Математика для гуманитариев

МАТЕМАТИКА 
ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

Учебник

Под общей редакцией доктора экономических 
наук, профессора К. В. Балдина

3-е издание

Москва, 2012

Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»

УДК 517
ББК 22.16
 
М34

Авторы:
К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор — 
введение, гл. 1, 2, 10;
В. Н. Башлыков — доцент — гл. 12, 13, приложение;
В. В. Мартынов — кандидат технических наук, доцент — 
гл. 8, 9, 11;
А. В. Рукосуев — доцент — гл. 3, 4, 5, 6, 7.

Рецензенты:
В. А. Лукинов  — доктор экономических наук, профессор;
В. А. Зотов — доктор физико-математических наук, профессор

Математика для гуманитариев: Учебник / Под общ. 
ред. д. э. н., проф., К. В. Балдина. — 3-е изд. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2012. — 512 с.

ISBN 978-5-394-01910-4

Настоящий учебник написан на базе лекционных курсов, которые 
авторы читали в ряде вузов столицы. В нем рассмотрены практически 
все аспекты дисциплины “Математика” Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и программы по специальностям “Психология”, “Лингвистика и межкультурные 
коммуникации”, “Юриспруденция”, “Философия” и “Менеджмент”.
Учебник содержит два основных раздела “Основы дискретной 
и высшей математики” и “Теория вероятностей и математическая 
статистика”. В учебник включены прикладные наработки авторов по 
математике, теории вероятностей и математической статистике, примеры использования классических методов и заданий для самостоятельной работы обучаемых.
Для студентов гуманитарных специальностей, аспирантов, преподавателей, а также научных сотрудников, предпринимателей, менеджеров и руководителей фирм.

УДК 517
ББК 22.16

М34

ISBN 978-5-394-01910-4
© Коллектив авторов, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .....................................................................................................................................9

Раздел I
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ И ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

1. 
Основы дискретной математики .............................................................14
1.1. 
Понятие множества ..............................................................................14
1.2. 
Основные понятия комбинаторики .........................................27
1.3. 
Основы теории графов .......................................................................31
Вопросы для самопроверки .........................................................................48
2. 
Элементы линейной и векторной алгебры .....................................49
2.1. 
Матрицы, определители и их свойства ...............................49
2.2. 
Системы линейных алгебраических уравнений .........65
2.3. 
Собственные числа и собственные 
векторы матриц ........................................................................................73
2.4. 
Некоторые сведения о векторах ................................................80
Вопросы для самопроверки .........................................................................85
3. 
Функции и пределы ............................................................................................86
3.1. 
Некоторые сведения о функциях .............................................86
3.2. 
Предел последовательности. Предел функции. 
Вычисление пределов. ........................................................................89
3.3. 
Комплексные числа ...........................................................................102
Вопросы для самопроверки ......................................................................106
4. 
Основы дифференциального исчисления ....................................107
4.1. 
Производная первого порядка. Дифференциал. 
Производная второго порядка ..................................................107
4.2. 
Некоторые сведения о функциях многих 
переменных. Понятие о частной производной ...........115
4.3. 
Некоторые приложения 
дифференциального исчисления ...........................................124

4.3.1. Формула Тейлора ...............................................................124
4.3.2. Правило Лопиталя .............................................................126
4.3.3. Асимптоты ................................................................................130
4.3.4. Исследование функций с помощью 
производных первого и второго порядков 
и построение их графиков ...........................................134
Вопросы для самопроверки ......................................................................146
5. 
Элементы интегрального исчисления .............................................147
5.1. 
Первообразная и неопределенный интеграл ..............147
5.2. 
Определенный интеграл ................................................................161
5.3. 
Некоторые сведения 
о несобственных интегралах ......................................................170
5.4. 
Некоторые приложения 
определенного интеграла ..............................................................175
5.4.1. Вычисление площадей плоских фигур ...........175
5.4.2. Нахождение длины дуги кривой ...........................181
5.4.3. Объем тела вращения .....................................................184
5.5. 
Приближенное вычисление 
определенных интегралов ...........................................................187
5.6. 
Понятие о двойном интеграле ...................................................194
Вопросы для самопроверки ......................................................................204
6. 
Некоторые сведения 
о дифференциальных уравнениях .....................................................205
6.1. 
Основные понятия и определения ........................................205
6.2. 
Дифференциальные уравнения 1-го порядка ............206
6.2.1. Общее понятие ......................................................................206
6.2.2. Дифференциальные уравнения 
первого порядка с разделяющимися 
переменными ..........................................................................207
6.2.3. Однородные дифференциальные 
уравнения ..................................................................................211
6.2.4. Линейные дифференциальные уравнения 
первого порядка ...................................................................214
6.3. 
Дифференциальные уравнения 2-го порядка ...........217
6.3.1. Общее понятие ......................................................................217
6.3.2. Линейные однородные дифференциальные 
уравнения второго порядка 
с постоянными коэффициентами .........................220

6.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 
второго порядка с постоянными 
коэффициентами и с правой частью ..................224
6.4. 
Понятие о системах обыкновенных 
дифференциальных уравнений ..............................................231
Вопросы для самопроверки ......................................................................238
7. 
Ряды ..............................................................................................................................240
7.1. 
Числовые ряды ......................................................................................240
7.2. 
Функциональные ряды ...................................................................244
7.3. 
Степенные ряды....................................................................................246
Вопросы для самопроверки ......................................................................251
Литература к разделу I ................................................................................251

Раздел II
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

8. 
Случайные события .........................................................................................254
8.1. 
Предмет теории вероятностей .................................................254
8.2. 
Основные понятия и определения ........................................259
8.3. 
Частота и вероятность. Способы нахождения 
вероятностей случайных событий ........................................264
8.3.1. Статистическое определение 
вероятностей ...........................................................................264
8.3.2. Аксиоматическое построение теории 
вероятностей ...........................................................................266
8.3.3. Классический способ 
определения вероятности ............................................267
8.4. 
Понятие условной вероятности. Стохастическая 
зависимость случайных событий ..........................................269
8.5. 
Правила действий с вероятностями ...................................271
8.6. 
Повторение независимых испытаний. 
Схема Бернулли ...................................................................................274
8.7. 
Формула полной вероятности ..................................................277
8.8. 
Формула Байеса ...................................................................................278
Вопросы для самопроверки ......................................................................285

9. 
Случайные величины .....................................................................................286
9.1. 
Случайные величины и их классификация .................286
9.2. 
Закон распределения случайной величины 
и формы его представления .......................................................287
9.2.1. Понятие распределения 
случайной величины ........................................................287
9.2.2. Функция вероятности .....................................................288
9.2.3. Функция распределения ..............................................289
9.2.4. Плотность распределения...........................................295
9.3. 
Числовые характеристики скалярных 
случайных величин ............................................................................297
9.3.1. Характеристики положения .....................................298
9.3.2. Характеристики рассеивания .................................302
9.3.3. Моменты случайной величины ...............................306
9.4. 
Основные теоретические распределения 
скалярных случайных величин ..............................................309
9.5. 
Распределение случайного вектора ....................................323
9.6. 
Частные и условные распределения компонент 
случайного вектора ............................................................................328
9.6.1. Частные распределения ...............................................328
9.6.2. Условные распределения. Стохастическая 
зависимость случайных величин ..........................331
9.7. 
Числовые характеристики векторных 
случайных величин ............................................................................336
9.8. 
Нормальное распределение двумерного 
случайного вектора ............................................................................340
Вопросы для самопроверки ......................................................................344
10. Функции случайных аргументов .........................................................346
10.1. Общая характеристика задач исследования 
функций случайных аргументов ...........................................346
10.2. Теоремы о числовых характеристиках 
случайных величин ............................................................................347
10.3. Определение числовых характеристик 
функций случайных аргументов ...........................................352
10.4. Распределение однозначного 
преобразования случайных величин .................................358

10.5. Распределение неоднозначного 
преобразования случайных величин .................................362
10.6. Распределение функции двух 
случайных величин ............................................................................364
10.7. Композиция распределений ......................................................366
10.7.1. Композиция нормального 
и равномерного распределений ..............................366
10.7.2. Композиция нормальных распределений .....369
Вопросы для самопроверки ......................................................................372
11.  Статистические методы оценивания 
характеристик продукции .........................................................................374
11.1. Общая характеристика статистических методов 
оценивания характеристик продукции и 
результатов ее применения .......................................................374
11.2. Общая схема эксперимента ........................................................377
11.3. Сущность выборочного метода ................................................379
11.4. Понятие о законе больших чисел 
и центральной предельной теореме ....................................385
Вопросы для самопроверки ......................................................................390
12. Методы статистической обработки 
результатов испытаний ...............................................................................391
12.1. Постановка задачи оценивания вероятностных 
характеристик случайных величин ....................................391
12.2. Основные требования к оценкам ............................................392
12.3. Оценивание законов распределения 
случайных величин ............................................................................396
12.4. Точечное оценивание числовых 
характеристик случайных величин ....................................403
12.4.1. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................403
12.4.2. Оценивание математического ожидания 
случайной величины ........................................................405
12.4.3. Оценивание дисперсии и стандартного 
отклонения случайной величины .........................410
12.4.4. Определение числовых характеристик 
случайных величин при большом 
объеме выборки ....................................................................411

12.5. Интервальное оценивание числовых 
характеристик случайных величин ....................................412
12.5.1. Понятие доверительной вероятности 
и доверительного интервала .....................................412
12.5.2. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................416
12.5.3. Оценивание математического ожидания .......420
12.5.4. Оценивание стандартного отклонения ............426
Вопросы для самопроверки ......................................................................432
13. Статистическая проверка гипотез .....................................................434
13.1. Сущность проверки статистических гипотез .............434
13.2. Методы проверки гипотез 
о законах распределения ..............................................................442
13.2.1. Постановка задачи .............................................................442
13.2.2. Проверка гипотез 
о законе распределения ................................................445
13.3. Методы проверки гипотез о параметрах 
законов распределения ..................................................................454
13.3.1.  Проверка гипотез о равенстве 
математических ожиданий ........................................454
13.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий .....460
13.4. Проверка гипотез методом 
последовательного анализа ........................................................466
13.4.1. Сущность метода последовательного 
анализа .........................................................................................466
13.4.2. Проверка гипотезы о вероятности 
наступления события ......................................................468
13.4.3. Проверка гипотезы о математическом 
ожидании ....................................................................................471
Вопросы для самопроверки ......................................................................474

Литература к разделу II .........................................................................................476

Приложение ......................................................................................................................477

Введение

Название “математика” происходит от греческого слова 
“матема” () — знание, наука. Математика относится к 
числу наиболее старых наук. В Вавилоне и Египте во втором 
тысячелетии до нашей эры были известны многие сведения из 
арифметики и геометрии.
Академик А. Н. Колмогоров выделил четыре основных периода развития математики:
1. Период зарождения математики, который продолжался до 
VI–V вв. до н. э. Были известны разрозненные факты и формулы, которые использовались для решения сугубо практических задач: составление календарей, обмер земельных 
участков и т. д.
2. Период элементарной математики с VI–V в. до н. э. до XVI в. 
н. э. Были заложены начала дедуктивного, аксиоматического методов. Развитие дедуктивной теории связано с именем Аристотеля, а первое систематизированное изложение 
геометрии было сделано Евклидом. Начала современной алгебры было положены в трудах итальянского ученого эпохи 
Возрождения Леонардо Пизанского (Фибоначчи).
3. Период создания математики переменных величин включает период с XVII в. по середину XIX в., который характеризуется созданием аналитической геометрии Р. Декартом, 
дифференциального и интегрального исчислений И. Ньютона и Г. Лейбница, а также современной алгебраической символики француза Виета.
4. Современный период развития математики с середины 
XIX в. по наше время. Была создана теория действительных 
чисел, которая позволила строго выстроить математический 
анализ. В конце XIX столетия в работах Г. Кантора появилась теория множеств. В XIX и XX вв. были заложены ос

новы математической логики. В XX в. под влиянием успехов 
абстрактной алгебры появилось понимание математической 
структуры. Построению и исследованию математических 
структур были посвящены работы группы французских 
математиков, которые писали под псевдонимом Н. Бурбаки. 
Бурно развивались в XX в. теория вероятностей, математическая статистика, теория случайных функций. Здесь велик 
вклад российских и советских математиков П. Л. Чебышева, 
А. А. Маркова, А. Н. Колмогорова, Е. С. Вентцель.
В середине XIX в. Ф. Энгельс в своей работе “Анти — Дюринг” дал определение предмета математики. По Ф.Энгельсу, 
“чистая математика имеет своим объектом пространственные 
формы и количественные отношения действительного мира”. 
[30]. Это определение отражает развитие математики от ее зарождения до середины XIX в.
Второе определение предмета математики было дано 
Н. Бурбаки в первой половине XX в. Оно было обусловлено современным периодом развития математики и новым подходом к 
аксиоматическому методу.
По Н. Бурбаки, математика — “скопление математических 
структур, не имеющих к действительности никакого отношения” [8].
Н. Бурбаки выделяет три основных типа структур: алгебраические, порядка, топологические. Многие ученые считали, 
что определение Ф. Энгельса устарело. Но подход Н. Бурбаки 
встретил и негативное отношение, так как они не выяснили 
отношения рассматриваемых ими структур к действительному миру. Определение Ф. Энгельса не надо отбрасывать, его 
надо дополнить. Современное определение можно сформулировать, например, так [18]: математика — наука, которая 
исследует пространственные формы, количественные отношения, аксиоматические структуры и вопросы доказательства путем построения абстрактных моделей действительного мира.
Математика проникла практически во все сферы человеческой деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что 

она способна создавать модели изучаемых явлений1, а во-вторых — используется для обработки цифровых данных (как 
средство расчета).
В настоящее время различные численные и аналитические 
методы используются не только в естественных, но и в гуманитарных науках, например в социологии, лингвистике, юриспруденции, экономике.
С одной стороны, с помощью математических методов 
можно более глубоко анализировать сложные экономические 
явления и процессы, а с другой — проблемы экономики стимулирует разработку новых математических теорий. Например, 
необходимость решения задач экономического планирования 
привела к разработке теории линейного программирования в 
30-х гг. XX в. [19].
Можно сделать вывод о том, что глубокое изучение экономических процессов и управление ими невозможны без 
знания современного математического аппарата. Математическая подготовка современного специалиста в области экономики имеет свои специфические особенности, связанные 
со сложностью проведения финансово-экономических операций и принятия рациональных управленческих решений 
по ним.
Как наука математика имеет определенное математическое мировоззрение, однако для специалистов в области экономики, менеджмента, психологии и юриспруденции математика 
является прежде всего мощным инструментарием при проведении необходимых расчетов и исследований, а также фундаментом, на котором строится современное здание высшего профессионального образования.
Материал учебника представлен в виде двух разделов и 
предназначен для студентов 1-го и 2-го курсов гуманитарных 
специальностей вузов.

1 Математической моделью изучаемого явления называется логическая конструкция, которая отражает геометрические формы этого явления и количественные соотношения между его числовыми параметрами.

Первый раздел “Основы дискретной и высшей математики” состоит из семи глав. В первой главе “Основы дискретной 
математики” представлены основы теории множеств, введены 
элементы комбинаторики и основы теории графов. Вторая глава “Элементы линейной и векторной алгебры” посвящена матрицам, векторам, определителям и их свойствам, а также действиям над ними. Приведены методы решения систем линейных 
алгебраических уравнений. В третьей главе “Функции и пределы” дано определение функции, способы ее задания и основные свойства, а также числовой последовательности и предела. Рассмотрены признаки существования предела, первый и 
второй замечательные пределы, дано понятие комплексных 
чисел. В четвертой главе “Основы дифференциального исчисления” кратко рассмотрены такие фундаментальные понятия, 
как производная, дифференциал, их геометрический смысл, 
даны понятия функции многих переменных и частных производных, а также приведены некоторые сведения о приложениях дифференциального исчисления (формула Тейлора, правило Лопиталя, исследование функции с помощью производной). 
В пятой главе “Элементы интегрального исчисления” раскрыто 
содержание интегрального исчисления, приведены определения и свойства неопределенного, определенного, несобственного и кратного интегралов, а также способы их вычисления. Рассматриваются приложения интегрального исчисления. Шестая 
глава “Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях” написана на основе материала, изложенного в предыдущих 
главах. В ней представлены обыкновенные дифференциальные 
уравнения первого и второго порядка с постоянными коэффициентами, а также методы их решения. Особое место занимает 
решение линейных однородных уравнений второго порядка с 
постоянными коэффициентами. Дано также понятие решения 
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Седьмая глава “Ряды” посвящена исследованию числовых, функциональных и степенных рядов.
Второй раздел “Теория вероятностей и математическая 
статистика” включает в свой состав шесть глав. Восьмая гла

ва “Случайные события” раскрывает понятия аппарата теории 
вероятностей, способы нахождения вероятности случайных 
событий, правила действия с вероятностями и основные теоремы. В девятой главе “Случайные величины” представлена 
классификация случайных величин, законы распределения 
случайных величин (СВ) и формы их представления, а также 
числовые характеристики и распределения СВ и случайного 
вектора. По объему десятая глава “Функции случайных аргументов” является небольшой и посвящена теоремам и определению числовых характеристик функций случайных аргументов. Прикладное значение имеет содержание одиннадцатой 
главы “Статистические методы оценивания характеристик 
продукции”, в которой раскрыта сущность выборочного метода оценивания и основных предельных теорем теории вероятностей (теоремы Чебышева, Бернулли и Ляпунова). Оценивание законов распределения случайных величин, точечное и 
интервальное оценивание числовых характеристик случайных 
величин составляют содержание двенадцатой главы “Методы 
статистической обработки результатов испытаний”. Тринадцатая глава “Статистическая проверка гипотез” раскрывает 
сущность классического метода и метода последовательного 
анализа Вальда, а также их соотношение. Заканчивается каждая глава задачами для самостоятельного решения и вопросами для самопроверки.
Представленный курс математики охватывает большинство разделов, изучаемых студентами гуманитарных специальностей вузов. При написании книги авторы придерживались 
современных точек зрения на понятия, о которых идет речь, и 
не отступали от общепринятых взглядов. Авторы стремились 
изложить материал в доступной для студентов форме. При 
этом материал по дискретной математике, в частности по теории графов, теории вероятностей и математической статистике, будет полезен студентам, изучающим психологию, менеджмент и юриспруденцию. Однако авторы издания не претендуют 
на исчерпывающую широту охвата учебного материала из-за 
ограничений на объем книги.

Раздел I
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ 
И ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

1. ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. Понятие множества

Понятие множества не определяется через другие понятия математики, т. е. оно является первичным. Появилось оно в 
конце XIX в. в работах Г. Кантора (о сравнении мощностей множеств) [5, 8]. Г. Кантор определил множество как “объединение 
в одно целое объектов хорошо различимых нашей интуицией 
или нашей мыслью”. Разумеется, это определение не может 
рассматриваться как строгое математическое, его, впрочем, не 
существует, так как понятие множества является исходным, на 
его основе строятся остальные понятия математики.
Множество состоит из каких-то объектов. Например, существует множество натуральных чисел (N), множество всех 
звезд нашей Галактики, множество всех жителей Россий ской 
Федерации и т. д. Объекты, входящие в данное конкретное 
множество являются его элементами. Различают конечные 
(состоящие из конечного числа элементов) и бесконечные множества.
Множества будем обозначать заглавными буквами A, B, 
C,…, X, Y, Z, а их элементы — малыми буквами а, b, с, …, x, y, z. 
Тот факт, что элемент х принадлежит множеству Х обозначают так: х Х, а не принадлежит — х Х.

Если все элементы множества Х являются также элементами множества Y, то множество Х есть подмножество множества Y. Это записывается следующим образом Х Y или Y Х.
Множество всех подмножеств множества Y называется 
степенью этого множества и обозначается 2y или P(Y).
Множество Х и Y являются равными (состоят из одних и 
тех же элементов) Х = Y, если Х Y или Y Х. Может использоваться следующая запись Х Y, т. е. либо Х = Y, либо Х Y 
(является собственным подмножеством множества Y).
Вводится понятия пустого множества (), которое не содержит не одного элемента. Например, множество решений 
уравнения х2 + 4 = 0 есть пустое множество.

Способы задания множеств [5, 8]

а) Словесное описание.
Например, множество Х есть множество всех прямых, проходящих через точку А плоскости .
б) Перечисление элементов, входящих в множество.
Например, Х = {-7, 0, 12, 123, 700}. Элементы в приведенном 
списке могут располагаться в любом порядке и должны быть 
различны, т. е. множества Х = {5, 5, 7} и Y = {5, 7} равны между 
собой. Если во множестве есть совпадающие элементы, то его 
называют семейством Z = (5, 9, 9, 12, 12, 23) и заключают в круглые скобки.
в) Описание свойств элементов, входящих в множество.
Х = {x | [(х – 3)(х – 5)] > 0}, т. е. элементами множества Х 
будут только те числа, которые удовлетворяют неравенству 
(х – 3)(х – 5) > 0.
Если обозначить через Q(х) свойства элементов, входящих 
во множество Х, то для задания этого множества в общем случае можно использовать следующую запись Х = {х | Q(х)}, т. е. 
множество Х состоит из тех элементов х, которые удовлетворяют свойству Q(х). Множество, которое содержит все рассматриваемые в некоторой задаче множества, называется универсальным и обозначается U.

Например, в качестве U можно взять множество N (заметим, что в некоторых монографиях оно начинается не с единицы, а с нуля).

Z = {z N | z < 6}, т. е. Z = {1, 2, 3, 4, 5}.

Для сокращения записи в математике используют кванторы всеобщности, существования, существования и единственности [17]:
— квантор всеобщности (перевернутая первая буква английского слова All);
— квантор существования (перевернутая первая буква 
английского слова Exists);
! — квантор существования и единственности.
Например, запись (х Х) Р(х) означает: для всех х из 
множества Х справедливо Р(х); запись (у Y) R(у) — существует у из множества Y такое, что справедливо R(у); запись 
(!z Z) М(z) — существует единственное z из множества Z 
такое, что справедливо M(z).

Операции над множествами [5,26]

Пусть задано универсальное множество U. Множество 
всех его подмножеств есть 2U. Заданы также множества Х и Y, 
причем Х 2U и У 2U.
Дополнением множества Х называется множество Хэлементов множества U, которые не принадлежат Х:

Х= {х U | х Х}.
Графически операции над множествами (рис. 1.1) можно 
изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна):
Пересечение (X Y) двух множеств Х и Y состоит из элементов, принадлежащих обоим этим множествам (рис. 1.2):

X Y={x | x X и x Y}
Объединение (Х Y) двух множеств Х и Y состоит из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х и 
У (рис. 1.3):