W-метод исследования вариационных задач (с вычислительными аспектами)


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929/.534



° В. 3. Цалюк




                Ж-МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ (с вычислительными аспектами) ¹




Приведены обзор последних результатов, связанных с применением W-метода для решения и исследования квадратичных вариационных задач; сообщение о разработке программного пакета, предназначенного для производства точных вычислений, связанных с этими задачами; примеры прикладных задач.

Ключевые слова: квадратичная вариационная задача, экстремальная задача в гильбертовом пространстве, функционально-дифференциальное уравнение, краевая задача, оператор Грина, символическая компьютерная алгебра.


   В работах математиков Пермской школы систематически применялся прием, получивший название Ж-подстановки. Суть его в переносе рассматриваемой задачи в пространство (локально) суммируемых функций с помощью оператора Грина надлежащим образом подобранной краевой задачи.
   Эта идея, несмотря на ее простоту, оказалась очень эффективной как для получения условий разрешимости краевых задач для функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ), так и в теории устойчивости ФДУ.
   В последние годы Н.В. Азбелев усиленно пропагандировал применение Ж-подстановки для решения и исследования вариационных задач. Развернутые изложения метода, в его состоянии на момент публикации, приведены в [1-3]. Последний обзор работ школы Н. В. Азбелева по теории и приложениям вариационных задач опубликован в [4].





                § 1. Канонический вид функционала





Наибольшее развитие получила теория задач вида


         I <•’■■)=a 2 ()²+2 Xт1 j          T2j *
         'ix = аг, i = 1, 2, ..., N,


+ T0x dt ^ min,

(1)

   ¹Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 06-01-00744 и 06-01-96060).