

1x
2x
I
CU
,

откуда  
1x

2x

U
A
U
,  
1x

2x

I
C
U
.

Из схемы (рис. 1.6) находим:

1x

1x

L
C

U
I
r
jx
jx
,  
1x
1x
L
C
U
I
r
jx
jx
,  
1x
2x
C
U
I
jx
.

r

1I
2I

1
2

1х
U
2х
U

1х
I
2х
0
I

C
jx

L
jx
r

1I
2I

1
2

C
x
1
U
2
U

L
jx