Эконометрика

ЭКОНОМЕТРИКА
 

Учебник

2-е издание

Под редакцией 
профессора В. Б. Уткина

Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
2017

УДК 330.43(075.8)
ББК 65в6я73
Э40
Авторы:
К. В. Балдин — д. э. н., профессор (глава 11, приложения 2, 3);
В. Н. Башлыков — к. т. н., доцент (главы 1–6, 8, 10, приложение 1);
Н. А. Брызгалов — к. т. н., доцент (введение, глава 7);
В. В. Мартынов — к. т. н., доцент (главы 1–6, 8, 10);
В. Б. Уткин — к. т. н., профессор (введение, глава 7, 11).
Глава 9 написана совместно всеми авторами.
Рецензенты:
В. А. Зотов — доктор физико-математических наук, профессор;
В. И. Бусов — доктор экономических наук, профессор.

Эконометрика: Учебник / Под ред. проф. В. Б. Уткина. — 
2-е изд. — М.: Издатель ско-торговая корпорация «Дашков и К°», 
2017. — 564 с.

ISBN 978-5-394-02145-9

Учебник содержит систематизированное изложение методологических основ эконометрики. В нем представлены важнейшие сведения по теории вероятностей и математической статистике. В части 
“Методы эконометрики” содержится изложение методологии моделирования сложных экономических систем; методов дисперсионного, 
регрессионного и корреляционного анализа и основ применения метода экспертного оценивания. 
Для студентов экономических вузов.

Э40

ISBN 978-5-394-02145-9
© Коллектив авторов, 2007

Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.007399.06.09 от 26.06.2009 г.

Подписано в печать 20.06.2016. Формат 60×84 1/16. 
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Печ. л. 35,25.
Тираж 100 экз. 

Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732.
Тел./факс: (499) 182-01-58, 182-11-79, 183-93-01
E-mail: sales@dashkov.ru — отдел продаж;
http://www.dashkov.ru

Отпечатано в ГУП Академиздатцентр «Наука» РАН,
ОП Производственно-издательский комбинат «ВИНИТИ»-«Наука»,
140014, Московская обл., г. Люберцы, Октябрьский пр-т, д. 403.
Тел./факс: 554-21-86, 554-25-97, 974-69-76.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .....................................................................................................................................9

Часть I
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. 
Случайные события...........................................................................................11
1.1. 
Предмет теории вероятностей ....................................................11
1.2. 
Основные понятия и определения ...........................................16
1.3. 
Частота и вероятность. Способы нахождения 
вероятностей случайных событий ...........................................20
1.3.1. Аксиоматическое построение теории 
вероятностей ..............................................................................22
1.3.2. Классический способ определения 
вероятности .................................................................................24
1.4. 
Понятие условной вероятности. Стохастическая 
зависимость случайных событий .............................................25
1.5. 
Правила действий с вероятностями ......................................27
1.6. 
Повторение независимых испытаний. 
Схема Бернулли ......................................................................................32
1.7. 
Формула полной вероятности .....................................................35
1.8. 
Формула Байеса ......................................................................................36
Вопросы для самопроверки .........................................................................39
Задачи для самостоятельного решения ........................................40
2. 
Случайные величины ......................................................................................44
2.1. 
Случайные величины и их классификация ....................44
2.2. 
Закон распределения случайной величины 
и формы его представления ..........................................................45
2.2.1. Понятие распределения 
случайной величины ...........................................................45
2.2.2. Функция вероятности ........................................................46
2.2.3. Функция распределения .................................................47
2.2.4. Плотность распределения..............................................53

2.3. 
Числовые характеристики скалярных 
случайных величин ...............................................................................56
2.3.1. Характеристики положения ........................................56
2.3.2. Характеристики рассеивания ....................................61
2.3.3. Моменты случайной величины ..................................64
2.4. 
Основные теоретические распределения 
скалярных случайных величин .................................................67
2.5. 
 Распределение случайного вектора ......................................82
2.6. 
Частные и условные распределения компонент 
случайного вектора ...............................................................................86
2.6.1. Частные распределения ..................................................86
2.6.2. Условные распределения. Стохастическая 
зависимость случайных величин .............................90
2.7. 
Числовые характеристики векторных 
случайных величин ...............................................................................95
2.8. 
Нормальное распределение двумерного 
случайного вектора ...............................................................................99
Вопросы для самопроверки ......................................................................102
Задачи для самостоятельного решения .....................................102
3. 
Функции случайных аргументов .......................................................106
3.1. 
Общая характеристика задач исследования 
функций случайных аргументов ...........................................106
3.2. 
Теоремы о числовых характеристиках 
случайных величин ............................................................................107
3.3. 
Определение числовых характеристик функций 
случайных аргументов ....................................................................112
Вопросы для самопроверки ......................................................................118
Задачи для самостоятельного решения .....................................118

Часть II
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

4. 
Статистические методы оценивания характеристик 
продукции ................................................................................................................120
4.1. 
Общая характеристика статистических методов 
оценивания характеристик продукции и 
результатов ее применения .......................................................120
4.2. 
Общая схема эксперимента ........................................................123
4.3. 
Сущность выборочного метода ................................................125

4.4. 
Понятие о законе больших чисел и центральной 
предельной теореме...........................................................................131
Вопросы для самопроверки ......................................................................136
Задачи для самостоятельного решения .....................................137
5. 
Методы статистической обработки результатов 
испытаний ...............................................................................................................138
5.1. 
Постановка задачи оценивания вероятностных 
характеристик случайных величин ....................................138
5.2. 
Основные требования к оценкам ............................................139
5.3. 
Оценивание законов распределения случайных 
величин .........................................................................................................143
5.4. 
Точечное оценивание числовых характеристик 
случайных переменных .................................................................150
5.4.1. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................150
5.4.2. Оценивание математического ожидания 
случайной величины ........................................................152
5.4.3. Оценивание дисперсии и стандартного 
отклонения случайной величины .........................156
 5.4.4. Определение числовых характеристик 
случайных величин при большом объеме 
измерений ..................................................................................158
5.5. 
Интервальное оценивание числовых 
характеристик случайных величин ....................................158
5.5.1. Понятие доверительной вероятности 
и доверительного интервала .....................................158
5.5.2. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................163
5.5.3. Оценивание математического ожидания .......168
5.5.4. Оценивание стандартного отклонения ............173
Вопросы для самопроверки ......................................................................177
Задачи для самостоятельного решения .....................................179
6. 
Статистическая проверка гипотез ...................................................182
6.1. 
Сущность проверки статистических гипотез .............182
6.2. 
Методы проверки гипотез 
о законах распределения ..............................................................190
6.2.1. Постановка задачи .............................................................190
6.2.2. Проверка гипотез 
о законе распределения ................................................193

6.3. 
Методы проверки гипотез 
о параметрах законов распределения ...............................202
6.3.1. Проверка гипотез о равенстве 
математических ожиданий ........................................202
6.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий .....208
6.4. 
Проверка гипотез методом 
последовательного анализа ........................................................213
6.4.1. Сущность метода последовательного 
анализа .........................................................................................213
6.4.2. Проверка гипотезы о вероятности 
наступления события ......................................................216
6.4.3. Проверка гипотезы о математическом 
ожидании ....................................................................................218
Вопросы для самопроверки ......................................................................220
Задачи для самостоятельного решения .....................................221

Часть III
МЕТОДЫ ЭКОНОМЕТРИКИ

7. 
Методология моделирования сложных 
экономических систем .................................................................................226
7.1. 
Методы моделирования экономических систем ......226
7.1.1. Математическая модель 
экономической системы ................................................228
7.1.2. Классификация математических моделей ..230
7.2. 
Имитационные модели экономических систем .........242
7.2.1. Методологические основы применения 
метода имитационного моделирования ...........242
7.2.2. Классификация имитационных моделей ......249
7.3. 
Технология моделирования случайных факторов .....259
7.3.1. Генерация псевдослучайных чисел ....................259
7.3.2. Моделирование случайных событий .................267
7.3.3. Моделирование случайных величин .................273
7.3.4. Моделирование случайных векторов ...............282
7.4. 
Основы организации имитационного 
моделирования .......................................................................................289
7.4.1. Этапы имитационного моделирования ............289
Вопросы для самопроверки ......................................................................296

8. 
Методы статистического анализа 
результатов испытаний ...........................................................................................297
8.1. 
Общая характеристика методов статистического 
анализа результатов испытаний ...........................................297
8.2. 
Основы дисперсионного анализа ...........................................299
8.2.1. Сущность дисперсионного анализа ....................299
8.2.2. Однофакторный дисперсионный анализ .......301
8.2.3. Проверка существенности влияния 
фактора в однофакторном дисперсионном 
анализе .........................................................................................305
8.2.4. Выявление уровня фактора, 
влияющего на результаты испытаний .............309
8.2.5. Примеры однофакторного 
дисперсионного анализа ...............................................312
8.2.6. Особенности проведения двухфакторного 
дисперсионного анализа ...............................................316
Вопросы для самопроверки ......................................................................321
Задачи для самостоятельного решения .....................................321
9. 
Основы регрессионного анализа .........................................................323
9.1. 
Сущность регрессионного анализа ......................................323
9.2. 
Задача регрессионного анализа ..............................................326
9.3. 
Метод наименьших квадратов .................................................328
9.4. 
Предпосылки регрессионного анализа .............................336
9.5. 
Статистический анализ уравнения регрессии ..........338
9.6. 
Спецификация регрессионной модели .............................365
9.7. 
Регрессионные модели с гетероскедастичными 
остатками ....................................................................................................369
9.8. 
Метод взвешенных наименьших 
квадратов (МВНК) ..............................................................................379
9.9. 
Нелинейные регрессионные модели и их 
линеаризация ..........................................................................................383
9.9.1. Логарифмические модели ...........................................384
9.9.2. Полулогарифмические модели ..............................387
9.9.3. Логлинейная модель .........................................................388
9.9.4. Линейно-логарифмическая модель ....................389
9.9.5. Обратная модель .................................................................390
9.9.6. Степенная модель ...............................................................391
9.9.7. Показательная модель ...................................................392
9.10. Оценки коэффициентов нелинейных 
регрессионных моделей .................................................................393

9.10.1. Оценки коэффициентов параболы 
второго порядка ....................................................................393
9.10.2. Определение коэффициентов функций, 
отличных от полинома ....................................................394
Вопросы для самопроверки ......................................................................397
Задачи для самостоятельного решения .....................................398
10. Основы корреляционного анализа ...................................................399
10.1. Сущность корреляционного анализа .................................399
10.2. Классификация методов 
корреляционного анализа ............................................................401
10.3. Однофакторный корреляционный анализ ....................401
10.4. Анализ тесноты связи .....................................................................405
10.5. Многофакторный корреляционный анализ .................407
10.6. Автокорреляция ...................................................................................413
Вопросы для самопроверки ......................................................................416
Задачи для самостоятельного решения .....................................416
11. Применение метода экспертного оценивания 
в эконометрических исследованиях ...............................................419
11.1. Общая характеристика метода 
экспертных оценок .............................................................................419
11.2. Классификация методов получения 
экспертной информации ...............................................................427
11.3. Типы шкал и методы моделирования 
предпочтений экспертов ...............................................................432
11.4. Методы обработки и анализа экспертных оценок.......447
11.4.1. Оценка согласованности мнений экспертов ....448
11.4.2. Обобщение мнений экспертов..................................463
11.4.3. Выделение подгрупп экспертов 
с близкими мнениями ......................................................465
11.4.4. Оценка и учет компетентности экспертов ....468
Вопросы для самопроверки ......................................................................472

Литература .........................................................................................................................473

Приложение 1. Список таблиц ........................................................................478
Приложение 2. Система основных 
финансово-экономических показателей ....................................514
Приложение 3. Основные математические 
и экономические термины и определения ................................520

ВВЕДЕНИЕ

В 30-х гг. XX в. сформировалось новое направление в экономической науке, возникшее в результате взаимодействия и взаимообусловленности трех групп методов: экономических, статистических и математических. Именно междисциплинарный 
подход к изучению экономических явлений привел к созданию 
такой научной и учебной дисциплины, как эконометрика. 
Под эконометрикой понимают совокупность экономических и математико-статистических методов, дающих возможность выявлять закономерности и связи в экономических процессах и явлениях.
Дальнейшему развитию эконометрики способствовало 
стремительное развитие вычислительной техники с высокими 
технологическими характеристиками, что позволило сделать 
доступными для массового пользователя такие статистические 
методы, как многофакторный дисперсионный, регрессионный 
и корреляционный анализ, проверку непараметрических гипотез, анализ временных рядов для решения исследовательских 
и практических задач, составляющих предмет эконометрики. 
По современным представлениям фундамент экономического образования составляют макро- и микроэкономика и эконометрика, тогда как остальные дисциплины Государственного 
образовательного стандарта играют роль надстройки. В свою 
очередь, статистические и математические методы, используемые в экономических исследованиях, составляют ядро эконометрики.
Учебник написан на основе методологии системного анализа 
и структурно состоит из введения, трех частей и приложений. 
В первой части содержатся основные сведения из теории 
вероятностей (3 главы: случайные события, случайные величины, функции случайных аргументов). 

Вторая часть (4 главы) посвящена вопросам математической статистики: общей характеристике статистических методов; основам статистической обработки результатов испытаний, прежде всего – точечному и интервальному оцениванию 
числовых характеристик случайных величин; методам статистической проверки параметрических и непараметрических гипотез. 
В третьей части (5 глав) изложены методы эконометрики. 
Глава 7 содержит методологию моделирования сложных экономических систем. Особо выделены метод имитационного моделирования и технология моделирования случайных факторов различных типов (случайных событий; величин; векторов). 
В главах 8, 9, 10 представлены особенности применения методов одно- и многофакторного дисперсионного, регрессионного 
(в том числе с использованием нелинейных моделей) и корреляционного анализа, соответственно. Глава 11 содержит сведения об использовании метода экспертного оценивания при анализе результатов статистического исследования.
В приложениях приведены статистические таблицы, необходимые для практической реализации изложенных методов.
Эффективная работа с учебником возможна при наличии у 
читателя прочных знаний в объеме программ вузов по высшей 
математике, экономической теории и основам математического 
моделирования систем.
Материалы настоящего учебника подготовлены авторами 
на основе отечественных и зарубежных источников с расширением прикладных аспектов за счет собственных научно-практических разработок. Авторы весьма признательны рецензентам книги и всем, кто знакомился с ее содержанием на этапах 
подготовки рукописи к печати, за ценные замечания и предложения, которые были с благодарностью приняты.

Часть I
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей — математическая наука, занимающаяся изучением закономерностей в случайных явлениях массового характера.
Под случайным принято понимать явление, которое при 
многократном наблюдении (воспроизведении одного и того же 
комплекса условий проведения эксперимента) протекает каждый раз по-разному.
Например, в 1827 г. ботаник Р. Броун открыл явление, которое впоследствии было названо броуновским движением. 
Наблюдая под микроскопом частицы пыльцы, он заметил, что 
они находятся в непрерывном беспорядочном движении, которое не удается прекратить. Вскоре было обнаружено, что это 
движение — общее свойство любых мелких частиц, взвешенных в жидкости. Интенсивность движения зависит только от 
температуры и вязкости жидкости и от размеров частиц. Каждая частица движется по своей собственной траектории, не похожей на траектории других частиц, так что близкие частицы 
очень быстро становятся удаленными.
Приведем другой пример. Производится стрельба из артиллерийского орудия. С помощью методов баллистики при определенных исходных данных (начальной скорости движения 
снаряда 
, угле бросания Θ0 , баллистическом коэффициенте 

снаряда С) можно рассчитать теоретическую траекторию движения (штрихпунктирная линия на рис. 1.1).

0

x

0
V

Рис. 1.1

При реальных стрельбах траектория полета каждого отдельного снаряда будет отклоняться от расчетной. При проведении нескольких выстрелов при одних и тех же исходных 
данных (V0 , Θ0 , C) будем наблюдать рассеивание траектории полета снарядов относительно расчетной. Это обусловлено действием большого числа второстепенных факторов, влияющих на 
траекторию полета, но не заданных в числе исходных данных. 
К таким факторам следует отнести: ошибки при изготовлении 
снаряда, отклонение веса снаряда от номинального значения, 
неоднозначность структуры заряда, ошибки в установке угла 
наклона ствола орудия, метеорологические условия и т. д.
Основные факторы, учитываемые при наблюдении случайного явления, определяют его протекание в общих чертах, 
и от наблюдения (опыта) к наблюдению не меняются. Второстепенные факторы вызывают различия в их результатах.
Вполне очевидно, что в природе нет ни одного явления, в 
котором точно и полно учтены факторы, определяющие явление. Невозможно достигнуть того, чтобы при многократных наблюдениях результаты полностью и в точности совпадали.
Иногда при решении практических задач случайными отклонениями пренебрегают, рассматривая не само реальное явление, 
а его упрощенную схему (модель), полагая, что в данных условиях наблюдения явление протекает вполне определенным образом. 

При этом из всей совокупности факторов, влияющих на явление, 
выделяются основные, наиболее существенные. Влиянием остальных, второстепенных, факторов просто пренебрегают.
Данная схема изучения явлений часто применяется в механике, технике, психологии, экономике и других отраслях 
знаний. При таком подходе к изучению явлений выявляется 
основная закономерность, присущая данному явлению и дающая возможность предсказать результат наблюдения при определенных исходных данных. По мере развития науки число 
учитываемых факторов увеличивается, явление исследуется подробнее, научный прогноз становится точнее. Описанная 
схема изучения явлений получила название классической схемы, так называемых точных наук.
Однако при решении многих практических задач классическая схема “точных наук” неприменима. Существуют задачи, 
результат решения которых зависит от достаточно большого 
числа факторов, зарегистрировать и учесть которые практически невозможно.
Например, производится обстрел объекта из артиллерийского орудия с целью его поражения. Как было отмечено выше, 
при стрельбе из артиллерийского орудия имеет место рассеивание точек падения снарядов. Если размеры объекта существенно превышают размеры зоны рассеивания, то этим рассеиванием можно пренебречь, поскольку выпущенный снаряд попадет в 
цель. Если размер объекта меньше размеров зоны рассеивания, 
то некоторая часть снарядов в цель не попадет. В этих условиях 
приходится решать задачи, например, по определению среднего числа снарядов, попавших в цель, требуемого числа снарядов 
для надежного поражения цели и др. При решении таких задач 
классическая схема “точных наук” оказывается недостаточной. 
Эти задачи связаны со случайной природой рассеивания снарядов, и при их решении случайностью этого явления пренебрегать 
нельзя. Необходимо изучить рассеивание снарядов как случайное 
явление с точки зрения присущих ему закономерностей. Надо исследовать закон распределения координат точек падения снарядов, выяснить источники, вызывающие рассеивание, и т. д.

Рассмотрим еще пример. Система автоматического управления функционирует в условиях непрерывно воздействующих 
помех. Действие помех приводит к отклонению управляемых 
параметров от расчетных значений. При исследовании процесса функционирования системы необходимо установить природу 
и структуру случайных возмущений, выяснить влияние конструктивных параметров системы на вид этой реакции и т. п.
Все подобные задачи, а число их в природе чрезвычайно 
велико, требуют изучения не только основных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и исключений, связанных с наличием второстепенных факторов и придающих результату наблюдений 
при заданных исходных данных элемент неопределенности.
С теоретической точки зрения второстепенные (случайные) факторы ничем не отличаются от основных (наиболее существенных). Точность решения задачи можно повышать за 
счет учета большого числа факторов, от самых существенных 
до самых ничтожных. Однако это может привести к тому, что 
решение поставленной задачи ввиду сложности и громоздкости будет практически неосуществимым и не будет представлять никакой ценности.
Очевидно, должна существовать принципиальная разница 
в методах учета основных факторов, определяющих явление 
в главных чертах, и второстепенных факторов, влияющих на 
явление в качестве возмущений. Элементы неопределенности, 
сложности, присущие случайным явлениям, требуют создания 
специальных методов для изучения этих явлений.
Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. 
Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях. При многократных наблюдениях однородных случайных явлений обнаруживаются в них 
вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.
Например, если много раз подряд бросать монету, то частота появления цифры (отношение числа бросаний, при которых появилась цифра, к общему числу бросаний) постепенно 

стабилизируется, приближаясь к числу, равному 0,5. Такое же 
свойство “устойчивости частоты” обнаруживается и при многократном повторении любого другого опыта, исход которого 
представляется заранее неопределенным (случайным).
Закономерности в случайных явлениях появляются всегда, когда имеют дело с массой однородных случайных явлений. 
Они оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в 
массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, а средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже неслучайным.
Методы теории вероятностей приспособлены только для 
исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, 
но позволяют предсказать средний случайный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из 
которых остается неопределенным (случайным).
Вероятностные методы не противопоставляют себя классическим методам “точных наук”, а являются их дополнением, 
позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.
В зависимости от сложности случайного явления для его 
описания используют следующие понятия: случайное событие, случайная величина, случайная функция (рис. 1.2).

Случайная 
величина

Случайное 
событие
Случайная 
величина
Случайная 
функция

Скалярная 
случайная 
величина

Векторная 
случайная 
величина

Функция 
случайного 
аргумента

Случайные 
процессы

Рис. 1.2

Именно в такой последовательности и будем рассматривать закономерности в случайных явлениях.

1.2. Основные понятия и определения

Одним из фундаментальных понятий в теории вероятностей является испытание (эксперимент). Под испытанием понимают наблюдение того или иного явления при реализации определенного комплекса условий (наблюдение этого же явления 
в других условиях считается другим испытанием).
Если результат испытания фиксируется только как факт, 
то его называют событием.
Введем следующую формальную схему испытания (эксперимента) (рис. 1.3).

S

1e
2e
3e
ie
2
ne
1
ne
ne E

Рис. 1.3
S — комплекс условий эксперимента;
E — множество результатов эксперимента.

В одной реализации эксперимента может появиться один, 
и только один исход, который называют элементарным событием ei . Множество всех исходов эксперимента E называют 
пространством элементарных событий. Оно вводится описательным путем.
Пример 1.1. Производится прием готовой продукции на 
предприятии. Элементарными событиями будут e1 — исправное изделие не принято, e2 — принятое изделие исправно, 
e3 — принято исправным дефектное изделие. Множество ис