Электрон-фононные системы со спонтанным нарушением трансляционной симметрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное 

учреждение высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

А. Э. Мясникова

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ СИСТЕМЫ 
СО СПОНТАННЫМ НАРУШЕНИЕМ 
ТРАНСЛЯЦИОННОЙ СИММЕТРИИ

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2010

УДК 538.958
ББК 22.37
       М 99

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Южного федерального университета

Рецензенты:

зав. кафедрой теоретической и вычислительной физики ЮФУ, 
доктор физико-математических наук, профессор Бугаев Л. А.;

доктор физико-математических наук, 

профессор кафедры нанотехнологий ЮФУ Рошаль С. Б.;

доктор физико-математических наук, 

профессор  кафедры физики ДГТУ Никифоров И. Я.;

доктор физико-математических наук, 

профессор кафедры «Физика» РГУПС Лагутин Б. М.

Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта 

«Образование» по «Программе развития федерального государственного 
образовательного учреждения высшего профессионального образования 

“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»

Мясникова А. Э.

Электрон-фононные системы со спонтанным нарушением  транс
ляционной симметрии: монография / А. Э. Мясникова. – 
Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010. – 240 с.

ISBN 978-5-9275-0741-2
Монография посвящена сильно взаимодействующим электрон-фонон
ным системам, в которых возникает большое количество принципиально 
новых эффектов. Особое внимание уделено таким явлениям, как спонтанное нарушение трансляционной симметрии системы и формирование фононного конденсата при образовании полярона сильной связи, распад фононного конденсата при фотодиссоциации такого полярона и его проявление 
в спектрах оптической проводимости и фотоэмиссионной спектроскопии. 
Проанализировано влияние пространственной дисперсии решеточной поляризуемости на движение полярона по кристаллу. Актуальность исследования сильно взаимодействующих электрон-фононных систем обусловлена 
необходимостью понимания экспериментально наблюдаемых свойств допированных сильнополярных диэлектриков, таких как купраты, демонстрирующие высокотемпературную сверхпроводимость.

Для студентов, аспирантов и научных сотрудников, занимающихся 

исследованиями в области физики твердого тела, теоретической физики 
и нанотехнологий. 

ISBN 978-5-9275-0741-2 
 
 
 
                     УДК 538.958 
 
  
 
 
 
 
                     ББК 22.37

© Мясникова А. Э., 2010
© Южный федеральный университет, 2010
© Оформление. Макет. Издательство
   Южного федерального университета, 2010

М 99

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .......................................................................  7

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯРОНОВ  .................... 11

1.1. Электрон-фононное взаимодействие. Полярон 

большого радиуса (ПБР). Энергия связи ПБР 
при классическом рассмотрении 
поля поляризации  ............................................... 11
1.2. Гамильтониан Фрелиха  ........................................ 20
1.3. Полярон слабой и промежуточной связи  ................ 23
1.4. Сильное электрон-фононное взаимодействие  ........... 26
1.5. Метод интегрирования по траекториям Фейнмана 

в теории поляронов  ............................................. 28
1.6. Полярон малого радиуса   ..................................... 30
1.7. Учет пространственной дисперсии (ПД) 

поляризуемости кристаллической решетки 
в теории поляронов  ............................................. 32
1.8. Зависимость равновесной скорости полярона 

от приложенного поля  ......................................... 36
1.9. Оптические свойства систем с ПБР  ....................... 40

ГЛАВА 2. КВАНТОВО-КОГЕРЕНТНОЕ СОСТОЯНИЕ ПОЛЯ 
ПОЛЯРИЗАЦИИ В ПОКОЯЩЕМСЯ ПБР И СПОНТАННОЕ 
НАРУШЕНИЕ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ СИММЕТРИИ 
В СИСТЕМЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ 
НОСИТЕЛЯ ЗАРЯДА И ФОНОННОГО ПОЛЯ  .................. 45

2.1 Нерешенные вопросы теории ПБР 

и эффективность использования в ней аппарата 
квантово-когерентных состояний  .......................... 45
2.2. Некоторые свойства когерентных состояний  .......... 50
2.3. Определение параметров деформации фононного 

вакуума в ПБР вариационным методом  ................. 53
2.4. Соотношение когерентной и флуктуирующей 

частей фононного поля в ПБР при сильном 
электрон-фононном  взаимодействии  ..................... 60

2.5. Возможность спонтанного нарушения 

трансляционной симметрии   замкнутой 
системы взаимодействующих полей 
в однородном пространстве  ................................... 63
2.6. Спонтанное нарушение трансляционной 

симметрии и движение ПБР  ................................. 66
2.7. Фононный конденсат в ПБР  ................................. 70
2.8. Величина энергии связи носителя в ПБР 

в случае взаимодействия с несколькими 
фононными ветвями  ............................................ 72
2.9. Выводы  .............................................................. 78

ГЛАВА 3. РАСПАД ФОНОННОГО КОНДЕНСАТА 
ПРИ ФОТОДИССОЦИАЦИИ ПБР И ЕГО ПРОЯВЛЕНИЕ 
В ОПТИЧЕСКИХ И ФОТОЭМИССИОННЫХ СПЕКТРАХ 
СЛАБОДОПИРОВАННЫХ КУПРАТОВ  ........................... 80

3.1. Фотодиссоциация ПБР  ......................................... 80
3.2. Превращение фононной шубы ПБР 

после его внезапной «ионизации»  ......................... 85
3.3. Полоса в спектре оптической проводимости, 

обусловленная фотодиссоциацией 
покоящихся ПБР  ................................................ 90
3.4. Полоса в спектрах ARPES, обусловленная 

фотодиссоциацией ПБР при нулевой 
температуре  ........................................................ 99
3.5. Сравнение фотоэмиссионных и оптических 

спектров, обусловленных фотодиссоциацией ПБР, 
с экспериментом и с результатами теории 
с классическим рассмотрением поля 
поляризации в ПБР  ........................................... 101
3.6. Влияние температуры и концентрации 

носителей на полосы в спектрах оптической 
проводимости и ARPES, обусловленные 
фотодиссоциацией ПБР  ...................................... 118
3.7. Выводы  ............................................................ 122

ГЛАВА 4. ЭФФЕКТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ 
ДИСПЕРСИИ РЕШЕТОЧНОЙ 
ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ (ПД РП) В ТЕОРИИ ПБР .............. 124

4.1. Необходимость учета пространственной 

дисперсии (ПД) фононной поляризуемости 
в теории ПБР  .................................................. 124
4.2. Модель среды с двухкомпонентной 

поляризуемостью кристаллической решетки 
при учете ее пространственной дисперсии  .......... 127
4.3. Уравнения движения фононного поля 

с учетом ПД РП и их функция Грина  ................ 132
4.4. Зонная структура спектра носителей заряда, 

обусловленная их автолокализацией  .................. 134
4.5. Энергетическая эффективная масса ПБР  ............ 138
4.6. Продольная инертная масса ПБР  ...................... 146
4.7. Тензор инертной массы ПБР  ............................. 151
4.8. Аппроксимация зависимости энергетической 

эффективной массы и компонент тензора 
инертной массы ПБР от его скорости 
и максимальной групповой скорости фононов  ..... 155
4.9. Когерентное квазичеренковское излучение 

волны поляризации движущимся ПБР  .............. 158
4.10. Свойства когерентного фононного излучения, 

порождаемого движущимся ПБР, 
и возможности его экспериментального 
наблюдения  ..................................................... 163
4.11. Эффекты резонанса с колебаниями среды 

при движении в ней ПБР: фермиевский 
параметрезон (ФП)  ........................................... 166
4.12. Резонансное спаривание ОП: бозевский 

параметрезон (БП)  ........................................... 172
4.13. Выводы  .......................................................... 182

ГЛАВА 5. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА 
В СИСТЕМАХ, ГДЕ ВОЗМОЖНО ФОРМИРОВАНИЕ ПБР, 
И ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТАКИХ СИСТЕМ  .... 185

5.1. Особенности функции распределения 

носителей заряда в системах, где возможно 
формирование ПБР  ......................................... 185
5.2. Функция распределения носителей заряда 

в системе с однокомпонентной 
поляризуемостью  ............................................ 188
5.3. Температурное поведение химического потенциала 

и концентрации носителей заряда в различных 
состояниях в системе с однокомпонентной 
поляризуемостью  ............................................ 191
5.4. Функция распределения носителей заряда 

в системе с многокомпонентной 
поляризуемостью  ............................................ 196
5.5. Статистика систем, содержащих поляроны 

и биполяроны  ................................................. 200
5.6. Выводы, следующие из анализа функции 

распределения носителей  ................................. 202
5.7. Поляронное «окно» в зоне проводимости  ........... 203
5.8. Автолокализация носителей и поляронные 

«окна» в валентной зоне  .................................. 208
5.9. Температурная зависимость удельного 

сопротивления систем, в которых 
возможно формирование ПБР  .......................... 213
5.10. Торможение поляронов когерентным 

излучением фононов и колоссальное 
увеличение сопротивления  ............................... 219
5.11 Выводы  .......................................................... 221

Заключение: основные результаты и выводы  ................ 223
Литература  ................................................................ 226
Список используемых сокращений  ............................... 238

ВВЕДЕНИЕ

Начало развитию теории поляронов положила пионерская 

идея Л. Д. Ландау [1] о том, что заряженная частица в однородной поляризующейся среде может локализоваться, если 
локализация обеспечит ей выигрыш в энергии за счет взаимодействия с поляризационным зарядом, возникшим в области ее 
локализации. Такое локализованное состояние носителя заряда 
получило название «полярон большого радиуса» (ПБР), так как 
влияние дискретности строения среды на формирование полярона не учитывалось, а рассматривался случай, когда область 
локализации носителя заряда в поляроне значительно больше 
размеров элементарной ячейки кристалла. Было показано [2], 
что условием существования ПБР является высокая решеточная поляризуемость кристаллов. 

Таким образом, Л. Д. Ландау впервые указал на возмож
ность спонтанного нарушения симметрии квантовой системы. 
Поставленная им проблема до сих пор остается предметом острых дискуссий, так как гамильтониан системы носитель заряда плюс поляризующаяся среда коммутирует с оператором 
импульса. На этом основании многие исследователи [2–5] полагают, что основное состояние такой системы должно описываться собственной функцией оператора импульса, однако эти 
функции не локализованы в пространстве. Уже по той причине, 
что эта проблема до сих пор не решена, исследования по физике 
поляронов являются актуальными. В монографии рассмотрены 
методы, позволившие найти решение этой проблемы. 

Теория поляронов большого радиуса в середине XX в. достиг
ла успехов в расчете энергии связи полярона, его эффективной 
массы и подвижности. Были также предсказаны в общих чертах частоты полос поглощения света, обусловленного фотовозбуждением и фотодиссоциацией ПБР. Однако эксперименталь

но обнаружить предсказанные теорией свойства у каких-либо 
веществ долгое время не удавалось. Почти единственное исключение – демонстрация К. Торнбером и Р. Фейнманом [6] того, 
что гигантские потери энергии носителей заряда в оксидных 
покрытиях холодных катодов могут быть объяснены только 
свойствами поляронов. 

Одной из причин расхождения теории ПБР с экспериментом 

является, как будет показано ниже, пренебрежение пространственной дисперсией поляризуемости кристаллической решетки 
[7–10]. В результате теория неверно предсказывала область температур, в которой могут существовать поляроны. С предсказанием оптических свойств систем с ПБР, которые очень важны 
для интерпретации спектров оптической проводимости и фотоэмиссионной спектроскопии с разрешением по углам (angleresolved photoemission spectroscopy, ARPES) сложных оксидов 
с сильным электрон-фононным взаимодействием, в частности 
низкодопированных купратов, которые демонстрируют высокотемпературную сверхпроводимость (ВТСП) при более высоком 
уровне допирования, исторически сложилась необычная ситуация. Хотя в основополагающей книге С. И. Пекара [2] предсказывался спектр поглощения, обусловленный ПБР, из двух 
полос, одна из которых связана с переходами носителя в возбужденное состояние в поляризационной потенциальной яме, 
а другая – с фотодиссоциацией ПБР, затем эти две части спектра исследовались отдельно [11–16] и даже противопоставлялись друг другу. Кроме того, приближение, использованное 
при расчете полосы в спектре, обусловленной фотодиссоциацией поляронов [14] (а именно: классическое описание поляризационного поля), существенно повлияло на предсказываемые форму и положение полосы. Необходимость пересмотра 
предсказаний экспериментально наблюдаемых свойств систем 
с ПБР стала особенно очевидна после открытия ВТСП сложных оксидов, стимулировавшего исследование свойств диэлектриков, допированных для получения носителей заряда в зоне 
проводимости.

Таким образом, для развития теории ПБР с целью использова
ния при интерпретации экспериментальных данных необходимо 
решить вопрос, является ли система, в которой образовался ПБР, 
трансляционно-симметричной, или в ней происходит спонтанное 
нарушение трансляционной симметрии; учесть пространствен

ную дисперсию поляризуемости кристаллической решетки при 
анализе движения ПБР и на основе этого пересмотреть условия 
существования ПБР, определить его эффективную массу, интерпретировать процессы, ответственные за эффект Торнбера–Фейнмана; рассчитать полосу в оптических спектрах, обусловленную 
фотодиссоциацией ПБР, при квантовом рассмотрении поляризационного поля. Решить эти задачи в настоящей работе позволило использование сравнительно молодых (по сравнению с теорией поляронов) концепций спонтанного нарушения симметрии 
и аппарата квантово-когерентных состояний.

Многочисленные споры и дискуссии при обсуждении про
блем физики ПБР, не приводившие к согласию сторон, указывали на существование некоторого фундаментального свойства 
систем с сильной электрон-фононной связью, не учитывавшегося сторонами. Ниже показано, что таким фундаментальным 
свойством является наличие деформации фононного вакуума 
в области локализации носителя заряда. Именно оно делает 
эффективным метод квантово-когерентных состояний фононного поля. Именно наличие деформации фононного вакуума, 
развивающейся в соответствии с классическими уравнениями 
движения, обосновывает допустимость использования модели 
Ландау–Пекара с классическим описанием поля поляризации. 
Именно ее свойства устанавливают возможность перемещения 
ПБР в пространстве. Именно она формирует спектры оптической проводимости и ARPES систем с ПБР. Можно сказать, что 
целью настоящей книги является поиск и исследование этого 
отличительного элемента систем с ПБР.

Основные задачи монографии:
1. Ответ на вопрос, остается ли система, в которой образует
ся ПБР, трансляционно-инвариантной, как это предполагалось 
в работах [2–5], или при образовании ПБР происходит спонтанное нарушение трансляционной инвариантности системы.

2. Использование базиса квантово-когерентных состояний 

для описания состояния поля поляризации в ПБР. Разработка 
метода определения параметров деформации фононного вакуума в ПБР. Обоснование использования в задачах, не связанных 
с разрушением ПБР, классического представления и классических уравнений движения для поля поляризации.

3. Применение полученных параметров когерентного со
стояния поля поляризации в ПБР для предсказания оптиче

ских свойств систем с ПБР, обусловленных фотодиссоциацией 
ПБР.

4. Сопоставление предсказанных оптических свойств систем 

с ПБР (спектров оптической проводимости и ARPES) со свойствами низкодопированных сложных оксидов с сильным электрон-фононным взаимодействием (купратов [17–32], никелатов 
[33–35] и пр.).

5. Развитие теории ПБР при учете пространственной дис
персии фононной поляризуемости для анализа движения ПБР 
по кристаллу. На этой основе определение условий существования ПБР, его эффективной массы (как энергетической, так 
и компонент тензора инертной массы), условий возникновения 
когерентного квазичеренковского излучения волны поляризации при движении ПБР.

6. Исследование эффектов когерентного квазичеренковского 

излучения волны поляризации при движении ПБР со скоростью, превышающей максимальную групповую скорость фононов одной из ветвей, взаимодействующих с носителем заряда.

7. Построение термодинамической функции распределения 

носителей заряда в системе, где могут формироваться ПБР, при 
учете ограниченности области их существования по скоростям 
и локализованности в пространстве. Использование ее для предсказания температурного поведения электрических и оптических свойств систем, в которых могут существовать ПБР.

Порядок изложения теоретических сведений в монографии 

соответствует порядку перечисления задач. Объектами, к которым применимы полученные в исследовании результаты, являются допированные до невысоких концентраций носителей 
заряда диэлектрические кристаллы с высокими значениями 
решеточной поляризуемости и не слишком высокими частотами фононов, сильно взаимодействующих с носителем заряда. 
В таком случае выполняется условие адиабатичности [2] 
(условие сильной связи), и при достаточно низких температурах носители заряда находятся в состоянии ПБР. Среди реальных подобных объектов наибольший интерес в настоящее время представляют сложные оксиды, в частности – низкодопированные купраты, демонстрирующие при более высоком уровне 
допирования ВТСП. 

ГЛАВА 1 
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯРОНОВ

1.1. Электрон-фононное взаимодействие. Полярон большого 

радиуса (ПБР). Энергия связи ПБР при классическом 

рассмотрении поля поляризации 

Начало развитию теории поляронов положил Л. Д. Лан
дау [1], указав, что заряженная частица в однородной поляризующейся среде может локализоваться, если локализация 
обеспечит ей выигрыш в энергии за счет взаимодействия 
с поляризационным зарядом, возникшим в области ее локализации. Наиболее полное определение понятия «полярон» дал 
позже А. С. Давыдов [36]: «Полярон представляет собой автолокализованное состояние электрона в ионном кристалле, 
обусловленное нелинейным и нелокальным взаимодействием 
электрона с векторным полем поляризации, возникающей 
в кристалле под влиянием того же электрона». Энергию связи 
такого автолокализованного состояния носителя заряда впервые рассчитал С. И. Пекар [2]. Он рассмотрел случай, когда область локализации носителя заряда значительно больше 
размеров элементарной ячейки кристалла, используя континуальное приближение. Такое состояние получило название 
«полярон большого радиуса» (ПБР). Было показано [2], что 
условием существования ПБР является высокая решеточная 
поляризуемость кристаллов. 

Для анализа случая сильного электрон-фононного взаимо
действия Л. Д. Ландау и С. И. Пекаром [2, 37] было предложено использовать адиабатическое приближение, в котором ско

рость движения носителя в поляризационной потенциальной 
яме полагается много больше скорости движения ионов, так 
что носитель адиабатически следует за движением ионов. Область применимости адиабатического приближения ограничена 
выполнением неравенства 
p
E
, где Ep – энергия связи по
лярона, 
p
E
– энергия фонона [2]. Для получения энергии связи 

ПБР С. И. Пекар применял вариационный метод, при этом использовалось классическое описание поля поляризации [2, 37], 
состояние же носителя заряда рассматривалось квантовомеханически. Функционал, который было необходимо минимизировать, включал в себя кинетическую энергию носителя заряда, 
потенциальную энергию его взаимодействия с полем поляризации и потенциальную энергию поляризационного поля.

Электростатическая энергия взаимодействия электрона, на
ходящегося в точке rel, с поляризационным полем P(r) имеет 
вид [2]:

1

int
(
) ( )
(
) ( )
,
el
el
E
d
e
d

r
D r
r
P r
r
r
r
P r
r     (1.1)

где индукция поля, создаваемого электроном,

1
(
)
(
).
el
el
e


r
D r
r
r
r
                (1.2)

Взаимодействие равно нулю для поперечных поляризационных 
полей. 

Полная продольная поляризация, обусловленная медленно 

движущимся электроном, может быть разделена на две части – 
инерционную (инфракрасную) Pir(r), обусловленную относительным смещением ионов, и безынерционную (оптическую) Рopt(r), 
обусловленную поляризацией каждого иона:

Рtot(r) = Pir(r) + Рopt(r).                       (1.3)

Это разделение соответствует наличию в продольной диэлектрической проницаемости ε(ω) низкочастотных и высокочастотных резонансов. Взаимодействие избыточного электрона 
c электронами внутренних оболочек, описываемое Рopt(r), безынерционно, так как внутренние электроны следуют адиабатически за движением медленного избыточного электрона,  
т. е. оптическая часть поляризации всегда возбуждается вне 

зависимости от скорости движения электрона. Поэтому вклад 
этого взаимодействия может быть учтен в приближении эффективной массы. 

Наиболее интересное с точки зрения качественно новых эффектов электрон-решеточного взаимодействия поляризационное 
поле связано с инерционной поляризацией Pir(r), которая ниже 
будет обозначаться Р(r). Чтобы выразить для ионной решетки 
связь между Р(r) и индукцией D(r) через эффективную диэлектрическую проницаемость, рассмотрим, с одной стороны, покоящийся пробный заряд, когда

0
4
,
tot
D
E
E
P
                       1.4)

а с другой – пробный заряд, колеблющийся в жесткой ионной решетке (без смещений) с частотой, превышающей все предельные частоты оптических фононов. В этом случае индукция 
электрического поля будет, очевидно, такой же:

'
'
4
,
opt
D
E
E
P
.                   (1.5)

Из (1.12) и (1.13) можно найти разность между Рtot и Рopt, которая равна

Р(r) = D(r)/4π
1
1
1

0
*
.
,                          (1.6)

1
1
1

0
*
.
(1.7)

Выражение (1.7) определяет эффективную диэлектриче
скую проницаемость 
1
1
1

0
*
.
, обусловленную поляризационными 

смещениями ионов, через статическую и высокочастотную диэлектрические постоянные 
1
1
1

0
*
.
и 
1
1
1

0
*
.
. Величина 
1
1
1

0
*
.
не есть прос
то их разность, так как смещение ионной решетки и соответ- 
ствующее поляризационное поле Р(r) учитывает электронную 
поляризацию в той мере, в которой она влияет на смещение 
ионов, как это видно из (1.4)–(1.7). Если электрическое поле 
обусловлено точечным зарядом, величина которого медленно 
нарастает во времени («включается») в данной точке кристалла от 0 до е, то Р есть поляризация, определенная после того, 
как ионы срелаксируют к своим новым положениям равновесия; при этом они деформируются вследствие электронной 

поляризации, и только после этого снимается поляризация 
электронных оболочек. 

Потенциальная энергия единицы объема поляризационно
го поля, определенная как работа, затраченная на отклонение 
ионов при переходе от состояния с нулевой поляризацией 
P(r) = 0 к состоянию с поляризацией P(r), определяемой выражением (1.6), имеет вид:

2

0
0

1
1
'
'
'
,
4
*
8
*
d
d
D
D
D

D
P
D
D
(1.8)

где D – индукция поля, поддерживающего поляризацию P(r). 
Тогда потенциальная энергия поляризационного поля во всем 
объеме кристалла

2
2
1
2
.
8
*
*

pol
U
D d
P d
r
r
(1.9)

Учитывая (1.1), (1.9), функционал, который необходимо ми
нимизировать, имеет вид:

2

2
[ , ]
2
*
,
2
*
J
d
d
d
m
2
P
r
PD r
P
r
(1.10)

где D – вектор электрической индукции поля, создаваемого носителем заряда, в точке r:

2

3
[ , ]
( )
.
d
1

1
1

1

r
r
D
r
r
r

r
r

(1.11)

В основном состоянии кристалла функционал [ ,
]

( )

J P

r

 дол
жен иметь абсолютный минимум при независимых вариациях 

[ ,
]

( )

J P

r  и Р(r) при условии сохранения нормировки вол
новой функции. Приравнивая нулю вариацию функционала, 
обусловленную измененем Р(r) при фиксированной волновой