Л. А. БУЛАВИН, Н.В. ВЫГОРНИЦКИЙ, Н.И. ЛЕБОВКА

КОМПЬЮТЕРНОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Л.А. Булавин, Н.В. Выгорницкий, Н.И. Лебовка
Компьютерное моделирование физических систем: Учебное
пособие / Л.А. Булавин, Н.В. Выгорницкий, Н.И. Лебовка –
Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2011. – 352 с.
ISBN 9785915591010

В учебном пособии изложен материал по применению методов компью
терного моделирования для исследования физических систем. В каждой
главе рассмотрена самостоятельная физическая задача, в ней содержится
введение в суть проблемы, изложены рецепты и алгоритмы ее решения, дано
описание рабочей программы на языке Фортран 90, а также приведены
примеры ее использования. Рассмотренные задачи относятся к областям
статистической физики и физики конденсированных систем, физики фрак
талов, перколяционных и хаотических явлений. Для более глубокого усво
ения материала, к каждой главе прилагаются задачи и упражнения для са
мостоятельной работы.
Для студентов, аспирантов и преподавателей физических, физикохими
ческих специальностей, а также научных сотрудников.

                         © 2011, Л.А. Булавин, Н.В. Выгорницкий,
Н.И. Лебовка
                          © 2011, ООО «Издательский Дом
                                «Интеллект», оригиналмакет,
                                оформление

ISBN 9785915591010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Глава 1. Использование языка программирования
Фортран 90 для компьютерного моделирования физических
систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

1.1. Краткое введение в язык программирования Фортран . . . . . . . .
14
1.1.1. Первичные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.2. Основные типы величин, их представление и описание в
программе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1.3. Программирование арифметических выражений . . . . . . . .
23
1.1.4. Операции отношения и логические выражения . . . . . . . . .
25
1.1.5. Операторы присваивания и управления . . . . . . . . . . . . . .
26
1.1.6. Особенности работы с массивами . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.1.7. Программные единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.1.8. Операторы ввода-вывода и работа с файлами . . . . . . . . . .
38
1.1.9. Генерация случайных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.1.10.Использование графики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.2.1. Табуляция и построение графика функции . . . . . . . . . . . .
53
1.2.2. Построение спирали Улама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.2.3. Вычисление многомерных интегралов и числа π методом
Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1.2.4. Построение эквипотенциальных линий для распределения
электрических зарядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.2.5. Аполлониевы упаковки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Глава 2. Задача Ферми–Паста–Улама . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

2.1. Колебания в цепочке связанных осцилляторов . . . . . . . . . . . . .
70

Оглавление

2.1.1. Линейная цепочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.1.2. Нелинейная цепочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2. Алгоритм и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.2.3. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81

Глава 3. Солитоны и уравнение Кортевега—де Вриза . . . .
83

3.1. Развитие представлений о солитоне. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.1.1. Распространение уединенной волны в узком канале . . . . . .
83
3.1.2. Уравнение Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.1.3. Роль нелинейного и дисперсионного вкладов . . . . . . . . . .
84
3.1.4. Точное солитонное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.2. Алгоритм и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.2.3. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Глава 4. Логистическое отображение и показатель
Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92

4.1. Хаотическое поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.1.1. Логистическое отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.1.2. Показатель Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.2. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.2.1. Бифуркационная диаграмма и поведение показателя Ляпунова
97
4.2.2. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100

Глава 5. Множества Жюлиа и Мандельброта . . . . . . . . . . .
101

5.1. Нелинейные отображения в комплексных координатах . . . . . . . .
101
5.1.1. Множество Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
5.1.2. Множество Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
5.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.2.1. Алгоритм для построения множества Жюлиа . . . . . . . . . .
107
5.2.2. Алгоритм построения множества Мандельброта . . . . . . . .
107
5.2.3. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.2.4. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
5.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
5.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

Оглавление
5

Глава 6. Детерминистические фракталы . . . . . . . . . . . . . . .
112

6.1. Примеры детерминистических фракталов . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
6.1.1. Кривые Коха и Мандельброта–Гивена . . . . . . . . . . . . . . .
113
6.1.2. Треугольник и ковер Серпинского. . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
6.1.3. Пирамида Серпинского и губка Менгера . . . . . . . . . . . . .
115
6.1.4. Канторовская пыль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
6.2. Алгоритмы и описание программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
6.2.1. Рекурсивный алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
6.2.2. Алгоритм на основе систем итерируемых функций (IFS) . .
119
6.2.3. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
6.2.4. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126

Глава 7. Рост бактериальных колоний: Модель Идена . . . .
128

7.1. Типы моделей стохастического роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
7.1.1. Базисная модель Идена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
7.1.2. Модель с подавлением шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
7.1.3. Нерешеточные модели Идена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
7.1.4. Структура кластеров Идена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
7.1.5. Перколяционная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
7.1.6. Модель экранированного роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
7.1.7. Модель случайного последовательного роста . . . . . . . . . .
132
7.1.8. Модель «летающей бабочки» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
7.2. Алгоритм для базисной модели Идена и описание работы программы
133
7.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
7.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
7.2.3. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
7.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
7.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136

Глава 8. Агрегация, контролируемая диффузией . . . . . . . .
138

8.1. Варианты модели агрегации, контролируемой диффузией . . . . . .
138
8.1.1. Базисный вариант модели DLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
8.1.2. Модель DLA с подавлением шума . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
8.1.3. Рост на множественных центрах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
8.1.4. Фрактальная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
8.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
8.2.1. Алгоритм для базисного варианта . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
8.2.2. Алгоритм для ускоренного варианта . . . . . . . . . . . . . . . .
145
8.2.3. Описание работы программы для базисного варианта . . . .
147

.

Оглавление

8.2.4. Описание работы программы для ускоренного варианта . . .
149
8.2.5. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
8.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
8.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159

Глава 9. Имитация роста шероховатых поверхностей. . . . .
160

9.1. Структура и свойства шероховатых поверхностей . . . . . . . . . . .
160
9.1.1. Характеристики фронта роста поверхности . . . . . . . . . . . .
161
9.1.2. Концепция пространственно-временного скейлинга . . . . . .
162
9.1.3. Основные типы компьютерных моделей . . . . . . . . . . . . . .
164
9.1.3.1. Случайное осаждение (RD) . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
9.1.3.2. Осаждение с поверхностной релаксацией (RDR). . .
166
9.1.3.3. Баллистическое осаждение (BD) . . . . . . . . . . . . .
166
9.1.3.4. Смешанные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
9.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
9.2.1. Описание алгоритмов для моделей осаждения RD, RDR и BD
169
9.2.2. Описание работы программ для моделей осаждения RD, RDR
и BD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
9.2.2.1. Модель RD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
9.2.2.2. Модель RDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
9.2.2.3. Модель BD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
9.2.3. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
9.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
9.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176

Глава 10. Случайная последовательная адсорбция . . . . . . .
178

10.1. Необратимая адсорбция и джамминг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
10.1.1. Определение базисной модели RSA . . . . . . . . . . . . . . . .
178
10.1.2. Концентрация джамминга для разных вариантов модели RSA
180
10.1.3. Модель RSA для объектов анизотропной формы . . . . . . .
181
10.1.4. Влияние формы частиц и полидисперсности . . . . . . . . . .
183
10.1.5. Кинетика осаждения для решеточных и непрерывных моделей
185
10.2. Алгоритм и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
10.2.1. Алгоритм RSA для одномерной модели. . . . . . . . . . . . . .
186
10.2.2. Быстрый алгоритм RSA для двумерной квадратной решетки
186
10.2.3. Описание
работы
программы
для
определения
порога
насыщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
10.2.4. Описание работы программы для моделирования кинетики
насыщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
10.2.4.1. Одномерная модель RSA . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
10.2.4.2. Двумерная модель RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
10.2.5. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
10.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
10.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195

Оглавление
7

Глава 11. Аномальная диффузия и диффузия в
неупорядоченных средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198

11.1. Модели диффузии в различных конденсированных средах . . . . .
198
11.1.1. Случайные блуждания и движение броуновской частицы .
198
11.1.2. Классификация типов диффузионного движения . . . . . . .
199
11.1.3. Модель «прыжков Леви» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
11.1.4. Модель диффузии с памятью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
11.1.5. Модель Эдвардса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
11.1.6. Модель решеточного газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
11.1.7. Диффузия при наличии дрейфа частицы. . . . . . . . . . . . .
201
11.1.8. Диффузия в неупорядоченных средах и модель де Жена . .
202
11.1.9. Диффузия на фрактальных объектах
. . . . . . . . . . . . . .
203
11.2. Алгоритм и описание работы программы для изучения диффузии
на перколяционном кластере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
11.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
11.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
11.2.3. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
11.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
11.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217

Глава 12. Алгоритмы кластерного анализа . . . . . . . . . . . . .
219

12.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
12.2. Кластерный анализ методом прожига . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
12.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
12.2.2. Программа кластерного анализа методом прожига . . . . . .
222
12.2.3. Пример работы программы кластерного анализа методом
прожига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
12.3. Кластерный анализ с использованием метода Хошена–Копельмана
226
12.3.1. Решеточный вариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
12.3.1.1. Алгоритм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
12.3.1.2. Описание программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
12.3.2. Нерешеточный вариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
12.3.2.1. Формирования списка связности . . . . . . . . . . . .
229
12.3.2.2. Алгоритм Хошена–Копельмана с использованием
списка связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
12.3.2.3. Описание программы, основанной на использова-
нии списка связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
12.4. Вспомогательные программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
12.4.1. Случайное заполнение плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
12.4.1.1. Узлы квадратной решетки . . . . . . . . . . . . . . . .
235
12.4.1.2. Перекрывающиеся диски . . . . . . . . . . . . . . . . .
235

Оглавление

12.4.2. Формирование списка связности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
12.4.2.1. Узлы квадратной решетки . . . . . . . . . . . . . . . .
236
12.4.2.2. Перекрывающиеся диски . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
12.4.3. Визуализация кластеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
12.5. Примеры работы программ для кластерного анализа с использова-
нием метода Хошена–Копельмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
12.6. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
12.7. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242

Глава 13. Метод Монте-Карло для анализа модели Изинга:
Алгоритм Метрополиса и кластерные алгоритмы . . . . . . . . .
244

13.1. Фазовые переходы в магнитных материалах и модель Изинга . . .
244
13.1.1. Определение Модели Изинга на квадратной решетке . . . .
245
13.1.2. Точное решения Модели Изинга на квадратной решетке . .
246
13.1.3. Простейшее обобщение модели Изинга: модель Поттса . . .
247
13.1.4. Конечномерный анализ для модели Изинга и метод куму-
лянт Биндера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
13.1.5. Алгоритм Метрополиса для решения модели Изинга . . . .
248
13.1.6. Замедление процедуры Метрополиса вблизи критической
точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
13.1.7. Преодоление проблемы критического замедления с помощью
кластерных алгоритмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
13.2. Алгоритмы и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . .
253
13.2.1. Алгоритм Метрополиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
13.2.2. Алгоритм Свендсена–Ванга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
13.2.3. Алгоритм Вольфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
13.2.4. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
13.2.4.1. Процедура Метрополиса . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
13.2.4.2. Процедура Свендсена–Ванга . . . . . . . . . . . . . . .
264
13.2.4.3. Процедура Вольфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
13.2.5. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
13.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
13.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269

Глава 14. Задача коммивояжера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272

14.1. Метод модельного отжига и задача коммивояжера . . . . . . . . . .
272
14.1.1. Метод модельного отжига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
14.1.1.1. Вероятность перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
14.1.1.2. Уменьшение температуры со временем . . . . . . . .
274
14.1.2. Задача коммивояжера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275

Оглавление
9

14.2. Алгоритм для решения задачи коммивояжера и описание работы
программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
14.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
14.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
14.2.3. Примеры работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
14.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
14.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285

Глава 15. Вычисление электропроводности
композиционных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287

15.1. Методы расчета электропроводности композиционных систем . . .
287
15.2. Алгоритм Франка–Лобба для расчета электропроводности и опи-
сание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
15.2.1. Алгоритм Франка–Лобба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
15.2.1.1. Элементарные преобразования . . . . . . . . . . . . .
289
15.2.1.2. Преобразование звезда–треугольник и их обобщение
290
15.2.1.3. «Сворачивание» квадратной сетки сопротивлений
291
15.2.1.4. Применение метода Франка–Лобба для более слож-
ных плоских решеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
15.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
295
15.2.3. Примеры работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
15.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
15.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304

Глава 16. Электрический пробой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306

16.1. Простейшие модели электрического пробоя . . . . . . . . . . . . . . .
306
16.1.1. Модели типа резистор–изолятор (модель RI) и резистор–
сверхпроводник (модель RS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
16.1.2. Стохастические и детерминистические модели . . . . . . . . .
308
16.1.2.1. Стохастическая модель (модель NPW) . . . . . . . .
309
16.1.2.2. Детерминистическая модель (модель Такаясу) . . .
310
16.1.3. Термоактивационная модель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
16.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
16.2.1. Стохастическая модель NPW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
16.2.2. Обобщенная модель Такаясу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
16.2.3. Термоактивационная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
16.2.4. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
16.2.4.1. Стохастическая модель NPW . . . . . . . . . . . . . .
314
16.2.4.2. Обобщенная модель Такаясу. . . . . . . . . . . . . . .
320
16.2.5. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
16.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
16.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326

Оглавление

Глава 17. Самоорганизованная критичность . . . . . . . . . . . .
328

17.1. Модели самоорганизованной критичности . . . . . . . . . . . . . . . .
328
17.1.1. Обвал кучи с песком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
17.1.2. Землетрясения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
17.1.3. Горение лесных массивов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
17.1.4. Игра «Жизнь» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
17.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
17.2.1. Обвал кучи с песком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
17.2.2. Лесной пожар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
17.2.3. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
17.2.3.1. Обвал кучи с песком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
17.2.3.2. Лесной пожар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343
17.2.4. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345
17.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347
17.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347

ПРЕДИСЛОВИЕ

Компьютерное моделирование является неотъемлемой ча-
стью современной физики. Моделирование физической природы или
«численный эксперимент» в настоящее время широко используется как
теоретиками, так и экспериментаторами. Компьютерные методы нахо-
дят все более широкое применение при моделировании свойств слож-
ных физических систем, а их внедрение позволило получить совершен-
но новые результаты и рассмотреть классы задач ранее традиционно от-
носимых к «нерешаемым». Значительные успехи получены в таких фун-
даментальных областях как статистическая физика и физика конденси-
рованных систем, физика твердого тела и квантовая механика, физика
фракталов и хаотических явлений, финансовая физика. Для решения
таких задач были развиты специфические рецепты, алгоритмы, модели
клеточных автоматов, что позволило значительно ускорить получение
конечных результатов. Однако, по нашему мнению, в традиционных
изданиях, посвященных применению вычислительных и компьютерных
методов, многие из таких алгоритмов анализируются не достаточно
детально.
Предлагаемая вниманию читателя книга является фактически учеб-
ником для студентов-физиков, который основан на многолетнем опыте
преподавания курса «Моделирование физических систем» в ряде веду-
щих украинских вузов. Книга состоит из 17 глав и посвящена анализу
некоторых компьютерных рецептов, используемых при моделировании
физических систем. В качестве основного языка программирования вы-
бран язык Фортран 90, который, как известно, хорошо адаптирован для
решения физических задач, имеет хорошую библиотечную поддержку
в физических приложениях и широко используется в настоящее время.
Каждая глава книги представляет собой отдельную сформулирован-
ную вычислительную задачу и организована по сходному принципу:
введение, теоретическое изложение материала на уровне справочного
пособия, алгоритм решения, описания рабочей программы и примеры

Предисловие

ее применения. Приведенные в книге программные листинги следует
рассматривать как текст, предназначенный для чтения и детального
анализа. Полные листинги протестированных программ можно найти
на сайте кафедры молекулярной физики Киевского национального уни-
верситет имени Тараса Шевченко (http:/molphys.univ.kiev.ua в разде-
ле публикации). Для понимания приведенных в книге кодов программ
обязательным является прочтение первой главы, где кратко изложены
основы программирования на языке Фортран 90. Читатели, для кото-
рых этот язык хорошо знаком, могут эту главу пропустить. Все осталь-
ные главы книги практически автономны, и их материал может быть
использован независимым образом без прочтения остального матери-
ала. Все главы также снабжены дополнительными задачами, многие
из которых сформулированы на основании статей, опубликованных в
научных журналах физического профиля.
Основное внимание уделено дискретным математическим моделям
сложных и многочастичных систем, которые широко применяются в
термодинамике, статистической физике и смежных областях. В част-
ности, в книге рассмотрены некоторые алгоритмы, широко использу-
емые в качестве вспомогательных инструментов при анализе струк-
туры многочастичных систем. Приведены примеры применения рекур-
сивных алгоритмов для построения фракталов. Описаны программы
для построения множеств Мандельброта и Жюлиа. Методы Монте-
Карло проиллюстрированы на примере рассмотрения модели Изинга
и решения оптимизационной задачи коммивояжера. Проанализированы
классические задачи о нелинейных связанных осцилляторах (Ферми–
Улама–Паста), солитонном решении уравнения Кортевега—де Вриза и
хаотическом поведении нелинейных систем. Рассмотрены алгоритмы,
используемые для анализа связности кластеров, роста кластерных, пер-
коляционных, дендритных систем и бактериальных колоний. Рассмот-
рены также основные алгоритмы для имитации явлений электрического
пробоя, роста поверхностей, диффузии в неупорядоченных и фракталь-
ных средах, а также явлений самоорганизованной критичности.
В конце каждой главы приведен список литературы, который ни в
коей мере не претендует на полноту, а используется только для ссылок
на обсуждаемые модели. Книга предназначена для студентов и аспи-
рантов физических, физико-химических специальностей, а также на-
учных сотрудников. По стилю изложения эта книга является скорее
учебником, и ее материал может быть использован в преподавательских
курсах посвященных применению компьютерного моделирования для
решения физических задач.

Г Л А В А
1

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЯЗЫКА
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ФОРТРАН 90
ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

На протяжении почти 60 лет язык программирования Фор-
тран остается основным языком программирования, используемым в
научных вычислениях. Фортран был создан специалистами фирмы IBM
в начале 50-x XX века и его название происходит от слов FORmula и
TRANslation. Само название языка означает, что Фортран был разра-
ботан специально для решения численных задач физики и математики.
Высокая эффективность проведения численных вычислений оказывает
содействие тому, что этот язык программирования по-прежнему ис-
пользуют большинство физиков всего мира. С момента своего создания
Фортран претерпел ряд существенных изменений. На протяжении ис-
тории своего развития было принято несколько стандартов этого языка:
Фортран 66, Фортран 77, Фортран 90, Фортран 95, Фортран 2003,
Фортран 2008. Фортран считается одним из наиболее удачных языков
программирования в применении для решения вычислительных задач.
Современный Фортран содержит также некоторые элементы объектно-
ориентированного программирования, и включает много средств, кото-
рые делают его идеальным для проведения вычислений на многопро-
цессорных компьютерах.
В этой главе изложены только наиболее важные возможности со-
временного Фортрана, которые можно использовать для иллюстрации
алгоритмов компьютерного моделирования в физике. Более детальное
изложение возможностей Фортрана 90 можно найти в существующих
учебных пособиях [1, 2], или полном описании стандарта [3]. Изла-
гаемый в этой главе материал был отобран таким образом, чтобы по-
знакомить читателя только с теми элементами Фортрана 90, которые
необходимы для понимания работы программ, излагаемых в этой книге.
Большая часть излагаемого материала справедлива для любой реализа-
ции Фортран 90. Исключение могут составлять генераторы случайных
чисел и графические операторы, которые излагаются для реализации
Фортран 90 Microsoft Fortran PowerStation 4.0.

Глава 1. Фортран 90 для моделирования физических систем

1.1.
КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ЯЗЫК ПРОГРАММИРОВАНИЯ
ФОРТРАН

1.1.1.
Первичные понятия
Первичными элементами Фортрана являются символы, ко-
торые могут быть разделены на основные и дополнительные. Основные
символы — включают 52 символа латинского алфавита, десять симво-
лов цифр, а также спецсимволы. Основные символы языка использу-
ются для построения всех конструкций языка. Набор дополнительных
символов не фиксирован и используется для построения символьных
констант, либо снабжения программы комментариями. В табл. 1.1 при-
веден набор специальных символов.

Таблица 1.1. Специальные символы Фортран

Символ
Название
Символ
Название

␣
Пробел
:
Двоеточие

=
Равно
!
Восклицательный знак

+
Плюс
;
Точка с запятой

−
Минус
&
Амперсенд

*
Звездочка
%
Процент

/
Слэш
<
Меньше

(
Левая скобка
>
Больше

)
Правая скобка
?
Вопросительный знак

,
Запятая
"
Кавычки

.
Точка
$
Денежный знак

′
Апостроф

Последовательности символов языка Фортран образуют слова, ко-
торые могут обозначать числа, имена величин, некоторые действия и
т. д. Различают два типа слов: служебные слова и слова пользователя.
Служебные слова имеют раз и навсегда заданный смысл. Слова поль-
зователя создаются разработчиком программы по его усмотрению, но
с учетом правил принятых в языке Фортран. Слова пользователя не
должны совпадать со служебными словами по начертанию.
Основные конструкции языка являются операторы, которые могут
быть выполняемые и невыполняемы. Выполняемые операторы служат
для указания действий и порядка их выполнения, а невыполняемые
операторы используются для указания типа и структуры величин, для
задания информации о распределении памяти и т. д.
В простейшем случае программа может включать только основной
модуль. В более сложных случаях программа может состоять из моду-
лей, основной программы и подпрограмм. Выполнение программы все-
гда начинается с основной программы. Подпрограмма подключается к

1.1. Краткое введение в язык программирования Фортран
15

работе основной программы путем вызова ее с основной программы,
либо вызова ее из других подпрограмм.
Приведем пример программы, которая выполняет сложение двух
чисел и печатает результат на экран дисплея:

1
program ex01
2
integer a, b
!определяем a, b и c
3
integer c
!как переменные целого типа
4
5
a=10; b=-2
!присваиваем переменным a и b значения
6
7
c=a+b
!присваиваем с результат сложения
8
! переменных a и b
9
write(*,*) c
!печатаем на экран дисплея
10
!значение переменной c, равной 8
11
end program ex01
12

Фактически этот пример иллюстрирует ряд определений, о которых
говорилось выше. Проанализируем их более детально. Для удобства
анализа каждая строка кода программы была пронумерована. Данная
программа начинается со служебного слова program, а заканчивает-
ся служебными словами end program. Служебное слово program
определяет программную единицу как основную программу. В данном
случае программа состоит всего лишь с одной программной единицы —
основной программы. Слово пользователя ex01 является названием
основной программы и присутствует в начале и в конце программы.
В начале программы все величины, которые используются программой,
должны быть описаны. Служебное слово integer является примером
невыполнимого оператора, который используется для описания типа ве-
личин a, b, c. Слова пользователя a, b, c являются также именами пе-
ременных. В программах операторы описания могут использоваться как
для описания типа отдельной переменной, так и списка переменных,
как это показано в этом примере. Для разделения переменных в списке
используется спецсимвол запятая. Для комментирования кода програм-
мы используется спецсимвол восклицательного знака, который может
находиться в любой позиции программной строки и всегда стоит в нача-
ле любого комментария. Пятая строка кода содержит примеры двух вы-
полнимых операторов присваивания, в которых спецсимвол = использу-
ется для обозначения операции присваивания. Два и более оператора в
одной строке разделяются друг от друга точкой с запятой. С помощью
этих операторов присваивания величины a и b принимают значения 10
и -2 соответственно. Более сложный оператор присваивания содержит-
ся в строке кода с номером семь. В данном случае переменной c присва-

Глава 1. Фортран 90 для моделирования физических систем

ивается результат вычисления арифметического выражения a+b. Девя-
тая строка кода содержит оператора вывода write(*,*), который осу-
ществляет печать на экран значения переменной c. Приведенный при-
мер также иллюстрирует наличие пустых строк в коде программы, ко-
торые удобно использовать для повышения читабельности программы.
В рассмотренном выше примере использовались простые слова для
имен переменных. Но в общем случае имена переменных могут включать
символы цифр и символ подчеркивания. Например, имена переменной
a_1, b2 является вполне корректным именами переменных. Следует
отметить, что символ подчеркивания не может быть первым в имени
переменной. Компилятор Фортрана не различает больших и малых сим-
волов в именах переменных и операторов. Например, операторы вывода
WRITE(*,*) и write(*,*) полностью эквивалентны. Использование
больших или малых букв при кодировании программы скорее зависит
от «вкуса» программиста. В приведенных в этой книге программах
для кодирования операторов используются малые символы, а для имен
переменных, которые обозначают параметры модели большие символы.
Программы для компилятора Фортрана могут быть написаны с ис-
пользованием фиксированного или свободного формата кодирования. Все
программы, представленные в этой книге, написаны с использованием
свободного формата кодирования, однако сегодня еще можно встретить
много библиотечных функций и процедур, использующих фиксирован-
ный формат кодирования, который является стандартом Фортрана 77.
Фиксированный формат кодирования накладывает ряд ограничений на
представление кода программы. Кратко опишем эти ограничения:
• длина программной строки не может превышать 72 символа;
• первый символ программной строки используется для комментиро-
вания кода программы, в качестве которых используют любой из
символов: *, C, c.
• позиции с 1-й по 5-ю используются для обозначения меток. После
метки не должно быть пустой программной строки;
• если 6-я позиция содержит любой символ, то это указывает на
продолжение предыдущей программной строки кода;
• операторы кода могут содержаться с 7 по 72 позицию строки;
• в программе не допускается наличие пустых строк.
Файлы с программами, которые написаны в фиксированном форма-
те, обычно имеют, расширения *.for, или *.f. Например, myprog.f.
Свободный формат кодирования снимает ряд предыдущих ограни-
чений на код программы, но не все:
• длина программной строки не может превышать 132 символа;
• для продолжения длинной строки используют спецсимвол &, кото-
рый ставится в конце строки кода.

1.1. Краткое введение в язык программирования Фортран
17

Файлы, которые написаны в свободном формате кодирования, обыч-
но, имеют расширение *.f90. Например, my.f90.
Отметим, что в обоих стандартах кодирования меткой является по-
следовательность цифровых символов, которая не превышает, пяти зна-
ков. В свободном формате кодирования позиция метки не ограничена
первыми пяти позициями.

1.1.2.
Основные типы величин, их представление
и описание в программе
В программах Фортрана могут использоваться величины
следующих типов: целого, вещественного, комплексного, логического и
символьного. Значениями целых и вещественных величин могут быть
положительные, отрицательные числа соответствующих типов. Ком-
плексные величины определяются парой чисел. Первое из них означает
действительную часть комплексной величины, а второе — коэффициент
при мнимой единице i. Логические величины могут принимать только
два значения: истина или ложь. Величины символьного типа опреде-
ляются последовательностью символов основного и дополнительного
наборов.
Величины целого, вещественного и комплексного типа могут ис-
пользоваться в виде констант, простых переменных, или переменных с
индексами (массивов). Данные типы величин могут также иметь стан-
дартную и нестандартную длину. Длина величины определяет количе-
ство байт, необходимых для представления ее в оперативной памяти
компьютера и соответственно диапазон допустимых значений, которые
она может принимать.
Константы используются для представления постоянных значений
величин, а также в арифметических выражениях. В табл. 1.2 приведены
примеры представления констант разных типов.
В приведенных примерах для представления констант стандартной
длины используется экспонента e, а нестандартной d. Величины стан-
дартной длины занимают четыре байта оперативной памяти, а нестан-
дартной восемь.
Переменная — это величина, которая в программе может принимать
различные значения. Для описания типа переменных стандартной дли-
ны в программах используются служебные слова:

integer
(целые),
real
(вещественные),
complex
(комплексные),
character (символьные),
logical
(логические).

Глава 1. Фортран 90 для моделирования физических систем

Таблица 1.2. Примеры представления констант разных типов в Фортран 90

Тип константы
Примеры

Целый
0 (означает число ноль),
-15,
133,
B’110010’, O’62’, Z’32’ (означают число 50, пред-
ставленное в системах исчисления с основанием: 2, 8, 16
соответственно)

Вещественный
0.
(означает число ноль),
-.123
(означает число −0,123),
311.
(означает число 311,0),
3.52e4 (означает число 3,52 · 104),
3.52d4 (означает число 3,52 · 104),
-.1e-3 (означает число −0,1 · 10−3)

Комплексный
(-2.,3.)
(означает число −2,0 + 3,0i),
(.1e5,-3.e12) (означает число 104 − 3 · 1012i)
(1.d5,7.d-2)
(означает число 105 + 0,07i)

Логический
.true., .false.

Символьный
’32’, ’book’, ’x=’, ’a+b=’

Переменные целого, вещественного и логического типа стандартной
длины занимают в памяти четыре байта, а величины комплексного
типа используют вдвое большее количество байт. Переменные сим-
вольного типа стандартной длины занимают один байт. Для описания
переменных нестандартной длины, приведенные выше служебные сло-
ва, используются вместе со скобками. В этом случае числа в скобках
указывают на количество байт, которые используются для размещения
переменной в оперативной памяти. Альтернативный способ описания
переменных, оставшийся от стандарта Фортран 77, заключается в ис-
пользовании спецсимвола звездочка. Например, два следующих описа-
ния переменной

integer(2) my
integer*2
my

полностью эквивалентны и означают, что переменная с именем my яв-
ляется величиной целого типа и занимает в оперативной памяти два байта.
Для корректного описания длины переменных в программе нуж-
но правильно оценить диапазон значений, которые она может прини-
мать в ходе вычислений. Неправильная оценка и соответственно непра-
вильное описание переменных может приводить иногда к получению
«удивительных» результатов, или к «непонятной» работе программы. В