Москва
РИОР
ИНФРА-М

СИТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
СИТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ

ИНДЕКСОВ ЦЕН 
ИНДЕКСОВ ЦЕН 
И КОЛИЧЕСТВ
И КОЛИЧЕСТВ

Монография
Монография

Ý.Á. ÅÐØÎÂ
Ý.Á. ÅÐØÎÂ

УДК  311.4(075.4)
ББК  60.6
 
Е80

Р е ц е н з е н т ы:
Ю.Н. Иванов, профессор, д. э. н., заведующий кафедрой статистики 
факультета экономики МГУ им. М.В. Ломоносова
Г.Б. Клейнер, член-корреспондент РАН, профессор, заместитель 
директора Центрального экономико-математического института РАН

Ершов Э.Б.
Ситуационная теория индексов цен и количеств: Монография — М.: 
РИОР: ИНФРА-М, 2012. — 420 с. — (Научная мысль).

ISBN 978-5-369-01041-9 (РИОР)
ISBN 978-5-16-005438-4 (ИНФРА-М)

В монографии на основе критического анализа классической теории 
индексов цен и количеств, сформировавшейся к середине 80-х годов
XX века, и работ, имеющих целью преодоление ограниченности ее исходных 
положений, противоречий и нерешенных проблем, излагается более общая, 
ситуационная теория индексов. Она исходит из необходимости и возможности 
учета особенностей рассматриваемых типовых ситуаций для экономической 
системы, в которых выбранные классы операций характеризуются 
количествами и ценами продуктов, используемых в течение сравниваемых 
периодов-состояний системы.
Предлагаемая теория обосновывает выбор формул индексов цен
и количеств для различных ситуаций и, в частности, для сравниваемых
и считающихся однородными периодов, в течение которых цены не остаются 
постоянными. По доступным статистическим данным рассчитываются средние 
для таких периодов цены и использующие их индексы. Для агрегированных 
периодов, образуемых последовательностями однородных периодов меньших 
продолжительностей, определяются индексы цен – дефляторы потоков 
стоимости.
Книга предназначается для исследователей, преподавателей, аспирантов
и студентов, специализирующихся на изучении экономической и ста-
тистической теории в их изложении, активно и систематически использующем 
математический инструментарий, предоставляемые практической статистикой 
экономические данные и методы экономико-математического анализа
и моделирования.

УДК 311.4(075.4)
ББК 60.6

ISBN 978-5-369-01041-9 (РИОР)
ISBN 978-5-16-005438-4 (ИНФРА-М) 
© Ершов Э.Б., 2012

Е80

ВВЕДЕНИЕ

Экономические процессы невозможно представлять себе, анализи-

ровать и прогнозировать без использования денег и цен. С ценами
знакомы все. Об индексах цен наши знания менее конкретны, хотя
статистики и экономисты регулярно рассчитывают их в различных
вариантах и по различным поводам, начиная со второй трети девят-
надцатого века.

В чем же заключаются трудности, возникающие тогда, когда речь

идет о росте или снижении не цены на какой-либо конкретный товар,
а о ценах некоторого комплекса товаров и услуг? Если в базовом пе-
риоде был куплен товар в количестве q0 по цене p0, а в другом перио-
де – в количестве q1 и по цене p1, то отношение стоимостей покупок
(p1q1) / (p0q0) равно произведению отношений цен (p1 / p0) и количеств
(q1 / q0). Эти отношения называют индивидуальными индексами цен
IP и количеств IQ товара. Но, если комплекс состоит из (n) товаров, то
отношение стоимостей для двух комплексов в двух периодах или со-
стояниях (∑ip1

iq1

i) / (∑ip0

iq0

i), называемое индексом стоимости, можно

представить в виде произведения индекса цен IP и индекса количеств
IQ многими способами.

В простом случае величины индексов IP и IQ предполагаются за-

даваемыми в виде выбираемых функций от цен p0

i, p1

i и количеств q0

i,

q1

i (i = 1, ..., n) всех n товаров в двух сравниваемых состояниях:

IP  fn(p0, q0; p1, q1), IQ  gn(p0, q0; p1, q1). Такие функции 4n перемен-
ных должны быть определены при любом числе товаров и услуг, об-
разующих комплекс, то есть при n ≥ 1. Но в случае одного товара эти
функции очевидны: f1(p0, q0; p1, q1) = p1 / p0, g1(p0, q0; p1, q1) = q1 / q0.
Более ста лет теоретики и практики в области экономики и статистики
обсуждают проблему выбора так называемых «индексных формул»
(index numbers) – семейства пар функций {fn, gn; n ≥ 2}, определя-
ющих индексы цен и количеств. Были предложены десятки таких се-
мейств и высказаны аргументы за и против использования различных
пар индексных чисел.

Весьма авторитетные  исследователи сформулировали представ-

ляющиеся им естественными требования к таким функциям, то есть
к индексам цен и количеств. Анализ показал, что эти требования
противоречивы не только в совокупности, но даже, если от индек-
сов требуется выполнение всего нескольких свойств. Последние оп-
ределяются в виде проверяемых тестов, критериев или аксиом.
Но попытки обосновать выбор семейства функций {fn, gn} в качест-
ве используемых в любых случаях индексов цен и количеств успеха
не имели.

Было осознано, что целесообразно различать те реально проте-

кающие процессы в экономике, которые предполагается характери-
зовать и анализировать, используя цены, количества и их индексы.
Это привело к возникновению исследований, видевших задачу в
том, чтобы учесть при конструировании индексных формул или их
классов то, из-за чего количества и цены товаров и услуг в реально-
сти не принимают все возможные и казалось бы допустимые значе-
ния, а оказываются достаточно тесно связанными как в каждом из
сравниваемых периодов, так и в процессе их изменения, то есть в
динамике. Альтернативной для этих направлений стала позиция,
согласно которой связи между ценами и количествами учитывать
нет необходимости и даже возможности.

Поиск содержательных обоснований выбора формул индексов

привел к разделению теоретических исследований на противопостав-
ляемые, конкурирующие направления в теории индексов. Последняя
рассматривает индексы как конструируемый и изучаемый объект, а не
только как инструмент, используемый в практических расчетах. Аб-
солютизация исходных представлений этих направлений относитель-
но характеризуемой с помощью индексов системы взаимоотношений
и взаимодействий, отрицание возможности существования вариантов
реальности и задач их изучения привели к появлению тупиковых для
отдельных направлений проблем, отсутствию общего подхода к пре-
одолению разрывов между нами и общего понимания задач, стоящих
перед теорией индексов.

Такое состояние сложилось к середине восьмидесятых лет ХХ века,

когда фактически закончилось создание так называемой классической
теории индексов цен и количеств. Её исходные положения и результаты
с достаточной полнотой и адекватностью нашли отражение в статьях
Диверта [Diewert, 1987] и Халтена [Hulten, 1987], включенных в “The
New Palgrave. A Dictionary of Economics”. Вопросы практического ис-
пользования индексов, предлагаемых и обосновываемых классической
теорией, были изложены в монографиях Аллена [Allen, 1975,], Кёвеша
[Köves, 1983], Торвея [Turvey, 1989], изданных в переводах на русский
язык ([Аллен, 1980], [Кёвеш, 1990]. [Торвей, 1993]) и в «Руководстве по
индексу потребительских цен: теория и практика» [3, 7], подготовлен-
ному компетентными международными организациями.

Однако трудности и противоречия классической теории в этих

публикациях не были систематизированы и тем более не были пре-
одолены. Но они не оставались незамеченными. В ряде публикаций,
вышедших уже после издания энциклопедического словаря [9], рас-
сматривались требующие обсуждения вопросы, постановки которых
и подходы к нахождению ответов на них выходили за рамки класси-

ческой теории индексов. К их числу можно отнести работы [Triplett,
1989], [Balk, 1990, 1995], [Ершов, 1990, 2003, 2005, 2006, 2010], [Ma-
laney, 1996], [Hill, 2006], [Hansen, 2007], [Pursiainen, 2008], [Diewert,
Huwiler, Kohli, 2009], [de Haan, Balk, Hansen, 2009], монографии
[Зоркальцев, 1996], [Stuvel, 1989] и [Balk, 2008].

В этих условиях стала актуальной и реально возможной разработка

новой и более общей по сравнению с классической версии теории ин-
дексов. Эта задача решается в данной книге. В первой её части обсуж-
даются состояние и проблемы классической теории индексов с тем,
чтобы выявить накопившиеся в ней противоречия, трудности и тре-
бующие нового подхода проблемы и аспекты. Во второй части харак-
теризуется предлагаемый подход, позволяющий с общих позиций
различать и изучать типовые ситуации, для которых теория предлага-
ет и обосновывает индексные формулы и порождающие их конструк-
ции. Обсуждается ряд проблем, характерных для классической теории
индексов, не получивших в ней решения. Показывается как основы
ситуационной теории индексов позволяют трансформировать трудно-
сти в эффективно решаемые задачи.

В третьей части книги, используя возможности ситуационного

подхода, формулируются ключевые задачи и проблемы, которые
должны быть решены с его использованием. Основное внимание
обращается на то, какими предполагаются и статистической систе-
мой регистрируются динамики цен продуктов в сравниваемых пе-
риодах-состояниях и в процессе перехода от начального состояния к
конечному. Классическая теория индексов имела дело со статиче-
скими ситуациями, для которых цены в сравниваемых состояниях
она считала постоянными и игнорировала то, как они изменялись в
этих периодах. Характер изменения цен, количеств и стоимостей для
комплекса товаров и услуг при переходе от периода к периоду счи-
тался не влияющим на выбор формул индексов. Учет того, как моде-
лируется процесс совместного изменения цен и количеств и как он
наблюдается, придает ситуационной теории индексов динамический
характер и позволяет судить об её адекватности  изучаемым ситуа-
циям.

Особенностью замысла монографии является то, что она должна

не только формулировать недостатки классической теории индексов,
направления их преодоления и основы новой версии теории, позво-
ляющей решать выявляемые задачи и проблемы, но и убеждать в том,
что предлагаемый подход является естественным и оправданным как
в теоретическом, так и в практическом отношениях. Поэтому прихо-
дится неоднократно обращаться к обсуждаемым вопросам, поскольку
выявляются их связи с ранее не отмечавшимися аспектами проблем.
Для сложного в логическом отношении конгломерата проблем, с ко-

торыми имеет дело теория индексов, линейный характер их рассмот-
рения не вполне эффективен. Многоаспектное изучение взаимосвя-
занных проблем, соотношения между которыми становятся ясными
по ходу их обсуждения, предполагает учет «вновь открывшихся об-
стоятельств», то есть циклическое или спиральное их рассмотрение.
При этом принимаемые аксиоматические положения требуют логиче-
ского и одновременно прагматического обоснования как отражающие
некоторую реалистическую ситуацию. При этом представлявшиеся
вполне естественными и оправдываемыми предположения могут не
сопоставляться ситуациям, выделяемым по теоретическим и практи-
ческим соображениям.

Для упрощения понимания текста, интенсивно использующего со-

кращения и обозначения понятий, конструкций, введенных величин и
соотношений между ними, представленных в виде формул, в Прило-
жениях 1 и 2 систематизируются упоминаемые индексные формулы и
предъявляемые к ним в виде аксиом, критериев и тестов требования.
В Приложениях 3 и 4 приводятся результаты, дополняющие извест-
ные положения классической теории индексов. Приложения 6 и 8
содержат важные в контексте книги определения, математические
утверждения и их доказательства. Характерные свойства часто упот-
ребляемых индексов цен, позволяющие различать те ситуации, для
которых они предназначаются, читатель найдет в Приложении 5.

В Приложениях 7 и 9 характеризуются результаты расчетов наи-

более известных индексов цен и количеств индексов, выполненных с
использованием данных, взятых из получивших признание научных и
методических публикаций, иллюстрирующих задачи и возможности
индексной методологии. В примерах рассматриваются типовые для
классической теории статические ситуации и динамические ситуации,
для которых индексы вводятся в Главах 9–12 книги.

Используются следующие обозначения. Цены, количества и стои-

мости товаров обозначаются первыми буквами соответствующих анг-
лийских слов – P и p, Q и q, V и v. А их индексы – соответственно как
IP, IQ, IV. Выделяемым в главах пунктам (параграфам) присваиваются
шифры, состоящие из номера главы и номера пункта в ней. Формула
обозначается номером главы, номером пункта и номером формулы в
нем. Таким образом, формула (3.1.2) – это формула 2 пункта 1 в Гла-
ве 3. Но формула (П.3.1) – это формула 1 Приложения 3. Таблицам
присваиваются номера в главах. Так Таблица Т.11.1 – это таблица 1 в
Главе 11. Но Таблица ТП.6.1 – это таблица 1 Приложения 6, а таблица
ТП.7.4.3 – это таблица 3 в Примере 4 Главы 7. В названиях рисунков
указываются номер рисунка в главе или в приложении. Например,
Рисунок РП.3.2 – это рисунок 2 в Приложении 3, Рисунок РП.7.1.2 –
это рисунок 2 примера 1 в Главе 7.

Публикации, включенные в список литературы к книге, разделены

на две группы: имеющие авторов, указываемых в их названиях, и кол-
лективные труды, для которых авторство может указываться в отно-
шении отдельных частей, глав или статей. Так, [Diewert, 1995a] – это
первая из включенных в список литературы и изданных в 1995 году
работ Диверта. Ссылка [Фишер, 1928; 343, 344] означает ссылку на
страницы 343 и 344 монографии [Фишер, 1928]. Некоторые работы,
оригиналы которых изданы на иностранных языках, имеются в пере-
водах на русский язык, включенных в список литературы. Такие рабо-
ты встречаются в списке дважды – как оригиналы и как переводы.
Так, [Fisher, 1922] – это оригинальная монография Фишера, а [Фишер,
1928] – сокращенный перевод её третьего, доработанного автором
издания. Работа [7] – исходный вариант руководства по индексу по-
требительских цен, [3] – его перевод (с незначительными сокраще-
ниями и исправлениями) на русский язык. При цитировании работ,
изданных на иностранных языках, такие ссылки указывают читателю
доступный перевод оригинала.

Книга предназначается для исследователей, преподавателей, аспи-

рантов и студентов, специализирующихся на изучении экономической
и статистической теории в их изложении, активно и систематически
использующем математический инструментарий и предоставляемые
практической статистикой экономические данные, и применяющих
методы экономико-математического анализа и моделирования.

В 2009–2010 годы работа над книгой велась как часть работ Лабо-

ратории макроструктурного моделирования экономики России по
Программе фундаментальных исследований Государственного уни-
верситета – Высшей школы экономики.

Автор выражает благодарность к.э.н. Н.А. Толмачевой за постоян-

ное сотрудничество и помощь в проведении расчетов.

Раздел I

Состояние классической теории индексов цен

и количеств и ее проблемы

Теория индексов цен и количеств в ее классической версии созда-

валась как реакция на чрезвычайное разнообразие практически при-
меняемых или рекомендуемых для такого применения индексных
формул. К началу XX века число таких формул для индексов цен уже
составляло несколько десятков. Большая часть из них вводилась в
процессе конкретных расчетов, рассматривалась предлагавшими их
статистиками, экономистами, общественными деятелями, чиновни-
ками и даже деятелями церкви как инструмент, а не как объект ана-
лиза. Обзор таких расчетов и использовавшихся в них до возникно-
вения соответствующей теории индексных формул содержится в
многочисленных публикациях, в том числе в изданных на русском
языке монографиях [Фишер, 1928], [Казинец, 1963], [Аллен, 1980],
[Ковалевский, 1989], [Кёвеш, 1990] и [Зоркальцев, 1996], посвящен-
ных всему комплексу вопросов, связанных с теорией индексов цен и
количеств. Библиографии работ по той проблематике были изданы
относительно давно ([Buckland, 1956], [Maunder, 1970]). Многообра-
зие таких формул, предложенных и изучавшихся по состоянию на
начало ХХI века, иллюстрируется в Приложении 1, где также приво-
дятся фамилии предлагавших эти формулы исследователей.

По-видимому, первые попытки изучения индексов с теоретических

позиций сделали Edgeworth, разрабатывавший вероятностную кон-
цепцию индексов, Westergaard, Walsh и Fisher, предлагавшие аксио-
мы-тесты, которым, по их мнению, должны удовлетворять индексные
формулы. Но базовой работой, положившей начало теории, стала мо-
нография Игвинга Фишера [Fisher, 1922], третье издание которой
(Fisher, 1927) было переведено на русский язык [Фишер, 1928]. Эта
монография основывалась на докладах автора, прочитанных им в 1920
и 1921 годах, и имела посвящение: «Ф.И. Эджуорсу и С.М. Уолшу,
пионерам теории индексов, посвящает автор».

Монография Фишера, оформившая статистическое направление

теории, привлекла внимание исследователей к проблеме теоретиче-
ского обоснования индексных формул. В результате в период с
1924 года по 1929 год были опубликованы работы А.А. Конюса и
С.С. Бюшгенса ([Конюс, 1924], [Бюшгенс, 1925], [Конюс, Бюшгенс,
1926]), Хаберлера [Haberler, 1927], в которых формулировались ис-
ходные позиции так называемой экономической версии теории индек-
сов, Дивизиа [Divisia, 1925–1926] и Монтгомери [Montgomery, 1929],
предложивших принципиально новые  методы конструирования ин-
дексных  формул для цен и количеств. Эти методы называют инте-

гральными или функциональными, методом Дивизиа или, что, по на-
шему мнению, более точно отражает исходную идею Дивизиа и
Монтгомери, траекторным методом.

В течение XX века эти три направления развивались, в основном,

параллельно. Сторонники статистического и экономического направ-
лений критиковали друг друга и, особенно, сторонников траекторной
версии. Такая критика позволила обнажить слабые стороны каждой из
версий теории, но не привела к какому-либо пониманию причин по-
явления самих этих направлений, порождаемых различными задача-
ми, решаемыми в рамках соответствующих версий теории.

В Разделе I этой монографии целью анализа является выявление

принципиальных различий исходных позиций и целей, характери-
зующих названные направления теории индексов, трудностей и про-
блем, с которыми они столкнулись в своем развитии и при практиче-
ском применении полученных в этих направлениях важнейших ре-
зультатов, а также подготовка условий для выделения типовых ситуа-
ций, для которых эта теория должна быть конкретизирована.

Изучение публикаций по этой проблематике показало, что в них

отсутствует объективный анализ состояния теории индексов, достиг-
нутого к началу XXI века. В научной литературе на русском языке нет
работ, содержащих общий, могущий претендовать на полноту обзор
идей и результатов этих направлений. Посвященные индексам моно-
графии отечественных авторов ([Адамов, 1977], [Бакланов, 1972],
[Виноградова, 1930], [Казинец, 1963], [Костюхин, 1960], [Курешева,
1982], [Маслов, 1953], [Никитин, 1965], [Перегудов, 1960], [Плошко,
1958], [Югенбург, 1958]) издавались, как правило, не позднее
1977 года и даже не касались многих разделов и аспектов версий тео-
рии. Они предназначались для читателей-практиков, использующих
элементарный математический инструментарий, и часто содержали
весьма субъективные, даже не вполне профессиональные оценки.
Упоминаемые работы почти не выходят за пределы содержания пере-
веденных на русский язык и изданных обзорных монографий [Аллен,
1980] и [Кёвеш, 1990], которые, к сожалению, уже не дают достаточно
полного и адекватного изложения ключевых вопросов теории индек-
сов и количеств, уже не говоря о решении возникших в ней проблем.
Заметим, что в этих монографиях, в частности, не нашли отражения
важные результаты, полученные в работах Монтгомери, Поллака,
Малмквиста, Лау, Балка, Стювела, Диверта, Рихтера, Вартиа, Сато,
Халтена, Хилла, Фогта, Айхорна, Африата, Ершова, Зоркальцева,
Шананина и ряда других исследователей.

В англоязычной научной литературе интерес к проблематике тео-

рии индексов возобновился в 90-х годах прошлого века. Но в публи-
кациях на русском языке, в том числе отечественных авторов, полу-

ченные результаты почти не были освящены. Ведущими исследовате-
лями по этой проблематике, в том числе и в основном Вальтером Эр-
вином Дивертом (W.E. Diewert) и Бертом Балком (B.M. Balk), были
опубликованы циклы работ, подвoдящие, по их мнению, итоги иссле-
дований, выполненных различными авторами. При их непосредствен-
ном участии международными организациями были подготовлены
«Руководство по индексу потребительских цен: теория и практика»
([3], [7]), в которых достижения теории индексов излагались преиму-
щественно с позиций их практического использования в статистиче-
ской практике. «Руководство» было издано на нескольких языках, в
том числе на английском, испанском, русском и французском, и они
доступны через интернет. Однако детальное изучение оригинальных

ния и перспективы ее развития отражены неполно, подчас односто-
ронне, по ряду позиций нуждаются в уточнении, спорны, а иногда
ошибочны в теоретическом отношении.

В этих условиях упомянутые три направления детально, но с каче-

ственных позиций, анализируются в главах 1, 2 и 3. При этом исчерпы-
вающее изложение даже только работ, определяющих каждое из на-
правлений, в этих главах не является нашей задачей. Детали техниче-
ского характера можно найти в оригинальных публикациях, включен-
ных в список работ к данной книге. Общие цели анализа были сформу-
лированы во Введении. Но они требуют содержательной конкретизации
и обоснования, использующего выявляемые недостатки, противоречия
и нерешенные проблемы, присущие так называемой «классической
версии» теории индексов. Она, по нашему мнению, не представляет
собой единое, непротиворечивое целое. Глава 4 подводит итоги выпол-
ненного анализа и определяет направления и задачи исследований, пре-
одолевающих разобщенность, несогласованность и даже противоречи-
вость трех характеризуемых в главах 1, 2 и 3, доминирующих теорети-
ческих подходов к целям и методам индексного анализа.

ГЛАВА 1.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЕ ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ

Это ранее других сформировавшееся направление в теории индек-

сов можно и следует называть статистическим, поскольку оно в наи-
большей степени соответствует пониманию и использованию индек-
сов цен и количеств в прикладной экономической статистике. Оно
исходит из существования статистически измеряемых цен или индек-
сов цен pi и количеств qi (i = 1, …, n) для n товаров, продуктов и услуг
(или их групп). В отличие от статистической практики это направле-

публикаций, в том числе использованных при подготовке «Руково-
ства», показывает, что в них состояние теории индексов, направле-