Текстовые фрагменты публикации
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ПРАКТИКУМ
А.В. ПАНТЕЛЕЕВ
И.А. КУДРЯВЦЕВА
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом
Московского авиационного института
(национального исследовательского университета)
в качестве учебного пособия
Москва
ИНФРА-М
2017
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
УДК 519.6
ББК 22.193
П16
Пантелеев А.В.
П16
Численные методы. Практикум : учеб. пособие / А.В. Пантелеев, И.А. Кудряв-
цева. — М. : ИНФРА-М, 2017. — 512 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).
ISBN 978-5-16-012333-2 (print)
ISBN 978-5-16-105242-6 (online)
В пособии изложены классические численные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений, нелинейных уравнений и систем, нахождения собствен-
ных значений и векторов, методы теории приближения функций, численного диффе-
ренцирования, интегрирования и решения дифференциальных уравнений. В каждом
разделе изложены постановка задачи, пошаговые алгоритмы решения, подробные
решения типовых примеров. Приведены способы реализации описанных алгоритмов
в системах компьютерной математики.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного
стандарта высшего образования последнего поколения.
Для студентов, аспирантов технических вузов и университетов, изучающих числен-
ные методы и их приложения.
УДК 519.6
ББК 22.193
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра прикладной информатики Московского государственного психоло-
го-педагогического университета (заведующий кафедрой доктор технических
наук, профессор Л.С. Куравский);
кафедра прикладной математики Московского государственного психолого-
педагогического университета (заведующий кафедрой доктор физико-матема-
тических наук А.Д. Яшин);
В.И. Синицин, доктор физико-математических наук (Федеральный исследова-
тельский центр «Информатика и управление» Российской академии наук)
ISBN 978-5-16-012333-2 (print)
ISBN 978-5-16-105242-6 (online)
ФЗ
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
© Пантелеев А.В., Кудрявцева И.А.,
2016
© ИНФРА-М, 2016
................................................................................................................................ 7
...................................................................................................................................... 8
1. ................... 18
1.1. .............................................................................................. 18
1.2. ................................................................................................... 20
1.2.1. ............................................................................................ 20
1.2.2. ....................................................................................... 27
1.2.3. LU- ........................................................... 31
1.2.4. ...................................................................... 37
1.2.5. QR-........................................................... 40
1.3. ........................................................................................ 48
1.3.1. ........................................................................ 48
1.3.2. ......................................................................................... 53
1.3.3. .................................................................................... 62
1.3.4. .......................................................................................... 65
1.4.
................................................................................ 68
1.4.1. MATLAB .................................................................. 68
1.4.2. MathCAD .................................................................. 73
2.
........................................................................... 85
2.1. .............................................................................................. 85
2.2. ....................................................... 86
2.3. ................................................................................................... 90
2.4. ................................................................................................ 93
2.5. LU- .................................................................... 100
2.6. QR-.................................................................... 101
2.7.
............................................. 108
2.7.1. MATLAB ................................................................ 108
2.7.2. MathCAD ................................................................ 109
3. ........................................................ 115
3.1. ............................................................................................ 115
3.2. ............................................................................................. 116
3.3. ........................................................................... 118
3.4. ........................................................................................................ 122
3.5. ................................................................................. 125
3.6. ................................................................................................. 131
3.7. ....................................................................... 136
3.8.
........................................................................................................ 140
3.8.1. MATLAB ................................................................ 140
3.8.2. MathCAD ................................................................ 145
4. ........................................... 155
4.1. ............................................................................................ 155
4.2. ................................................................................. 156
4.3. ................................................................................................... 159
4.4. ................................................................................................. 161
4.5. ....................................................................... 167
4.6.
........................................................................................................ 172
4.6.1. MATLAB ................................................................ 172
4.6.2. MathCAD ................................................................ 175
5. .......................................................................... 182
5.1. ............................................................................................ 182
5.2. ..................................................................................... 184
5.2.1. .......................................... 184
5.2.2. ......................................... 192
5.2.3. ........................................... 203
5.3. .............................................................. 211
5.3.1. ............................................ 211
5.3.2. ..................................... 226
5.4.
........................................................................................................ 242
5.4.1. MATLAB............................................................... 242
5.4.2. MathCAD............................................................... 249
6. ........................................................ 257
6.1. ............................................................................................ 257
6.2. ................................................... 257
6.2.1. .................................................. 257
6.2.2. .................................................. 258
6.2.3. ............................................ 261
6.2.4. .................................................. 264
6.2.5.
............................................................................. 266
6.3.
........................................................................................................ 269
6.3.1. MATLAB ................................................................ 269
6.3.2. MathCAD ................................................................ 271
7. ............................................................... 278
7.1. ............................................................................................ 278
7.2. ........................................................... 279
7.2.1. .................................................. 279
7.2.2. .................................................. 282
7.2.3. .............................................. 283
7.3.
........................................................................................................ 290
7.3.1. MATLAB ................................................................ 290
7.3.2. MathCAD ................................................................ 292
8. .............. 299
8.1. ............................................................................................ 299
8.2. .... 308
8.2.1. ............................................................................ 308
8.2.2. - ............................................................................ 311
8.2.3. .................................................... 311
8.2.4. - ........................................................................... 311
8.2.5. - ................................................................. 318
8.2.6. ............................................................................... 320
8.2.7. ................................................................................. 321
8.2.8. ................................................................................ 322
8.2.9. .......................................................................... 323
8.2.10. ..................................................................... 323
8.2.11. ..................................................... 324
8.2.12. ................................................................ 327
8.3. 334
8.3.1. ........................................................................... 334
8.3.2. ....................................................................................... 335
8.3.3. - ...................................................................... 335
8.3.4. ........................................................................................... 340
8.3.5. ......................................................................... 342
8.3.6. ................................................................... 342
8.3.7. -............................................................... 342
8.4.
........................................................... 344
8.4.1. MATLAB ................................................................ 344
8.4.2. MathCAD ................................................................ 350
9. ......................................................................... 364
9.1. .................................................... 364
9.2. ....................................................................................................... 367
9.3. ........................................................................ 373
9.4. ................................................................................................ 381
9.5. ............................................................................. 386
9.6. ... 395
9.6.1. MATLAB ................................................................ 395
9.6.2. MathCAD ................................................................ 398
10.
...................................................................................... 410
10.1. ....................................................... 410
10.2. ........................................................... 425
10.3. ................................ 433
10.4.
............................................................... 440
10.4.1. .......... 440
10.4.2. ........ 448
10.4.3. ............ 454
10.5. ...................................................................................................... 458
10.6.
...................................................................................................... 462
10.7.
............................................................. 470
10.7.1. MATLAB................................................................. 470
10.7.2. MathCAD................................................................. 483
.
MATLAB MathCAD .................................................................................. 491
.............................................................................................................................. 507
......................................................................................................... 510
« ». , -
.
, , -
(
).
, -
. [23, 24],
« » -
,
, , -
..-.., . .. .
, , -
, , .
,
MathCAD
MATLAB. , , -
.
.
MathCAD MATLAB
[15–18, 27, 32, 37, 41–42, 57].
.
, - , -
m – n –
.
.
, -
-
.
.1.
, -
.
.
1. . -
, .. .
, .
2. , ,
. :
– () , , -
, ;
– () , , -
;
– () .
, ,
, « » -
. , , , -
.
3. , (, -
- ) , -
.
( ), – -
, , (
).
4. .
5. .
6. : -
.
.
. .1.
, -
. -
,
. , , , ,
.
, , .
– -
, , -
. , , ,
.
. .1
, ,
. .
.2.
-
.
.
, ( -
(. . .1)). -
.
()
, ,
.
,
,
, , -
, - , -
, . -
- (, -
-);
. (-
) ( ).
, -
-
, .
.
x – , , , , xˆ – -
.
xˆ
x
x
x
ˆ
ˆ
(
xˆ
x ).
xˆ
x
x
ˆ
ˆ
( – ,
0
xˆ
).
, .
x , , , -
,
)
ˆ
(x
:
)
ˆ
(
ˆ
ˆ
x
x
x
x
.
, , , -
:
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
x
x
x
x
x
.
, x - (-), -
xˆ
)
ˆ
(x
b
a,
(. .2).
. .2
xˆ -
x
x
x
ˆ
)
ˆ
(
)
ˆ
(
.
x
x
x
ˆ
)
ˆ
(
)
ˆ
(
.
xˆ
)
ˆ
(
ˆ
x
x
a
)
ˆ
(
ˆ
x
x
b
)
ˆ
(x
)
ˆ
(x
, -
«» .
, -
.
n , -
, -
n- , . , -
, .
n
10
,
, n- .
, ..
.
n
,
n- . :
) 5 ,
;
) 5 5 -
, -
;
) 5 -
, , ,
, .
.1.
...
,141592654
3
, .
1.
14
3,
ˆ
x
.
14
3
002
0
14
3
,
,
,
;
%
,
%
)
,
/
,
(
)
,
(
064
0
100
14
3
002
0
14
3
.
2.
141
3,
ˆ
x
,
;
,
,
,
141
3
0006
0
141
3
%
,
%
)
,
/
,
(
)
,
(
02
0
100
141
3
0006
0
141
3
.
, . -
:
)
(
ˆ
;
ˆ
1
x
x
x
x
.
,
%)
,
(
,
;
,
,
02
0
1
141
3
0006
0
141
3
.
, , x -
( 1/2 .) . ,
63
5,
ˆ
x
005
0,
.
.2.
928525750
3,
x
, , .. -
.
(..””–“”),
9285258
3,
x
(-
.””, 5 ,
,
);
928526
3,
x
(
.””, 5);
92853
3,
x
( .””,
5 );
9285
3,
x
(. .”a”);
929
3,
x
(. .””);
93
3,
x
(. .””);
9
3,
x
(. .”a”);
4
x
(. .””).
.3. :
2,396037; 0,00167; 3250000; 0,00005.
,
, : 2,396037; 0,00167; 3250000; 0,00005.
.4. :
a)
00001
0
004507
0
,
;
,
x
; )
00006
0
004507
0
,
;
,
x
;
)
0000005
0
0208700
0
,
;
,
x
; )
03
0
396
12
,
;
,
x
;
)
007
0
037862
0
,
;
,
x
; )
0004
0
999785
9
,
;
,
x
.
:
)
00001
0
07
45
00
0
,
,
,
4
10
5
0
00001
0
,
,
;
)
00006
0
507
4
00
0
,
,
,
3
4
10
5
0
00006
0
10
5
0
,
,
,
;
)
0000005
0
0
20870
0
0
,
,
,
6
10
5
0
0000005
0
,
,
;
)
03
0
96
3
12
,
,
,
1
10
5
0
03
0
,
,
;
)
007
0
037862
0
,
,
,
1
2
10
5
0
007
0
10
5
0
,
,
,
( -
);
)
0004
0
785
999
9
,
,
,
3
10
5
0
0004
0
,
,
.
-
-
.
().
.3. ,
-
«O
k
h » (h – ),
b
a
Ck
,
, -
. .
1.
)
(h
R
– h ( ,
)
(h
R
– -
) -
R
D
0
h
,
R
D
h
.
,
0
h
h
k
ch
h
R
)
(
,
const
c
, h, k – ,
0
0
h
,
)
(
)
(
k
h
O
h
R
-
,
)
(h
R
«O
k
h »
0
h
.
k -
().
2.
)
(x
f
G
b
a
,
-
k . ,
)
(x
f
G
Ck
,
G
C
f
k
.
0
k
-
G
C0
G
C
(
b
a,
).
3.
]
,
[
)
(
b
a
C
x
f
k 1
.
]
,
[
b
a
x
0
:
,)
(
)
(
!
)
(
)
(
)!
(
)
(
)
(
!
)
(
...
)
(
!
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
j
k
j
j
k
k
k
k
x
R
x
x
j
x
f
x
x
k
f
x
x
k
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
0
1
0
0
1
0
1
0
0
2
0
0
0
0
0
1
2
(.1)
;
],
,
[
0
x
x
b
a
x
– , x
0
x ;
1
0
1
1
1
k
k
k
x
x
k
f
x
R
)
(
)!
(
)
(
)
(
)
(
– . , -
, .
)
(
)
(
x
f
k 1
]
,
[
b
a
,
, ..
)
(
)
(
]
,
[
x
f
M
k
b
a
k
1
1
max
.
1
0
1
1
1
k
k
k
x
x
k
M
x
R
)!
(
)
(
.
,
)
(
)
(
1
1
0
1
k
k
k
h
O
x
x
O
x
R
,
0
x
x
h
. (.1)
)
(
)
(
!
)
(
)
(
)
(
k
j
k
j
j
h
O
x
x
j
x
f
x
f
0
1
0
0
.
(.2)
1
k
),
(
)
(
)
(
)
(
2
0
0
0
h
O
h
x
f
x
f
h
x
f
),
(
)
(
)
(
)
(
2
0
0
0
h
O
h
x
f
x
f
h
x
f
2
k
–
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
0
2
0
0
0
2
h
O
x
f
h
h
x
f
x
f
h
x
f
,
(B.3)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
0
2
0
0
0
2
h
O
x
f
h
h
x
f
x
f
h
x
f
.
(.2).
1
ix
x
,
ix
x
0
,
i
i
i
x
x
h
1
1
,
1
i
i x
x ,
]
,
[
]
,
[
b
a
x
x
i
i
1
.
)
(
!
)
(
...
!
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
1
1
1
2
k
i
k
i
i
k
i
i
i
i
i
i
h
O
h
k
x
f
h
x
f
h
x
f
x
f
x
f
.
(.4)
)
(
1
1
i
i
x
f
f
,
)
( i
i
x
f
f
,
,...
,
),
(
)
(
)
(
2
1
p
x
f
f
i
p
p
i
, ,
1
1
1
k
i
k
h
k
f
)!
(
)
(
)
(
,
)
,
(
1
i
i x
x
,
(.4)
)
(
)!
(
!
...
!
)
(
)
(
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
k
k
i
k
i
k
i
i
i
i
i
i
i
f
k
h
h
k
f
h
f
h
f
f
f
,
)
,
(
1
i
i x
x
.
(.5)
4. [6].
.1.
]
,
[
)
(
b
a
C
x
f
,
]
,
[
b
a
i
, (
1,..., )
i
n
–
,
]
,
[
b
a
.
]
,
[
b
a
,
)
(
)
(
...
)
(
f
n
f
f
n
1
.
5. - «» -
. , ( , -) -
, , .
- ( )
1
n
x
x
x
x , :
1.
0
x
x ,
0
x
,
x – ;
2.
x
x
;
3. x
y
x
y
x y (
1)
n
.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
