Введение в синтез пассивных цепей

Введение  
 

1 

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
В. И. Вепринцев 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ  В СИНТЕЗ  
ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ 
 
 
Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов 
Российской Федерации по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации             
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению 210400 «Радиотехника» (рег. № 1033/21 от 16.06.2014 г.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2014 

Введение в синтез пассивных цепей 
 

2 

УДК 621.372.512.3(07)  
ББК 31.211.61я73 
         В20  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Вепринцев, В. И.   
В20              Введение в синтез пассивных цепей :  учеб. пособие / В. И.  Вепринцев. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2014. – 120 с. 
          ISBN 978-5-7638-3078-1 
 
Рассмотрены свойства входных и передаточных функций цепей, критерии 
и методы реализации пассивных двухполюсников и четырехполюсников. Основные положения теории синтеза подтверждены примерами расчета конкретных электрических цепей и  проиллюстрированы рисунками и графиками.  
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 210400.62 «Радиотехника» и  210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» специальности 210601.65 «Радиоэлектронные системы и комплексы». 
 
 
   Электронный вариант издания см.: 
           http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 621.372.512.3(07) 
ББК 31.211.61я73
 
ISBN 978-5-7638-3078-1                                                             © Сибирский федеральный  
                                                                                                           университет, 2014 

Введение  
 

3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Современная система передачи и обработки информации представляет собой ряд устройств, каждое из которых выполняет определенные 
операции над сигналами, такие, например, как выделение их из смеси             
с помехами, разделение сигналов различных источников информации, 
преобразование формы сигналов и т. д. Все эти операции выполняются            
с помощью электрических цепей с соответствующими характеристиками. 
Примерами таких цепей являются различные фильтры с требуемыми            
характеристиками передачи, корректирующие согласующие цепи, используемые в совокупности с активными элементами, фазовращатели, цепи  
обратной связи в усилителях, следящих системах, цепи формирования сигналов сложной формы и др. 
Важнейшей задачей, возникающей при проектировании радиоаппаратуры, является задача построения электрических цепей с заданными           
характеристиками – задача синтеза цепей по заданным частотным или 
временным характеристикам, т. е. обратная задача теории цепей. Результатом решения задачи синтеза является физически осуществимая электрическая цепь, состоящая из элементов с вещественными положительными 
параметрами, сопротивлений  R, емкостей C, индуктивностей L (или взаимных индуктивностей M), в задаче синтеза активных цепей – так же и зависимых источников. Задача синтеза имеет неоднозначное решение,             
поскольку одни и те же заданные характеристики могут быть реализованы 
несколькими различными цепями. Следует отметить, что не для всякой 
функции, описывающей заданную характеристику, может быть найдена 
физически реализуемая цепь, в этом случае задача синтеза вообще не имеет 
решения. 
В зависимости от того, в какой форме задана требуемая характеристика, процесс синтеза может быть разбит на три этапа. 
Первый этап заключается в установлении необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять функции, выражающие              
заданные характеристики электрических цепей, т. е. условий, характеризующих возможность построения хотя бы одной физически реализуемой 
цепи с заданными свойствами. 
Второй этап сводится к нахождению функции, удовлетворяющей  
условиям физической реализуемости и с требуемой точностью воспроизводящей заданную характеристику. Часто требуемая характеристика задана 
в виде таблицы, графика функции или в виде функции, не удовлетворяющей условиям физической реализуемости цепи. В этих случаях возникает 
задача воспроизведения заданной характеристики (частотной или времен

Введение в синтез пассивных цепей 
 

4 

ной) с требуемой точностью с помощью функций, удовлетворяющих условиям физической реализуемости. Это задача аппроксимации, относящаяся 
к области математики и решаемая её методами. 
Третий этап состоит в отыскании электрических цепей, обладающих 
характеристиками, найденными в результате решения задачи аппроксимации, и выборе одной из них для практического осуществления, т. е. решение задачи реализации электрической цепи. 

1. Свойства входных функций пассивных цепей  
 

5 

1. СВОЙСТВА  ВХОДНЫХ  ФУНКЦИЙ  
ПАССИВНЫХ  ЦЕПЕЙ 
 
 
Поведение цепи (в области комплексного переменного р) описывается некоторыми функциями, определяемыми отношением изображения по 
Лапласу реакции цепи к изображению по Лапласу воздействия при нулевых начальных условиях. 
Если к входным зажимам цепи 
(рис. 1) подключить источник тока,  
то реакцией будет напряжение и 
функцией цепи будет входное сопротивление 

( )
( )
( )
U p
Z p
I p
=
. 
Рис. 1 

Если же источником воздействия является напряжение, то функцией 
цепи будет входная проводимость 

( )
( )
( )

I p
Y p
U p
=
. 

Очевидно, что 
1
( )
( )
Y p
Z p
=
. 

Поскольку любая сложная цепь может быть рассмотрена как совокупность двухполюсников, рассмотрим входные функции многоэлементных двухполюсников. 
Если двухполюсник является многоконтурной цепью, то согласно 
методу контурных токов 

11
1
12
2
1
11

21
1
22
2
2
22

1
2
2

( ) ( )
( )
( )
...
( )
( )
( ),

( ) ( )
( )
( )
...
( )
( )
( ),

( ) ( )
( )
( )
...
( )
( )
( ),

n
n

n
n

ik
n
nn
n
nn

Z
p I
p
Z
p I
p
Z
p I
p
E
p

Z
p I
p
Z
p I
p
Z
p I
p
E
p

Z
p I
p
Z
p I
p
Z
p I
p
E
p

+
+
+
=
⎧
⎪
+
+
+
=
⎪⎨− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
⎪
⎪
+
+
+
=
⎩

 

где 
1
ik
ik
ik
ik
Z
R
pL
pC
=
+
+
– операторное взаимное или собственное                  

(при i = k) сопротивление контуров; 
ii
E  – изображение по Лапласу контурной ЭДС. 

Введение в синтез пассивных цепей 
 

6 

Решая систему уравнений относительно тока 1( )
I
p , получим 

1
1( )
I
p
Δ
= Δ , 

где Δ – определитель системы; 
1
Δ – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца правыми частями уравнений. 

11
12
1
11
12
1

21
22
2
22
22
2
1

1
2
2

...
...

...
...
,       
.
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...

n
n

n
n

n
n
nn
nn
n
nn

Z
Z
Z
E
Z
Z

Z
Z
Z
E
Z
Z

Z
Z
Z
E
Z
Z

Δ =
Δ =
 

Если двухполюсник пассивен, то можно считать контур, в котором 
находится генератор, – первым, а в остальных контурах источников нет, т. е. 

11
1
22
33
( )
( ),  
( )
( )
...
( )
0.
nn
E
p
E p
E
p
E
p
E
p
=
=
=
=
=
 

Тогда  
11
1
1
( )
( )
( )
( )
p
I
p
E p
p
Δ
= Δ
,  где  
11( )
p
Δ
– алгебраическое дополне
ние, полученное из определителя 
( )
p
Δ
 вычеркиванием первой строки              
и первого столбца. 

Следовательно,   

11

( )
( )
( )
p
Z p
p

Δ
= Δ
, а  
11( )
( )
( )

p
Y p
p

Δ
= Δ
. 

Раскрывая определители 
( )
p
Δ
 и 
11( )
p
Δ
, получим входные функции 
( )
Z p  и 
( )
Y p  как отношение двух полиномов с целыми степенями р и вещественными коэффициентами: 

1
1
1
0
1
1
1
0

...
( )
1
( )
( )
( )
...

n
n
n
n
m
m
m
m

a p
a
p
a p
a
M p
Z p
N p
Y p
b p
b
p
b p
b

−

−
−
−

+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
. 

Корни полинома 
kp′ М(р) являются нулями, а корни 
kp  полинома 
N(P) – полюсами функции Z(p). Представляя числитель и знаменатель                  
в виде произведения двучленов, можно записать Z(p) через нули и плюсы: 

1
2
1

1
2

1

(
)
(
)(
)...(
)
( )
(
)(
)...(
)
(
)

n

k
n
n
k
m
m
m
k
k

p
p
a
p
p
p
p
p
p
Z p
H
b
p
p
p
p
p
p
p
p

=

=

′
−
′
′
′
−
−
−
=
=
⋅
−
−
−
−

∏

∏

, 

где 
n

m

a
H
b
=
– коэффициент нормирования. 

1. Свойства входных функций пассивных цепей  
 

7 

Из этого выражения следует, что функция цепи имеет полюсы                 
при 
1
2
,  
 ,..., 
m
p
p
p
p
p
p
=
=
=
.  Все они являются простыми при условии 

1
2
...
m
p
p
p
≠
≠
≠
. Если k полюсов равны между собой, тогда это полюс k-го 
порядка (кратности).  
Функция цепи имеет нули при 
1
2
,  
 ,..., 
n
p
p
p
p
p
p
′
′
′
=
=
=
. Они являются простыми, если 
1
2
...
n
p
p
p
′
′
′
≠
≠
≠
, если же k из нулей равны между собой, то такой нуль имеет порядок k. 
Следует отметить, что функция цепи определяется полностью и однозначно расположением и порядком её полюсов и нулей и величиной коэффициента Н. 
При рассмотрении гармонических процессов 
σ
ω
p
j
=
+
 заменяется 
на ω
j , и тогда получим 
( ω)
Z j
 и  ( ω)
Y j
– частотные характеристики. 
Как и всякое комплексное число, 
( ω)
Z j
 и  
( ω)
Y j
 могут быть представлены в показательной форме: 

φ(ω)
( ω)
(ω)
j
Z j
Z
e
=
,   
φ(ω)
( ω)
(ω)
j
Y j
Y
e−
=
, 

где 
(ω)
Z
 и  
(ω)
Y
– амплитудно-частотные характеристики, φ(ω)– фазочастотная характеристика. 
В этом случае нули и полюсы функций 
(ω)
Z
 и  
(ω)
Y
 представляют 
собой собственные частоты при замкнутых и разомкнутых зажимах. 
 
Энергетические функции цепи 

Система уравнений контурных токов может быть представлена             
в матричной форме: 

11
12
1
1
11
12
1
1

21
22
2
2
21
22
2
2

1
2
1
2

...
...

...
...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...

n
n

n
n

n
n
nn
n
n
n
nn
n

R
R
R
I
L
L
L
I

R
R
R
I
L
L
L
I
p

R
R
R
I
L
L
L
I

⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

 

11
12
1
1
11

2
22
21
22
2

1
2

1
1
1
...

1
1
1
...
1
...
...
...
...
...
...

1
1
1
...

n

n

n
nn

n
n
nn

C
C
C
I
E

I
E
C
C
C
p
I
E

C
C
C

⎛
⎞
⎜
⎟
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 

 

Введение в синтез пассивных цепей 
 

8 

или  ( )( )
( )( ) (
)
( )
( )
1
R
I
p L
I
D
I
E
p
+
+
=
,  где 
1/
ik
ik
D
C
=
.  

Кроме того, 
d
p
dt
≡
  и 1
dt
p ≡ ∫
. 

Если умножить каждое из уравнений системы на сопряженный ток 
*

kI , то для k-го контура получим 

*
*
*
*

1
1
1

1
1
n
n
n

ki i
k
ki i
k
i
k
kk
k
ki
i
i
i

R I I
p
L I I
I I
E
I
p
C
=
=
=
+
+
=
∑
∑
∑
. 

Просуммировав, левые и правые части n уравнений, получим  

*
*
*
*

1
1
1
1
1
1
1

1
1
n
n
n
n
n
n
n

ki i
k
ki i
k
i
k
kk
k
ki
k
i
k
i
k
i
k

R I I
p
L I I
I I
E
I
p
C
=
=
=
=
=
=
=
+
+
=
∑∑
∑∑
∑∑
∑
. 

Правая часть последнего уравнения представляет собой полную 
мощность, отдаваемую источниками.  
Обозначив выражения 

*

0
1
1

n
n

ki i
k
k
i
F
R I I

=
=
=∑∑
, 

*

0
1
1

n
n

ki i
k
k
i
T
L I I

=
=
=∑∑
, 

*

0
1
1

1
n
n

i
k
ki
k
i
V
I I
C
=
=
=∑∑
, 

последнее уравнение можно записать в виде 

0
0
0
1
F
pT
V
S
p
+
+
=
, 

где 
0
0
0
, 
, 
F
T
V – энергетические функции. 
В установившемся синусоидальном режиме (p= ω
j ) правая часть 
этих уравнений представляет комплексную мощность, отдаваемую источниками.   
Энергетическая функция 
0
F  приобретает значение удвоенной мощ
ности потерь в сопротивлениях 

2

0
(
2
)
2
RI
F =
. 

0
T – удвоенное значение энергии, запасаемой в индуктивностях 

2

0
(
2
2
)
2
L
LI
T
W
=
=
. 

1. Свойства входных функций пассивных цепей  
 

9 

0
V – умноженное на 
2
ω  удвоенное значение энергии, запасаемой           

в ёмкостях  

2
2
2
2
0
(
2ω
2ω
)
2
C
I
CU
V
W
C
=
=
=
. 

Таким образом, последние уравнения выражают баланс мощностей           
в цепи – в левой части имеем активную и реактивную мощность, потребляемую цепью, в правой – полную мощность, отдаваемую источниками 

0
0
0
2
ω(
)
ω
V
F
j
T
S
+
−
= . 

Из физического смысла энергетических функций следует, что они могут 
принимать только вещественные положительные значения 
0
0
0
, 
, 
F
T
V  > 0. 
Для пассивного двухполюсника матрицы ( )
E  и ( )
I  содержат по одному элементу Е(р) и  I(p). Тогда уравнение баланса мощностей принимает 
вид 

*
0
0
0
V
F
pT
E I
p
+
+
=
. 

Если разделить обе части этого уравнения на  

*
2
I I
I
⋅
=
, то получим 

0
*
0
0

2
*
( )
( )
( )

V
F
pT
E I
E p
p
Z p
I p
I
I I

+
+
⋅
=
=
=

⋅

. 

Деление на 

2
I  можно считать нормированием. При возбуждении 

двухполюсника током 
1
I =  
 

2
0
0
0
1
( )
(
) I
V
Z p
F
pT
p
=
=
+
+
. 

Поскольку 
0
0
0
, 
, 
F
T
V – вещественные неотрицательные при всех воз
можных р,  

2
I – положительна, то: 
а) Z(p) вещественно при вещественном р. 
Действительно, 

0
0
0
1
Re ( )
Re
Re
Z p
F
T
p
V
p
=
+
+
= 

*
*
*
0
0
0
2
Re
Re ,  (
σ
ω,  Re
Re )
V
F
T
p
p
p
j
p
p
p
=
+
+
=
−
=
;