СХОДИМОСТЬ ЛОМАНЫХ ЭЙЛЕРА В УСЛОВИЯХ КАРАТЕОДОРИ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.928.1+517.929.8


© Д. В. Хлопин

СХОДИМОСТЬ ЛОМАНЫХ ЭЙЛЕРА
В УСЛОВИЯХ КАРАТЕОДОРИ ¹

В условиях Каратеодори исследуется сходимость ломаных Эйлера к решениям системы. Множество всевозможных разбиений оснащается псевдометрикой. Показано, что сходимость разбиений к рассматриваемому промежутку гарантирует сходимость ломаных Эйлера к пучку решений системы.

Ключевые слова: ломаные Эйлера, сходимость к пучку решений, функции Каратеодори, системы с измеримой по времени правой частью.


   Известно, что в системах с непрерывной правой частью ломаная Эйлера лежит сколь угодно близко к решению системы при достаточно малом диаметре разбиения [1]. Для измеримой правой части малый диаметр разбиения не гарантирует сходимость даже при одном разрыве функции правой части вдоль всякой траектории. Всевозможные пределы все более мелких ломаных Эйлера исследовались в работе [2].
   В данной работе рассматривается дифференциальная система


'>' = f(t,x), x(10)= x0

(1)


в m -мерном фазовом пространстве Rm на конечном промежутке Iо = [tо ,T] (tо < T) . На систему накладываются условия Каратеодори и условие 1родолжимости всех решений на весь отрезок 10.
   Пусть D — семейство всех замкнутьix подмножеств множества 1₀ , содержащих точки tо, T. Каждому множеству переключений A eD поставим в соответствие функцию тД(t) = max {т | т Е A,т 6 t}.
   Для всех m⁰ Е N, для всяких функции Каратеодори F Е B (1₀ х Rm , Rm ) и компакта Ф С C (1₀, Rm ) определим на D псевдометрику %F : D х D ^ [0, + то] по правилу:

  %^(Ai, A2) = sup/ ° F (т11 (t) ,y (т11 (t))) - F (т1₂ (t) ,y (т1 ₂ (t )))|| ; ye ф Ji₀ ¹¹                                                 llm


dt.

   ¹Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты 06-0100414, 07-01-96088) и Фонда содействия отечественной науке.