Под общей редакцией проф. В.И. Ермакова

Москва 
ИНФРА-М 
2010

ОБЩИЙ КУРС 
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Учебник

Рекомендовано 
Министерством образования Российской Федерации 
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по экономическим специальностям

Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под 
общ. ред. В.И. Ермакова. — М.: ИНФРА-М, 2010. — 656 с. — (Высшее 
образование).

ISBN 978-5-16-003986-2

В учебник включены основные разделы математики, необходи-
мые для подготовки экономистов различных специализаций.
Предназначен для студентов экономических факультетов вузов.

ББК  22.11.я73

ISBN 978-5-16-003986-2 
© Авторский коллектив, 1999, 2000

О27

УДК 330.115(075.8)
ББК  22.11.я73
О27

Авторский коллектив:
Б.М. Рудык (раздел А);
В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевичюс и Г.И. Бобрик (раздел В);
В.И. Матвеев и И.М. Гладких (раздел С);
Р.В. Сагитов и В.Г. Шершнев (раздел D)

Рецензенты:
кафедра статистики Московского банковского института
(зав. кафедрой — д-р экон. наук, проф. Б.И. Искаков)
и проф. В.И. Пучков

Предисловие

Профессиональный уровень экономиста во многом зависит от того, ос-
воил ли он современный математический аппарат и умеет ли использо-
вать его при анализе сложных экономических процессов и принятии ре-
шений. Поэтому в подготовке экономистов широкого профиля изучение
математики занимает значительное место.
Математическая подготовка экономиста имеет свои особенности, свя-
занные со спецификой экономических задач, а также с широким разнооб-
разием подходов к их решению.
Задачи практической и теоретической экономики очень разносторон-
ни. К ним относятся, в первую очередь, методы сбора и обработки статис-
тической информации, а также оценка состояния и перспективы разви-
тия экономических процессов. Применяются различные способы исполь-
зования полученной информации – от простого логического анализа до
составления сложных экономико-математических моделей и разработки
математического аппарата их исследования.
Неопределенность экономических процессов, значительный случай-
ный разброс и большой объем получаемой информации обусловливают
необходимость привлечения к исследованию экономических задач теории
вероятностей и математической статистики.
Наряду с моделированием экономистам необходимо изучать теорию оп-
тимизации, которая представлена математическими методами исследова-
ния операций, в том числе линейным программированием.
Отмеченные направления требуют знания основополагающего мате-
матического аппарата: основ линейной алгебры и математического ана-
лиза, теории вероятностей и математического программирования.
Представленный курс высшей математики включает разделы, изучае-
мые экономистами различных специализаций – от общеэкономических и
финансовых до экономической кибернетики и информатики.
Данный учебник написан преподавателями кафедры высшей мате-
матики Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова.

Материал разбит на четыре раздела.
Первый раздел (А) посвящен линейной алгебре, второй, наиболее ем-
кий, раздел (В) – математическому анализу. Третий раздел (С) включает
элементы теории вероятностей и математической статистики. Четвертый
раздел (D) посвящен линейному программированию.
Каждый раздел имеет собственную нумерацию. Ссылки на номера па-
раграфов, таблиц, рисунков, теорем и формул относятся только к данно-
му разделу.
Для удобства читателей особыми значками отмечены начало и ко-
нец теорем и отдельных выводов (❑  и  ■), следствий (✧  и  ✦) и приме-
ров (❍  и  ●).

А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ

И МАТРИЦ

1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Линейные уравнения

Линейным уравнением относительно неизвестных x1, x2, ..., xn назы-
вается выражение вида

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b,
(1.1)

где a1, a2, ..., an, b – числа. При этом a1, a2, ..., an называются коэффи-
циентами уравнения, а b – свободным членом.
Последовательность n чисел k1, k2, ..., kn называется решением урав-
нения (1.1), если после подстановки

x1 = k1, x2 = k2, ..., xn = kn
в данное уравнение оно превратится в верное числовое соотношение.

❍ Пример. Уравнение

2x1 + 3x2 – 5x3 + x4 = 4
(1.2)

обладает решением 2, 1, 1, 2, так как после подстановки x1 = 2, x2 = 1,
x3 = 1, x4 = 2 получаем верное числовое соотношение 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 –
– 5 ⋅ 1 + 2 = 4. Последовательность же чисел 3, 2, 0, 1 не является
решением уравнения (1.2), так как полученное после подстановки
x1 = 3, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 1 числовое соотношение 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 – 5 ⋅ 0 +
+ 1 = 4 не верно. ●

Подчеркнем, что последовательность чисел k1, k2, ..., kn составляет
одно решение уравнения (1.1) (а не n решений), поэтому решение урав-
нения (1.1) будем записывать в круглых скобках в виде (k1, k2, ..., kn).
Решения уравнения (1.1)

K = (k1, k2, ..., kn), 
L = (l1, l2, ..., ln)

будем считать о д и н а к о в ы м и  только в том случае, когда

k1 = l1, k2 = l2, ..., kn = ln.
(1.3)

Если же условие (1.3) не выполняется, решения считаются  р а з -
л и ч н ы м и.
Два линейных уравнения называются равносильными, если их реше-
ния совпадают. Легко доказать, что если данное уравнение подвергнуть
одному из следующих преобразований:
а) перенос членов из одной части уравнения в другую;
б) почленное умножение обеих частей уравнения на одно и то же
отличное от нуля число, –
то получим уравнение, равносильное данному.
Решить уравнение (1.1) – значит найти все его решения или устано-
вить, что их нет. В зависимости от того, каковы числа a1, ..., an, b, мож-
но определить, имеет уравнение (1.1) решение или нет, а также коли-
чество этих решений. Возможны только следующие три случая:
1) a1 = ... = an = 0, b  0;
2) a1 = ... = an = 0, b = 0;
3) хотя бы одно из чисел a1, ..., an отлично от нуля.
В  п е р в о м  случае уравнение (1.1) имеет вид

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, b  0
(1.4)

и не имеет решений. В самом деле, пусть (k1, k2, ..., kn) – решение этого
уравнения, тогда

0k1 + 0k2 + ... + 0kn = b

должно быть верным числовым соотношением, что невозможно, так как
b  0. Противоречие возникает, если предположить, что уравнение (1.4)
имеет решение. Следовательно, оно не имеет решений. Будем называть
уравнение (1.4) противоречивым.
Во  в т о р о м  случае уравнение (1.1) имеет вид

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0
(1.5)

и каждая последовательность (k1, k2, ..., kn) является решением этого
уравнения. Поэтому уравнение (1.5) будем называть тривиальным.
В  т р е т ь е м  случае предположим, для определенности, что a1  0.
Перенесем все члены из левой части уравнения (1.1), кроме члена a1x1,
в правую часть, а затем разделим обе части уравнения на коэффициент
a1  0. Тогда получим

x1 = c0 + c2x2 + ... + cnxn,
(1.6)

где c0 = b/a1, 
ci = –ai/a1, 
i = 2, 3, ..., n.
Уравнения (1.1) и (1.6) равносильны, поэтому для того, чтобы ре-
шить уравнение (1.1), достаточно найти все решения уравнения (1.6).
Неизвестное x1 назовем разрешенным, а неизвестные x2, ..., xn – свобод-
ными.

❑  Теорема 1.1. Придадим свободным неизвестным x2, ..., xn уравне-
ния (1.6) произвольные значения k2, ..., kn. Тогда:
1) можно построить решение K уравнения (1.6), у которого значения
свободных неизвестных равны соответственно k2, ..., kn;
2) если у решений K и L уравнения (1.6) значения свободных неиз-
вестных совпадают, то и сами решения совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Если значения свободных неизвестных
x2 = k2, ..., xn = kn подставить в (1.6), то для неизвестного x1 получим
значение
x1 = c0 + c2k2 + ... + cnkn.

Ясно, что

K = (c0 + c2k2 + ... + cnkn, k2, ..., kn)

является решением уравнения (1.6).
2. Пусть у решения L = (l1, l2, ..., ln) уравнения (1.6) значения сво-
бодных неизвестных равны соответственно k2, ..., kn, т. е.
l2 = k2, ..., ln = kn.
(1.7)
Так как L – решение уравнения (1.6), то
l1 = c0 + c2l2 + ... + cnln
или с учетом (1.7)
l1 = c0 + c2k2 + ... + cnkn.
(1.8)
Из условий (1.7) и (1.8) следует, что решения K и L совпадают. ■

Уравнение (1.6) имеет бесконечное множество решений, так как
значения для неизвестных x2, ..., xn можно выбирать бесконечным чис-
лом различных способов.
Итак, при n > 1 уравнение (1.1) не имеет решений либо имеет бес-
конечное множество решений.

1.2. Системы линейных уравнений

Пусть дана система m линейных уравнений относительно неизвест-
ных x1, x2, ..., xn. Уравнения системы будем считать пронумерованны-
ми – первое, второе и т. д. Коэффициенты при неизвестных в i-м урав-
нении системы обозначим через ai1, ai2, ..., ain (первый индекс указыва-
ет номер уравнения, второй – номер неизвестного, при котором стоит
этот коэффициент), а свободный член i-го уравнения – через bi. Тогда
система линейных уравнений будет выглядеть следующим образом:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,
(1.9)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm.

⎧

⎨
⎪

⎩
⎪

Числа a11, a12, ..., amn называются коэффициентами системы уравне-
ний, а числа b1, b2, ..., bm – свободными числами.
Заметим, что в системе уравнений (1.9) количество неизвестных
может  не совпадать с числом уравнений.
Систему линейных уравнений (1.9) можно представить также в виде
таблицы
x1
x2
...
xn
a11
a12
...
a1n
b1
a21
a22
...
a2n
b2
...
...
...
...
...
am1
am2
...
amn
bm
в i-й строке которoй, 1 ≤ i ≤ m, записаны коэффициенты при неизве-
стных и свободный член i-го уравнения системы (1.9).
Решением системы уравнений (1.9) называется такая последователь-
ность чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравне-
ния системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения
или убедиться в том, что их нет.
В дальнейшем увидим, что возможны только следующие три случая:
1) система уравнений несовместна, т. е. не имеет ни одного решения;
2) система уравнений является определенной, т. е. имеет единствен-
ное решение;
3) система уравнений является неопределенной, т. е. имеет бесчис-
ленное множество решений.
Система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение, называ-
ется совместной.
Пусть система уравнений содержит противоречивое уравнение. Тог-
да каждое решение этой системы должно быть решением противоречи-
вого уравнения. Так как противоречивое уравнение не имеет решений,
то система, содержащая противоречивое уравнение, несовместна.
Чтобы найти все решения системы уравнений или установить их от-
сутствие, следует преобразовать данную систему уравнений, стремясь по-
лучить систему уравнений, все решения которой находятся без труда
(в дальнейшем такую систему уравнений будем называть разрешенной).
Если при этом использовать только такие преобразования, которые пере-
водят систему уравнений в равносильную, то полученная разрешенная и
исходная системы уравнений равносильны. Следовательно, все найден-
ные решения разрешенной системы будут решениями исходной системы.
Заметим, что не всегда данную систему уравнений удается преобра-
зовать в разрешенную. Если в процессе преобразований получена сис-
тема, содержащая противоречивое уравнение, то эта система и, значит,
равносильная ей исходная система не имеют решений.
Намеченная программа решения системы линейных уравнений бу-
дет реализована в параграфах 1.3–1.5.

1.3. Разрешенные системы линейных уравнений

В этом параграфе рассмотрены системы уравнений специального
вида, которые играют большую роль при решении произвольных сис-
тем уравнений.
Неизвестное xi называется разрешенным, если какое-нибудь уравне-
ние системы содержит неизвестное xi с коэффициентом, равным еди-
нице, а во все остальные уравнения системы неизвестное xi не входит,
т. е. входит с коэффициентом, равным нулю.

❍  Пример. Система уравнений

x1 
+ 3x3 
– 3x5 
= 5,

–7x3 + x4 + x5 
= 8,
(1.10)

x2 + 2x3 
– x5 + x6 = 1

содержит разрешенные неизвестные x1, x2, x4, x6. Неизвестные же x3 и
x5 не являются разрешенными.  ●

Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвест-
ное, то такую систему называют разрешенной. Ясно, что система урав-
нений (1.10) является разрешенной.
Из каждого уравнения разрешенной системы выберем по одному
разрешенному неизвестному. Тогда получим набор попарно различных
неизвестных, который называется набором разрешенных неизвестных
данной разрешенной системы. Заметим, что набор разрешенных неиз-
вестных в общем случае определен неоднозначно. Например, систе-
ма (1.10) обладает двумя наборами разрешенных неизвестных x1, x4, x2
и x1, x4, x6.
Неизвестные системы линейных уравнений, которые не входят в
данный набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Если
в системе (1.10) фиксирован набор разрешенных неизвестных x1, x4, x2,
то неизвестные x3, x5, x6 являются свободными. Если же в системе (1.10)
x1, x4, x6 – набор разрешенных неизвестных, то свободными являются
неизвестные x2, x3 и x5.
Пусть теперь разрешенная система уравнений содержит неизвест-
ные x1, x2, ..., xn и предположим, для определенности, что набор неиз-
вестных x1, x2, ..., xr является набором разрешенных неизвестных дан-
ной системы. Тогда возможны два случая: 1) r = n; 2) r < n.
В  п е р в о м  случае все неизвестные системы x1, x2, ..., xn образуют
набор разрешенных неизвестных. Из определения набора разрешенных
неизвестных следует, что данная система содержит n уравнений. Для
определенности предположим, что первое уравнение системы содер-
жит неизвестное x1, второе – x2 и т. д., n-e уравнение содержит неизве-
стное xn. Из определения разрешенных неизвестных вытекает, что не-

⎧
⎨⎪

⎩⎪

известное x1 содержится только в первом уравнении, неизвестное x2 –
только во втором и т. д., неизвестное xn содержится только в n-м урав-
нении. Отсюда следует, что первое уравнение системы содержит только
неизвестное x1, второе – только x2 и т. д., n-e уравнение содержит толь-
ко неизвестное xn, т. е. разрешенная система имеет вид

x1 = b1,
x2 = b2,
. . . . .
xn = bn.

Ясно, что эта система уравнений имеет единственное решение
(b1, b2, ..., bn).
Во  в т о р о м  случае (r < n) разрешенная система состоит из r урав-
нений вида

x1 + a1 r +1xr +1 + ... + a1nxn = b1,

x2 + a2 r +1xr +1 + ... + a2nxn = b2,
(1.11)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xr + ar r +1xr +1 + ... + arnxn = br.

Неизвестные xr +1, ..., xn являются свободными неизвестными систе-
мы (1.11).
Выразим разрешенные неизвестные x1, x2, ..., xr системы (1.11) через
ее свободные неизвестные xr +1, ..., xn:

x1 = b1 – a1 r +1xr +1 – ... – a1nxn,

x2 = b2 – a2 r +1xr +1 – ... – a2nxn,
(1.12)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xr = br – ar  r +1xr +1 – ... – arnxn.

Ясно, что системы уравнений (1.11) и (1.12) равносильны.

❑ Теорема 1.2 (свойство свободных неизвестных). Придадим свобод-
ным неизвестным xr +1, ..., xn системы уравнений (1.12) произвольные
значения kr +1, ..., kn.
Тогда:
1) можно построить решение K системы уравнений (1.12), у которо-
го значения свободных неизвестных равны соответственно kr +1, ..., kn;
2) если у решений K и L системы уравнений (1.12) значения свобод-
ных неизвестных совпадают, то и сами решения совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если значения свободных неизвестных xr +1 =
= kr +1, ..., xn = kn подставить в систему уравнений (1.12), то для разре-
шенных неизвестных x1, ..., xr получим следующие значения:

⎧
⎨
⎪

⎩⎪

⎧

⎨
⎪

⎩
⎪

⎧

⎨
⎪

⎩
⎪