АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА В ЗАДАЧЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ПРОСТОЙ ДИНАМИКОЙ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2

УДК 517.977.58

c
⃝ А. А. Успенский, П. Д. Лебедев

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ
ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА В ЗАДАЧЕ
БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ПРОСТОЙ ДИНАМИКОЙ 1

Предложены аналитические и численные алгоритмы построения функции оптимального результата и ее множеств Лебега для задачи управления по быстродействию с круговой индикатрисой скоростей. Выделены и изучены многообразия,
на которых функция оптимального результата теряет гладкость.

Ключевые слова: функция оптимального результата, минимаксное решение, биссектриса, евклидово расстояние.

Рассматривается задача Коши–Дирихле для уравнения типа Гамильтона–Якоби:

min
∥ν∥⩽1

ν1
∂u
∂x + ν2
∂u
∂y

+ 1 = 0,
(1)

u|Γ = 0.
(2)

Здесь ∥ν∥ =
ν2
1 + ν2
2 — норма вектора ν = (ν1, ν2). Краевое условие определено на границе Γ = ∂M замкнутого множества M ⊂ R2.
Решение задачи (1), (2) понимается в обобщенном смысле в соответствие с концепцией минимаксного решения [1] уравнения типа Гамильтона–
Якоби. Минимаксное решение задачи Коши–Дирихле является функцией
оптимального результата для задачи быстродействия с круговой вектограммой скоростей, когда M— целевое множество. Заметим, что другой
известный подход к определению обобщенного решения соответствующего уравнения в частных производных первого порядка изложен в [2].
Дифференциальные свойства минимаксного решения задачи существенным образом зависят от краевого условия. В настоящей работе предлагаются аналитические и численные подходы к построению минимаксного
решения для достаточно общего случая, когда краевое условие задано на
непрерывной склейке дважды дифференцируемых кривых.

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ №05-01-00601, гранта ведущих научных школ НШ-8512.2006.1 и регионального гранта РФФИ/ПСО №07-0196085