Б. С. Добронец
О. А. Попова

Монография

Институт космических и информационных технологий

чиСленный 
верОятнОСтный АнАлиз
неОПреДеленных ДАнных

Впервые изложен подход к использованию числен-
ного вероятностного анализа для решения задач с 
неточными входными данными. Основное внимание 
уделено численному решению  систем линейных ал-
гебраических уравнений и нелинейных уравнений,  
а также задачам оптимизации и прогнозирования. 
Разработанные алгоритмы могут быть использованы 
для исследования сложных систем с входными дан-
ными, заданными различными типами неопределен-
ности.

9 785763 830934

ISBN 978-5-7638-3093-4

Министерство образования и науки
Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

Б.С. Добронец, О.А. Попова

Численный вероятностный анализ

неопределенных данных

монография

Красноярск
СФУ
2014

УДК 517.972.9
ББК 22.193

Рецензенты:

Ю.И. Рогозов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой САиТ ЮФУ;

Г.A. Доррер, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой систетемотех-
ники СибГТУ

Добронец, Б.С.
Д 564 Численный вероятностный анализ неопределенных данных: мо-
нография / Б.С. Добронец, О.А. Попова — Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 
2014. — 168 с.

ISBN 978-5-7638-3093-4

Впервые изложен подход к использованию численного вероятностного
анализа для решения задач с неточными входными данными. Основное
внимание уделено численному решению систем линейных алгебраических
уравнений и нелинейных уравнений, а также задачам оптимизации и про-
гнозирования. Разработанные алгоритмы могут быть использованы для ис-
следования сложных систем с входными данными, заданными различными
типами неопределенности.
Предназначена для специалистов, работающих в области решения за-
дач с неточными входными данными, в условиях их неопределенности и
неоднозначности. Может быть полезной для студентов, магистрантов и ас-
пирантов.

УДК 517.972.9
ББК 22.193
c⃝
Сибирский федеральный
университет 2014
ISBN 978-5-7638-3093-4

Оглавление

Предисловие
6

Введение
16

1. Элиторная неопределенность
25
1.1. Эмпирическая функция распределения
. . . . . . . . . . . .
27
1.2. Дискретная (квантильная) оценка функции распределения .
28
1.3. Гистограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.4. Полиграмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.5. Восстановление плотности распределения методом Розенблатта–
Парзена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.6. Проекционные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

2. Интервальное представление неопределенности
33
2.1. Интервальные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2. Интервальные расширения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3. Интервальные сплайны
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.4. Интервальные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.5. Интервальные СЛАУ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

3. Интервальные функции распределения (P-boxes)
61
3.1. Разложение интервальной функции распределения
. . . . .
63
3.2. Декартово произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.3. Независимость переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.4. Сжатие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.5. Агрегация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6. Критика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.7. Гистограммные функции распределения . . . . . . . . . . . .
71

3

4. Элементы численного вероятностного анализа
74
4.1. Способы представления функций плотности случайных ве-
личин
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2. Гистограммные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.3. Законы распределения функций случайных аргументов . . .
77
4.4. Операции над плотностями вероятности случайных величин
78
4.5. Тестирование. Сравнение с методом Монте-Карло . . . . . .
83
4.6. Вероятностные расширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.7. Решения систем линейных алгебраических уравнений . . . .
87
4.8. Решения нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.9. Задачи интерполяции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

5. Гистограммные временные ряды
97
5.1. Основы гистограммных временных рядов . . . . . . . . . . .
100
5.2. Оценка погрешности для гистограммных временных рядов .
101
5.3. Использование метода k − NN для прогноза временных рядов102
5.4. Адаптация метода k − NN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
5.5. Построение прогноза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
5.6. Метод расщепления
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
5.7. Численный пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
5.8. Временная агрегация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105

6. Случайное программирование
109
6.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
6.2. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
6.3. Случайное линейное программирование . . . . . . . . . . . .
114
6.4. Случайное нелинейное программирование . . . . . . . . . . .
117
6.5. оптимизации выработки электроэнергии гидроэлектростан-
цией в условиях неопределенности . . . . . . . . . . . . . . .
119

7. Регрессионный анализ
124
7.1. Агрегация данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
7.2. Регрессионное моделирование на основе агрегированных дан-
ных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
7.3. Классическая параметрическая регрессия . . . . . . . . . . .
131
7.4. Метрики в пространстве гистограмм . . . . . . . . . . . . . .
131
7.5. Гистограммная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
7.6. Численный пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133

4

8. Процедуры распространения неопределенностей
136
8.1. Анализ существующих подходов к представлению и распро-
странению неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
8.2. Распространение неопределенности на основе численного ве-
роятностного анализа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
8.3. Арифметика неопределенных данных на основе гистограмм
второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
8.4. Показатели надежности сложных объектов . . . . . . . . . .
144

9. Технология информационной поддержки принятия инве-
стиционных решений
149
9.1. Оценки рисков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
9.2. Расчет NPV и IRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
9.3. Пример использования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

Список литературы
157

5

Предисловие

Исследователям и практикам хорошо известно, что при получении неоп-
ределенной информации (что довольно часто и происходит в реальной
практике) проведение дальнейших исследований и решение поставленных
задач требует более адекватных методов представления исходной инфор-
мации и более сложных методов расчета. Например, для руководителей
и специалистов в различных сферах практической деятельности, прини-
мающих ответственные управленческие решения, важно получить ответ
на вопрос: «Можно ли на основе имеющейся информации получить досто-
верные данные и установить с помощью численных расчетов, достаточно
полезную и реалистичную картину последствий принимаемых управленче-
ских решений, несмотря на тот факт, что информация, на основе которой
принимается решение, носит существенно неопределенный характер?». От-
ветить на этот вопрос — это значит проанализировать множество аспектов,
связанных как с понятием неопределенной информации, так и собственно
с самими численными методами, моделями и процедурами, необходимыми
для реализации всех стадий информационного процесса. Важно отметить,
что при осуществлении вычислительных процедур над неопределенными
данными с помощью численных методов представления, обработки, моде-
лирования и численных расчетов могут быть установлены дополнительные
неопределенности, которых нет в изначальной постановке. Следует также
указать на необходимость изучения ограничений применимости методов,
используемых для практических расчетов с неопределенными значениями.
Исследователям и практикам также необходимо иметь в виду, что при
разработке и применении численных методов на основе неопределенных
данных должен обеспечиваться определенный уровень надежности и до-
верия к полученным результатам, прозрачности, полноте, релевантности и
понятности допущений относительно способов представления информаци-
онной неопределенности и ограничений для реализуемых численных про-
цедур.
Поэтому изучение способов и разработка новых форм представления

6

информационной неопределенности в данных, применение численного мо-
делирования на основе новых численных методов и подходов и разработка
новых методов, реализующих перечисленные выше аспекты, представляет
собой актуальную задачу.
Актуальность такой постановки проблемы подтверждается требования-
ми многих норм действующего российского законодательства, рядом рос-
сийских и зарубежных стандартов. Любые действия, предпринятые по при-
чине неточности или неполноты данных, увеличивают надежность полу-
ченной актуарной информации.
Как показал анализ литературы, проблема снижения уровня неопреде-
ленности в исходных данных и повышение эффективности численных ме-
тодов представления, обработки, моделирования и анализа в течение мно-
гих десятилетий находится в центре внимания и остается предметом мно-
гих научных исследований. Достаточно отметить работы Ф.П. Тарасенко
«О роли ошибок в управленческой деятельности». Вместе с тем можно с
уверенностью утверждать, что данная проблема попрежнему актуальна и
составляет предмет исследования многих ученых. Наиболее значимые ре-
зультаты в данной предметной области были получены учеными: B. Liu, F.
Scott, A. Neumaier, H. Schjaer-Jacobsen, D. Dubois, О.И. Ужга–Ребровым.
Проблемам принятия экономических решений в условиях неопределен-
ности, в частности проблемам методологии представления неопределенных
данных, моделированию в условиях неопределенности и решению задачи
оптимального выбора в условиях интервально определенных цен, посвя-
щены работы Д.В. Давыдова, А.А. Тарасова. Проблема повышения эф-
фективности принятия инвестиционных решений, задача оценки инвести-
ционных проектов с учетом факторов риска и неопределенности рассмат-
ривается в работах А.М.Дыбова, А.В. Лукашова. В частности, в работах
А.М.Дыбова анализируются достоинства и недостатки различных мето-
дов формализации неопределенности, в том числе вероятностного, нечетко-
множественного и экспертного. На основе результатов проведенного ана-
лиза выдвигается ряд предположений по их оптимальному применению.
Изучению альтернативных методов решения задачи принятия эффектив-
ных инвестиционных решений, в частности оценке инвестиционных проек-
тов условиях высокой неопределенности и риска, посвящены исследования
А.В. Лукашова, на практических примерах им демонстрируется примене-
ние метода Монте-Карло для численных расчетов NPV инвестиционных
проектов и оценки чистой приведенной стоимости с целью определения
привлекательности инвестиционных проектов.

7

Среди зарубежных публикаций проблеме представления неопределенно-
стей в данных и численным процедурам расчета посвящены работы, Б.С.
Добронца [66, 68], R. C. Williamson [54], D. Berliant [8], Jianzhong Zhang,
где рассматриваются интервальная, вероятностная и нечеткая неопреде-
ленность в данных и соответствующие арифметики над ними. Вводится
как отражение специфических свойств экономических данных понятие эко-
номической неопределенности. Изучению свойств информации в условиях
неопределенности, способам и процедурам ее представления, обработки в
условиях элиторной и эпистемистической неопределенности посвящены ра-
боты D. Dubois [12], H. Prade, A. Neumaier [38] и S. Ferson [23]. Численные
модели и методы обработки неопределенной информации рассматривают-
ся в работах S. Ferson [24], в частности ряд его публикаций посвящены
вопросам применения и изучения эффективности метода Монте-Карло к
задачам с различными типами неопределенности [22].
В настоящее время понятие неопределенности получило специализиро-
ванный подтекст. Например, в работах H. Schjaer-Jacobsen [41] вводится
понятие экономической неопределенности, где исследуются представления
экономической неопределенности с помощью интервалов, нечетких чисел и
вероятностей, в том числе квадратичных, кубических, и четырех степенных
оценок и обсуждаются проблемы применения четырех основных арифме-
тических операций к неопределенным экономическим показателям. В дан-
ной статье авторы пишут, что заинтересованы главным образом в пред-
ставлении и расчете экономической неопределенности, т. е. в арифметике
неопределенных значений применительно к экономическим проблемам.
Отсутствие объективной и полной информации о распределении пара-
метров приводит к необходимости рассматривать специальные методы и
подходы работы с данными. Для представления случайных величин и ра-
боты с ними определенное удобство представляют гистограммные числа
и соответственно гистограммная арифметика. Исследованию и примене-
нию гистограммной арифметики посвящен ряд работ. Среди первых пуб-
ликаций по данной тематике следует назвать работы Б.С. Добронца [66].
В настоящее время арифметики для работы со случайными величинами
развиваются в следующих направлениях: интервальный анализ [33, 34] и
интервальная арифметика, нечеткая арифметика.
Одним из факторов, влияющих на качество принимаемых решений, яв-
ляется уровень неопределенности информации. Уровень неопределенности
информации определяет различные подходы и методы. Выделяют уровни
и типы неопределенностей. Например, H. Schjaer-Jacobsen [41] определяет

8

несколько уровней неопределенности, где самый низкий уровень неопре-
деленности соответствует ситуации «полная» информированность — точ-
ный результат. Более высокий уровень неопределенности предполагает на-
личие некоторого вероятностного пространства. Существующая неопреде-
ленность информации отражается в данных как неопределенность данных.
Можно выделить три типа неопределенных данных: случайные, нечеткие
и интервальные. Случайные числа задаются некоторыми вероятностными
распределениями их возможных значений; нечеткие данные — лингвисти-
чески сформулированными распределениями их возможных значений; ин-
тервальные данные — интервалами их возможных значений без указания
какого-либо распределения возможных значений внутри заданного интер-
вала. Очевидно, что интервальные данные содержат минимальную инфор-
мацию о границах изменения неопределенного параметра или его принад-
лежности некоторому интервалу. В этом случае говорят об интервальной
неопределенности как о состоянии неполного (частичного знания) об инте-
ресующей нас величине. В качестве примера можно привести интерваль-
ную неопределенность спроса на произведенную продукцию.
Особый интерес в рамках работы с неопределенными данными представ-
ляют два вида неопределенностей, а именно: элиторная и эпистемическая.
Неопределённость, которая является неотъемлемым атрибутом случайных
событий, называют элиторной (aleatory) неопределённостью. Теория веро-
ятностей предназначена для моделирования, оценки и оперирования имен-
но элиторными неопределённостями. В свою очередь, неопределённость са-
мих вероятностных оценок называют эпистемической неопределённостью
(epistemic uncertainty). Эпистемическая неопределённость прямо связана с
объёмом и достоверностью информации, на основании которой получаются
эти оценки.
Анализ публикаций по данной тематике позволил выделить шесть ос-
новных направлений в изучении эпистемической неопределенности. Пер-
вый подход отражает субъективную природу эпистемической неопределен-
ности, когда необходимая информация, снижающая уровень неопределен-
ности и необходимая для получения вероятностных оценок, зависит от
субъекта. В этом случае используются экспертные оценки. Вместо зада-
ния значения вероятности осуществления события эксперт задает некото-
рое множество таких значений и приписывает каждому значению веро-
ятность его истинности. Чтобы получить точечную оценку вероятности
события, рассчитывается математическое ожидание полученного распре-
деления. Подход второй — интервальный, связан с возможностью для по-

9

строения вероятностных оценок использовать информацию о граничных
(интервальных) значениях оцениваемых характеристик. Эти методы слож-
ны и достаточно широко представлены в рамках интервального анализа
R.Moore [33], A. Neumaier [37]. Подход третий — анализ вероятностной чув-
ствительности имеет исключительно прикладной характер B. (Liu [21]). В
конкретной предметной задаче производится субъективное оценивание ве-
роятностей релевантных событий. На основе полученной информации ре-
шается задача и получаются требуемые конечные результаты. После этого
исходные значения вероятностей варьируются в заданных пределах и оце-
нивается влияние этого варьирования на конечные результаты. Анализ ве-
роятностной чувствительности нашел широкое распространение, особенно
в задачах принятия решений.
Подход четвертый — теория Демпстера-Шефера (Dempster-Shafer Theory
of Evidence)[46]. Эта теория является расширением теории вероятностей
на случай, когда пространство случайных событий состоит не из синглето-
нов, а может включать в себя некоторые подмножества событий. Теория
Демпстера-Шефера позволяет справиться с такими задачами, в которых
теория вероятностей принципиально неприменима.
Подход пятый это метод распространения вероятностей и связан с по-
нятием сети уверенностей. Он был предложен Ю. Пирлом и представляет
эффективное средство моделирования исходных неопределенных ситуаций
во многих приложениях искусственного интеллекта и в теории принятия
решений [43].
Шестой подход опирается на понятие вероятности второго порядка и
известен как second-order probability. Данный подход представляет собой
метод, позволяющий строить вероятностные оценки в случае эпистемиче-
ской неопределенности. Концепция вероятностей второго порядка была из-
ложена в 1996 году в работах A. Mosleh и V. M. Bier [36].
Анализ публикаций показал, что несмотря на то, что данное направ-
ление достаточно активно развивается за рубежом, понятие вероятности
второго порядка еще находится в стадии определения.
В настоящее время разрабатывается подход, который в отечественной
специализированной литературе получил название распространение неопре-
деленности, а в зарубежных источниках звучит как propagation of uncertainty.
Анализируя содержательный смысл этого понятия, можно выделить такой
важный аспект процедуры распространения неопределенности, как способ
получения дополнительных оснований (знаний) для исследования входных
данных. Другими словами, если исследователь находится в условиях недо-

10

статочности или полного отсутствия эмпирической информации или осно-
ваний для выдвижения идей и предположений о неизвестном распределе-
нии входных параметров, то необходимо распространить (propagate) суще-
ствующую неопределенность, чтобы получить достаточные выводы в со-
ответствии с принципом недостаточного основания. Чтобы получить необ-
ходимые основания для оценки или восстановления неизвестного входного
распределения на основе неполной, неточной информации, можно исполь-
зовать различные процедуры, например, следует рассмотреть распределе-
ние вероятностей, которое имеет максимальную энтропию, допускаемую
имеющейся априорной информацией. При этом важно следовать такому
принципу: выбрать тип представления в соответствии с количеством имею-
щейся информации и оставаться верным имеющейся информации, включая
информационные пробелы. Применение принципа недостаточности (доста-
точности) оснований позволяет существенно расширить формы представ-
ления неопределенностей, такие, как P-boxes, Neumaier’s clouds, теория
Демпстера-Шафера, интервальные гистограммы, гистограммы второго по-
рядка.
В рамках рассмотренных принципов распространения неопределенно-
сти можно достичь, используя метод вероятностных границ (Probability
bounds). Его основная идея приводится, например, в работе, и состоит
в следующем: «есть нечто, что можно сказать о неизвестном распреде-
лении. В частности, его функция распределения вероятностей или CDF
(Сumulative Distribution Function) должна лежать в области — ящике (box),
ограниченная нулем и единицей по вертикали и от минимума и макси-
мума горизонтально. Истинная функция распределения, какой бы она ни
была, должна находиться в этой области». Идея построения вероятност-
ных границ оказалась весьма продуктивной и нашла свое применение в
такой форме представления неопределенности, как P-box. Еще одним под-
ходом к распространению неопределенности являются Облака Неймайера
(Neumaier’s clouds) , которые позволяют представить неполную стохастиче-
скую информацию четким, понятным и вычислительно привлекательным
способом, а также дают возможность визуализировать неопределенность
и обладают четкой семантикой, выступая посредником между понятием
нечеткого множества и вероятностным распределением. В рамках основ-
ных подходов к распространению неопределенности следует указать так-
же на математическую теорию очевидностей (свидетельств) Демпстера–
Шафера (Dempster–Shafer theory), основанную на функции доверия (belief
functions) и функции правдоподобия (plausible reasoning), которые исполь-

11

зуются, чтобы скомбинировать отдельные части информации (свидетель-
ства) для вычисления вероятности события. Данная теория позволяет по-
строить необходимые основания в условиях неопределенности путем оцен-
ки верхней и нижней границы интервала возможностей. Среди подходов
к распространению неопределенностей следует особенно выделить метод,
который опирается на понятие «вероятность второго порядка», и известен
как second-order probability. Данный подход представляет собой метод, поз-
воляющий строить вероятностные оценки в случае эпистемической неопре-
деленности.
Анализ отечественных и зарубежных публикаций показал, что такие по-
нятия, как обработка неопределенностей (tradement), управление неопре-
деленностями (management of uncertainties) и теория неопределенностей
(theory of uncertainty) становятся все более популярными направлениями
исследований. На это указывает присутствие данных направлений в меж-
дународных конференциях, а также количество работ по данному направ-
лению за последние несколько лет.
В этом контексте необходимо отметить книгу О.И. Ужга-Реброва «Управ-
ление неопреленностями» (2004) [97], которая посвящена современным кон-
цепциям и приложениям теории вероятностей. В качестве практических
приложений теории вероятностей рассматриваются вероятностные клас-
сификаторы и задачи принятия решений в условиях риска. Исследованию
математических методов обработки неопределенных данных посвящена мо-
нография А.В. Крянева и Г.В. Лукина (2006) [80].
Оптимизационные задачи представляют собой важную составляющую в
теории и практике принятия управленческого решения. Особое место среди
них занимают оптимизационные задачи с неопределенными входными дан-
ными. В случае, когда входные параметры содержат неопределенность, ис-
пользуется математический аппарат неопределенного программирования.
Исследованию неопределенностей и решению оптимизационных задач
принятия решений в условиях неопределенности посвящены работы китай-
ского математика B. Liu , который в работе «Теория и практика неопреде-
ленного программирования» (2009) [21] рассматривает разнообразные за-
дачи принятия оптимальных решений в условиях различных типов неопре-
деленности.
Неопределенное программирование представляет собой теоретические
основы решения оптимизационных задач в условиях различных видов неопре-
деленности. Подходы и методы неопределенного программирования имеют
ряд достоинств и определенные недостатки. Среди достоинств следует ука-

12