Эконометрика: 
теоретические  
основы

Москва 
ИНФРА-М 
2016

Учебное пособие

Рекомендовано  
Учебно-методическим объединением по образованию 
в области статистики и антикризисного управления 
в качестве учебного пособия для магистров и аспирантов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению  
«Экономика» и другим экономическим направлениям

Г.а. соколов

ББК 65в6я73
УДК 330.115(075.8)
 
С59

Соколов Г.А.
Эконометрика: теоретические основы: Учеб. пособие. — М.:  
ИНФРА-М, 2016. — 216 с. + Доп. материалы [Электронный 
ресурс; Режим доступа http://www.znanium.com]. — (Высшее 
образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-010851-3 (print)
ISBN 978-5-16-102855-1 (online)
Пособие состоит из четырех взаимосвязанных разделов. Первый 
содержит изложение вероятностно-статистического анализа одно-, 
дву- и многомерных нормальных законов распределения вероятно-
стей. Второй посвящен регрессионному анализу и включает изложе-
ние классической регрессионной модели и ее обобщений на случай 
корреляционных измерений, моделей неполного ранга, векторных 
функций регрессии и т.д. В третьем разделе рассматриваются во-
просы, относящиеся к теории случайных процессов, в частности 
к временным рядам. Значительное внимание уделяется вероятност-
ным и статистическим аспектам стационарных функций. Четвертый 
раздел посвящен байесовскому подходу к решению основных задач 
эконометрики. Первые три раздела снабжены примерами и задачами. 
Для студентов, аспирантов, практиков и научных работников эко-
номико-математических и общеэкономических специальностей.

ББК 65в6я73

Р е ц е н з е н т ы:
д-р техн. наук, проф. А.М. Жандаров,
д-р техн. наук, проф. Н.Г. Назаров

С59

© Соколов Г.А., 2012
ISBN 978-5-16-010851-3 (print)
ISBN 978-5-16-102855-1 (online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны  
в электронно-библиотечной системе znanium  
(www.znanium.com)

Подписано в печать 04.06.2015.  
Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton.  
Усл. печ. л. 14,0. Уч.-изд. л. 13,66 + 4,2 ЭБС.
ППТ96. Заказ №   .
ТК 164100-503663-250811

Предисловие

Эконометрика как прикладная экономико-математическая дис-

циплина базируется на трех «китах»:
• вероятностно-статистический анализ нормальных законов рас-

пределения вероятностей;

• регрессионный анализ;
• теория случайных процессов.
По этой причине настоящее учебное пособие состоит из трех ос-
новных разделов и одного дополнительного. Данное издание можно 
рассматривать как дальнейшее развитие ряда учебных пособий, на-
писанных с участием автора, в частности «Введение в регрессионный 
анализ и планирование регрессионных экспериментов в экономике», 
«Теория случайных процессов для экономистов».

Каждый раздел сопровождается своим введением, своими прило-

жениями и своим задачником. Читатель может изучать разделы не-
зависимо друг от друга, обращаясь к другим разделам лишь при со-
ответствующих ссылках. Стиль изложения достаточно стандартен: 
сначала рассматриваются теоретико-вероятностные вопросы, а затем 
на их основе предлагается статистический анализ. Принцип изло-
жения — разумная математическая строгость обоснования полу-
чаемых результатов без вредного упрощенчества, но и без не менее 
вредного академизма. При этом предполагается, что читатель знаком 
с математическим анализом и линейной алгеброй в объеме стан-
дартных курсов для студентов экономико-математического профиля, 
а также с теорией вероятностей и математической статистикой, на-
пример, по учебникам [20, 22] из списка литературы к разделу 1.

Первый раздел содержит изложение вероятностно-статистиче-

ского анализа одно-, дву- и многомерных нормальных законов рас-
пределения вероятностей. В основе теоретико-вероятностного ана-
лиза лежит аппарат производящих функций, который позволил су-
щественно упростить изложение многих вопросов, в частности 
многомерных частных и условных законов распределения, много-
мерных и многопараметрических функций регрессии, множе-
ственных и частных коэффициентов корреляции и др. Статисти-
ческий анализ включает построение оценок всех основных характе-
ристик нормальных законов методом максимального правдоподобия 
с последующим построением доверительных интервалов и областей, 
а также критериев проверки параметрических гипотез.

Второй раздел посвящен регрессионному анализу. Основное вни-

мание уделяется одно-, дву- и многопараметрическим классическим 
регрессионным моделям как ортогональным, так и неортого-
нальным. Рассматриваются также некоторые виды нелинейных, 
многомерных моделей с коррелированными измерениями, непол-
ного ранга и др. В рамках статистического анализа строятся точечные 
и интервальные оценки параметров и параметрических функций, 
критерии проверки гипотез с обоснованием их конечных и асимпто-
тических свойств.

Все экономические процессы производства, снабжения, эксплуа-

тации, потребления и т.д. протекают во времени и пространстве и 
носят случайный характер, поэтому естественно в качестве их мате-
матических моделей использовать случайные функции (процессы). 
Их анализ рассматривается в третьем разделе, состоящем из двух 
глав. Первая посвящена определению и свойствам в основном чис-
ловых характеристик случайных функций, как нестационарных, так 
и стационарных в широком смысле. Вводится в рассмотрение их 
каноническое разложение, которое позволяет найти каноническое 
разложение ковариационной функции, значительно упрощает 
анализ линейных преобразований и сумм случайных функций. 
Спектральное разложение самой функции, ее дисперсии и ковариа-
ционной функции рассматривается как одна из форм канонического 
разложения. Оценка числовых характеристик осуществляется ме-
тодом максимального правдоподобия с использованием свойства 
эргодичности. Во второй главе отмечается ряд особенностей вре-
менных рядов как разновидности стационарных случайных 
функций.

По глубокому убеждению автора, эффективный статистический 

анализ временных рядов возможен лишь при наличии достаточно 
полной априорной информации. Универсальным способом фор-
мального задания последней является априорное распределение 
вероятностей неизвестных параметров. По этой причине в состав 
книги включен дополнительный, четвертый раздел с кратким изло-
жением байесовского подхода к решению таких задач экономет-
рики, как точечная и интервальная оценка, построение критериев 
проверки гипотез для параметров самого нормального закона рас-
пределения, а также параметров регрессионной модели и времен-
ного ряда. 

Первые три раздела снабжены сборниками примеров и задач.
Для формул, задач, рисунков и таблиц основного текста принята 

тройная нумерация (i.j.k), где i — номер раздела, j — номер главы 

(введения), k — порядковый номер, а для формул приложения — ну-
мерация вида iПj.k, где i — номер раздела, j — номер приложения, 
k — порядковый номер формулы.

Автор считает своим долгом выразить благодарность глубокоува-

жаемым рецензентам и коллегам по кафедре высшей математики за 
их критические замечания и благожелательное отношение к книге в 
целом, а своим ученикам и родственникам за помощь в оформлении 
книги и подготовке сборников задач. Особой признательности за-
служивают сотрудники издательства, которым удалось рукопись пре-
вратить в учебное пособие.

сПисоК ПриНЯТЫХ соКрАЩеНиЙ

ВКВФ 
— взаимная ковариационная функция

ВКРФ 
— взаимная корреляционная функция

ВР 
— временной ряд

ВСФ 
— взаимно стационарные функции

ЗР 
— закон распределения

ДИ 
— доверительный интервал

ДО 
— доверительная область

КВФ 
— ковариационная функция

КК 
— коэффициент корреляции

КМ 
— ковариационная матрица

КО 
— корреляционное отношение

КОП 
— критерий отношения правдоподобия

КР 
— коэффициент регрессии

КРФ 
— корреляционная функция

КФ 
— квадратичная форма

ЛМИ 
— линейная модель измерений

МО 
— математическое ожидание

МП-оценка — оценка, полученная методом максимального прав-

доподобия

МСП 
— марковский случайный процесс

МФ 
— матричная форма

НК (МНК)-
оценка 
— оценка, полученная методом наименьших квадратов

ОД 
— обобщенная дисперсия

ПДС 
— полная достаточная статистика

ПР 
— плотность распределения вероятностей

ПФМ 
— производящая функция моментов

РМ 
— регрессионная модель

РМИ 
— регрессионная модель измерений

СБШ 
— стационарный белый шум

СВ 
— случайная величина (вектор)

СКО 
— среднеквадратическое отклонение

СП 
— случайный процесс

ССП 
— стационарный случайный процесс

ССФ 
— стационарная случайная функция

СФ 
— случайная функция

ФРег 
— функция регрессии

ЭО 
— эллиптическая область

ЭСФ 
— элементарная случайная функция

сПисоК ПриНЯТЫХ оБоЗНАЧеНиЙ

∈
ас

N
— асимптотическая нормальность

ˆa
— вектор

A, ˆA
— матрица

A-1
— обратная матрица

|A| 
— определитель матрицы

bij
— коэффициент регрессии

B(v, w) 
— бета-распределение с параметрами (v, w) 

cov (cov)

— оператор (асимптотической) ковариации

D D
( )

— оператор (асимптотической) дисперсии

fx(t | q) 
— производящая функция моментов 

Fx(x | q) 
— функция распределения вероятностей

Ig
— g-доверительная область (интервал)

Kt(sij) 
— (t × t)-ковариационная матрица

m
— математическое ожидание

mh(x) 
— условное математическое ожидание (функция 

регрессии) случайной величины h

M M
(
)

— оператор (асимптотического) математического 

ожидания

N N N
N k
(
,
,
)
,

н
1
— нормальная (центрированная, нормированная, 

k-мерная) случайная величина, нормальный 
закон распределения

ph (y | x = x) 
— условная плотность распределения случайной 

величины h при фиксированном значении слу-
чайной величины x = x

px(x | q) 
— плотность распределения вероятностей слу-

чайной величины x с параметром q

Ql
— квадратичная форма относительно l пере-

менных

r (r*) 
— коэффициент корреляции (его оценка)

Rt(rij) 
— (t × t)-корреляционная матрица

S2, S12
— оценки дисперсии, ковариации

Sи

2, S12и
— исправленные (несмещенные) оценки

tk,g
— g-квантиль распределения Стьюдента

ˆtg

2
— g-квантиль Хотеллинга

Т(k) 
— распределение Стьюдента с k степенями сво-

боды

ˆT 2
— статистика Хотеллинга

ug
— g-квантиль нормального распределения

U
— ортогональная матрица

V
— опорная случайная величина

Vм, Vч, Vр
— опорные случайные величины множественного 

коэффициента корреляции, частного коэффи-
циента корреляции и коэффициента регрессии

W0a
— a-критическая область

x
— значение случайной величины

G(l, c) 
— гамма-распределение с параметрами (l, c)

L
— диагональная матрица собственных значений

mk
— k-й центральный момент

pi
— i-й собственный вектор

r(h | x) 
— корреляционное отношение случайной вели-

чины h относительно случайной величины x

sij
— ковариация

s2
— дисперсия

s2

h(x) 
— условная дисперсия (скедастическая функция) 

случайной величины h

F(x) 
— функция Лапласа

c2(k) 
— хи-квадрат распределение Пирсона с k степе-

нями свободы

c2

k,g
— g-квантиль распределения Пирсона

yk,l,g
— g-квантиль распределения Фишера — Снеде-

кора

Y(k, l) 
— распределение Фишера — Снедекора с (k, l) 

степенями свободы

ˆЭl
— эллипс (эллипсоид) рассеивания с парамет-

ром l

раздел 1

НорМАлЬНЫе ЗАКоНЫ 

рАсПределеНиЯ вероЯТНосТеЙ 

введеНие

К числу фундаментальных руководств по эконометрике следует 

отнести работы [1, 16, 23]. Все они предполагают достаточно глу-
бокое знание читателем всех разновидностей нормального закона 
распределения вероятностей и, прежде всего, статистического ана-
лиза многомерного нормального закона. Однако обоснованно изло-
жить статистический анализ без анализа теоретико-вероятностного 
практически невозможно, как невозможно понять результаты стати-
стического анализа, не опираясь на результаты теоретико-вероят-
ностного анализа.

В настоящем разделе последовательно и взаимосвязанно рассмат-

риваются вопросы как теоретико-вероятностного, так и статистиче-
ского анализа одно-, дву- и многомерного невырожденного нормаль-
ного закона распределения в объеме, доступном студенту экономико-
математического профиля, прослушавшему курс теории вероятностей 
и математической статистики, например, по учебникам [20, 22]. 

Данный раздел включает две главы: первая посвящена теоретико-

вероятностному, вторая — статистическому анализу. Каждая из этих 
глав в свою очередь состоит из параграфов, посвященных одно-, дву- 
и многомерному законам, при этом одномерный закон рассмотрен 
весьма конспективно, так как достаточно полное его изложение име-
ется в учебниках и справочниках [20]–[22]. Такая последовательность 
изложения обусловлена по крайней мере тремя соображениями: во-
первых, желанием четко разделить вопросы, относящиеся к вероят-
ностному анализу, от вопросов, относящихся к статистическому ана-
лизу; во-вторых, необходимостью подготовить читателя к восприятию 
более сложного материала по анализу многомерных законов и, 
в-третьих, возможностью использования данного пособия препода-
вателями при построении курсов различной степени сложности.

Для каждой главы приводятся примеры (с их полным решением) 

и задачи (для самостоятельного решения). В приложения для 
удобства читателя вынесен ряд математических вопросов, относя-
щихся к теории производящих функций, линейной алгебре, теории 
вероятностей и математической статистике.

В пособии широко используется аппарат производящих функций 

моментов. Он позволяет совершенно элементарно установить нор-
мальность подвекторов нормального вектора и условия их независи-
мости, нормальность линейных функций от нормальных векторов и 
взвешенных сумм нормальных векторов, определить числовые ха-
рактеристики — и все это не прибегая к многомерному интегриро-
ванию.

Значительное внимание уделяется ортогональному преобразо-

ванию векторов, определению собственных чисел и векторов кова-
риационных матриц, особенно в дву- и трехмерном случаях, по-
строению условных законов распределения нормальных подвек-
торов, а также их условных математических ожиданий и дисперсий, 
множественных и частных коэффициентов корреляции и т.д. 

В основе статистического анализа нормальных векторов лежит 

определение методом максимального правдоподобия оценок таких 
характеристик, как математические ожидания, дисперсии, парные, 
множественные и частные коэффициенты корреляции, ковариации, 
коэффициенты регрессии, обобщенная дисперсия, ковариационная 
матрица, квадратичная форма с априори известной или неизвестной 
ковариационной матрицей, а также обоснование опорных случайных 
величин и их законов распределения с последующим построением 
доверительных интервалов, областей, критериев проверки парамет-
рических гипотез.