Методическое пособие по линейной алгебре

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
имени М.В. Ломоносова
Э к о н о м и ч е с к и й  ф а к у л ь т е т

Л.С. Павлова

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

(отд. «Менеджмент»)

Москва
2015

©  Экономический факультет 
МГУ имени М. В. Ломоносова, 2015

УДК 512.64
ББК 22.151.54я73
 
П121

 
Павлова Л. С.
П121  
Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное пособие. – М.: Экономический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2015. – 44 с.

 
 
ISBN 978-5-906783-12-7

Линейной алгебре посвящено очень большое количество учебников, учебных пособий. Особенность читаемого курса «Математика» состоит в том, что 
линейная алгебра является лишь его частью. Курс «Математика» читается 
в первом семестре первого года обучения на отделении «Менеджмент». Линейная алгебра – это лишь часть курса. Необходимость в сжатые сроки ознакомить 
слушателей с основными понятиями, лежащими в основе этой науки, вызвало 
необходимость написать пособие, которое следует рассматривать как упрощенное изложение базового материала, включенного в курс лекций.

УДК 512.64
ББК 22.151.54я73

О Г Л А В Л Е Н И Е

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Часть 1. Элементы матричной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Основные понятия и обозначения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Свойства матриц и действия с матрицами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Ранг матрицы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Определители. Вычисление определителей 
2-го, 3-го и n-го порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Свойства определителей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Вычисление обратной матрицы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Часть 2. Системы линейных алгебраических уравнений  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Основные понятия.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Метод последовательного полного исключения неизвестных 
для решения системы линейных алгебраических уравнений 
(Метод Гаусса-Жордана)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Правило Крамера для решения систем линейных уравнений . . . . . . . . 21

Матричные уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Критерий совместности 
систем линейных алгебраических уравнений.
Теорема Кронекера – Капелли.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . 26
Операции над векторами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Свойства операций над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Линейная зависимость (независимость) векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

База и ранг набора векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Линейные векторные пространства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Преобразование координат вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Линейные подпространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Задание L в виде однородной системы линейных уравнений  . . . . . . . . 34

Базис и размерность подпространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Часть 4. Задания для самостоятельной работы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Часть 5. Образец контрольной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

В В Е Д Е Н И Е

Линейной алгебре посвящено очень большое количество учебников, учебных пособий. Особенность читаемого курса «Математика» 
состоит в том, что линейная алгебра является лишь его частью. Курс 
«Математика» читается в первом семестре первого года обучения на отделении «Менеджмент». Линейная алгебра – это лишь часть курса. 
Необходимость в сжатые сроки ознакомить слушателей с основными 
понятиями, лежащими в основе этой науки, вызвало необходимость 
написать пособие, которое следует рассматривать как упрощенное изложение базового материала, включенного в курс лекций. 

Ч А С Т Ь  1 . 
Элементы 
матричной алгебры

Основные понятия и обозначения

Матрица – прямоугольная таблица, содержащая набор элементов, 
упорядоченных по строкам и столбцам. Обозначение:

11
12
1

21
22
2

1
2

.

n

n

m
m
mn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

⎛
⎞⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎝
⎠

… …
… …
…
…
… …
…
… …

 

Размерность матрицы (m, n), где m – количество строк матрицы, 
n – количество столбцов матрицы, 
ija – элемент матрицы, i – номер 
строки, j – номер столбца матрицы.
Если m = n, матрица называется квадратной.

Если квадратная матрица имеет вид 

11
12
13
1

22
23
2

33
3

0
0
0

0
0
0

n

n

n

nn

a
a
a
a
a
a
a
a
a

a

⎛
⎞⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎝
⎠

…
…
…
…
…
…
…
…
…

– она 

называется верхней треугольной матрицей. Легко представить нижнюю треугольную матрицу.
Совокупность элементов 
iia  называется главной диагональю квадратной матрицы.

Если квадратная матрица имеет вид: 

11

22

33

0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
nn

a
a
a

a

⎛
⎞⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎝
⎠

…
…
…
…
…
…
…
…
…

– она 

называется диагональной. Если все элементы главной диагонали диагональной матрицы равны единице, то матрица называется единичной 
и обозначается Е.

Часть 1. Элементы матричной алгебры  

Свойства матриц и действия с матрицами

1. Две матрицы A и B считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их соответствующие элементы (
)
ij
ij
a
b
=
.
2. Сумма матриц. 
Суммировать можно только матрицы одинаковой размерности. 
Суммой матриц А{ }
ija
 и В{ }
ijb
 является матрица С, каждый элемент 
которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, 
т.е. 

ij
ij
ij
c
a
b
=
+
.

Пример 1.

1
2
1
1
3
3
0
5
2
3
4
6
1
0
2
4
4
4
,
,
А
B
C
A
B
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
−
−
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
=
=
=
+
=
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
−
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

3. Умножение матрицы на действительное число. 
При умножении матрицы на действительное число, каждый ее элемент умножается на это число.
Пример 2: 

Если: 
1
2
1
3
4
6 ,
А
R

⎛
⎞
− ⎟
⎜
⎟
=
∈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠

, то C
А

=
=
2
3
4
6







⎛
⎞
− ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠
.

4. Свойства сложения матриц и умножения матриц на число:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

A
B
D
A

A
B
C
A
B
C

A
B
A
B

A
A
A

A
A














+
=
+

+
+
=
+
+

+
=
+

+
=
+

=

5. Умножение матриц.
Произведением двух матриц: А – размерностью (m, n) и В – размерностью (n, p), является матрица С – размерностью (m, p). Элементы ма
трицы С вычисляются по формуле: 

1
1
1
,
,..., ;
,...,

n

ij
ik
kj
k
c
a b
i
m j
p

=
=
=
=
∑
.
Пример 3.

(
)
(
)

1
1
1
2
1
3
0
3
4
6
3
2

2
3
1
1
2 3
1 3
1 1
2 0
1
2
27
9
3
1
4 3
6 3
3 1
4 0
6
2

,
,

(
)
(
)

(
)
(
)

А
B

C
AB

⎛
⎞
−
⎟
⎜
⎛
⎞
⎟
−
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
=
=
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜⎝
⎠
⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
−
+ ⋅ + −
⋅ + ⋅ + −
−
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
=
=
=
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
−
−
+ ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ +
−
⎝
⎠
⎝
⎠

Произведение матриц А и В невозможно, если число столбцов матрицы А не равно числу строк матрицы В.

Ранг матрицы

Если матрицы А и В квадратные, размерностью (n, n), то их произведением будет матрица размерностью (n, n). Однако, в общем случае,
AB
BA
≠
.
Если матрицы А и В квадратные и их произведением является единичная матрица (Е), то матрицы являются взаимно обратными. 
Будем считать , что матрица В является обратной для матрицы А и 
введем для обратной матрицы обозначение 
1
A− . Тогда: 
1
AA
E
− =
. 
Отметим, что 
1
1
.
AA
A
A
E
−
−
=
=

(Вычисление обратной матрицы приведено в разделе «Определители» и в разделе «Системы линейных алгебраических уравнений»).
6. Свойства произведения матриц:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)

(
)

(
)
1
1
1

,

T
T
T

AB C
A BC

A
B C
AC
BC

A BC
AB
AC

AB
A B
A
B

AB
B A

AB
B
A






−
−
−

=

+
=
+

=
+

=
=
∈ℜ

=

=

Ранг матрицы

Введем некоторые обозначения и понятия.
Обозначим строки матрицы 
1
2
;
;
;
n
A A
A
.
Запишем линейную комбинацию строк матрицы и приравняем ее 
нулю:

1
1
2
2
0, где 
n
n
i
A
A
A




+
+
+
=
– коэффициенты линейной комбинации.
Определение: Если линейная комбинация строк матрицы равна нулю 
только при нулевых значениях коэффициентов 
i
 , то строки матрицы 
называются линейно независимыми. 
Определение: Максимальное число линейно независимых строк матрицы называется рангом матрицы. (r (A)).
Утверждения: 

Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам.

Линейные преобразования строк (столбцов) матрицы не меняют ее ранга.
Иначе говоря, если к одной из строк матрицы прибавить другую 
строку, умноженную на некоторое действительное число, то ранг полученной матрицы останется равным рангу исходной матрицы.

Часть 1. Элементы матричной алгебры  

Пример 4. Найти ранг матрицы 

2
1
3
2
4
4
2
5
1
7
2
1
1
8
2
A

⎛
⎞
−
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎝
⎠

. Проведем 

следующие линейные преобразования строк матрицы: первую строку 
умножив на –2 прибавим ко второй строке, и умножив на –1 приба
вим к третьей строке. Матрица примет вид: 

2
1
3
2
4
0
0
1
5
1
0
0
2
10
2
A

⎛
⎞
−
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜
−
−
⎝
⎠

Заметим, что вторая и третья строки матрицы пропорциональны. Следовательно, только две строки линейно независимы. Ранг матрицы равен 2. (r (A)=2).
Пример 5. При всех значениях параметра р определить ранг матрицы.

1
2
1
1
2
2
1
р
р

⎛
⎞
− ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎝
⎠

Прибавим первую строку матрицы ко второй строке и вычтем пер
вую строку из третьей. Получим матрицу: 

1
2
1
0
0
1
1
0
0
.
р
р

⎛
⎞
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎟
⎜ −
⎝
⎠

Очевидно, 

что при р = 1 ранг матрицы равен 1 (
)
1
r =
, при 
1
3
p
r
≠
=
.

Ответ: 

1
1
1
3
.
.
p
r
p
r
=
=
≠
=

Определители. 
Вычисление определителей 2-го, 3-го и n-го порядков

Квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое 
число, называемое определителем матрицы.
Определение: Определителем матрицы называется алгебраическая 
сумма произведений элементов матрицы, не стоящих одновременно 
в одном и том же столбце, в одной и той же строке.
1. Определитель матрицы размерностью (2Х2).

11
12
11
22
12
21
21
22

a
a
a a
a a
a
a
=
−

Пример 6. 4
2
4 5
2 3
14
3
5 = ⋅ − ⋅ =

Свойства определителей

2. Определитель матрицы размерностью (3Х3).

11
12
13

21
22
23
11
22
33
12
23
31
13
21 32

31
32
33

13
22
31
12
21 32
11
23
32

a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a
a
a

a a a
a a a
a a a

=
+
+
−

−
−
+

•
•
•
•
•
•
•
•
•

– схема вычисления произведений, входящих в формулу 

вычисления определителя со знаком плюс,

•
•
•
•
•
•
•
•
•

– схема вычисления произведений, входящих в формулу 

вычисления определителя со знаком минус.
Пример 7.

(
)
(
) (
)
(
)

(
)
(
)
(
) (
)
(
)

1
2
3
0
1
1
1
1 5
2
1 2
1 0
4
2
4
5

3
1 2
2 0 5
1
1
4
1

−
−
− = ⋅ −
⋅ + −
⋅ −
⋅ + ⋅⋅ ⋅ −
−
−

−
⋅ −
⋅ + −
⋅ ⋅ + ⋅ −
⋅ −
=

Пример 8. Определитель матрицы размерностью (n х n).
Введем некоторые обозначения. Для элемента определителя
ija введем понятие минора 
ij
M , который представляет собой определитель, 
оставшийся от вычеркивания из исходного определителя i -ой строки 
и j -го столбца. Алгебраическое дополнение
ij
A элемента
ija ,имеет вид: 

(
)
1
i
j
ij
A
M
+
= −
.
Вычислить определитель можно, разложив его по любой строке 
(столбцу): 
1
1
2
2
3
3
i
i
i
i
i
i
in
in
a A
a A
a A
a A
 =
+
+
+
+
.
Пример 9. Вычислить определитель, разложив его по первой 
строке.

(
)

(
)
(
)(
)
(
)

11
12
13

1 1
1 2
1 3

1
2
3
0
1
1
1
2
3
2
4
5

1
1
0
1
0
1
1
2
1
3
1
1
4
5
2
5
2
4

A
A
A

+
+
+

−
−
− = ⋅
+ −
⋅
+ ⋅
=
−

−
−
−
−
= −
+ −
−
+
−
=
−
−

Свойства определителей

Свойство 1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Часть 1. Элементы матричной алгебры  

Для доказательства достаточно разложить определитель по нулевой 
строке или по нулевому столбцу.
Свойство 2. Общий множитель строки (столбца) определителя 
можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Дан определитель 

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

n

n

n

n
n
n
nn

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a






 =

…
…
…
Разложим определитель по второй строке:

21
21
22
22
23
23
2
2

21
21
22
22
23
23
2
2

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

(
)

n
n

n
n

n

n

n

n
n
n
nn

a A
a A
a A
a A
a A
a A
a A
a A

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a










=
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+=
=

=

…
…
…
Свойство 3. Если поменять местами две строки (два столбца) определителя, то определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство. Дан определитель 

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

n

n

n

n
n
n
nn

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a

 ==

…
…
…
. 

Разложим определитель по первой строке:

(
)
(
)
(
)

(
)

1 1
1 2
1
11
11
12
12
1
1

1
11
11
12
12
1
1

1
1
1

1

n
n
n

n
n
n

a
A
a
A
a
A

a
A
a
A
a
A


+
+
+

+
= −
+ −
+
+ −
=

=
−
+
+ −

(Знак перед последним членом определяется значением n)
Проведем доказательство в два этапа:
1 – поменяем местами две соседние строки. Например, поменяем 
местами первую и вторую строки и разложим определитель по второй 
строке: