Действительный анализ в задачах

УДК 517.5
ББК 22.16
Д 27

Действительный анализ в задачах / П. Л. Ульянов, А. Н. Бахвалов,
М. И. Дьяченко, К. С. Казарян, П. Сифуэнтес. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
416 с. — ISBN 5-9221-0595-7.

Книга является учебным пособием по действительному анализу. Все основные утверждения курса изложены в виде системы задач, снабженных полными
решениями. Основное содержание книги составляет изложение теории меры и
интеграла Лебега.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, в том
числе для самостоятельного изучения курса действительного анализа, а также
для преподавателей, ведущих по этому курсу семинарские занятия.
Библиогр. 15 назв.

Учебное издание

УЛЬЯНОВ Петр Лаврентьевич
БАХВАЛОВ Александр Николаевич
ДЬЯЧЕНКО Михаил Иванович
КАЗАРЯН Казарос Согомонович
СИФУЭНТЕС Патрисио

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ

Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета: А.Ю. Алехина

ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 05.05.05. Формат 6090/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 28,6. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 5-9221-0595-7

ISBN 5-9221-0595-7

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2005

c⃝ П. Л. Ульянов, А. Н. Бахвалов,
М. И. Дьяченко, К. С. Казарян,
П. Сифуэнтес, 2005

Предисловие

Если в классическом анализе изучались, в основном, функции,
имеющие определённую степень гладкости, то со второй половины
XIX века возникли новые постановки задач, которые требовали совершенно других способов решения. В это время создавалась теория множеств, на базе которой в начале XX века была построена теория меры
и найдено чрезвычайно плодотворное определение интеграла Лебега.
Родоначальниками этого направления были французские математики
Борель, Лебег, Бэр. Такое развитие событий привело к необходимости по-новому решать различные задачи, связанные с проблемами
представления и приближения функций, с понятиями первообразной
и интеграла, с вопросами интегрирования и дифференцирования рядов,
изучением свойств функций, полученных в результате предельного
перехода и др. Исследования в этих областях заложили фундамент
метрической теории функций действительного переменного (действительного анализа). Совершенно очевидно, что действительный анализ
является продолжением классического анализа.
В Москве действительным анализом занимались различные математики, но наибольшего успеха добился Н. Н. Лузин, который с 1914 г.
стал читать в Московском университете факультативный курс по теории функций действительного переменного, а также вести различные исследовательские семинары, где обсуждались актуальные научные вопросы. К исследованиям были привлечены многие студенты.
На семинарах происходил широкий обмен идеями, обсуждались новые
задачи и подходы к их решению. Тем самым была создана научная
школа, оказавшая большое влияние на весь дальнейший ход развития
математики.
Эту школу Н. Н. Лузина прошли крупнейшие математики СССР
(П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, П. С. Новиков, Н. К. Бари, Л. В. Келдыш, Л. А. Люстерник, Д. Е. Меньшов,
М. Я. Суслин, А. Я. Хинчин, А. А. Ляпунов, П. С. Урысон, В. С. Фёдоров, Л. Г. Шнирельман, В. В. Немыцкий и др.).
Идеи и методы исследований действительного анализа нашли
применение в различных областях математики (комплексный анализ, функциональный анализ, теория вероятностей, дифференциальные
уравнения, вариационное исчисление, теория чисел, вычислительная
математика и др.).
Основам действительного анализа посвящено много книг, где даются общие понятия меры множества, определение интеграла Лебега
и его обобщений. Мы упомянем здесь первые книги на русском языке
А. Лебега [1], П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова [2], Н. Н. Лузина [3], а также некоторые из более поздних изданий: С. Сакс [4],
П. Халмош [5], Ф. Рисс и Б. Сёкефальви-Надь [6], И. П. Натансон [7],
А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин [8], Г. П. Толстов [9]. Отметим также
недавно изданную книгу М. И. Дьяченко и П. Л. Ульянова «Мера

Предисловие
5

и интеграл» [10]. Авторами предпринята попытка создания учебника,
содержание которого близко к курсу, читаемому студентам-математикам МГУ по действительному анализу. Книга уже была переиздана
в России, а её перевод на испанский язык вышел в издательстве
«Аддисон–Весли».
Здесь уместно напомнить, что с начала пятидесятых годов XX века
на механико-математическом факультете МГУ стал читаться большой
курс «Анализ III», который включал в себя теорию меры, теорию функций, функциональный анализ, интегральные уравнения и вариационное
исчисление. Аналогичные курсы вводились и в других университетах
страны. Освоение столь большого курса было достаточно трудным,
и зачастую студенты плохо овладевали основными понятиями. Так,
например, многие не видели различия между интегрируемостью по
Риману, по Лебегу и по Риману в несобственном смысле даже для
простейших функций, не говоря о более сложных вопросах. Всё это
привело к тому, что из курса «Анализ III» были выделены и стали
читаться отдельно курсы «Теория функций» и «Функциональный анализ», а более 10 лет назад стал читаться «Действительный анализ» (4-й
семестр, со сдачей экзамена) для математиков в МГУ. Практика чтения
данного курса показала его несомненную полезность. В то же время
выявились и определённые проблемы. Прежде всего к ним можно отнести отсутствие так называемых типовых задач (таких, например, как
вычисление интегралов от рациональных функций в математическом
анализе или решение линейных уравнений в курсе дифференциальных
уравнений). В действительном анализе, как правило, каждая задача
носит индивидуальный характер, хотя, разумеется, существуют и общие методы решения. Другая проблема не является специфической для
курса действительного анализа, но от этого её острота не снижается.
Речь идёт о том, что зачастую студенты не улавливают тесной взаимосвязи между лекционным материалом и задачами, решаемыми на
семинарах.
В связи с этим, по мнению авторов, возникла необходимость в написании книги, которая помогла бы хотя бы частично разрешить упомянутые проблемы. Предлагаемая книга «Действительный анализ в задачах» состоит более чем из 900 задач и составлена новым способом по
сравнению с традиционными пособиями такого типа. В каждой главе
после перечисления основных определений идёт изложение свойств
рассматриваемых понятий путём решения системы следующих друг за
другом задач и таким образом излагается теория, составляющая курс
«Действительный анализ», а также приводятся другие задачи, углубляющие эту теорию. Многие задачи просты, но имеются и достаточно
сложные, решение которых требует серьёзных размышлений. В конце
каждой главы приведено решение всех задач, и если у использующего
этот задачник нет возможности прорешать все задачи, он может познакомится с их решениями.

Предисловие

Большинство из приведённых в книге задач предлагалось студентам
и аспирантам-математикам МГУ на протяжении многих лет. Следует
отметить, что по рассматриваемой тематике уже написан ряд задачников, пользующихся заслуженной популярностью. Наиболее известными из них являются [11]–[15]. Многие из приведённых там задач
вошли и в нашу книгу. Однако мы надеемся, что наш задачник будет
более подходящим для студентов, изучающих действительный анализ,
по следующим причинам. Задачник А. А. Кириллова и А. Д. Гвишиани [11] ориентирован прежде всего на изучение функционального
анализа, задач из действительного анализа там не очень много и они
не охватывают всех его разделов. Задачник С. А. Теляковского [12]
содержит много интересных задач и весьма близок по набору задач
к предлагаемой вниманию читателей книге, но в нём нет решений,
что существенно затрудняет его использование в качестве пособия для
изучения действительного анализа. Лишь небольшая часть решений
приведена и в задачнике [13]. В задачнике Ю. С. Очана [14] очень
подробно рассматриваются вопросы теории множеств и меры, но гораздо скуднее представлены задачи по теории интеграла, а задачи по
приложению этой теории практически отсутствуют. Авторы задачника [15] стремились охватить широкий круг тем из разных разделов
математического анализа, в т.ч. специфические вопросы, мало представленные в учебной литературе (асимптотика, выпуклые функции,
мера Хаусдорфа). Поэтому лишь сравнительно небольшая часть этого
задачника относится к вопросам, затрагиваемым в нашей книге.
Мы надеемся, что наш задачник будет также полезен студентам, аспирантам и преподавателям тех университетов и институтов,
где обучающихся знакомят с понятиями меры множества, измеримых
функций, интегралов Римана–Стильтьеса и Лебега, т. е. с основными
понятиями действительного анализа. Будущим специалистам в области
теории функций, функционального анализа и смежных областей стоит
ознакомиться с решениями возможно большего количества задач. Для
студентов, далёких от теории функций, наш задачник тоже может служить источником полезной информации по действительному анализу.
Эта книга полезна и преподавателям: она содержит богатый набор
задач, которые преподаватель по своему выбору может предложить
студентам и аспирантам.
Вероятно, при столь большом наборе задач книга не лишена погрешностей. Авторы будут признательны за указания на неточности и
сообщения способов их устранения.
М. И. Дьяченко благодарит Российский гуманитарный научный
фонд за финансовую поддержку (грант 05-06-06423а).
Авторы

Г л а в а 1

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Мы будем использовать обычные обозначения для операций над
множествами. Если A и B — произвольные множества, то A ∪ B —
объединение этих множеств, A ∩ B — их пересечение, A \ B — их разность, и A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) — их симметрическая разность,
A × B — их декартово произведение, т. е. множество всех пар (a, b),
где a ∈ A и b ∈ B. Декартовым произведением n множеств называется
множество наборов (a1, a2, ... , an), где aj ∈ Aj для j = 1, 2, ... , n. Если
множества A и B не пересекаются, то их объединение называется
дизъюнктным и обозначается через A ⊔ B.
Для конечной или бесконечной последовательности множеств используются обозначения:
k
Ak для объединения,
k
Ak для дизъ
юнктного объединения (объединения попарно непересекающихся мно
жеств),
k
Ak для пересечения множеств, а также
n
k=1
Ak для декартова

произведения n множеств.
Верхним пределом последовательности множеств {An} называется множество lim sup An, состоящее из точек, принадлежащих бесконечному числу различных множеств {Ank}.
Нижним пределом последовательности множеств {An} называется множество lim inf An, состоящее из точек, принадлежащих всем
множествам {An}, кроме, быть может, конечного числа.

ЗАДАЧИ

Пусть A, B, C и D — произвольные множества. Доказать следующие равенства (1.1–1.21).
1.1.
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
1.2.
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
1.3. A ∩ B = A \ (A \ B).
1.4.
A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
1.5.
(A \ B) \ C = A \ (B ∪ C).
1.6.
(A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C).

Гл. 1. Операции над множествами

1.7.
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
1.8.
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
1.9.
(A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C).
1.10.
(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C).
1.11.
(A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D).
1.12.
A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
1.13. A △ (A △ B) = B.
1.14.
(A △ B) △ C = A △ (B △ C).
1.15.
(A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C).
1.16.
(A △ B) ∩ C = (A ∩ C) △ (B ∩ C).
1.17.
(A △ B) \ C = (A \ C) △ (B \ C).
1.18.
(A ∪ C) × B = (A × B) ∪ (C × B).
1.19.
(A ∩ C) × B = (A × B) ∩ (C × B).
1.20.
(A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
1.21.
(A ∪ C) × (B ∪ D) = (A × B) ∪ (A × D) ∪ (C × B) ∪ (C × D).
Доказать следующие вложения (1.22–1.31). Построить примеры,
показывающие, что обратные вложения, вообще говоря, неверны.
1.22.
A ∪ (B \ C) ⊇ (A ∪ B) \ (A ∪ C).
1.23.
A ∪ (B △ C) ⊇ (A ∪ B) △ (A ∪ C).
1.24.
A \ (B ∪ C) ⊆ (A \ B) ∪ (A \ C).
1.25.
A \ (B ∩ C) ⊇ (A \ B) ∩ (A \ C).
1.26.
A \ (B \ C) ⊇ (A \ B) \ (A \ C).
1.27.
A △ (B ∪ C) ⊆ (A △ B) ∪ (A △ C).
1.28.
A △ (B ∩ C) ⊇ (A △ B) ∩ (A △ C).
1.29.
A △ (B \ C) ⊇ (A △ B) \ (A △ C).
1.30.
(A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D).
1.31.
(A \ C) × (B \ D) ⊆ (A × B) \ (C × D).
Пусть A — некоторое множество и {Bω}ω∈Ω — некоторая система
множеств. Доказать следующие равенства (1.32–1.34).
1.32.

A
ω∈Ω
Bω

=
ω∈Ω
(A ∩ Bω).

1.33.

A
ω∈Ω
Bω

=
ω∈Ω
(A ∪ Bω).

Гл. 1. Операции над множествами
9

1.34.
A \
ω∈Ω
Bω

=
ω∈Ω
(A \ Bω).

Пусть даны множества A, B и C. Выразить следующие множества
через A, B и C при помощи операций ∪ , ∩ , \ и △ (1.35–1.42).
1.35.
Множество элементов, принадлежащих всем трём множествам.
1.36. Множество элементов, принадлежащих хотя бы двум из множеств A, B и C.
1.37. Множество элементов, принадлежащих ровно двум из множеств A, B и C.
1.38. Множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из
множеств A, B и C.
1.39. Множество элементов, принадлежащих ровно одному из множеств A, B и C.
1.40. Множество элементов, принадлежащих A, B, но не принадлежащих C.
1.41. Множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из
множеств A, B, но не принадлежащих C.
1.42. Множество элементов, принадлежащих ровно одному из множеств A, B, но не принадлежащих C.
1.43. Выразить множество lim sup An через множества An с помощью операций ∪ и ∩ .
1.44. Выразить множество lim inf An через множества An с помощью операций ∪ и ∩ .

РЕШЕНИЯ

1.1. x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇐⇒ {x ∈ A или x ∈ B} и x ∈ C ⇐⇒ {x ∈ A
и x ∈ C} или {x ∈ B и x ∈ C} ⇐⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
□
1.2. x ∈ (A ∩ B) ∪ C ⇐⇒ {x ∈ A и x ∈ B} или x ∈ C ⇐⇒ {x ∈ A
или x ∈ C} и {x ∈ B или x ∈ C} ⇐⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
□
1.3. x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A и x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A и x /∈ A \ B ⇐⇒
⇐⇒ x ∈ A \ (A \ B).
□
1.4. x ∈ A \ (B \ C) ⇐⇒ x ∈ A и x /∈ B \ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B}
или {x ∈ A и x ∈ C} ⇐⇒ x ∈ (A \ B) ∪ (A ∩ C).
□
1.5. x ∈ (A \ B) \ C ⇐⇒ x ∈ A \ B и x /∈ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B}
и x /∈ C ⇐⇒ x ∈ A \ (B ∪ C).
□
1.6. x ∈ (A \ B) \ C ⇐⇒ x ∈ A \ B и x /∈ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B}
и x /∈ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ C} и x /∈ B ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ C}
и x /∈ (B \ C) ⇐⇒ x ∈ (A \ C) \ (B \ C).
□

Гл. 1. Операции над множествами

1.7. x ∈ A \ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A и x /∈ B ∪ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B}
и {x ∈ A и x /∈ C} ⇐⇒ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C).
□

1.8. x ∈ A \ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A и x /∈ B ∩ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B}
или {x ∈ A и x /∈ C} ⇐⇒ x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C).
□

1.9. x ∈ (A ∪ B) \ C ⇐⇒ x ∈ A ∪ B и x /∈ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ C}
или {x ∈ B и x /∈ C} ⇐⇒ x ∈ (A \ C) ∪ (B \ C).
□

1.10. x ∈ (A ∩ B) \ C ⇐⇒ x ∈ A ∩ B и x /∈ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ C}
и {x ∈ B и x /∈ C} ⇐⇒ x ∈ (A \ C) ∩ (B \ C).
□

1.11. x ∈ (A \ B) ∩ (C \ D) ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B} и {x ∈ C
и x /∈ D} ⇐⇒ {x ∈ A и x ∈ C} и {x /∈ B и x /∈ D} ⇐⇒ x ∈ (A ∩
∩ C) \ (B ∪ D).
□

1.12. x ∈ A △ B ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B} или {x ∈ B и x /∈ A} ⇐⇒
⇐⇒ {x ∈ A или x ∈ B} и x /∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B).
□

1.13. x ∈ A △ (A △ B) ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ A △ B} или {x ∈ A △ B
и x /∈ A} ⇐⇒ {x ∈ A и x ∈ B} или {x ∈ B и x /∈ A} ⇐⇒ x ∈ B.
□

1.14. x ∈ (A △ B) △ C ⇐⇒ {x ∈ A △ B и x /∈ C} или {x ∈ C
и x /∈ A △ B} ⇐⇒ {x ∈ A и {x /∈ B и x /∈ C}} или {x ∈ B и {x /∈ A
и x /∈ C}} или {x ∈ C и {x /∈ A и x /∈ B}} или {x ∈ C и {x ∈ A
и x ∈ B}} ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B △ C} или {x ∈ B △ C и x /∈ A} ⇐⇒
⇐⇒ x ∈ A △ (B △ C).
□

1.15. x ∈ (A \ B) ∩ C ⇐⇒ x ∈ A \ B и x ∈ C ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B}
и x ∈ C ⇐⇒ {x ∈ A и x ∈ C} и x /∈ B ∩ C} ⇐⇒ x ∈ (A ∩ C) \ (B ∩
∩ C).
□

1.16. x ∈ (A △ B) ∩ C ⇐⇒ x ∈ A △ B и x ∈ C ⇐⇒ {{x ∈ A и x ∈
∈ C} и x /∈ B} или {{x ∈ B и x ∈ C} и x /∈ A} ⇐⇒ {x ∈ A ∩ C и x /∈ B}
или {x ∈ B ∩ C и x /∈ A} ⇐⇒ {x ∈ A ∩ C и x /∈ B ∩ C} или {x ∈ B ∩ C
и x /∈ A ∩ C} ⇐⇒ x ∈ (A ∩ C) △ (B ∩ C).
□

1.17. x ∈ (A △ B) \ C ⇐⇒ x ∈ A △ B и x /∈ C ⇐⇒ {{x ∈ A и x /∈ B}
и x /∈ C} или {{x ∈ B и x /∈ A} и x /∈ C} ⇐⇒ {{x ∈ A и x /∈ C} и x /∈ B}
или {{x ∈ B и x /∈ A} и x /∈ C} ⇐⇒ {x ∈ A \ C и x /∈ B} или {x ∈ B \ C
и x /∈ A} ⇐⇒ {x ∈ A \ C и x /∈ B \ C} или {x ∈ B \ C и x /∈ A \ C} ⇐⇒
⇐⇒ x ∈ (A \ C) △ (B \ C).
□

1.18. (x, y) ∈ (A ∪ C) × B ⇐⇒ {x ∈ A или x ∈ C} и y ∈ B ⇐⇒
⇐⇒ {x ∈ A и y ∈ B} или {x ∈ C и y ∈ B} ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∪
∪ (C × B).
□

1.19. (x, y) ∈ (A ∩ C) × B ⇐⇒ {x ∈ A и x ∈ C} и y ∈ B ⇐⇒
⇐⇒ {x ∈ A и y ∈ B} и {x ∈ C и y ∈ B} ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∩
∩ (C × B).
□

Гл. 1. Операции над множествами
11

1.20. (x, y) ∈ (A × B) ∩ (C × D) ⇐⇒ {x ∈ A и y ∈ B} и {x ∈ C
и y ∈ D} ⇐⇒ {x ∈ A и x ∈ C} и {y ∈ B и y ∈ D} ⇐⇒ (x, y) ∈ (A ∩
∩ C) × (B ∩ D).
□

1.21. (x, y) ∈ (A ∪ C) × (B ∪ D) ⇐⇒ {x ∈ A или x ∈ C} и {y ∈ B
или y ∈ D} ⇐⇒ {x ∈ A и y ∈ B} или {x ∈ A и y ∈ D} или {x ∈ C
и y ∈ B} или {x ∈ C и y ∈ D} или ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × D) ∪
∪ (C × B) ∪ (C × D).
□

1.22. Заметим, что (A ∪ B) \ (A ∪ C) ⊆ B \ C ⊆ A ∪ (B \ C). Но если, например, A = {1}, B = {2}, C = {3}, то A ∪ (B \ C) = {1, 2} ̸=
̸= {2} = (A ∪ B) \ (A ∪ C).
□

1.23. Заметим, что (A ∪ B) △ (A ∪ C) ⊆ B △ C ⊆ A ∪ (B △ C). Если, например, A = {1}, B = {2}, C = {3}, то A ∪ (B △ C) = {1, 2, 3} ̸=
̸= {2, 3} = (A ∪ B) △ (A ∪ C).
□

1.24. Вложение вытекает из задачи 1.7. Если, например, A = {1, 2},
B = {1}, C = {2}, то A \ (B ∪ C) = ∅ ̸= {1, 2} = (A \ B) ∪ (A \ C).
□

1.25. Вложение вытекает из задачи 1.8. Если, например, A = {1, 2},
B = {1}, C = {2}, то A \ (B ∩ C) = {1, 2} ̸= ∅ = (A \ B) ∩ (A \ C).
□
1.26. Вложение вытекает из задачи 1.4. Если A = B = C — непустое множество, то A = A \ (B \ C) ̸= (A \ B) \ (A \ C) = ∅.
□

1.27. x ∈ A △ (B ∪ C) ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ B ∪ C} или {x /∈ A
и x ∈ B ∪ C} =⇒ {x ∈ A и x /∈ B} или {x /∈ A и x ∈ B} или {x ∈ A
и x /∈ C} или {x /∈ A и x ∈ C} ⇐⇒ x ∈ (A △ B) или x ∈ (A △ C) ⇐⇒
⇐⇒ x ∈ (A △ B) ∪ (A △ C). Если, например, A = {1, 2}, B = {1},
C = {2}, то A △ (B ∪ C) = ∅ ̸= {1, 2} = (A △ B) ∪ (A △ C).
□

1.28. x ∈ (A △ B) ∩ (A △ C) ⇐⇒ x ∈ A △ B и x ∈ A △ C ⇐⇒
⇐⇒ {x ∈ A
и
x /∈ B
и
x /∈ C}
или
{x /∈ A
и
x ∈ B
и x ∈ C} =⇒ x ∈ A △ (B ∩ C). Если, например, A = {1, 2}, B = {1},
C = {2}, то A △ (B ∩ C) = {1, 2} ̸= ∅ = (A △ B) ∩ (A △ C).
□

1.29. x ∈ (A △ B) \ (A △ C) ⇐⇒ x ∈ A △ B и x /∈ A △ C ⇐⇒
⇐⇒ {x ∈ A
и
x /∈ B
и
x ∈ C}
или
{x /∈ A
и
x ∈ B
и x /∈ C} =⇒ x ∈ A △ (B \ C). Пусть A = B = C — произвольное
непустое множество. Тогда ∅ = (A △ B) \ (A △ C) ̸= A △ (B \ C) =
= A △ ∅ = A.
□
1.30. Вложение непосредственно вытекает из задачи 1.21. При
этом нетрудно видеть, что если A не пересекается с C, а B — c D и все
четыре множества не пусты, то непустое множество A × D содержится
в (A ∪ C) × (B ∪ D), но не пересекается с (A × B) ∪ (C × D).
□

1.31. (x, y) ∈ (A \ C) × (B \ D) ⇐⇒ {x ∈ A и x /∈ C} и {y ∈ B
и y /∈ D} ⇐⇒ ⇐⇒ {x ∈ A и y ∈ B} и {x /∈ C и y /∈ D} ⇒ {(x, y) ∈
∈ A × B} и {(x, y) /∈ C × D} ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) \ (C × D). Если, на

Гл. 1. Операции над множествами

пример, A = B = {1, 2}, C = D = {1}, то (A \ C) × (B \ D) = {(2, 2)} ̸=
̸= {(1, 2), (2, 1), (2, 2)} = (A × B) \ (C × D).
□

1.32. x ∈ A
ω∈Ω
Bω

⇐⇒ x ∈ A и существует такое ω ∈ Ω,

что x ∈ Bω ⇐⇒ существует такое ω ∈ Ω, что x ∈ A ∩ Bω ⇐⇒ x ∈
∈
ω∈Ω
(A ∩ Bω).
□

1.33. x ∈ A
ω∈Ω
Bω

⇐⇒ x ∈ A
или
для
любого
ω ∈ Ω

x ∈ Bω ⇐⇒ для любого ω ∈ Ω x ∈ A ∪ Bω ⇐⇒ x ∈
ω∈Ω
(A ∪ Bω).
□

1.34. x ∈ A \
ω∈Ω
Bω

⇐⇒ x ∈ A
и
для
любого
ω ∈

∈ Ω x /∈ Bω ⇐⇒ для любого ω ∈ Ω x ∈ A \ Bω ⇐⇒ x ∈
ω∈Ω
(A \ Bω).
□

Задачи 1.35–1.39 могут быть решены по-разному. Мы приведём
только ответы, которые, как и ответы к задачам 1.40–1.42, можно
проверить непосредственно.
1.35. (A ∩ B) ∩ C.
1.36.
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
1.37.
((A ∪ B) ∪ C) \ ((A △ B) △ C).
1.38. (A ∪ B) ∪ C.
1.39.
((A △ B) △ C) \ ((A ∩ B) ∩ C).
1.40. (A ∩ B) \ C.
1.41. (A ∪ B) \ C.
1.42. (A △ B) \ C.
1.43. Формализуя определение верхнего предела последовательности множеств, получаем

lim sup An = {x : ∀ n ∃ m ⩾ n
x ∈ Am} =
∞
n=1

∞
m=n
Am.

□
1.44. Формализуя определение нижнего предела последовательности множеств, получаем

lim inf An = {x : ∃ n ∀ m ⩾ n
x ∈ Am} =
∞
n=1

∞
m=n
Am.

□