Методы проектирования электронных устройств

А.Б.ШЕИН
Н.М.ЛАЗАРЕВА

МЕТОДЫПРОЕКТИРОВАНИЯ
ЭЛЕКТРОННЫХУСТРОЙСТВ

Начноепособие

Инфра-Инженерия
Мосва
2011

Справочниеолоанефтеазоразведи:нефтеазопромысловаяеолоияиидроеолоия
УДК621.396.6.049.77:681.3.06
ББК32.973.2
Ш39

Рецензенты:
-зав.афедройавтоматииисистемотехнииТихооеансооосдарственноониверситета,дотортехничесихна,профессорЧьеЕнУн;
-лавныйначныйсотрдниОАО"ВНИИР",дотортехничесихна,профессорА.Г.Иванов.

Начныйредатор:
андидаттехничесихна,доцентГ.В.Малинин

ШеинА.Б.
Ш39 Методыпроетированияэлетронныхстройств/А.Б.Шеин,
Н.М.Лазарева.-Мосва:Инфра-Инженерия,2011.-456с.

ISBN978-5-9729-0041-1

Вниеизложены25новыхметодовпроетированияэлетронных
стройств,оторыеотличаютсяотизвестныхсвоейпростотой,ниверсальностьюиобщностьюподходоврешениюзадач.Длявсехметодов,
вошедшихвни,выполненыспециальныематематичесиепровери,
подтверждающиеихправильностьиправомерность.Крометоо,работа
аждоометодапоясняетсяразличнымипримерамиеореализации.
Визданиинапримерахсхемстройствсиловойэлетрониирассматриваетсярешениезадачанализаипараметричесоосинтезааналитичесимиичисленнымиметодами,тааименноэтиметодыявляются
основнымивтеориисхемотехничесоопроетирования.
Книапредназначенадляначныхработниов,инженеровиаспирантов,занимающихсясхемотехничесимпроетированиемэлетронныхстройств.

©ШЕИНА.Б.,ЛАЗАРЕВАН.М.,авторы,2011
©Издательство«Инфра-Инженерия»,2011

ISBN978-5-9729-0041-1

ВВЕДЕНИЕ

"Нет ничего более практичного, чем хорошая теория". Эти сло
ва выдающегося физика Л. Больцмана очень точно и емко характеризуют то огромное значение, которое общие теоретические подходы имеют для эффективного решения многообразных прикладных 
задач, в частности задач схемотехнического проектирования электронных устройств.

Содержание 
понятия 
"схемотехническое 
проектирование"

сформировалось, когда компонентную базу электронных устройств 
составляли так называемые "дискретные" компоненты – резисторы, 
конденсаторы, катушки индуктивностей, трансформаторы, корпусированные транзисторы и диоды, а основной технологией производства схем был навесной монтаж. В этих условиях схемотехническое проектирование сводилось к расчету и анализу электромагнитных процессов в линейных и нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами [1].

В настоящее время понятие "схемотехническое проектирова
ние" существенно расширилось. Инженерам-проектировщикам 
электронных устройств необходимо рассчитывать электромагнитные процессы в схемах этих устройств с учетом электрических схем 
замещения активных компонентов, отражающих физику их работы 
в реальном устройстве. Это резко повышает сложность принципиальных схем устройств, а следовательно, и сложность математических моделей описания процессов, возникающих при работе устройства. Для составления математической модели схемы электронного устройства обычно используются законы Кирхгофа.

Наилучшим образом зарекомендовали себя математические мо
дели схем электронных устройств в виде нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и неоднородных 
дифференциальных уравнений для переменных состояния схемы.

Для получения математической модели схемы в виде нормаль
ной системы ОДУ в теории схемотехнического проектирования был 
разработан специальный метод переменных состояния. Это – пример влияния вычислительной математики на теорию схемотехнического проектирования. Однако довольно быстро выяснилось, что в 
силу специфики ряда электронных схем, состоящей в большом разбросе постоянных времени отдельных цепей, явные методы мало

пригодны для расчета переходных процессов. Это стимулировало в 
вычислительной математике быстрое развитие теории неявных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, 
что является примером влияния теории схемотехнического проектирования на вычислительную математику [2].

В широком понимании схемотехническое проектирование оз
начает проектирование схем электронных устройств согласно техническому заданию на проектирование и включает решение задач 
расчета, анализа, оптимизации и синтеза [1, 2]. Эти задачи называются проектными процедурами и имеют следующее содержание [1].

Расчет – определение выходных параметров и характеристик 

устройства при неизменных значениях его внутренних параметров 
и постоянной структуре.

Анализ – определение изменения выходных параметров и ха
рактеристик устройства в зависимости от изменения его внутренних 
и входных параметров. В случае применения ЭВМ задача расчета 
называется одновариантным анализом, а задача анализа – многовариантным анализом.

Оптимизация – определение наилучших значений выходных 

параметров и характеристик путем целенаправленного изменения 
внутренних параметров устройства (при параметрической оптимизации) или структуры устройства (при структурной оптимизации).

Наиболее сложными являются задачи параметрического и 

структурного синтеза. В общем случае синтезом называется генерация исходного варианта устройства, включая его структуру 
(структурный синтез) и значение внутренних параметров (параметрический синтез).

При этом параметры компонентов, из которых состоит проек
тируемое устройство, называются внутренними, параметры устройства, по которым оценивается его качество, – выходными, параметры действующих на устройство внешних информационных сигналов – входными, а параметры окружающей среды – внешними.

В книге на примерах схем устройств силовой электроники рас
сматривается решение задач анализа и параметрического синтеза аналитическими и численными методами, так как именно эти методы являются основными в теории схемотехнического проектирования.

При написании настоящего издания соблюдалась преемствен
ность между главами. Так, материалы главы "Интерполирование и 
экстраполирование функций" были использованы для разработки 
почти всех методов, вошедших в главу "Методы моделирования работы электронных устройств в переходных режимах". В свою очередь, основные формулы методов анализа переходных процессов в 
схеме были использованы при написании главы "Синтез электронных устройств" и т.д.

Для оценки значения методов, изложенных в книге, уместно 

привести известное высказывание В.И. Ленина из его работы "Материализм и эмпириокритицизм": "Единство природы обнаруживается в поразительной аналогичности дифференциальных уравнений, 
относящихся к разным областям явлений". В связи с этим, учитывая 
общность математических методов описания разнородных физических явлений и процессов как проявление материального единства 
мира, можно сказать, что многие методы схемотехнического проектирования электронных устройств, например интерполирование и 
экстраполирование функций, заданных таблично, нахождение корней многочленов, решение систем алгебраических уравнений и другие, могут с успехом использоваться в авиационной, станкостроительной, приборостроительной и других отраслях промышленности.

1. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ 

ФУНКЦИЙ

При решении многих задач анализа работы электронных уст
ройств возникает необходимость вместо функции действительной 
переменной 
 
f t , принадлежащей некоторому широкому классу 

функций A, рассматривать функцию
 t

, принадлежащую более 

узкому классу функций B и в известном смысле представляющую 
функцию 
 
f t  на некотором промежутке времени t. Например, 

классом A может быть множество непрерывных функций, описывающих характеристики нелинейных или переменных по времени 
компонентов схем электронных устройств, а класс B могут составлять алгебраические или тригонометрические многочлены, которые 
широко применяются в качестве приближающих функций. При 
этом для расчетов на ЭВМ кривые характеристик компонентов устройства задаются опорными точками, а остальные точки определяются методом интерполяции.

Из общего курса математического анализа известно много спо
собов приближения функций, например, с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа, Ньютона, Эрмита – Маркова, интерполяционных формул Стирлинга и Бесселя и т.д. [3], включая приближение с помощью трансцендентных функций (sin( )t , ln( )t  и 
т.д.). Тем не менее практический интерес к задаче не ослабевает, 
так как для решения инженерных и научно-исследовательских задач 
настоятельно требуются простые, быстрые, удобные и надежные 
способы интерполяции.

Потребуем, чтобы приближающая функция 
 t

 совпадала с 

функцией 
 
f t  в 

1
n 
 точках временного промежутка, т.е. выпол
нялись равенства 
 
 
i
i
f t
t
 


0,
i
n

. Если 
 t

– многочлен 

степени n, тогда рассматриваемый процесс приближения называется полиномиальным интерполированием, или процессом построения 
интерполяционного многочлена.

При интерполяции кривой 
 
f t
многочленами высоких степе
ней полиномиальная функция  t

может значительно отклоняться 

от моделируемой кривой по мере приближения к границам интер

вала вычислений [t0; tn]. Рост ошибки интерполяции с увеличением 
порядка полинома (ростом числа точек) не является недостатком
алгоритма или следствием естественных погрешностей при операциях с вещественными числами. Это фундаментальное свойство интерполяционного полинома – проходя через все заданные точки, он 
будет сильно осциллировать в интервалах между ними. Последнее
объясняется тем, что многочлен n-й степени имеет n - 1 стационарную точку – точки экстремумов (минимумов или максимумов) 
или перегибов. Чем выше степень многочлена, тем больше количество экстремумов и точек перегибов. Поэтому при интерполяции 
целесообразно выбирать многочлен с невысокими степенями, например многочлен третьей степени [3-5].

Пусть задано n + 1 значение функции действительного пере
менного 
 
x
f t

 в n + 1 различных точках 
0
1
, ,..., n
t
t
t , называемых 

узлами интерполяции: 
 
0
0
x
f t

, 
 
1
1
x
f t

,…, 
 
n
n
x
f t

. 

Требуется построить интерполянт – многочлен степени не 

выше n: 
 
 
2

0
1
2

n

n
n
t
P t
a
a t
a t
a t








, значения которого в 

узлах интерполирования были бы равны значениям функции 
 
f t  в 

тех же узлах, т.е. должны выполняться равенства:

2

0
1 0
2 0
0
0

2

0
1 1
2 1
1
1

2

0
1
2

...
,

...
,

................................................

...
.

n

n

n

n

n

n
n
n n
n

a
a t
a t
a t
x

a
a t
a t
a t
x

a
a t
a t
a t
x



















(1.1)

Из уравнений системы (1.1) надо определить неизвестные 

0
1
,
,...,
n
a
a
a .

Известно (теорема Кронекера – Капелли), что если ранг матри
цы системы равенств (1.1) равен числу неизвестных, то система 
имеет единственное решение. По нашему предположению, все 

ix 

0,
i
n

 различны. В этом случае определитель системы уравне
ний (1.1) 

2

0
0
0

2

1
1
1

2

1
...

1
...

...
...
...
...
...

1
...

n

n

n

n
n
n

t
t
t

t
t
t

t
t
t

,

называемый определителем Вандермонда, отличен от нуля и система равенств (1.1) имеет единственное решение, т.е. коэффициенты 
многочлена 
 
nP t  могут быть найдены и причем единственным об
разом. Следовательно, рассматриваемая задача может быть сформулирована и так: найти многочлен 
 
nP t , график которого проходил 

бы через 

1
n 
 заданные точки 

0
0
,
t
x
, 



1
1
,
,...,
,
n
n
t x
t
x
, лежащие 

на графике функции  
f t .

Самым простым видом интерполяции является линейная ин
терполяция, при которой два соседних узла интерполяции соединяются друг с другом прямой линией (рис. 1.1), а промежуточные 
точки определяются из уравнения этой прямой.

В этом случае согласно системе равенств (1.1) можно записать 

матрично-векторное уравнение вида

 

00
01
0
0
0
0
0

10
11
1
1
1
1
1

1
или 
,
1

a
x
T

t
t
t
a
x
a
x

t
t
t
a
x
a
x




 












 








 











(1.2)

где 00
1
t
 , 01
0
t
t

, 10
1
t
 , 11
1
t
t
 . Первая цифра двузначного индекса 

при t  означает номер момента времени, для которого представлено 

значение 
ix 

0,
i
n

, а вторая – показывает степень соответствую
щего момента времени.

В общем случае решение матрично-векторного уравнения 

Ta
x

, развернутая форма записи которого имеет вид

1

 
x t
 
x t

1x

0x

0
0
1t
0t

t

t

 
1
0
1
P t
a
a t



0

Рис. 1.1

00
01
02
0
0
0

10
11
12
1
1
1

0
1
2

...
...
,
...
...
...
...
...
...
...

...

n

n

n
n
n
nn
n
n

t
t
t
t
a
x

t
t
t
t
a
x

t
t
t
t
a
x


 





 





 





 





 





 




(1.3)

относительно коэффициентов 
0
1
,
,...,
n
a
a
a  может быть получено по 

правилу Крамера [4]:

0
00
10
0

1
01
11
1
1

0
1

...
...
1

...
...
...
...
...
...
det

...

no

n

n
n
n
nn
n

a
T
T
T
x

a
T
T
T
x

T

a
T
T
T
x




 





 





 





 





 





 


или




00
0
0

10
1
1

0
0
1
1

0

...
...

...
...
1
1
...
,
...
...
...
...
...
det
det

...
...

n

n
i

i
i
i
ni
n

n
n
nn

t
x
t

t
x
t
D
a
T x
T x
T x
T
T
D

t
x
t







(1.4)

где определитель 
i
D , стоящий в числителе, получается из определи
теля

00
01
02
0

10
11
12
1

0
1
2

...
...
det
...
...
...
...
...

...

n

n

n
n
n
nn

t
t
t
t

t
t
t
t
D
T

t
t
t
t



, заменой i -го столбца на стол
бец x; 
ik
T – алгебраические дополнения к элементам ikt :




00
01
0,
1
0,
1
0

10
11
1,
1
1,
1
1,

1,0
1,1
1,

1,0
1,1
1,

,0
,1
,
1
,
1
,

...

...

...
...
...
...
...
...

...
...
...
1
.

...
...
...

...
...
...
...
...
...

...

k
k
n

k
k
n

i k

i
i
i
n
ik

i
i
i
n

n
n
n k
n k
n n

t
t
t
t
t

t
t
t
t
t

t
t
t
T

t
t
t

t
t
t
t
t


































 

















Следовательно, для n
n
  системы линейных уравнений Ta
x


такой, 
что 
det
0
D
T


, 
получим 
единственное 
решение 



0
1
2
,
,
,...,
n
a
a a
a
, где 


, 
0,
i
i
a
D D
i
n


.

Решение матрично-векторного уравнения (1.2) по формуле 

(1.4) позволяет найти коэффициенты 
0a  и 
1a . Так как





0
0
1
1

1
,  
0,1 ,
det

i
i
i
a
T x
T x
i
T




где
00 11
01 10
1
0
det
,
T
t t
t t
t
t




00
11
1
T
t
t

 , 
10
01
0
T
t
t
 
  , 

01
10
1
T
t
 
  , 
11
00
1
T
t

 , тогда 



1
0
0 1

0
00
0
10 1

1
0

1
,
det

t x
t x
a
T x
T x
T
t
t









0
1
1
0

1
01
0
11 1

1
0
1
0

1
.
det

x
x
x
x
a
T x
T x
T
t
t
t
t











Следовательно, по известной информации о
0x  и 
1x  для момен
тов времени 
0t  и 1t  могут быть найдены коэффициенты линейного 

многочлена 
 
1
0
1
P t
a
a t


:

1
0
0 1
0
1

0
1

1
0
1
0

,
.
t x
t x
x
x
a
a
t
t
t
t








(1.5)

При этом величина рассматриваемого интервала времени 1
0
t
t


может быть любой.

Для квадратичной интерполяции (рис. 1.2) имеем систему ра
венств вида

2

0
0
1
0
2
0

2

0
1 1
1
2
1

2

0
2
1
2
2
2

,

,

.

a
t a
t a
x

a
t a
t a
x

a
t a
t a
x













(1.6)

Или в матрично-векторной форме записи:

2

 
x t
 
x t

1x

0x

0
0
1t
0t

t

t

 

2

2
0
1
2
P t
a
a t
a t




2x

2t

0

1

Рис. 1.2