Каталог
Каталог
Энциклопедия компьютерной алгебры
Энциклопедия компьютерной алгебры
Издательство:
ДМК Пресс
Вид издания: Справочная литература
Уровень образования: ВО - Бакалавриат
Авторы:
|
Год издания
2010
|
|
Кол-во страниц
1264
|
|
ISBN
978-5-94074-490-0
|
|
Артикул
616038.01.99
|
Аннотация
Первая в России энциклопедия по компьютерной алгебре, ориентированная на пользователей систем компьютерной математики, нуждающихся в выполнении аналитических вычислений и их численной и графической визуализации. Содержит описание возможностей систем компьютерной алгебры Maple 9.5/10/11, Mathematica 5.1/5.2/6, Mathcad 11/12/13/14, Derive 5/6 и MuPAD 2.5/3/4. Особое внимание уделено их новейшим реализациям. Дает основополагающие понятия о системах компьютерной математики, подкрепленные более чем тысячью конкретных и наглядных примеров. Рассмотрены средства компьютерной математики, реализованные аппаратно. Книга предназначена для студентов и преподавателей университетов и вузов, инженеров и научно-технических работников.
Библиографическая запись
Скопировать запись
Дьяконов, В. П. Энциклопедия компьютерной алгебры [Электронный ресурс] / В. П. Дьяконов. - Москва : ДМК Пресс, 2010. - 1264 с.: ил. - ISBN . - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/408033 (дата обращения: 17.09.2021). – Режим доступа: по подписке.
Аффилиация авторов
Текстовые фрагменты публикации
Энциклопедия компьютерной алгебры В. П. Дьяконов Москва
Краткое содержание Введение ........................................................................................................ 31 Предостережения ..................................................................................... 39 Благодарности и адреса ....................................................................... 40 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНУЮ МАТЕМАТИКУ ..... 41 Глава 2. ТИПЫ ДАННЫХ И РАБОТА С НИМИ ............................. 115 Глава 3. РАБОТА С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ И ФУНКЦИЯМИ .................................................... 177 Глава 4. ПРАКТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ........... 267 Глава 5. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ................................................................................. 375 Глава 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ПРОГНОЗ ................... 443 Глава 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ .............................. 567 Глава 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ОПТИМИЗАЦИИ .................................................................................... 609 Глава 9. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ................................................................................................. 697 Глава 10. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ В MAPLE ........... 797 Глава 11. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ В MATHEMATICA 4/5/6 .............. 873 Глава 12. ПАКЕТ РАСШИРЕНИЯ GRAPHICS СИСТЕМЫ MATHEMATICA .................................................................... 957 УДК 32.973.26018.2 ББК 004.438 Д93 Д93 Дьяконов В. П. Энциклопедия компьютерной алгебры. – М.: ДМК Пресс. – 1264 с.: ил. ISBN 9785940744900 Первая в России энциклопедия по компьютерной алгебре, ориентиро ванная на пользователей систем компьютерной математики, нуждающихся в выполнении аналитических вычислений и их численной и графической визуализации. Содержит описание возможностей систем компьютерной алгебры Maple 9.5/10/11, Mathematica 5.1/5.2/6, Mathcad 11/12/13/14, Derive 5/6 и MuPAD 2.5/3/4. Особое внимание уделено их новейшим реа лизациям. Дает основополагающие понятия о системах компьютерной ма тематики, подкрепленные более чем тысячью конкретных и наглядных примеров. Рассмотрены средства компьютерной математики, реализован ные аппаратно. Книга предназначена для студентов и преподавателей университетов и вузов, инженеров и научнотехнических работников. УДК 519.6 ББК В162я73 Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения вла дельцев авторских прав. Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство не несет ответ ственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги. © Дьяконов В. П. ISBN 9785940744900 © Оформление, издание, ДМК Прес
Краткое содержание Введение ........................................................................................................ 31 Предостережения ..................................................................................... 39 Благодарности и адреса ....................................................................... 40 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНУЮ МАТЕМАТИКУ ..... 41 Глава 2. ТИПЫ ДАННЫХ И РАБОТА С НИМИ ............................. 115 Глава 3. РАБОТА С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ И ФУНКЦИЯМИ .................................................... 177 Глава 4. ПРАКТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ........... 267 Глава 5. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ................................................................................. 375 Глава 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ПРОГНОЗ ................... 443 Глава 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ .............................. 567 Глава 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ОПТИМИЗАЦИИ .................................................................................... 609 Глава 9. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ................................................................................................. 697 Глава 10. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ В MAPLE ........... 797 Глава 11. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ В MATHEMATICA 4/5/6 .............. 873 Глава 12. ПАКЕТ РАСШИРЕНИЯ GRAPHICS СИСТЕМЫ MATHEMATICA .................................................................... 957 УДК 32.973.26018.2 ББК 004.438 Д93 Д93 Дьяконов В. П. Энциклопедия компьютерной алгебры. – М.: ДМК Пресс, 2009. – 1264 с.: ил. ISBN 9785940744900 Первая в России энциклопедия по компьютерной алгебре, ориентиро ванная на пользователей систем компьютерной математики, нуждающихся в выполнении аналитических вычислений и их численной и графической визуализации. Содержит описание возможностей систем компьютерной алгебры Maple 9.5/10/11, Mathematica 5.1/5.2/6, Mathcad 11/12/13/14, Derive 5/6 и MuPAD 2.5/3/4. Особое внимание уделено их новейшим реа лизациям. Дает основополагающие понятия о системах компьютерной ма тематики, подкрепленные более чем тысячью конкретных и наглядных примеров. Рассмотрены средства компьютерной математики, реализован ные аппаратно. Книга предназначена для студентов и преподавателей университетов и вузов, инженеров и научнотехнических работников. УДК 519.6 ББК В162я73 Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения вла дельцев авторских прав. Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство не несет ответ ственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги. © Дьяконов В. П., 2009 ISBN 9785940744900 © Оформление, издание, ДМК Пресс, 2009
Содержание 4 Глава 13. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ В ДРУГИХ СИСТЕМАХ .............. 1013 Глава 14. ПРОГРАММИРОВАНИЕ В СИСТЕМАХ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ............................................................ 1033 Глава 15. АНАЛИТИЧЕСКОЕ И СПЕКТРАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ................................................................................ 1127 Глава 16. ВЕЙВЛЕТЫ И ВЕЙВЛЕТПРЕОБРАЗОВАНИЯ ... 1225 Список литературы .............................................................................. 1241 Предметный указатель ...................................................................... 1249 Содержание Введение ........................................................................................................ 31 Предостережения ..................................................................................... 39 Благодарности и адреса ....................................................................... 40 Глава 1. Введение в компьютерную математику ................... 41 1.1. Краткая характеристика систем компьютерной алгебры ................... 42 1.1.1. Понятие о символьных (аналитических) вычислениях............................ 42 1.1.2. Задачи, решаемые компьютерной алгеброй.......................................... 43 1.1.3. Структура и назначение систем компьютерной алгебры ....................... 46 1.2. Системы компьютерной математики Maple.......................................... 47 1.2.1. Назначение и место систем Maple ......................................................... 47 1.2.2. Ядро и пакеты применения Maple .......................................................... 48 1.2.3. Языки систем компьютерной алгебры ................................................... 49 1.2.4. Новые возможности Maple 11 ................................................................ 49 1.2.5. Запуск Maple 11 и интерфейс пользователя .......................................... 53 1.2.6. Помощники (ассистенты) и пакеты расширения Maple .......................... 56 1.3. Основы работы с Maple в диалоговом режиме..................................... 58 1.3.1. Начальные навыки работы ..................................................................... 58 1.3.2. Вставка электронных таблиц и работа с ними ........................................ 59 1.3.3. Понятие о функциях и операторах ......................................................... 60 1.3.4. Операторы и средства вывода выражений ............................................ 62 1.3.5. Обработка и индикация ошибок............................................................. 63 1.3.6. Примеры задания функции пользователя и построения ее графика...... 65 1.4. Символьные вычисления в Maple ........................................................... 68 1.4.1. Простой пример символьных вычислений ............................................. 68 1.4.2. Представление входных выражений в математической форме ............. 68 1.4.3. Типовые символьные вычисления ......................................................... 70 1.4.4. Разбухание результатов символьных вычислений ................................. 71 1.4.5. Решения системы линейных уравнений ................................................. 72 1.5. Системы компьютерной математики Mathematica .............................. 73 1.5.1. Особенности систем класса Mathematica .............................................. 73 1.5.2. Система Mathematica 5 .......................................................................... 74 1.5.3. Идеология систем Mathematica ............................................................. 74 1.5.4. Интерфейс системы Mathematica 5........................................................ 77 1.5.5. Первые навыки работы и понятие о ноутбуках ....................................... 80 1.5.6. Пакеты расширения системы Mathematica 5.......................................... 81 1.5.7. Возможности версии Mathematica 5.1/5.2 ............................................. 83 1.5.8. Возможности версии Mathematica 6 ...................................................... 83 1.6. Другие системы компьютерной алгебры .............................................. 85 1.6.1. Системы класса Derive 5/6 ..................................................................... 86 1.6.2. Системы класса MuPAD 2.5/3 ................................................................ 89 1.6.3. Системы класса Mathcad ....................................................................... 92 1.6.4. Система MATLAB с пакетом расширения Symbolic Math Toolbox ............ 99
Содержание 4 Глава 13. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ В ДРУГИХ СИСТЕМАХ .............. 1013 Глава 14. ПРОГРАММИРОВАНИЕ В СИСТЕМАХ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ............................................................ 1033 Глава 15. АНАЛИТИЧЕСКОЕ И СПЕКТРАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ................................................................................ 1127 Глава 16. ВЕЙВЛЕТЫ И ВЕЙВЛЕТПРЕОБРАЗОВАНИЯ ... 1225 Список литературы .............................................................................. 1241 Предметный указатель ...................................................................... 1249 Содержание Введение ........................................................................................................ 31 Предостережения ..................................................................................... 39 Благодарности и адреса ....................................................................... 40 Глава 1. Введение в компьютерную математику ................... 41 1.1. Краткая характеристика систем компьютерной алгебры ................... 42 1.1.1. Понятие о символьных (аналитических) вычислениях............................ 42 1.1.2. Задачи, решаемые компьютерной алгеброй.......................................... 43 1.1.3. Структура и назначение систем компьютерной алгебры ....................... 46 1.2. Системы компьютерной математики Maple.......................................... 47 1.2.1. Назначение и место систем Maple ......................................................... 47 1.2.2. Ядро и пакеты применения Maple .......................................................... 48 1.2.3. Языки систем компьютерной алгебры ................................................... 49 1.2.4. Новые возможности Maple 11 ................................................................ 49 1.2.5. Запуск Maple 11 и интерфейс пользователя .......................................... 53 1.2.6. Помощники (ассистенты) и пакеты расширения Maple .......................... 56 1.3. Основы работы с Maple в диалоговом режиме..................................... 58 1.3.1. Начальные навыки работы ..................................................................... 58 1.3.2. Вставка электронных таблиц и работа с ними ........................................ 59 1.3.3. Понятие о функциях и операторах ......................................................... 60 1.3.4. Операторы и средства вывода выражений ............................................ 62 1.3.5. Обработка и индикация ошибок............................................................. 63 1.3.6. Примеры задания функции пользователя и построения ее графика...... 65 1.4. Символьные вычисления в Maple ........................................................... 68 1.4.1. Простой пример символьных вычислений ............................................. 68 1.4.2. Представление входных выражений в математической форме ............. 68 1.4.3. Типовые символьные вычисления ......................................................... 70 1.4.4. Разбухание результатов символьных вычислений ................................. 71 1.4.5. Решения системы линейных уравнений ................................................. 72 1.5. Системы компьютерной математики Mathematica .............................. 73 1.5.1. Особенности систем класса Mathematica .............................................. 73 1.5.2. Система Mathematica 5 .......................................................................... 74 1.5.3. Идеология систем Mathematica ............................................................. 74 1.5.4. Интерфейс системы Mathematica 5........................................................ 77 1.5.5. Первые навыки работы и понятие о ноутбуках ....................................... 80 1.5.6. Пакеты расширения системы Mathematica 5.......................................... 81 1.5.7. Возможности версии Mathematica 5.1/5.2 ............................................. 83 1.5.8. Возможности версии Mathematica 6 ...................................................... 83 1.6. Другие системы компьютерной алгебры .............................................. 85 1.6.1. Системы класса Derive 5/6 ..................................................................... 86 1.6.2. Системы класса MuPAD 2.5/3 ................................................................ 89 1.6.3. Системы класса Mathcad ....................................................................... 92 1.6.4. Система MATLAB с пакетом расширения Symbolic Math Toolbox ............ 99
Содержание 6 Содержание 7 1.7. Компьютерная математика в аппаратных средствах......................... 100 1.7.1. Научные микрокалькуляторы со встроенными СКА.............................. 100 1.7.2. Примеры работы с научными микрокалькуляторами со встроенными СКА ..................................................................................... 103 1.7.3. Компьютерная математика в цифровых мультиметрах ........................ 104 1.7.4. СКМ в современных цифровых осциллографах ................................... 105 1.7.5. Анализаторы спектра со специализированными СКМ ......................... 110 Глава 2. Типы данных и работа с ними ....................................... 115 2.1. Простые типы данных ............................................................................ 116 2.1.1. Системы счисления и основания чисел ............................................... 116 2.1.2. Натуральные и простые числа.............................................................. 116 2.1.3. Целые десятичные числа ..................................................................... 117 2.1.4. Числа двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные....................... 118 2.1.5. Рациональные числа ............................................................................ 119 2.1.6. Вещественные (действительные) числа .............................................. 119 2.1.7. Нотация вещественных чисел .............................................................. 119 2.1.8. Комплексные числа ............................................................................. 121 2.1.9. Алгебраическая форма комплексных чисел ......................................... 121 2.1.10. Экспоненциальная форма комплексных чисел .................................. 121 2.1.11. Преобразование комплексных чисел ................................................. 121 2.1.12. Характерные правила ввода и вывода чисел ...................................... 122 2.1.13. Символы и строковые данные............................................................ 122 2.1.14. Объекты ............................................................................................. 123 2.2. Работа с простыми данными Mapleязыка .......................................... 123 2.2.1. Использование знаков алфавита ......................................................... 123 2.2.2. Зарезервированные слова .................................................................. 124 2.2.3. Работа с числами и арифметические вычисления ............................... 125 2.2.4. Точная арифметика.............................................................................. 126 2.2.5. Вычисление числа p с произвольной точностью по алгоритму Рамануджана ................................................................................................. 127 2.2.6. Работа с комплексными числами ......................................................... 129 2.2.7. Контроль над типами чисел ................................................................. 130 2.2.8. Преобразования чисел с разным основанием ..................................... 132 2.2.9. Пакет RealDomain для вычислений с действительными данными ........ 132 2.2.10. Модификация графической функции plot .......................................... 133 2.3. Сложные типы данных ........................................................................... 133 2.3.1. Массивы .............................................................................................. 133 2.3.2. Векторы и матрицы .............................................................................. 134 2.3.3. Задание массивов ............................................................................... 135 2.3.4. Использование индексированных переменных массивов ................... 135 2.3.5. Списки и ранжированные переменные ................................................ 136 2.3.6. Таблицы и их представление ............................................................... 137 2.3.7. Создание наборов (множеств) в Maple ................................................ 137 2.3.8. Создание и применение списков выражений ...................................... 137 2.3.9. Создание в Maple массивов, векторов и матриц .................................. 139 2.3.10. Работа с построителем матриц Matrix Builder .................................... 140 2.3.11. Создание в Maple таблиц и их применение ........................................ 140 2.3.12. Пакет ListTool для работы со списками .............................................. 141 2.3.13. Структура разбросанных полиномов ряда переменных SDMPolynom .................................................................................................. 142 2.4. Применение констант ............................................................................ 143 2.4.1. Символьные и числовые константы ..................................................... 143 2.4.2. Строковые константы .......................................................................... 143 2.4.3. Встроенные в ядро Maple константы ................................................... 143 2.4.4. Идентификация констант ..................................................................... 144 2.4.5. Защита идентификаторов констант ..................................................... 144 2.4.6. Задание новых констант ...................................................................... 144 2.5. Работа с размерными величинами ...................................................... 145 2.5.1. Пакет поддержки размерных величин Units ......................................... 145 2.5.2. Примеры работы с размерными величинами ...................................... 145 2.5.3. Применение ассистента преобразования размерных величин ............ 146 2.5.4. Пакет научных констант ScientificConstants .......................................... 146 2.5.5. Работа с научными константами .......................................................... 147 2.5.6. Вызов списка и свойств химических элементов................................... 148 2.5.7. Применение пакета ScientificConstants ................................................ 148 2.6. Функции для работы со строковыми данными ................................... 148 2.6.1. Неисполняемые программные комментарии в Maple .......................... 148 2.6.2. Контроль типа строковых данных ......................................................... 150 2.6.3. Интерактивный ввод строк................................................................... 150 2.6.4. Обработка строк .................................................................................. 151 2.6.5. Преобразование строки в математическое выражение ....................... 151 2.7. Переменные в Maple и их применение ................................................ 152 2.7.1. Типы переменных ................................................................................ 152 2.7.2. Назначение переменным имен ............................................................ 152 2.7.3. Присваивание переменным значений ................................................. 153 2.7.4. Отмена операции присваивания и команда restart............................... 154 2.7.5. Придание переменным статуса предполагаемых ................................ 155 2.8. Работа с файлами и документами ........................................................ 156 2.8.1. Типы файлов ........................................................................................ 156 2.8.2. Запись данных в файлы ....................................................................... 157 2.8.3. Считывание данных из файлов ............................................................ 157 2.8.4. Запись и считывание mфайлов........................................................... 158 2.8.5. Запись в файлы графических объектов................................................ 159 2.9. Вывод в специальных форматах........................................................... 159 2.9.1. Вывод в формате LaTeX ........................................................................ 159 2.9.2. Вывод на языке Фортран ..................................................................... 160 2.9.3. Вывод на языке C ................................................................................. 160 2.10. Визуальноориентированное создание документов ....................... 161 2.10.1. Вызов пакета Maplets ......................................................................... 161 2.10.2. Примеры создания визульноориентированного интерфейса........... 161 2.10.3. Управление цветом ............................................................................ 163 2.11. Типы данных в системе Mathematica ................................................. 165 2.11.1. Работа с целыми числами .................................................................. 165 2.11.2. Символьные данные и строки ............................................................ 167 2.11.3. Выражения......................................................................................... 167 2.11.4. Объекты и идентификаторы ............................................................... 168 2.11.5. Функции, опции, атрибуты и директивы ............................................ 169 2.11.6. Применение констант ........................................................................ 170 2.11.7. Физические константы и размерные величины ................................. 171 2.11.8. Переменные в системе Mathematica 4/5 ............................................ 171
Содержание 6 Содержание 7 1.7. Компьютерная математика в аппаратных средствах......................... 100 1.7.1. Научные микрокалькуляторы со встроенными СКА.............................. 100 1.7.2. Примеры работы с научными микрокалькуляторами со встроенными СКА ..................................................................................... 103 1.7.3. Компьютерная математика в цифровых мультиметрах ........................ 104 1.7.4. СКМ в современных цифровых осциллографах ................................... 105 1.7.5. Анализаторы спектра со специализированными СКМ ......................... 110 Глава 2. Типы данных и работа с ними ....................................... 115 2.1. Простые типы данных ............................................................................ 116 2.1.1. Системы счисления и основания чисел ............................................... 116 2.1.2. Натуральные и простые числа.............................................................. 116 2.1.3. Целые десятичные числа ..................................................................... 117 2.1.4. Числа двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные....................... 118 2.1.5. Рациональные числа ............................................................................ 119 2.1.6. Вещественные (действительные) числа .............................................. 119 2.1.7. Нотация вещественных чисел .............................................................. 119 2.1.8. Комплексные числа ............................................................................. 121 2.1.9. Алгебраическая форма комплексных чисел ......................................... 121 2.1.10. Экспоненциальная форма комплексных чисел .................................. 121 2.1.11. Преобразование комплексных чисел ................................................. 121 2.1.12. Характерные правила ввода и вывода чисел ...................................... 122 2.1.13. Символы и строковые данные............................................................ 122 2.1.14. Объекты ............................................................................................. 123 2.2. Работа с простыми данными Mapleязыка .......................................... 123 2.2.1. Использование знаков алфавита ......................................................... 123 2.2.2. Зарезервированные слова .................................................................. 124 2.2.3. Работа с числами и арифметические вычисления ............................... 125 2.2.4. Точная арифметика.............................................................................. 126 2.2.5. Вычисление числа p с произвольной точностью по алгоритму Рамануджана ................................................................................................. 127 2.2.6. Работа с комплексными числами ......................................................... 129 2.2.7. Контроль над типами чисел ................................................................. 130 2.2.8. Преобразования чисел с разным основанием ..................................... 132 2.2.9. Пакет RealDomain для вычислений с действительными данными ........ 132 2.2.10. Модификация графической функции plot .......................................... 133 2.3. Сложные типы данных ........................................................................... 133 2.3.1. Массивы .............................................................................................. 133 2.3.2. Векторы и матрицы .............................................................................. 134 2.3.3. Задание массивов ............................................................................... 135 2.3.4. Использование индексированных переменных массивов ................... 135 2.3.5. Списки и ранжированные переменные ................................................ 136 2.3.6. Таблицы и их представление ............................................................... 137 2.3.7. Создание наборов (множеств) в Maple ................................................ 137 2.3.8. Создание и применение списков выражений ...................................... 137 2.3.9. Создание в Maple массивов, векторов и матриц .................................. 139 2.3.10. Работа с построителем матриц Matrix Builder .................................... 140 2.3.11. Создание в Maple таблиц и их применение ........................................ 140 2.3.12. Пакет ListTool для работы со списками .............................................. 141 2.3.13. Структура разбросанных полиномов ряда переменных SDMPolynom .................................................................................................. 142 2.4. Применение констант ............................................................................ 143 2.4.1. Символьные и числовые константы ..................................................... 143 2.4.2. Строковые константы .......................................................................... 143 2.4.3. Встроенные в ядро Maple константы ................................................... 143 2.4.4. Идентификация констант ..................................................................... 144 2.4.5. Защита идентификаторов констант ..................................................... 144 2.4.6. Задание новых констант ...................................................................... 144 2.5. Работа с размерными величинами ...................................................... 145 2.5.1. Пакет поддержки размерных величин Units ......................................... 145 2.5.2. Примеры работы с размерными величинами ...................................... 145 2.5.3. Применение ассистента преобразования размерных величин ............ 146 2.5.4. Пакет научных констант ScientificConstants .......................................... 146 2.5.5. Работа с научными константами .......................................................... 147 2.5.6. Вызов списка и свойств химических элементов................................... 148 2.5.7. Применение пакета ScientificConstants ................................................ 148 2.6. Функции для работы со строковыми данными ................................... 148 2.6.1. Неисполняемые программные комментарии в Maple .......................... 148 2.6.2. Контроль типа строковых данных ......................................................... 150 2.6.3. Интерактивный ввод строк................................................................... 150 2.6.4. Обработка строк .................................................................................. 151 2.6.5. Преобразование строки в математическое выражение ....................... 151 2.7. Переменные в Maple и их применение ................................................ 152 2.7.1. Типы переменных ................................................................................ 152 2.7.2. Назначение переменным имен ............................................................ 152 2.7.3. Присваивание переменным значений ................................................. 153 2.7.4. Отмена операции присваивания и команда restart............................... 154 2.7.5. Придание переменным статуса предполагаемых ................................ 155 2.8. Работа с файлами и документами ........................................................ 156 2.8.1. Типы файлов ........................................................................................ 156 2.8.2. Запись данных в файлы ....................................................................... 157 2.8.3. Считывание данных из файлов ............................................................ 157 2.8.4. Запись и считывание mфайлов........................................................... 158 2.8.5. Запись в файлы графических объектов................................................ 159 2.9. Вывод в специальных форматах........................................................... 159 2.9.1. Вывод в формате LaTeX ........................................................................ 159 2.9.2. Вывод на языке Фортран ..................................................................... 160 2.9.3. Вывод на языке C ................................................................................. 160 2.10. Визуальноориентированное создание документов ....................... 161 2.10.1. Вызов пакета Maplets ......................................................................... 161 2.10.2. Примеры создания визульноориентированного интерфейса........... 161 2.10.3. Управление цветом ............................................................................ 163 2.11. Типы данных в системе Mathematica ................................................. 165 2.11.1. Работа с целыми числами .................................................................. 165 2.11.2. Символьные данные и строки ............................................................ 167 2.11.3. Выражения......................................................................................... 167 2.11.4. Объекты и идентификаторы ............................................................... 168 2.11.5. Функции, опции, атрибуты и директивы ............................................ 169 2.11.6. Применение констант ........................................................................ 170 2.11.7. Физические константы и размерные величины ................................. 171 2.11.8. Переменные в системе Mathematica 4/5 ............................................ 171
Содержание 8 Содержание 9 2.11.9. Эволюция значений переменных и операции присваивания ............. 173 2.11.10. Списки в системе Mathematica ......................................................... 174 2.11.11. Задание массивов, векторов и матриц ............................................ 175 Глава 3. Работа с математическими выражениями и функциями ............................................................................................... 177 3.1. Работа с операторами ........................................................................... 178 3.1.1. Операторы и операнды ........................................................................ 178 3.1.2. Виды операторов ................................................................................. 178 3.1.3. Применение бинарных (инфиксных) операторов ................................. 179 3.1.4. Работа с множествами ......................................................................... 181 3.1.5. Новый оператор in в множествах ......................................................... 181 3.1.6. Применение унарных арифметических операторов............................. 182 3.1.7. Применение оператора % и команды history........................................ 182 3.1.8. Работа с логическими операторами .................................................... 183 3.1.9. Применение операторов специальных типов ...................................... 184 3.1.10. Применение функциональных операторов ........................................ 184 3.1.11. Определение нейтральных операторов ............................................. 185 3.1.12. Определение операторов с помощью оператора define .................... 185 3.1.13. Укороченные операторы системы Mathematica ................................. 187 3.1.14. Операторы СКМ Mathcad ................................................................... 188 3.2. Работа с математическими функциями ............................................... 191 3.2.1. Понятие о функциях ............................................................................. 191 3.2.2. Математические выражения ................................................................ 193 3.2.3. Работа с элементарными функциями в системе Maple ........................ 193 3.2.4. Гармонический синтез пилы и меандра ............................................... 195 3.2.5. Применение элементарных функций для моделирования сигналов .... 196 3.2.6. Некоторые целочисленные функции и факториал ............................... 198 3.2.7. Применение функций с элементами сравнения................................... 199 3.2.8. Работа с функциями комплексного аргумента ..................................... 199 3.2.9. Построение графиков функций в Mapletокне ..................................... 201 3.2.10. Арифметические и элементарные функции в системе Mathematica .... 201 3.3. Работа со специальными функциями .................................................. 204 3.3.1. Обзор специальных математических функций ..................................... 204 3.3.2. Специальные математические функции системы Maple ...................... 207 3.3.3. Консультант по функциям .................................................................... 210 3.4. Специальные функции в системе Mathematica................................... 211 3.4.1. Ортогональные многочлены................................................................ 211 3.4.2. Интегральные показательные и родственные им функции .................. 212 3.4.3. Гамма и полигаммафункции ............................................................. 212 3.4.4. Функции Бесселя ................................................................................. 213 3.4.5. Гипергеометрические функции ........................................................... 213 3.4.6. Эллиптические интегралы и интегральные функции ........................... 214 3.4.7. Функции Эйри ..................................................................................... 215 3.4.8. Бетафункция и относящиеся к ней функции ...................................... 216 3.4.9. Специальные числа и полиномы ......................................................... 216 3.4.10. Другие специальные функции СКМ Mathematica ............................... 217 3.5. Cпециальные математические функции в СКМ Mathcad ................... 219 3.5.1. Встроенные в ядро Mathcad специальные функции ............................. 219 3.5.2. Дополнительные специальные функции .............................................. 220 3.5.3. Дополнительные неактивные функции ................................................ 220 3.5.4. Альтернативные функции с новой нормировкой в Mathcad ................. 221 3.6. Специальные функции других СКМ ...................................................... 221 3.6.1. Специальные функции в Derive ............................................................ 221 3.6.2. Специальные математические функции системы MuPAD .................... 222 3.7. Расширенные возможности Maple в работе с выражениями ........... 223 3.7.1. Ввод выражений .................................................................................. 223 3.7.2. Оценивание выражений ....................................................................... 224 3.7.3. Последовательности выражений ......................................................... 226 3.7.4. Вывод выражений ................................................................................ 227 3.7.5. Работа с частями выражений ............................................................... 227 3.7.6. Работа с уровнями вложенности выражений ....................................... 228 3.7.7. Преобразование выражений в тождественные формы ........................ 229 3.7.8. Преобразование выражений................................................................ 230 3.7.9. Контроль за типами объектов .............................................................. 230 3.8. Работа с подстановками ....................................................................... 232 3.8.1. Функциональные преобразования подвыражений .............................. 232 3.8.2. Функциональные преобразования элементов списков ........................ 233 3.8.3. Подстановки с помощью функций add, mul и seq ................................. 234 3.8.4. Подстановки с помощью функций subs и subsop ................................. 234 3.8.5. Подстановки правил и подвыражений ................................................. 235 3.8.6. Функции сортировки и селекции ......................................................... 236 3.9. Символьные преобразования выражений .......................................... 237 3.9.1. Упрощение выражений – simplify ......................................................... 237 3.9.2. Расширение выражений – expand ........................................................ 240 3.9.3. Разложение целых и рациональных чисел – ifactor .............................. 240 3.9.4. Разложение выражений (факторизация) – factor ................................. 241 3.9.5. Комплектование по степеням – collect ................................................. 242 3.9.6. Работа с пакетом рациональных нормальных форм RationalNormalForms...................................................................................... 243 3.10. Работа с выражениями в системе Mathematica................................ 244 3.10.1. Полная форма выражений ................................................................. 244 3.10.2. Основные формы выражений ............................................................ 245 3.10.3. Части выражений и работа с ними ..................................................... 245 3.10.4. Удаление элементов выражения ........................................................ 247 3.10.5. Другие манипуляции с выражениями................................................. 247 3.10.6. Контроль выражений ......................................................................... 248 3.10.7. Приложение имени функции к выражению или его части .................. 249 3.10.8. Укороченная форма функций ............................................................. 249 3.10.9. Выделение заданного аргумента в функциях ..................................... 250 3.10.10. Подстановки в функциях .................................................................. 250 3.10.11. Рекурсивные функции ...................................................................... 250 3.10.12. Дополнительные примеры на работу с функциями .......................... 251 3.10.13. Инверсные функции ......................................................................... 252 3.10.14. Задание математических отношений ............................................... 252 3.10.15. Упрощение выражений и функция Simplify ....................................... 254 3.10.16. Функция полного упрощения FullSimplify ......................................... 254 3.10.17. Раскрытие и расширение выражений .............................................. 255 3.10.18. Функция комплектования Collect ..................................................... 256 3.10.19. Функции преобразования тригонометрических выражений ............ 257 3.10.20. Функции и директивы для работы с полиномами ............................. 259
Содержание 8 Содержание 9 2.11.9. Эволюция значений переменных и операции присваивания ............. 173 2.11.10. Списки в системе Mathematica ......................................................... 174 2.11.11. Задание массивов, векторов и матриц ............................................ 175 Глава 3. Работа с математическими выражениями и функциями ............................................................................................... 177 3.1. Работа с операторами ........................................................................... 178 3.1.1. Операторы и операнды ........................................................................ 178 3.1.2. Виды операторов ................................................................................. 178 3.1.3. Применение бинарных (инфиксных) операторов ................................. 179 3.1.4. Работа с множествами ......................................................................... 181 3.1.5. Новый оператор in в множествах ......................................................... 181 3.1.6. Применение унарных арифметических операторов............................. 182 3.1.7. Применение оператора % и команды history........................................ 182 3.1.8. Работа с логическими операторами .................................................... 183 3.1.9. Применение операторов специальных типов ...................................... 184 3.1.10. Применение функциональных операторов ........................................ 184 3.1.11. Определение нейтральных операторов ............................................. 185 3.1.12. Определение операторов с помощью оператора define .................... 185 3.1.13. Укороченные операторы системы Mathematica ................................. 187 3.1.14. Операторы СКМ Mathcad ................................................................... 188 3.2. Работа с математическими функциями ............................................... 191 3.2.1. Понятие о функциях ............................................................................. 191 3.2.2. Математические выражения ................................................................ 193 3.2.3. Работа с элементарными функциями в системе Maple ........................ 193 3.2.4. Гармонический синтез пилы и меандра ............................................... 195 3.2.5. Применение элементарных функций для моделирования сигналов .... 196 3.2.6. Некоторые целочисленные функции и факториал ............................... 198 3.2.7. Применение функций с элементами сравнения................................... 199 3.2.8. Работа с функциями комплексного аргумента ..................................... 199 3.2.9. Построение графиков функций в Mapletокне ..................................... 201 3.2.10. Арифметические и элементарные функции в системе Mathematica .... 201 3.3. Работа со специальными функциями .................................................. 204 3.3.1. Обзор специальных математических функций ..................................... 204 3.3.2. Специальные математические функции системы Maple ...................... 207 3.3.3. Консультант по функциям .................................................................... 210 3.4. Специальные функции в системе Mathematica................................... 211 3.4.1. Ортогональные многочлены................................................................ 211 3.4.2. Интегральные показательные и родственные им функции .................. 212 3.4.3. Гамма и полигаммафункции ............................................................. 212 3.4.4. Функции Бесселя ................................................................................. 213 3.4.5. Гипергеометрические функции ........................................................... 213 3.4.6. Эллиптические интегралы и интегральные функции ........................... 214 3.4.7. Функции Эйри ..................................................................................... 215 3.4.8. Бетафункция и относящиеся к ней функции ...................................... 216 3.4.9. Специальные числа и полиномы ......................................................... 216 3.4.10. Другие специальные функции СКМ Mathematica ............................... 217 3.5. Cпециальные математические функции в СКМ Mathcad ................... 219 3.5.1. Встроенные в ядро Mathcad специальные функции ............................. 219 3.5.2. Дополнительные специальные функции .............................................. 220 3.5.3. Дополнительные неактивные функции ................................................ 220 3.5.4. Альтернативные функции с новой нормировкой в Mathcad ................. 221 3.6. Специальные функции других СКМ ...................................................... 221 3.6.1. Специальные функции в Derive ............................................................ 221 3.6.2. Специальные математические функции системы MuPAD .................... 222 3.7. Расширенные возможности Maple в работе с выражениями ........... 223 3.7.1. Ввод выражений .................................................................................. 223 3.7.2. Оценивание выражений ....................................................................... 224 3.7.3. Последовательности выражений ......................................................... 226 3.7.4. Вывод выражений ................................................................................ 227 3.7.5. Работа с частями выражений ............................................................... 227 3.7.6. Работа с уровнями вложенности выражений ....................................... 228 3.7.7. Преобразование выражений в тождественные формы ........................ 229 3.7.8. Преобразование выражений................................................................ 230 3.7.9. Контроль за типами объектов .............................................................. 230 3.8. Работа с подстановками ....................................................................... 232 3.8.1. Функциональные преобразования подвыражений .............................. 232 3.8.2. Функциональные преобразования элементов списков ........................ 233 3.8.3. Подстановки с помощью функций add, mul и seq ................................. 234 3.8.4. Подстановки с помощью функций subs и subsop ................................. 234 3.8.5. Подстановки правил и подвыражений ................................................. 235 3.8.6. Функции сортировки и селекции ......................................................... 236 3.9. Символьные преобразования выражений .......................................... 237 3.9.1. Упрощение выражений – simplify ......................................................... 237 3.9.2. Расширение выражений – expand ........................................................ 240 3.9.3. Разложение целых и рациональных чисел – ifactor .............................. 240 3.9.4. Разложение выражений (факторизация) – factor ................................. 241 3.9.5. Комплектование по степеням – collect ................................................. 242 3.9.6. Работа с пакетом рациональных нормальных форм RationalNormalForms...................................................................................... 243 3.10. Работа с выражениями в системе Mathematica................................ 244 3.10.1. Полная форма выражений ................................................................. 244 3.10.2. Основные формы выражений ............................................................ 245 3.10.3. Части выражений и работа с ними ..................................................... 245 3.10.4. Удаление элементов выражения ........................................................ 247 3.10.5. Другие манипуляции с выражениями................................................. 247 3.10.6. Контроль выражений ......................................................................... 248 3.10.7. Приложение имени функции к выражению или его части .................. 249 3.10.8. Укороченная форма функций ............................................................. 249 3.10.9. Выделение заданного аргумента в функциях ..................................... 250 3.10.10. Подстановки в функциях .................................................................. 250 3.10.11. Рекурсивные функции ...................................................................... 250 3.10.12. Дополнительные примеры на работу с функциями .......................... 251 3.10.13. Инверсные функции ......................................................................... 252 3.10.14. Задание математических отношений ............................................... 252 3.10.15. Упрощение выражений и функция Simplify ....................................... 254 3.10.16. Функция полного упрощения FullSimplify ......................................... 254 3.10.17. Раскрытие и расширение выражений .............................................. 255 3.10.18. Функция комплектования Collect ..................................................... 256 3.10.19. Функции преобразования тригонометрических выражений ............ 257 3.10.20. Функции и директивы для работы с полиномами ............................. 259
Содержание 10 Содержание 11 3.10.21. Другие функции для работы с полиномами...................................... 261 3.10.22. Расширенные операции с выражениями ......................................... 261 3.10.23. Поддержка кусочных функций в Mathematica ................................... 265 3.11. О работе с выражениями и функциями в других СКМ ..................... 265 Глава 4. Практика математического анализа ........................ 267 4.1. Вычисление сумм последовательностей ............................................ 268 4.1.1. Основные функции для вычисления сумм последовательностей ........ 268 4.1.2. Последовательности с заданным числом членов ................................. 269 4.1.3. Суммы с известным пределом ............................................................. 269 4.1.4. Суммы бесконечных рядов .................................................................. 270 4.1.5. Двойные суммы ................................................................................... 270 4.1.6. Пакет вычисления специальных сумм sumtools ................................... 270 4.1.7. Примеры вычисления специальных сумм ............................................ 271 4.1.8. Вычисление сумм в Mathematica и в других СКМ ................................. 271 4.2. Вычисление произведений членов последовательностей................ 272 4.2.1. Основные функции для произведения членов последовательностей .... 272 4.2.2. Примеры вычисления произведений членов последовательностей .... 273 4.2.3. Вычисление произведений в Mathematica и в других СКМ ................... 273 4.3. Вычисление производных ..................................................................... 274 4.3.1. Определение производной и полного дифференциала ....................... 274 4.3.2. Функции дифференцирования diff и Diff Maple .................................... 275 4.3.3. Дифференциальный оператор D ......................................................... 276 4.3.4. Mapletвычислитель производных Derivatives ...................................... 277 4.3.5. Mapletинструмент по методам дифференцирования ......................... 278 4.3.6. Дифференцирование в Mathematica 4/5 .............................................. 278 4.3.7. Дифференцирование в системе Mathcad и в других СКА ..................... 281 4.4. Вычисление интегралов ........................................................................ 282 4.4.1. Определение интегралов..................................................................... 282 4.4.2. Вычисление неопределенных интегралов в Maple ............................... 283 4.4.3. Конвертирование и преобразование интегралов ................................ 284 4.4.4. Вычисление определенных интегралов в Maple................................... 284 4.4.5. Каверзные интегралы и визуализация результатов интегрирования ... 285 4.4.6. Вычисление несобственных интегралов первого рода ........................ 291 4.4.7. Вычисление несобственных интегралов второго рода ........................ 293 4.4.8. Интегралы с переменными пределами интегрирования ...................... 294 4.4.9. Вычисление кратных интегралов ......................................................... 295 4.4.10. О вычислении некоторых других интегралов ..................................... 296 4.4.11. Mapletдемонстрация построения графика первообразной .............. 297 4.4.12. Mapletдемонстрация методов интегрирования ................................ 297 4.4.13. Интегрирование в Mathematica и в других СКМ.................................. 298 4.5. Вычисление пределов функций ............................................................ 301 4.5.1. Определение предела функции ........................................................... 301 4.5.2. Функции вычисления пределов в Maple ............................................... 301 4.5.3. Графическая иллюстрация вычисления пределов с двух сторон ......... 302 4.5.4. Mapletинструмент для иллюстрации методов вычисления пределов . 302 4.5.5. Вычисление пределов в Mathematica и в других СКМ .......................... 303 4.6. Разложение функций в ряды ................................................................. 306 4.6.1 Определение рядов Тейлора и Маклорена ........................................... 306 4.6.2. Разложение в степенной ряд в системе Maple ..................................... 307 4.6.3. Разложение в ряды Тейлора и Маклорена в Maple ............................... 308 4.6.4. Пример документа – разложения синуса в ряд .................................... 309 4.6.5. Пакет вычисления степенных разложений powseries ........................... 311 4.6.6. Примеры выполнения степенных разложений ..................................... 312 4.6.7. Mapletиллюстрация аппроксимации рядом Тейлора в ряд ................. 313 4.6.8. Разложение в ряд в Mathematica и в других СКМ ................................. 314 4.7. Визуализация приложений математического анализа ...................... 316 4.7.1. Суммы Римана и приближение интегралов.......................................... 316 4.7.2. Вычисление длины дуги ....................................................................... 318 4.7.3. Иллюстрация теоремы о среднем........................................................ 320 4.7.4. Построение касательной к заданной точке кривой .............................. 320 4.7.5. Построение касательной к заданной точке кривой и секущих линий ..... 321 4.7.6. Вычисление поверхности вращения кривой ........................................ 321 4.7.7. Вычисление объема фигуры, полученной вращением отрезка кривой .... 323 4.7.8. Визуализация математических понятий в системе Mathcad ................ 324 4.8. Решение уравнений и неравенств ........................................................ 326 4.8.1. Определение систем нелинейных уравнений и неравенств................. 326 4.8.2. Основная функция solve в Maple .......................................................... 327 4.8.3. Решение одиночных нелинейных уравнений........................................ 328 4.8.4. Решение тригонометрических уравнений............................................ 329 4.8.5. Решение систем линейных уравнений ................................................. 331 4.8.6. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений .............. 334 4.8.7. Функция RootOf ................................................................................... 335 4.8.8. Решение уравнений со специальными функциями .............................. 336 4.8.9. Решение неравенств............................................................................ 336 4.8.10. Решение функциональных уравнений ................................................ 338 4.8.11. Решение уравнений с линейными операторами ................................ 338 4.8.12. Решение в численном виде – функция fsolve ..................................... 339 4.8.13. Решение рекуррентных уравнений – rsolve ........................................ 340 4.8.14. Решение уравнений в целочисленном виде – isolve ........................... 341 4.8.15. Функция msolve .................................................................................. 341 4.8.16. Новый пакет расширений RootFinding и работа с ним ........................ 342 4.9. Решение уравнений и неравенств в других СКМ ................................ 343 4.9.1. Решение уравнений в Mathematica ...................................................... 343 4.9.2. Решение уравнений в Mathcad............................................................. 346 4.9.3. Решение уравнений и неравенств в системе Derive ............................. 348 4.9.4. Решение уравнений в системе MuPAD ................................................. 350 4.10. Применение пакета расширения Maple student ............................... 350 4.10.1. Функции пакета student...................................................................... 350 4.10.2. Функции интегрирования пакета student ........................................... 352 4.10.3. Иллюстративная графика пакета student ........................................... 352 4.11. Работа с алгебраическими кривыми в Maple.................................... 353 4.11.1. Пакет для работы с алгебраическими кривыми algcurves .................. 353 4.11.2. Примеры работы с алгебраическими кривыми .................................. 354 4.11.3. Построение алгебраических кривых класса knot................................ 355 4.12. Векторные вычисления и функции теории поля ............................... 357 4.12.1. Пакет векторных вычислений VectorCalculus..................................... 357 4.12.2. Объекты векторных вычислений ........................................................ 357 4.12.3. Основные операции с векторами ....................................................... 358 4.12.4. Операции с кривыми.......................................................................... 359
Содержание 10 Содержание 11 3.10.21. Другие функции для работы с полиномами...................................... 261 3.10.22. Расширенные операции с выражениями ......................................... 261 3.10.23. Поддержка кусочных функций в Mathematica ................................... 265 3.11. О работе с выражениями и функциями в других СКМ ..................... 265 Глава 4. Практика математического анализа ........................ 267 4.1. Вычисление сумм последовательностей ............................................ 268 4.1.1. Основные функции для вычисления сумм последовательностей ........ 268 4.1.2. Последовательности с заданным числом членов ................................. 269 4.1.3. Суммы с известным пределом ............................................................. 269 4.1.4. Суммы бесконечных рядов .................................................................. 270 4.1.5. Двойные суммы ................................................................................... 270 4.1.6. Пакет вычисления специальных сумм sumtools ................................... 270 4.1.7. Примеры вычисления специальных сумм ............................................ 271 4.1.8. Вычисление сумм в Mathematica и в других СКМ ................................. 271 4.2. Вычисление произведений членов последовательностей................ 272 4.2.1. Основные функции для произведения членов последовательностей .... 272 4.2.2. Примеры вычисления произведений членов последовательностей .... 273 4.2.3. Вычисление произведений в Mathematica и в других СКМ ................... 273 4.3. Вычисление производных ..................................................................... 274 4.3.1. Определение производной и полного дифференциала ....................... 274 4.3.2. Функции дифференцирования diff и Diff Maple .................................... 275 4.3.3. Дифференциальный оператор D ......................................................... 276 4.3.4. Mapletвычислитель производных Derivatives ...................................... 277 4.3.5. Mapletинструмент по методам дифференцирования ......................... 278 4.3.6. Дифференцирование в Mathematica 4/5 .............................................. 278 4.3.7. Дифференцирование в системе Mathcad и в других СКА ..................... 281 4.4. Вычисление интегралов ........................................................................ 282 4.4.1. Определение интегралов..................................................................... 282 4.4.2. Вычисление неопределенных интегралов в Maple ............................... 283 4.4.3. Конвертирование и преобразование интегралов ................................ 284 4.4.4. Вычисление определенных интегралов в Maple................................... 284 4.4.5. Каверзные интегралы и визуализация результатов интегрирования ... 285 4.4.6. Вычисление несобственных интегралов первого рода ........................ 291 4.4.7. Вычисление несобственных интегралов второго рода ........................ 293 4.4.8. Интегралы с переменными пределами интегрирования ...................... 294 4.4.9. Вычисление кратных интегралов ......................................................... 295 4.4.10. О вычислении некоторых других интегралов ..................................... 296 4.4.11. Mapletдемонстрация построения графика первообразной .............. 297 4.4.12. Mapletдемонстрация методов интегрирования ................................ 297 4.4.13. Интегрирование в Mathematica и в других СКМ.................................. 298 4.5. Вычисление пределов функций ............................................................ 301 4.5.1. Определение предела функции ........................................................... 301 4.5.2. Функции вычисления пределов в Maple ............................................... 301 4.5.3. Графическая иллюстрация вычисления пределов с двух сторон ......... 302 4.5.4. Mapletинструмент для иллюстрации методов вычисления пределов . 302 4.5.5. Вычисление пределов в Mathematica и в других СКМ .......................... 303 4.6. Разложение функций в ряды ................................................................. 306 4.6.1 Определение рядов Тейлора и Маклорена ........................................... 306 4.6.2. Разложение в степенной ряд в системе Maple ..................................... 307 4.6.3. Разложение в ряды Тейлора и Маклорена в Maple ............................... 308 4.6.4. Пример документа – разложения синуса в ряд .................................... 309 4.6.5. Пакет вычисления степенных разложений powseries ........................... 311 4.6.6. Примеры выполнения степенных разложений ..................................... 312 4.6.7. Mapletиллюстрация аппроксимации рядом Тейлора в ряд ................. 313 4.6.8. Разложение в ряд в Mathematica и в других СКМ ................................. 314 4.7. Визуализация приложений математического анализа ...................... 316 4.7.1. Суммы Римана и приближение интегралов.......................................... 316 4.7.2. Вычисление длины дуги ....................................................................... 318 4.7.3. Иллюстрация теоремы о среднем........................................................ 320 4.7.4. Построение касательной к заданной точке кривой .............................. 320 4.7.5. Построение касательной к заданной точке кривой и секущих линий ..... 321 4.7.6. Вычисление поверхности вращения кривой ........................................ 321 4.7.7. Вычисление объема фигуры, полученной вращением отрезка кривой .... 323 4.7.8. Визуализация математических понятий в системе Mathcad ................ 324 4.8. Решение уравнений и неравенств ........................................................ 326 4.8.1. Определение систем нелинейных уравнений и неравенств................. 326 4.8.2. Основная функция solve в Maple .......................................................... 327 4.8.3. Решение одиночных нелинейных уравнений........................................ 328 4.8.4. Решение тригонометрических уравнений............................................ 329 4.8.5. Решение систем линейных уравнений ................................................. 331 4.8.6. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений .............. 334 4.8.7. Функция RootOf ................................................................................... 335 4.8.8. Решение уравнений со специальными функциями .............................. 336 4.8.9. Решение неравенств............................................................................ 336 4.8.10. Решение функциональных уравнений ................................................ 338 4.8.11. Решение уравнений с линейными операторами ................................ 338 4.8.12. Решение в численном виде – функция fsolve ..................................... 339 4.8.13. Решение рекуррентных уравнений – rsolve ........................................ 340 4.8.14. Решение уравнений в целочисленном виде – isolve ........................... 341 4.8.15. Функция msolve .................................................................................. 341 4.8.16. Новый пакет расширений RootFinding и работа с ним ........................ 342 4.9. Решение уравнений и неравенств в других СКМ ................................ 343 4.9.1. Решение уравнений в Mathematica ...................................................... 343 4.9.2. Решение уравнений в Mathcad............................................................. 346 4.9.3. Решение уравнений и неравенств в системе Derive ............................. 348 4.9.4. Решение уравнений в системе MuPAD ................................................. 350 4.10. Применение пакета расширения Maple student ............................... 350 4.10.1. Функции пакета student...................................................................... 350 4.10.2. Функции интегрирования пакета student ........................................... 352 4.10.3. Иллюстративная графика пакета student ........................................... 352 4.11. Работа с алгебраическими кривыми в Maple.................................... 353 4.11.1. Пакет для работы с алгебраическими кривыми algcurves .................. 353 4.11.2. Примеры работы с алгебраическими кривыми .................................. 354 4.11.3. Построение алгебраических кривых класса knot................................ 355 4.12. Векторные вычисления и функции теории поля ............................... 357 4.12.1. Пакет векторных вычислений VectorCalculus..................................... 357 4.12.2. Объекты векторных вычислений ........................................................ 357 4.12.3. Основные операции с векторами ....................................................... 358 4.12.4. Операции с кривыми.......................................................................... 359
Содержание 12 Содержание 13 4.12.5. Интегрирование в пакете VectorCalculus............................................ 360 4.12.6. Задание матриц специального типа................................................... 362 4.12.7. Функции теории поля ......................................................................... 362 4.12.8. Приближение площади сложной поверхности суммами Римана ....... 363 4.12.9. Вычисление поверхностных интегралов ............................................ 366 4.12.10. Пример вычисления потока через сферу (объемного интеграла) .... 368 4.13. Новые возможности интегрирования в Mathematica 5/6 ................ 370 4.13.1. Интегралы, дающие кусочные функции............................................. 370 4.13.2. Интегралы с импликативными подынтегральными функциями ......... 370 4.13.4. Улучшенная визуализация интегрирования в Mathematica 6 .............. 372 Глава 5. Анализ функций и интегральные преобразования ....................................................................................... 375 5.1. Анализ функциональных зависимостей .............................................. 376 5.1.1. Понятие о функциональных зависимостях ........................................... 376 5.1.2. Поиск экстремумов функций по нулям первой производной ............... 376 5.1.3. Поиск экстремумов в аналитическом виде .......................................... 378 5.1.4. Поиск максимума амплитудночастотной характеристики .................. 379 5.1.5. Поиск экстремумов с помощью функции extrema ................................ 380 5.1.6. Поиск минимумов и максимумов аналитических функций ................... 381 5.1.7. Поиск минимума функций с ограничениями методом выпуклого программирования....................................................................... 383 5.1.8. Анализ функций на непрерывность ...................................................... 384 5.1.9. Определение точек нарушения непрерывности .................................. 385 5.1.10. Нахождение сингулярных точек функции ........................................... 386 5.1.11. Вычисление асимптотических и иных разложений ............................ 386 5.1.12. Пример анализа сложной функции .................................................... 387 5.1.13. Mapletинструмент по анализу функциональных зависимостей ........ 389 5.2. Поиск экстремумов и анализ функций в других СКМ ........................ 390 5.2.1. Средства поиска экстремумов в СКМ Mathematica ............................. 390 5.2.2. Поиск экстремумов в СКМ Mathcad 12/13 ........................................... 392 5.2.3. Поиск экстремумов с помощью функций Maximize и Minimize СКМ Mathcad ......................................................................................................... 393 5.2.4. Поиск глобального максимума средствами СКМ Mathcad ................... 395 5.2.5. Анализ сложной функции в Mathcad .................................................... 396 5.2.6. Расчет и построение асимптот функции в Mathcad .............................. 398 5.2.7. Поиск экстремумов в СКА Derive .......................................................... 399 5.3. Работа с функциями из отдельных кусков ........................................... 400 5.3.1. Создание функций из отдельных кусков .............................................. 400 5.3.2. Простые примеры применения функции piecewise .............................. 400 5.3.3. Работа с функциями piecewise ............................................................. 400 5.4. Операции с полиномами в СКМ Maple ................................................ 403 5.4.1. Определение полиномов ..................................................................... 403 5.4.2. Выделение коэффициентов полиномов в Maple .................................. 403 5.4.3. Оценка коэффициентов полинома по степеням .................................. 404 5.4.4. Оценка степеней полинома ................................................................. 405 5.4.5. Контроль полинома на наличие несокращаемых множителей ............. 406 5.4.6. Разложение полинома по степеням ..................................................... 406 5.4.7. Вычисление корней полинома ............................................................. 407 5.4.8. Основные операции с полиномами...................................................... 408 5.4.9. Операции над степенными многочленами с отрицательными степенями ..................................................................................................... 409 5.5. Операции с полиномами в Mathematica .............................................. 410 5.5.1. Основные операции над полиномами .................................................. 410 5.5.2. Разложение полиномов – функции класса Factor................................. 411 5.5.3. Функции для работы с полиномами ..................................................... 412 5.5.4. Примеры работы с полиномами .......................................................... 413 5.6. Работа с ортогональными полиномами .............................................. 414 5.6.1. Состав пакета orthopoly системы Maple .............................................. 414 5.6.2. Вычисление ортогональных полиномов ............................................... 415 5.6.3. Построение графиков ортогональных полиномов ............................... 416 5.6.4. Работа с рядами ортогональных многочленов ..................................... 417 5.6.5. Ортогональные многочлены в Mathematica 4/5 ................................... 418 5.6.6. Вычисление ортогональных полиномов в СКМ Mathcad ...................... 419 5.7. Пакет PolynomialTools системы Maple 9.5/10 ...................................... 420 5.7.1. Обзор возможностей пакета PolynomialTools ....................................... 420 5.7.2. Функции для работы с полиномами ..................................................... 421 5.7.3. Функции сортировки полиномов ......................................................... 422 5.7.4. Функции преобразования полиномов в PDE и обратно ........................ 423 5.8. Интегральные преобразования ............................................................ 423 5.8.1. Прямое и обратное Zпреобразования ................................................ 423 5.8.2. Быстрое преобразование Фурье ......................................................... 424 5.8.3. Общая характеристика пакета inttrans ................................................. 425 5.8.4. Прямое и обратное преобразования Фурье......................................... 425 5.8.5. Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье .................... 427 5.8.6. Прямое и обратное преобразования Лапласа...................................... 428 5.8.7. Интегральное преобразование Ханкеля .............................................. 430 5.8.8. Прямое и обратное преобразования Гильберта .................................. 430 5.8.9. Интегральное преобразование Меллина ............................................. 431 5.8.10. Функция addtable ............................................................................... 432 5.9. Работа в Maple с функциями двух переменных .................................. 432 5.9.1. Mapletинструмент для работы с функциями двух переменных ........... 432 5.9.2. Демонстрация разложения в ряд Тейлора функции двух переменных ... 433 5.9.3. Демонстрация вычисления градиента функции двух переменных ....... 434 5.9.4. Демонстрация вычисления производной в заданном направлении ..... 435 5.9.5. Демонстрация приближенного вычисления интеграла ........................ 436 5.9.6. Демонстрация сечения поверхности ................................................... 437 5.10. Работа в Mathematica 6 с функциями двух переменных .................. 437 5.10.1. Интерполяция при построении контурных графиков ......................... 437 5.10.2. Применение однокоординатных слайдеров для построения 3Dграфиков ................................................................................................. 438 5.10.3. Применение локаторов при построении контурных графиков ........... 439 5.10.4. Двухкоординатный слайдер ............................................................... 440 5.10.5. Комбинированное применение объектов GUI .................................... 442 Глава 6. Приближение функций и прогноз ............................... 443 6.1. Основы теории аппроксимации ........................................................... 444 6.1.1. Преамбула ........................................................................................... 444 6.1.2. Полиномиальная аппроксимация аналитических зависимостей ......... 444
Содержание 12 Содержание 13 4.12.5. Интегрирование в пакете VectorCalculus............................................ 360 4.12.6. Задание матриц специального типа................................................... 362 4.12.7. Функции теории поля ......................................................................... 362 4.12.8. Приближение площади сложной поверхности суммами Римана ....... 363 4.12.9. Вычисление поверхностных интегралов ............................................ 366 4.12.10. Пример вычисления потока через сферу (объемного интеграла) .... 368 4.13. Новые возможности интегрирования в Mathematica 5/6 ................ 370 4.13.1. Интегралы, дающие кусочные функции............................................. 370 4.13.2. Интегралы с импликативными подынтегральными функциями ......... 370 4.13.4. Улучшенная визуализация интегрирования в Mathematica 6 .............. 372 Глава 5. Анализ функций и интегральные преобразования ....................................................................................... 375 5.1. Анализ функциональных зависимостей .............................................. 376 5.1.1. Понятие о функциональных зависимостях ........................................... 376 5.1.2. Поиск экстремумов функций по нулям первой производной ............... 376 5.1.3. Поиск экстремумов в аналитическом виде .......................................... 378 5.1.4. Поиск максимума амплитудночастотной характеристики .................. 379 5.1.5. Поиск экстремумов с помощью функции extrema ................................ 380 5.1.6. Поиск минимумов и максимумов аналитических функций ................... 381 5.1.7. Поиск минимума функций с ограничениями методом выпуклого программирования....................................................................... 383 5.1.8. Анализ функций на непрерывность ...................................................... 384 5.1.9. Определение точек нарушения непрерывности .................................. 385 5.1.10. Нахождение сингулярных точек функции ........................................... 386 5.1.11. Вычисление асимптотических и иных разложений ............................ 386 5.1.12. Пример анализа сложной функции .................................................... 387 5.1.13. Mapletинструмент по анализу функциональных зависимостей ........ 389 5.2. Поиск экстремумов и анализ функций в других СКМ ........................ 390 5.2.1. Средства поиска экстремумов в СКМ Mathematica ............................. 390 5.2.2. Поиск экстремумов в СКМ Mathcad 12/13 ........................................... 392 5.2.3. Поиск экстремумов с помощью функций Maximize и Minimize СКМ Mathcad ......................................................................................................... 393 5.2.4. Поиск глобального максимума средствами СКМ Mathcad ................... 395 5.2.5. Анализ сложной функции в Mathcad .................................................... 396 5.2.6. Расчет и построение асимптот функции в Mathcad .............................. 398 5.2.7. Поиск экстремумов в СКА Derive .......................................................... 399 5.3. Работа с функциями из отдельных кусков ........................................... 400 5.3.1. Создание функций из отдельных кусков .............................................. 400 5.3.2. Простые примеры применения функции piecewise .............................. 400 5.3.3. Работа с функциями piecewise ............................................................. 400 5.4. Операции с полиномами в СКМ Maple ................................................ 403 5.4.1. Определение полиномов ..................................................................... 403 5.4.2. Выделение коэффициентов полиномов в Maple .................................. 403 5.4.3. Оценка коэффициентов полинома по степеням .................................. 404 5.4.4. Оценка степеней полинома ................................................................. 405 5.4.5. Контроль полинома на наличие несокращаемых множителей ............. 406 5.4.6. Разложение полинома по степеням ..................................................... 406 5.4.7. Вычисление корней полинома ............................................................. 407 5.4.8. Основные операции с полиномами...................................................... 408 5.4.9. Операции над степенными многочленами с отрицательными степенями ..................................................................................................... 409 5.5. Операции с полиномами в Mathematica .............................................. 410 5.5.1. Основные операции над полиномами .................................................. 410 5.5.2. Разложение полиномов – функции класса Factor................................. 411 5.5.3. Функции для работы с полиномами ..................................................... 412 5.5.4. Примеры работы с полиномами .......................................................... 413 5.6. Работа с ортогональными полиномами .............................................. 414 5.6.1. Состав пакета orthopoly системы Maple .............................................. 414 5.6.2. Вычисление ортогональных полиномов ............................................... 415 5.6.3. Построение графиков ортогональных полиномов ............................... 416 5.6.4. Работа с рядами ортогональных многочленов ..................................... 417 5.6.5. Ортогональные многочлены в Mathematica 4/5 ................................... 418 5.6.6. Вычисление ортогональных полиномов в СКМ Mathcad ...................... 419 5.7. Пакет PolynomialTools системы Maple 9.5/10 ...................................... 420 5.7.1. Обзор возможностей пакета PolynomialTools ....................................... 420 5.7.2. Функции для работы с полиномами ..................................................... 421 5.7.3. Функции сортировки полиномов ......................................................... 422 5.7.4. Функции преобразования полиномов в PDE и обратно ........................ 423 5.8. Интегральные преобразования ............................................................ 423 5.8.1. Прямое и обратное Zпреобразования ................................................ 423 5.8.2. Быстрое преобразование Фурье ......................................................... 424 5.8.3. Общая характеристика пакета inttrans ................................................. 425 5.8.4. Прямое и обратное преобразования Фурье......................................... 425 5.8.5. Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье .................... 427 5.8.6. Прямое и обратное преобразования Лапласа...................................... 428 5.8.7. Интегральное преобразование Ханкеля .............................................. 430 5.8.8. Прямое и обратное преобразования Гильберта .................................. 430 5.8.9. Интегральное преобразование Меллина ............................................. 431 5.8.10. Функция addtable ............................................................................... 432 5.9. Работа в Maple с функциями двух переменных .................................. 432 5.9.1. Mapletинструмент для работы с функциями двух переменных ........... 432 5.9.2. Демонстрация разложения в ряд Тейлора функции двух переменных ... 433 5.9.3. Демонстрация вычисления градиента функции двух переменных ....... 434 5.9.4. Демонстрация вычисления производной в заданном направлении ..... 435 5.9.5. Демонстрация приближенного вычисления интеграла ........................ 436 5.9.6. Демонстрация сечения поверхности ................................................... 437 5.10. Работа в Mathematica 6 с функциями двух переменных .................. 437 5.10.1. Интерполяция при построении контурных графиков ......................... 437 5.10.2. Применение однокоординатных слайдеров для построения 3Dграфиков ................................................................................................. 438 5.10.3. Применение локаторов при построении контурных графиков ........... 439 5.10.4. Двухкоординатный слайдер ............................................................... 440 5.10.5. Комбинированное применение объектов GUI .................................... 442 Глава 6. Приближение функций и прогноз ............................... 443 6.1. Основы теории аппроксимации ........................................................... 444 6.1.1. Преамбула ........................................................................................... 444 6.1.2. Полиномиальная аппроксимация аналитических зависимостей ......... 444
Содержание 14 Содержание 15 6.1.3. Полиномиальная аппроксимация табличных зависимостей ................ 448 6.1.4. Интерполяционный метод Лагранжа ................................................... 448 6.1.5. Интерполяционный метод Ньютона ..................................................... 450 6.1.6. Итерационноинтерполяционный метод Эйткена ................................ 451 6.1.7. Интерполяция по методу Чебышева .................................................... 453 6.1.8. Сплайновая интерполяция, экстраполяция и аппроксимация ............. 454 6.1.9. Рациональная интерполяция и аппроксимация .................................. 457 6.1.10. Метод наименьших квадратов (МНК) ................................................. 458 6.1.11. Тригонометрическая интерполяция рядами Фурье ........................... 461 6.1.12. Падеаппроксимация ......................................................................... 462 6.1.13. Методика минимаксной аппроксимации ........................................... 464 6.1.14. Оптимизация временных затрат и схема Горнера ............................. 469 6.2. Аппроксимация функций в системе Maple .......................................... 470 6.2.1. Аппроксимация аналитически заданных функций в Maple ................... 470 6.2.2. Полиномиальная интерполяция табличных данных в Maple 9.5 ........... 473 6.2.3. Сплайновая аппроксимация в Maple .................................................... 476 6.2.4. Состав пакета numapprox системы Maple ............................................ 478 6.2.5. Разложение функции в ряд Лорана ...................................................... 479 6.2.6. Падеаппроксимация аналитических функций..................................... 479 6.2.7. Падеаппроксимация с полиномами Чебышева................................... 481 6.2.8. Наилучшая минимаксная аппроксимация ............................................ 481 6.2.9. Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза .......... 482 6.2.10. Другие функции пакета numapprox .................................................... 482 6.3. Пакет приближения кривых CurveFitting .............................................. 483 6.3.1. Общая характеристика пакета Curve Fitting .......................................... 483 6.3.2. Функция вычисления Bсплайнов Bsline .............................................. 483 6.3.3. Функция построения Bсплайновых кривых BsplineCurve .................... 484 6.3.4. Сравнение полиномиальной и сплайновой аппроксимаций................ 485 6.3.5.Сплайновая аппроксимация при большом числе узлов ........................ 486 6.3.6. Функция полиномиальной аппроксимации .......................................... 488 6.3.7. Функция рациональной аппроксимации .............................................. 488 6.3.8. Функция вычисления обычных сплайнов Spline ................................... 489 6.3.9. Функция аппроксимации непрерывными дробями .............................. 489 6.4. Выбор аппроксимации для сложной функции .................................... 490 6.4.1. Задание исходной функции и построение ее графика ......................... 490 6.4.2. Аппроксимации рядом Тейлора ........................................................... 491 6.4.3. Падеаппроксимация ........................................................................... 492 6.4.4. Аппроксимация полиномами Чебышева .............................................. 493 6.4.5. Аппроксимация ЧебышеваПаде ......................................................... 494 6.4.6. Минимаксная аппроксимация.............................................................. 495 6.4.7. Эффективная оценка рациональных функций...................................... 496 6.4.8. Сравнение времен вычислений ........................................................... 497 6.4.9. Преобразование в код ФОРТРАНа или C ............................................. 498 6.5. Регрессия в Maple .................................................................................. 498 6.5.1. Функция реализации метода наименьших квадратов LeastSquares ..... 498 6.5.2. Функция fit для регрессии в пакете stats .............................................. 499 6.5.3. Линейная и полиномиальная регрессия с помощью функции fit .......... 499 6.5.4. Регрессия для функции ряда переменных ........................................... 500 6.5.5. Линейная регрессия общего вида ....................................................... 501 6.5.6. Нелинейная регрессия ........................................................................ 501 6.5.7. Сплайновая регрессия с помощью функции BSplineCurve ................... 503 6.6. Аппроксимация в системе Mathematica 4/5 ........................................ 503 6.6.1. Аппроксимация разложением аналитической функции в ряд .............. 504 6.6.2. О разложении в ряд при большом числе членов .................................. 504 6.6.3. Полиномиальная интерполяция ........................................................... 506 6.6.4. Полиномиальная аппроксимация специальных функций ..................... 507 6.6.5. Полиномиальная аппроксимация при большом числе узлов ............... 509 6.6.6. Рациональная интерполяция и аппроксимация ................................... 511 6.6.7. Рациональная Падеаппроксимация .................................................... 514 6.6.8. Оптимизация аппроксимации .............................................................. 516 6.6.9. Минимаксная аппроксимация.............................................................. 517 6.6.10. Сплайновая интерполяция и аппроксимация .................................... 520 6.6.11. Функция регрессии Fit ....................................................................... 520 6.6.12. Линейная регрессия .......................................................................... 522 6.6.13. Нелинейная регрессия....................................................................... 524 6.6.14. Нелинейная регрессия в Mathematica 6 ............................................. 525 6.6.15. Полиномиальная регрессия ............................................................... 527 6.6.16. Тригонометрическая регрессия......................................................... 528 6.7. Средства интерполяции и аппроксимации системы Mathcad .......... 529 6.7.1. Одномерная линейная интерполяция и экстраполяция ....................... 529 6.7.2. Одномерная сплайновая интерполяция и экстраполяция .................... 529 6.7.3. Одномерная Bсплайновая интерполяция и экстраполяция ................ 531 6.7.4. Двумерная линейная и сплайновая интерполяция ............................... 532 6.7.5. Интерполяция и экстраполяция функций по Лагранжу ........................ 532 6.7.6. Полиномиальная аппроксимация ........................................................ 533 6.7.7. Линейная регрессия ............................................................................ 534 6.7.8. Реализация линейной регрессии общего вида .................................... 535 6.7.9. Реализация одномерной полиномиальной регрессии ......................... 536 6.7.10. Проведение многомерной регрессии ................................................ 538 6.7.11. Проведение нелинейной регрессии общего вида .............................. 539 6.7.12. Новые функции для проведения регрессии в Mathcad ....................... 540 6.7.13. Пример выполнения экспоненциальной регрессии ........................... 540 6.7.14. Пример выполнения синусоидальной регрессии............................... 541 6.7.15. Приближение данных рядом Фурье ................................................... 541 6.7.16. Улучшение сходимости приближения рядом Фурье .......................... 543 6.7.17. Эффективное приближение данных рядом Фурье ............................. 544 6.8. Аппроксимация и регрессия в СКМ Derive и MuPAD .......................... 545 6.8.1. Функция FIT в Derive ............................................................................. 545 6.8.2. Аппроксимация Паде в Derive .............................................................. 549 6.8.3. Интерполяция и аппроксимация в MuPAD............................................ 550 6.8.4. Фурьеаппроксимация в Derive ............................................................ 550 6.8.5. Спектральный анализ и синтез в системе MuPAD ................................ 552 6.9. Экстраполяция и прогноз ...................................................................... 552 6.9.1. Основы экстраполяции и прогноза ...................................................... 552 6.9.2. Линейное предсказание в системе Mathcad ........................................ 554 6.9.3. Функции предсказания пакета Numeric Recipes................................... 555 6.9.4. Функции предсказания пакета расширения Signal Processing ............. 557 6.9.5. Предсказание по закону Мура на основе нелинейной регрессии...................................................................................................... 559 6.9.6. Закон Мура для числа транзисторов на кристаллах микропроцессоров........................................................................................ 562
Содержание 14 Содержание 15 6.1.3. Полиномиальная аппроксимация табличных зависимостей ................ 448 6.1.4. Интерполяционный метод Лагранжа ................................................... 448 6.1.5. Интерполяционный метод Ньютона ..................................................... 450 6.1.6. Итерационноинтерполяционный метод Эйткена ................................ 451 6.1.7. Интерполяция по методу Чебышева .................................................... 453 6.1.8. Сплайновая интерполяция, экстраполяция и аппроксимация ............. 454 6.1.9. Рациональная интерполяция и аппроксимация .................................. 457 6.1.10. Метод наименьших квадратов (МНК) ................................................. 458 6.1.11. Тригонометрическая интерполяция рядами Фурье ........................... 461 6.1.12. Падеаппроксимация ......................................................................... 462 6.1.13. Методика минимаксной аппроксимации ........................................... 464 6.1.14. Оптимизация временных затрат и схема Горнера ............................. 469 6.2. Аппроксимация функций в системе Maple .......................................... 470 6.2.1. Аппроксимация аналитически заданных функций в Maple ................... 470 6.2.2. Полиномиальная интерполяция табличных данных в Maple 9.5 ........... 473 6.2.3. Сплайновая аппроксимация в Maple .................................................... 476 6.2.4. Состав пакета numapprox системы Maple ............................................ 478 6.2.5. Разложение функции в ряд Лорана ...................................................... 479 6.2.6. Падеаппроксимация аналитических функций..................................... 479 6.2.7. Падеаппроксимация с полиномами Чебышева................................... 481 6.2.8. Наилучшая минимаксная аппроксимация ............................................ 481 6.2.9. Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза .......... 482 6.2.10. Другие функции пакета numapprox .................................................... 482 6.3. Пакет приближения кривых CurveFitting .............................................. 483 6.3.1. Общая характеристика пакета Curve Fitting .......................................... 483 6.3.2. Функция вычисления Bсплайнов Bsline .............................................. 483 6.3.3. Функция построения Bсплайновых кривых BsplineCurve .................... 484 6.3.4. Сравнение полиномиальной и сплайновой аппроксимаций................ 485 6.3.5.Сплайновая аппроксимация при большом числе узлов ........................ 486 6.3.6. Функция полиномиальной аппроксимации .......................................... 488 6.3.7. Функция рациональной аппроксимации .............................................. 488 6.3.8. Функция вычисления обычных сплайнов Spline ................................... 489 6.3.9. Функция аппроксимации непрерывными дробями .............................. 489 6.4. Выбор аппроксимации для сложной функции .................................... 490 6.4.1. Задание исходной функции и построение ее графика ......................... 490 6.4.2. Аппроксимации рядом Тейлора ........................................................... 491 6.4.3. Падеаппроксимация ........................................................................... 492 6.4.4. Аппроксимация полиномами Чебышева .............................................. 493 6.4.5. Аппроксимация ЧебышеваПаде ......................................................... 494 6.4.6. Минимаксная аппроксимация.............................................................. 495 6.4.7. Эффективная оценка рациональных функций...................................... 496 6.4.8. Сравнение времен вычислений ........................................................... 497 6.4.9. Преобразование в код ФОРТРАНа или C ............................................. 498 6.5. Регрессия в Maple .................................................................................. 498 6.5.1. Функция реализации метода наименьших квадратов LeastSquares ..... 498 6.5.2. Функция fit для регрессии в пакете stats .............................................. 499 6.5.3. Линейная и полиномиальная регрессия с помощью функции fit .......... 499 6.5.4. Регрессия для функции ряда переменных ........................................... 500 6.5.5. Линейная регрессия общего вида ....................................................... 501 6.5.6. Нелинейная регрессия ........................................................................ 501 6.5.7. Сплайновая регрессия с помощью функции BSplineCurve ................... 503 6.6. Аппроксимация в системе Mathematica 4/5 ........................................ 503 6.6.1. Аппроксимация разложением аналитической функции в ряд .............. 504 6.6.2. О разложении в ряд при большом числе членов .................................. 504 6.6.3. Полиномиальная интерполяция ........................................................... 506 6.6.4. Полиномиальная аппроксимация специальных функций ..................... 507 6.6.5. Полиномиальная аппроксимация при большом числе узлов ............... 509 6.6.6. Рациональная интерполяция и аппроксимация ................................... 511 6.6.7. Рациональная Падеаппроксимация .................................................... 514 6.6.8. Оптимизация аппроксимации .............................................................. 516 6.6.9. Минимаксная аппроксимация.............................................................. 517 6.6.10. Сплайновая интерполяция и аппроксимация .................................... 520 6.6.11. Функция регрессии Fit ....................................................................... 520 6.6.12. Линейная регрессия .......................................................................... 522 6.6.13. Нелинейная регрессия....................................................................... 524 6.6.14. Нелинейная регрессия в Mathematica 6 ............................................. 525 6.6.15. Полиномиальная регрессия ............................................................... 527 6.6.16. Тригонометрическая регрессия......................................................... 528 6.7. Средства интерполяции и аппроксимации системы Mathcad .......... 529 6.7.1. Одномерная линейная интерполяция и экстраполяция ....................... 529 6.7.2. Одномерная сплайновая интерполяция и экстраполяция .................... 529 6.7.3. Одномерная Bсплайновая интерполяция и экстраполяция ................ 531 6.7.4. Двумерная линейная и сплайновая интерполяция ............................... 532 6.7.5. Интерполяция и экстраполяция функций по Лагранжу ........................ 532 6.7.6. Полиномиальная аппроксимация ........................................................ 533 6.7.7. Линейная регрессия ............................................................................ 534 6.7.8. Реализация линейной регрессии общего вида .................................... 535 6.7.9. Реализация одномерной полиномиальной регрессии ......................... 536 6.7.10. Проведение многомерной регрессии ................................................ 538 6.7.11. Проведение нелинейной регрессии общего вида .............................. 539 6.7.12. Новые функции для проведения регрессии в Mathcad ....................... 540 6.7.13. Пример выполнения экспоненциальной регрессии ........................... 540 6.7.14. Пример выполнения синусоидальной регрессии............................... 541 6.7.15. Приближение данных рядом Фурье ................................................... 541 6.7.16. Улучшение сходимости приближения рядом Фурье .......................... 543 6.7.17. Эффективное приближение данных рядом Фурье ............................. 544 6.8. Аппроксимация и регрессия в СКМ Derive и MuPAD .......................... 545 6.8.1. Функция FIT в Derive ............................................................................. 545 6.8.2. Аппроксимация Паде в Derive .............................................................. 549 6.8.3. Интерполяция и аппроксимация в MuPAD............................................ 550 6.8.4. Фурьеаппроксимация в Derive ............................................................ 550 6.8.5. Спектральный анализ и синтез в системе MuPAD ................................ 552 6.9. Экстраполяция и прогноз ...................................................................... 552 6.9.1. Основы экстраполяции и прогноза ...................................................... 552 6.9.2. Линейное предсказание в системе Mathcad ........................................ 554 6.9.3. Функции предсказания пакета Numeric Recipes................................... 555 6.9.4. Функции предсказания пакета расширения Signal Processing ............. 557 6.9.5. Предсказание по закону Мура на основе нелинейной регрессии...................................................................................................... 559 6.9.6. Закон Мура для числа транзисторов на кристаллах микропроцессоров........................................................................................ 562
Содержание 16 Содержание 17 Глава 7. Статистические вычисления ......................................... 567 7.1. Некоторые положения статистики ....................................................... 568 7.1.1. Эксперименты, события и другие понятия статистики ........................ 568 7.1.2. Решение задач комбинаторики ............................................................ 569 7.1.3. Дискретные и непрерывные случайные величины ............................... 570 7.1.4. Законы распределения и статистические функции ............................. 571 7.2. Статистические вычисления в системе Maple 10/11 ......................... 572 7.2.1. Пакет статистических вычислений Statistics системы Maple ................ 572 7.2.2. Генерация случайных чисел с заданным распределением .................. 572 7.2.3. Графика статистического пакета Statistics системы Maple .................. 573 7.2.4. Ассистент интерактивного статистического анализа данных............... 574 7.2.5. Пакет RandomTools для создания случайных объектов ........................ 575 7.3. Средства статистики в СКМ Mathematica 4/5 ..................................... 576 7.3.1. Комбинаторика и ее функции .............................................................. 576 7.3.2. Пакет расширения Statistics системы Mathematica .............................. 576 7.3.3. Манипуляции с данными – DataManipulation ........................................ 577 7.3.4. Стандартная обработка массива данных ............................................. 578 7.3.5. Линейное сглаживание и фильтрация ................................................. 580 7.3.6. Экспоненциальное сглаживание.......................................................... 582 7.3.7. Функции нормального распределения ................................................ 583 7.3.8. Функции непрерывного распределения .............................................. 584 7.3.9. Функции дискретного распределения ................................................ 585 7.3.10. Графика пакета Statistica системы Mathematica ................................. 586 7.3.11. Другие функции пакета Statistics........................................................ 588 7.4. Статистика в СКМ Mathcad ................................................................... 589 7.4.1. Функции комбинаторики в СКМ Mathcad ............................................. 590 7.4.2. Генерация случайных чисел с равномерным распределением ............ 590 7.4.3. Функции статистики в Mathcad ............................................................ 590 7.4.4. Функции вычисления плотности распределения вероятности ............. 593 7.4.5. Функции распределения ...................................................................... 594 7.4.6. Квантили распределения ..................................................................... 594 7.4.7. Функции создания случайных чисел с различными законами распределения .............................................................................................. 595 7.4.8. Примеры статистических вычислений в системе Mathcad ................... 596 7.4.9. Функции сглаживания данных .............................................................. 598 7.4.10. Линейное сглаживание по пяти точкам .............................................. 600 7.4.11. Нелинейное сглаживание по семи точкам ......................................... 600 7.5. Статистические функции Derive и MuPAD ........................................... 603 7.5.1. Функция генерации случайных чисел в Derive ...................................... 603 7.5.2. Функции ошибок в Derive ..................................................................... 603 7.5.3. Основные статистические функции Derive ........................................... 604 7.5.4. Численное дифференцирование со сглаживанием в Derive ................ 606 7.5.5. Генерация случайных чисел в системе MuPAD..................................... 607 Глава 8. Решение задач линейной алгебры и оптимизации .......................................................................................... 609 8.1. Основные определения линейной алгебры ........................................ 610 8.1.1. Определение векторов, матриц и их характеристик ............................ 610 8.1.2. Системы линейных уравнений и их матричная форма ......................... 612 8.1.3. Матричные разложения ....................................................................... 613 8.1.4. Элементы векторов и матриц в Maple .................................................. 613 8.1.5. Преобразование списков в векторы и матрицы ................................... 614 8.1.6. Операции с векторами в Maple ............................................................ 614 8.1.7. Операции над матрицами с численными элементами ......................... 615 8.1.8. Символьные операции с матрицами в Maple ....................................... 616 8.2. Пакет линейной алгебры linalg системы Maple ................................... 618 8.2.1. Состав пакета linalg .............................................................................. 618 8.2.2. Интерактивный ввод матриц ................................................................ 619 8.2.3. Основные функции для задания векторов и матриц ............................ 620 8.2.4. Работа с векторами и матрицами ........................................................ 620 8.2.5. Решение систем линейных уравнений ................................................. 623 8.2.6. Визуализация матриц .......................................................................... 623 8.3. Работа с пакетом LinearAlgebra и алгоритмами NAG ........................ 624 8.3.1. Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra ........................................ 624 8.3.2. Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra .. 625 8.3.3. Методы решения систем линейных уравнений средствами пакета LinearAlgebra ................................................................................................. 627 8.3.4. Решение системы линейных уравнений методом LUдекомпозиции..... 627 8.3.5. Решение системы линейных уравнений методом QRдекомпозиции .... 629 8.3.6. Решение системы линейных уравнений методом декомпозиции Холесски ....................................................................................................... 630 8.3.7. Одновременное решение нескольких систем уравнений .................... 632 8.3.8. Решение системы линейных уравнений с треугольной матрицей ........ 633 8.4. Интеграция Maple с MATLAB ................................................................. 634 8.4.1. Краткие сведения о MATLAB ................................................................ 634 8.4.2. Загрузка пакета расширения Matlab .................................................... 634 8.4.3. Типовые матричные операции пакета расширения Matlab .................. 635 8.5. Операции линейной алгебры СКМ Mathematica ................................. 637 8.5.1. Векторные функции ............................................................................. 637 8.5.2. Функции для операций линейной алгебры........................................... 638 8.5.3. Функции декомпозиции матриц........................................................... 639 8.5.4. Решение систем линейных уравнений ................................................. 640 8.6. Пакет LinearAlgebra СКМ Mathematica 4/5........................................... 641 8.6.1. Декомпозиция Холесского .................................................................. 641 8.6.2. Реализация метода исключения Гаусса ............................................... 642 8.6.3. Операции с матрицами ........................................................................ 643 8.6.4. Ортогонализация и нормализация ...................................................... 645 8.6.5. Решение линейных уравнений с трехдиагональной матрицей ............. 646 8.7. Средства линейной алгебры СКМ Mathcad......................................... 646 8.7.1. Векторы и матрицы в СКМ Mathcad ..................................................... 646 8.7.2. Векторные и матричные операции в Mathcad ...................................... 647 8.7.3. Операция векторизации ...................................................................... 648 8.7.4. Векторные и матричные функции Mathcad .......................................... 649 8.7.5. Функции, возвращающие специальные характеристики матриц ......... 650 8.7.6. Примеры работы со средствами линейной алгебры СКМ Mathcad ...... 650 8.7.7. Дополнительные матричные функции Mathcad.................................... 653 8.7.8. Функции сортировки для векторов и матриц ....................................... 654 8.7.9. Примеры применения дополнительных векторных и матричных функций......................................................................................................... 654 8.7.10. Решение в Mathcad систем линейных уравнений ............................... 655
Содержание 16 Содержание 17 Глава 7. Статистические вычисления ......................................... 567 7.1. Некоторые положения статистики ....................................................... 568 7.1.1. Эксперименты, события и другие понятия статистики ........................ 568 7.1.2. Решение задач комбинаторики ............................................................ 569 7.1.3. Дискретные и непрерывные случайные величины ............................... 570 7.1.4. Законы распределения и статистические функции ............................. 571 7.2. Статистические вычисления в системе Maple 10/11 ......................... 572 7.2.1. Пакет статистических вычислений Statistics системы Maple ................ 572 7.2.2. Генерация случайных чисел с заданным распределением .................. 572 7.2.3. Графика статистического пакета Statistics системы Maple .................. 573 7.2.4. Ассистент интерактивного статистического анализа данных............... 574 7.2.5. Пакет RandomTools для создания случайных объектов ........................ 575 7.3. Средства статистики в СКМ Mathematica 4/5 ..................................... 576 7.3.1. Комбинаторика и ее функции .............................................................. 576 7.3.2. Пакет расширения Statistics системы Mathematica .............................. 576 7.3.3. Манипуляции с данными – DataManipulation ........................................ 577 7.3.4. Стандартная обработка массива данных ............................................. 578 7.3.5. Линейное сглаживание и фильтрация ................................................. 580 7.3.6. Экспоненциальное сглаживание.......................................................... 582 7.3.7. Функции нормального распределения ................................................ 583 7.3.8. Функции непрерывного распределения .............................................. 584 7.3.9. Функции дискретного распределения ................................................ 585 7.3.10. Графика пакета Statistica системы Mathematica ................................. 586 7.3.11. Другие функции пакета Statistics........................................................ 588 7.4. Статистика в СКМ Mathcad ................................................................... 589 7.4.1. Функции комбинаторики в СКМ Mathcad ............................................. 590 7.4.2. Генерация случайных чисел с равномерным распределением ............ 590 7.4.3. Функции статистики в Mathcad ............................................................ 590 7.4.4. Функции вычисления плотности распределения вероятности ............. 593 7.4.5. Функции распределения ...................................................................... 594 7.4.6. Квантили распределения ..................................................................... 594 7.4.7. Функции создания случайных чисел с различными законами распределения .............................................................................................. 595 7.4.8. Примеры статистических вычислений в системе Mathcad ................... 596 7.4.9. Функции сглаживания данных .............................................................. 598 7.4.10. Линейное сглаживание по пяти точкам .............................................. 600 7.4.11. Нелинейное сглаживание по семи точкам ......................................... 600 7.5. Статистические функции Derive и MuPAD ........................................... 603 7.5.1. Функция генерации случайных чисел в Derive ...................................... 603 7.5.2. Функции ошибок в Derive ..................................................................... 603 7.5.3. Основные статистические функции Derive ........................................... 604 7.5.4. Численное дифференцирование со сглаживанием в Derive ................ 606 7.5.5. Генерация случайных чисел в системе MuPAD..................................... 607 Глава 8. Решение задач линейной алгебры и оптимизации .......................................................................................... 609 8.1. Основные определения линейной алгебры ........................................ 610 8.1.1. Определение векторов, матриц и их характеристик ............................ 610 8.1.2. Системы линейных уравнений и их матричная форма ......................... 612 8.1.3. Матричные разложения ....................................................................... 613 8.1.4. Элементы векторов и матриц в Maple .................................................. 613 8.1.5. Преобразование списков в векторы и матрицы ................................... 614 8.1.6. Операции с векторами в Maple ............................................................ 614 8.1.7. Операции над матрицами с численными элементами ......................... 615 8.1.8. Символьные операции с матрицами в Maple ....................................... 616 8.2. Пакет линейной алгебры linalg системы Maple ................................... 618 8.2.1. Состав пакета linalg .............................................................................. 618 8.2.2. Интерактивный ввод матриц ................................................................ 619 8.2.3. Основные функции для задания векторов и матриц ............................ 620 8.2.4. Работа с векторами и матрицами ........................................................ 620 8.2.5. Решение систем линейных уравнений ................................................. 623 8.2.6. Визуализация матриц .......................................................................... 623 8.3. Работа с пакетом LinearAlgebra и алгоритмами NAG ........................ 624 8.3.1. Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra ........................................ 624 8.3.2. Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra .. 625 8.3.3. Методы решения систем линейных уравнений средствами пакета LinearAlgebra ................................................................................................. 627 8.3.4. Решение системы линейных уравнений методом LUдекомпозиции..... 627 8.3.5. Решение системы линейных уравнений методом QRдекомпозиции .... 629 8.3.6. Решение системы линейных уравнений методом декомпозиции Холесски ....................................................................................................... 630 8.3.7. Одновременное решение нескольких систем уравнений .................... 632 8.3.8. Решение системы линейных уравнений с треугольной матрицей ........ 633 8.4. Интеграция Maple с MATLAB ................................................................. 634 8.4.1. Краткие сведения о MATLAB ................................................................ 634 8.4.2. Загрузка пакета расширения Matlab .................................................... 634 8.4.3. Типовые матричные операции пакета расширения Matlab .................. 635 8.5. Операции линейной алгебры СКМ Mathematica ................................. 637 8.5.1. Векторные функции ............................................................................. 637 8.5.2. Функции для операций линейной алгебры........................................... 638 8.5.3. Функции декомпозиции матриц........................................................... 639 8.5.4. Решение систем линейных уравнений ................................................. 640 8.6. Пакет LinearAlgebra СКМ Mathematica 4/5........................................... 641 8.6.1. Декомпозиция Холесского .................................................................. 641 8.6.2. Реализация метода исключения Гаусса ............................................... 642 8.6.3. Операции с матрицами ........................................................................ 643 8.6.4. Ортогонализация и нормализация ...................................................... 645 8.6.5. Решение линейных уравнений с трехдиагональной матрицей ............. 646 8.7. Средства линейной алгебры СКМ Mathcad......................................... 646 8.7.1. Векторы и матрицы в СКМ Mathcad ..................................................... 646 8.7.2. Векторные и матричные операции в Mathcad ...................................... 647 8.7.3. Операция векторизации ...................................................................... 648 8.7.4. Векторные и матричные функции Mathcad .......................................... 649 8.7.5. Функции, возвращающие специальные характеристики матриц ......... 650 8.7.6. Примеры работы со средствами линейной алгебры СКМ Mathcad ...... 650 8.7.7. Дополнительные матричные функции Mathcad.................................... 653 8.7.8. Функции сортировки для векторов и матриц ....................................... 654 8.7.9. Примеры применения дополнительных векторных и матричных функций......................................................................................................... 654 8.7.10. Решение в Mathcad систем линейных уравнений ............................... 655
Содержание 18 Содержание 19 8.8. Средства линейной алгебры СКМ Derive............................................. 656 8.8.1. Векторные функции и операторы Derive .............................................. 656 8.8.2. Матричные функции и операторы Derive ............................................. 659 8.8.3. Матричные операции Derive в символьной форме............................... 662 8.9. Средства линейной алгебры СКМ MuPAD ........................................... 664 8.9.1. Библиотеки линейной алгебры системы MuPAD .................................. 664 8.9.2. Задание векторов и матриц в MuPAD ................................................... 666 8.10. Линейная оптимизация и линейное программирование ................ 666 8.10.1. Постановка задачи линейного программирования ............................ 666 8.10.2. Обзор средств пакета simplex СКМ Maple .......................................... 667 8.10.3. Переопределенные функции maximize и minimize .............................. 667 8.10.4. Прочие функции пакета simplex СКМ Maple ....................................... 668 8.11. Средства оптимизации в СКМ Mathematica 4/5 ............................... 670 8.11.1. Поиск глобального максимума и минимума ....................................... 670 8.11.2. Функции линейного программирования ............................................ 671 8.11.3. Новые функции оптимизации в Mathematica 5 ................................... 672 8.12. Оптимизация и линейное программирование в системе Mathcad ........................................................................................................... 674 8.12.1. Решение задач линейного программирования .................................. 674 8.12.2. Оптимальные экономикоматематические модели ........................... 676 8.12.3. Решение задач максимизации объема продукции ............................. 676 8.12.4. Решение задач минимизации ресурсов ............................................. 677 8.12.5. Решение транспортной задачи .......................................................... 678 8.12.6. Задачи целочисленного программирования с булевыми переменными ................................................................................................ 681 8.12.7. Задача поиска кратчайшего пути ....................................................... 683 8.12.8. Задача о распределении потоков в сетях........................................... 685 8.13. Новый пакет оптимизации Optimization в Maple 9.5 ......................... 687 8.13.1. Доступ к пакету Optimization и его назначение ................................... 687 8.13.2. Работа с функциями Minimize и Maximize ........................................... 688 8.13.3. Линейное программирование – LPSolve ............................................ 689 8.13.4. Квадратичное программирование – QPSolve ..................................... 691 8.13.5. Нелинейное программирование – NLPSolve ...................................... 692 8.13.6. Работа с функцией импорта данных из файлов – ImportMPC ............ 693 8.13.7. Нелинейная регрессия....................................................................... 693 8.13.8. Оптимизация в Mapletокне с помощью функции Interactive .............. 693 Глава 9. Решение дифференциальных уравнений.............. 697 9.1. Введение в решение дифференциальных уравнений ....................... 698 9.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ................................ 698 9.1.2. Системы дифференциальных уравнений ............................................. 699 9.1.3. Сведение ДУ высокого порядка к системам ОДУ первого порядка ...... 700 9.1.4. Решение задачи на полет камня .......................................................... 700 9.1.5. Классификация дифференциальных уравнений в Maple...................... 701 9.1.6. Функция решения ДУ dsolve ................................................................. 703 9.1.7. Уровни решения дифференциальных уравнений в Maple .................... 705 9.2. Примеры решения дифференциальных уравнений ........................... 705 9.2.1. Примеры аналитического решения ОДУ первого порядка ................... 705 9.2.2. Полет тела, брошенного вверх ............................................................. 706 9.2.3. Поведение идеального гармонического осциллятора ......................... 708 9.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка ........................................................................... 709 9.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений................................. 709 9.3. Специальные средства решения дифференциальных уравнений ..... 710 9.3.1. Численное решение дифференциальных уравнений ........................... 710 9.3.2. Дифференциальные уравнения с кусочными функциями .................... 713 9.3.3. Структура неявного представления дифференциальных уравнений – DESol ......................................................................................... 715 9.4. Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools ......................................................................................... 716 9.4.1. Средства пакета DEtools ...................................................................... 716 9.4.2. Консультант по дифференциальным уравнениям ................................ 717 9.4.3. Основные функции пакета DEtools ....................................................... 718 9.4.4. Дифференциальные операторы и их применение ............................... 722 9.5. Графическая визуализация решений дифференциальных уравнений ....................................................................................................... 722 9.5.1. Применение функции odeplot пакета plots ........................................... 722 9.5.2. Функция DEplot из пакета DEtools ........................................................ 724 9.5.3. Функция DEplot3d из пакета DEtools .................................................... 727 9.5.4. Графическая функция dfieldplot ........................................................... 729 9.5.5. Графическая функция phaseportrait ..................................................... 729 9.6. Углубленный анализ дифференциальных уравнений ..................... 732 9.6.1. Задачи углубленного анализа ДУ ......................................................... 732 9.6.2. Проверка ДУ на автономность ............................................................. 732 9.6.3. Контроль уровня вывода решения ДУ .................................................. 733 9.6.4. Приближенное полиномиальное решение ДУ ...................................... 734 9.7. Решение дифференциальных уравнений с частными производными ............................................................................................... 735 9.7.1. Функция pdsolve .................................................................................. 735 9.7.2. Инструментальный пакет расширения PDEtool .................................... 736 9.7.3. Примеры решения дифференциальных уравнений с частными производными............................................................................................... 737 9.7.4. Функция PDEplot пакета DEtools .......................................................... 739 9.7.5. Примеры применения функции PDEplot............................................... 739 9.8. Сложные колебания в нелинейных системах и средах ...................... 740 9.8.1. Пример нелинейной системы и моделирование колебаний в ней ....... 740 9.8.2. Фазовый портрет на плоскости............................................................ 741 9.8.3. Фазовые портреты в пространстве ...................................................... 743 9.8.4. Распространение волн в нелинейной среде ........................................ 744 9.9. Интерактивное решение дифференциальных уравнений в Maple ..... 745 9.9.1. Новые средства интерактивного решения дифференциальных уравнений ..................................................................................................... 745 9.9.2. Примеры интерактивного решения дифференциальных уравнений ..................................................................................................... 746 9.10. Анализ линейных функциональных систем ....................................... 748 9.10.1. Назначение пакета LinearFunctionalSystems СКМ Maple..................... 748 9.10.2. Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems ............................ 749 9.10.3. Функции решения линейных функциональных систем ....................... 749
Содержание 18 Содержание 19 8.8. Средства линейной алгебры СКМ Derive............................................. 656 8.8.1. Векторные функции и операторы Derive .............................................. 656 8.8.2. Матричные функции и операторы Derive ............................................. 659 8.8.3. Матричные операции Derive в символьной форме............................... 662 8.9. Средства линейной алгебры СКМ MuPAD ........................................... 664 8.9.1. Библиотеки линейной алгебры системы MuPAD .................................. 664 8.9.2. Задание векторов и матриц в MuPAD ................................................... 666 8.10. Линейная оптимизация и линейное программирование ................ 666 8.10.1. Постановка задачи линейного программирования ............................ 666 8.10.2. Обзор средств пакета simplex СКМ Maple .......................................... 667 8.10.3. Переопределенные функции maximize и minimize .............................. 667 8.10.4. Прочие функции пакета simplex СКМ Maple ....................................... 668 8.11. Средства оптимизации в СКМ Mathematica 4/5 ............................... 670 8.11.1. Поиск глобального максимума и минимума ....................................... 670 8.11.2. Функции линейного программирования ............................................ 671 8.11.3. Новые функции оптимизации в Mathematica 5 ................................... 672 8.12. Оптимизация и линейное программирование в системе Mathcad ........................................................................................................... 674 8.12.1. Решение задач линейного программирования .................................. 674 8.12.2. Оптимальные экономикоматематические модели ........................... 676 8.12.3. Решение задач максимизации объема продукции ............................. 676 8.12.4. Решение задач минимизации ресурсов ............................................. 677 8.12.5. Решение транспортной задачи .......................................................... 678 8.12.6. Задачи целочисленного программирования с булевыми переменными ................................................................................................ 681 8.12.7. Задача поиска кратчайшего пути ....................................................... 683 8.12.8. Задача о распределении потоков в сетях........................................... 685 8.13. Новый пакет оптимизации Optimization в Maple 9.5 ......................... 687 8.13.1. Доступ к пакету Optimization и его назначение ................................... 687 8.13.2. Работа с функциями Minimize и Maximize ........................................... 688 8.13.3. Линейное программирование – LPSolve ............................................ 689 8.13.4. Квадратичное программирование – QPSolve ..................................... 691 8.13.5. Нелинейное программирование – NLPSolve ...................................... 692 8.13.6. Работа с функцией импорта данных из файлов – ImportMPC ............ 693 8.13.7. Нелинейная регрессия....................................................................... 693 8.13.8. Оптимизация в Mapletокне с помощью функции Interactive .............. 693 Глава 9. Решение дифференциальных уравнений.............. 697 9.1. Введение в решение дифференциальных уравнений ....................... 698 9.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ................................ 698 9.1.2. Системы дифференциальных уравнений ............................................. 699 9.1.3. Сведение ДУ высокого порядка к системам ОДУ первого порядка ...... 700 9.1.4. Решение задачи на полет камня .......................................................... 700 9.1.5. Классификация дифференциальных уравнений в Maple...................... 701 9.1.6. Функция решения ДУ dsolve ................................................................. 703 9.1.7. Уровни решения дифференциальных уравнений в Maple .................... 705 9.2. Примеры решения дифференциальных уравнений ........................... 705 9.2.1. Примеры аналитического решения ОДУ первого порядка ................... 705 9.2.2. Полет тела, брошенного вверх ............................................................. 706 9.2.3. Поведение идеального гармонического осциллятора ......................... 708 9.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка ........................................................................... 709 9.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений................................. 709 9.3. Специальные средства решения дифференциальных уравнений ..... 710 9.3.1. Численное решение дифференциальных уравнений ........................... 710 9.3.2. Дифференциальные уравнения с кусочными функциями .................... 713 9.3.3. Структура неявного представления дифференциальных уравнений – DESol ......................................................................................... 715 9.4. Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools ......................................................................................... 716 9.4.1. Средства пакета DEtools ...................................................................... 716 9.4.2. Консультант по дифференциальным уравнениям ................................ 717 9.4.3. Основные функции пакета DEtools ....................................................... 718 9.4.4. Дифференциальные операторы и их применение ............................... 722 9.5. Графическая визуализация решений дифференциальных уравнений ....................................................................................................... 722 9.5.1. Применение функции odeplot пакета plots ........................................... 722 9.5.2. Функция DEplot из пакета DEtools ........................................................ 724 9.5.3. Функция DEplot3d из пакета DEtools .................................................... 727 9.5.4. Графическая функция dfieldplot ........................................................... 729 9.5.5. Графическая функция phaseportrait ..................................................... 729 9.6. Углубленный анализ дифференциальных уравнений ..................... 732 9.6.1. Задачи углубленного анализа ДУ ......................................................... 732 9.6.2. Проверка ДУ на автономность ............................................................. 732 9.6.3. Контроль уровня вывода решения ДУ .................................................. 733 9.6.4. Приближенное полиномиальное решение ДУ ...................................... 734 9.7. Решение дифференциальных уравнений с частными производными ............................................................................................... 735 9.7.1. Функция pdsolve .................................................................................. 735 9.7.2. Инструментальный пакет расширения PDEtool .................................... 736 9.7.3. Примеры решения дифференциальных уравнений с частными производными............................................................................................... 737 9.7.4. Функция PDEplot пакета DEtools .......................................................... 739 9.7.5. Примеры применения функции PDEplot............................................... 739 9.8. Сложные колебания в нелинейных системах и средах ...................... 740 9.8.1. Пример нелинейной системы и моделирование колебаний в ней ....... 740 9.8.2. Фазовый портрет на плоскости............................................................ 741 9.8.3. Фазовые портреты в пространстве ...................................................... 743 9.8.4. Распространение волн в нелинейной среде ........................................ 744 9.9. Интерактивное решение дифференциальных уравнений в Maple ..... 745 9.9.1. Новые средства интерактивного решения дифференциальных уравнений ..................................................................................................... 745 9.9.2. Примеры интерактивного решения дифференциальных уравнений ..................................................................................................... 746 9.10. Анализ линейных функциональных систем ....................................... 748 9.10.1. Назначение пакета LinearFunctionalSystems СКМ Maple..................... 748 9.10.2. Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems ............................ 749 9.10.3. Функции решения линейных функциональных систем ....................... 749
Содержание 20 Содержание 21 9.10.4. Вспомогательные функции ................................................................ 749 9.10.5. Примеры применения пакета LinearFunctionalSystems ...................... 750 9.11. Решение дифференциальных уравнений СКМ Mathematica........... 751 9.11.1. Решение дифференциальных уравнений в символьном виде ............ 751 9.11.2. Решение дифференциальных уравнений в частных производных ..... 753 9.11.3. Решение дифференциальных уравнений в численном виде .............. 754 9.12. Численное решение ДУ в системе Mathcad ...................................... 756 9.12.1. Решение систем ОДУ ......................................................................... 756 9.12.2. Решение ДУ с помощью функции odesolve ........................................ 758 9.12.3. Решения жестких систем дифференциальных уравнений ................. 760 9.12.4. Пример решения жесткой системы ДУ химической кинетики ............ 762 9.12.5. Функция Radau................................................................................... 763 9.12.6. Решение двухточечных краевых задач ............................................... 764 9.12.7. Решение дифференциальных уравнений Пуассона и Лапласа........... 766 9.12.8. Функции для решения ОДУ в частных производных ........................... 766 9.12.9. Анализ колебаний струны в одномерном случае................................ 768 9.12.10. Анализ колебаний поверхности ....................................................... 769 9.12.11. Анимация колебания поверхности ................................................... 769 9.12.12. Решение дифференциальных уравнений с комплексными параметрами ................................................................................................. 772 9.13. Символьное решение ДУ в системе Mathcad ................................... 773 9.13.1. Применение преобразования Лапласа для решения ДУ .................... 773 9.13.2. Решение задачи Коши для линейного неоднородного ДУ .................. 774 9.13.3. Общее решение неоднородного ДУ первого порядка ........................ 775 9.13.4. Нахождение всех решений ДУ первого порядка................................. 775 9.13.5. Решение задачи Коши для ДУ в полных дифференциалах ................. 776 9.13.6. Нахождение частного решения ДУ третьего порядка ......................... 776 9.13.7. Фундаментальная система уравнений и общее решение неоднородного ДУ четвертого порядка ......................................................... 777 9.14. О реализации в Mathcad вариационных методов ............................ 779 9.14.1. Особенности решения задач механики вариационными методами ... 779 9.14.2. Решение задачи на прогиб струны ..................................................... 779 9.14.3. Решение задачи на прогиб струны в среде Mathcad .......................... 780 9.15. Математическое моделирование в Mathcad колебательных систем ............................................................................................................. 781 9.15.1. Анализ линейной колебательной системы ......................................... 781 9.15.2. Анализ нелинейной колебательной системы ВандерПоля .............. 782 9.15.3. Моделирование системы Дафинга с внешним воздействием ........... 783 9.15.4. Хаос и моделирование аттрактора Лоренца ...................................... 784 9.15.5. Моделирование математического маятника с анимацией ................. 786 9.16. Моделирование в Mathcad биологических и экономических систем ............................................................................... 790 9.16.1. Модель системы «хищник–жертва» Лотки–Вольтера......................... 790 9.16.2. Модель системы «хищник–жертва» с логистической поправкой........ 791 9.16.3. Модель системы «хищник–жертва» Холлинга–Тэннера ..................... 792 9.16.4. Моделирование замкнутой экономической системы ......................... 793 9.17. Новые возможности в решении дифференциальных уравнений в Mathematica .............................................................................. 794 9.17.1. Пример решения линейного ДУ с нерациональными коэффициентами .......................................................................................... 794 9.17.2. Решение дифференциального уравнения Абеля ............................... 794 9.17.3. Решение нелинейных дифференциальных уравнений ....................... 795 9.17.4. Решение нелинейного ДУ в частных производных ............................. 796 Глава 10. Визуализация вычислений в Maple ........................ 797 10.1. Двумерная графика Maple .................................................................. 798 10.1.1. Введение в двумерную графику Maple ............................................... 798 10.1.2. Функция plot для построения двумерных графиков и ее опции.......... 799 10.1.3. Управление стилем и цветом линий двумерных графиков ................. 801 10.1.4. Графики нескольких функций на одном рисунке................................ 801 10.2. Специальные типы двумерных графиков .......................................... 802 10.2.1. Графики функций, заданных своими именами и процедурами .......... 802 10.2.2. Графики функций, заданных параметрически ................................... 802 10.2.3. Графики функций в полярной системе координат ............................. 802 10.3. Визуализация трехмерных объектов ................................................. 803 10.3.1. Функция plot3d и ее параметры ......................................................... 803 10.3.2. Построение 3Dфигур в различных системах координат ................... 805 10.3.3. Графики параметрически заданных поверхностей ............................ 806 10.3.4. Построение ряда трехмерных фигур на одном графике .................... 807 10.4. Работа с графическими структурами ................................................ 808 10.4.1. Работа с графическими структурами двумерной графики ................. 808 10.4.2. Работа с графическими структурами трехмерной графики ............... 809 10.5. Применение графики пакета plots ..................................................... 811 10.5.1. Общая характеристика пакета plots ................................................... 811 10.5.2. Построение импликативных графиков ............................................... 812 10.5.3. Построение графиков линиями равного уровня................................. 813 10.5.4. График плотности и векторного поля ................................................. 814 10.5.5. Контурные трехмерные графики ........................................................ 815 10.5.6. Визуализация сложных пространственных фигур .............................. 816 10.5.7. Новая функция сравнения двух зависимостей от комплексного аргумента ...................................................................................................... 816 10.6. Динамическая графика........................................................................ 819 10.6.1. Анимация двумерных графиков ......................................................... 819 10.6.2. Анимация трехмерных графиков........................................................ 820 10.7. Графика пакета plottools ..................................................................... 821 10.7.1. Примитивы пакета plottools................................................................ 821 10.7.2. Примеры применения примитивов пакета plottools ........................... 822 10.7.3. Анимация в пакете plottols ................................................................. 823 10.8. Расширенные средства графической визуализации ....................... 825 10.8.1. Построение ряда графиков, расположенных по горизонтали ............ 825 10.8.2. Конформные отображения на комплексной плоскости...................... 826 10.8.3. Визуализация поверхностей со многими экстремумами ................... 826 10.8.4. Визуализация решения систем линейных уравнений ........................ 827 10.8.5. Визуализация решения систем неравенств ....................................... 828 10.8.6. Иллюстрация итерационного решения уравнения f(x) = x .................. 829 10.8.7. Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области......... 831 10.8.8. Визуализация геометрических понятий ............................................. 832 10.8.9. Визуализация вычисления определенных интегралов ....................... 833 10.8.10. Построение стрелок в пространстве ................................................ 834
Содержание 20 Содержание 21 9.10.4. Вспомогательные функции ................................................................ 749 9.10.5. Примеры применения пакета LinearFunctionalSystems ...................... 750 9.11. Решение дифференциальных уравнений СКМ Mathematica........... 751 9.11.1. Решение дифференциальных уравнений в символьном виде ............ 751 9.11.2. Решение дифференциальных уравнений в частных производных ..... 753 9.11.3. Решение дифференциальных уравнений в численном виде .............. 754 9.12. Численное решение ДУ в системе Mathcad ...................................... 756 9.12.1. Решение систем ОДУ ......................................................................... 756 9.12.2. Решение ДУ с помощью функции odesolve ........................................ 758 9.12.3. Решения жестких систем дифференциальных уравнений ................. 760 9.12.4. Пример решения жесткой системы ДУ химической кинетики ............ 762 9.12.5. Функция Radau................................................................................... 763 9.12.6. Решение двухточечных краевых задач ............................................... 764 9.12.7. Решение дифференциальных уравнений Пуассона и Лапласа........... 766 9.12.8. Функции для решения ОДУ в частных производных ........................... 766 9.12.9. Анализ колебаний струны в одномерном случае................................ 768 9.12.10. Анализ колебаний поверхности ....................................................... 769 9.12.11. Анимация колебания поверхности ................................................... 769 9.12.12. Решение дифференциальных уравнений с комплексными параметрами ................................................................................................. 772 9.13. Символьное решение ДУ в системе Mathcad ................................... 773 9.13.1. Применение преобразования Лапласа для решения ДУ .................... 773 9.13.2. Решение задачи Коши для линейного неоднородного ДУ .................. 774 9.13.3. Общее решение неоднородного ДУ первого порядка ........................ 775 9.13.4. Нахождение всех решений ДУ первого порядка................................. 775 9.13.5. Решение задачи Коши для ДУ в полных дифференциалах ................. 776 9.13.6. Нахождение частного решения ДУ третьего порядка ......................... 776 9.13.7. Фундаментальная система уравнений и общее решение неоднородного ДУ четвертого порядка ......................................................... 777 9.14. О реализации в Mathcad вариационных методов ............................ 779 9.14.1. Особенности решения задач механики вариационными методами ... 779 9.14.2. Решение задачи на прогиб струны ..................................................... 779 9.14.3. Решение задачи на прогиб струны в среде Mathcad .......................... 780 9.15. Математическое моделирование в Mathcad колебательных систем ............................................................................................................. 781 9.15.1. Анализ линейной колебательной системы ......................................... 781 9.15.2. Анализ нелинейной колебательной системы ВандерПоля .............. 782 9.15.3. Моделирование системы Дафинга с внешним воздействием ........... 783 9.15.4. Хаос и моделирование аттрактора Лоренца ...................................... 784 9.15.5. Моделирование математического маятника с анимацией ................. 786 9.16. Моделирование в Mathcad биологических и экономических систем ............................................................................... 790 9.16.1. Модель системы «хищник–жертва» Лотки–Вольтера......................... 790 9.16.2. Модель системы «хищник–жертва» с логистической поправкой........ 791 9.16.3. Модель системы «хищник–жертва» Холлинга–Тэннера ..................... 792 9.16.4. Моделирование замкнутой экономической системы ......................... 793 9.17. Новые возможности в решении дифференциальных уравнений в Mathematica .............................................................................. 794 9.17.1. Пример решения линейного ДУ с нерациональными коэффициентами .......................................................................................... 794 9.17.2. Решение дифференциального уравнения Абеля ............................... 794 9.17.3. Решение нелинейных дифференциальных уравнений ....................... 795 9.17.4. Решение нелинейного ДУ в частных производных ............................. 796 Глава 10. Визуализация вычислений в Maple ........................ 797 10.1. Двумерная графика Maple .................................................................. 798 10.1.1. Введение в двумерную графику Maple ............................................... 798 10.1.2. Функция plot для построения двумерных графиков и ее опции.......... 799 10.1.3. Управление стилем и цветом линий двумерных графиков ................. 801 10.1.4. Графики нескольких функций на одном рисунке................................ 801 10.2. Специальные типы двумерных графиков .......................................... 802 10.2.1. Графики функций, заданных своими именами и процедурами .......... 802 10.2.2. Графики функций, заданных параметрически ................................... 802 10.2.3. Графики функций в полярной системе координат ............................. 802 10.3. Визуализация трехмерных объектов ................................................. 803 10.3.1. Функция plot3d и ее параметры ......................................................... 803 10.3.2. Построение 3Dфигур в различных системах координат ................... 805 10.3.3. Графики параметрически заданных поверхностей ............................ 806 10.3.4. Построение ряда трехмерных фигур на одном графике .................... 807 10.4. Работа с графическими структурами ................................................ 808 10.4.1. Работа с графическими структурами двумерной графики ................. 808 10.4.2. Работа с графическими структурами трехмерной графики ............... 809 10.5. Применение графики пакета plots ..................................................... 811 10.5.1. Общая характеристика пакета plots ................................................... 811 10.5.2. Построение импликативных графиков ............................................... 812 10.5.3. Построение графиков линиями равного уровня................................. 813 10.5.4. График плотности и векторного поля ................................................. 814 10.5.5. Контурные трехмерные графики ........................................................ 815 10.5.6. Визуализация сложных пространственных фигур .............................. 816 10.5.7. Новая функция сравнения двух зависимостей от комплексного аргумента ...................................................................................................... 816 10.6. Динамическая графика........................................................................ 819 10.6.1. Анимация двумерных графиков ......................................................... 819 10.6.2. Анимация трехмерных графиков........................................................ 820 10.7. Графика пакета plottools ..................................................................... 821 10.7.1. Примитивы пакета plottools................................................................ 821 10.7.2. Примеры применения примитивов пакета plottools ........................... 822 10.7.3. Анимация в пакете plottols ................................................................. 823 10.8. Расширенные средства графической визуализации ....................... 825 10.8.1. Построение ряда графиков, расположенных по горизонтали ............ 825 10.8.2. Конформные отображения на комплексной плоскости...................... 826 10.8.3. Визуализация поверхностей со многими экстремумами ................... 826 10.8.4. Визуализация решения систем линейных уравнений ........................ 827 10.8.5. Визуализация решения систем неравенств ....................................... 828 10.8.6. Иллюстрация итерационного решения уравнения f(x) = x .................. 829 10.8.7. Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области......... 831 10.8.8. Визуализация геометрических понятий ............................................. 832 10.8.9. Визуализация вычисления определенных интегралов ....................... 833 10.8.10. Построение стрелок в пространстве ................................................ 834
Содержание 22 Содержание 23 10.8.11. Построение сложных комбинированных графиков .......................... 834 10.8.12. Визуализация дифференциальных параметров кривых ................... 835 10.8.13. Визуализация колебаний мембраны ................................................ 836 10.8.14. Визуализация экстремумов поверхности ........................................ 838 10.8.15. Визуализация теоремы Стокса ........................................................ 839 10.8.16. Визуализация поля электрических зарядов ..................................... 839 10.9. Работа с геометрическими пакетами ................................................ 842 10.9.1. Набор функций пакета geometry ........................................................ 842 10.9.2. Пример применения расчетных функций пакета geometry ................ 842 10.9.3. Визуализация геометрических построений ....................................... 843 10.9.4. Набор функций пакета geom3d .......................................................... 845 10.9.5. Пример применения пакета geom3d .................................................. 845 10.9.6. Набор функций пакета networks ......................................................... 845 10.10. Новые средства графики Maple 10/11 ............................................. 847 10.10.1. Новые средства двумерной графики в Maple 10/11 ......................... 847 10.10.2. Новые средства трехмерной графики в Maple 10/11 ....................... 849 10.10.3. Массивы разнотипных графиков ...................................................... 849 10.10.4. Графические наброски .................................................................... 850 Глава 11. Визуализация в Mathematica 4/5/6 ........................ 853 11.1. Средства двумерной графики системы Mathematica ...................... 854 11.1.1. Графическая функция Plot и ее опции ................................................ 854 11.1.2. Директивы двумерной графики и их применение .............................. 857 11.1.3. Построение графика по точкам – функция ListPlot ............................. 858 11.1.4. Получение информации о графических объектах .............................. 859 11.1.5. Директива Show ................................................................................. 859 11.1.6. Функция Graphics и ее примитивы ..................................................... 860 11.1.7. Функции для построения параметрически заданных графиков ......... 862 11.1.8. Построения графиков в полярной системе координат....................... 863 11.2. Контурные графики и графики плотности ......................................... 864 11.2.1. Функции для построения контурных графиков................................... 864 11.2.2. Опции для функций контурной графики ............................................. 864 11.2.3. Примеры построения контурных графиков ........................................ 865 11.2.4. Функции графиков плотности ............................................................ 866 11.3. Построение графиков поверхностей ................................................. 867 11.3.1. Основные функции для построения 3Dграфиков.............................. 867 11.3.2. Директивы трехмерной графики ........................................................ 868 11.3.3. Примеры модификации 3Dграфиков с помощью опций ................... 869 11.3.4. Графическая функция ListPlot3D ........................................................ 871 11.3.5. Параметрическая 3Dграфика ........................................................... 873 11.3.6. Построение фигур, пересекающихся в пространстве ........................ 873 11.3.7. Функция Graphics3D и ее опции и примитивы .................................... 875 11.4. Графика пакета дискретной геометрии DiscreteMath ..................... 878 11.4.1. Графы и их функции ........................................................................... 878 11.4.2. Функции вычислительной геометрии................................................. 882 11.4.3. Дискретные функции единичного скачка ........................................... 882 11.4.4. Построение деревьев ........................................................................ 884 11.5. Пакет геометрических расчетов Geometry........................................ 885 11.5.1. Характеристики регулярных полигонов и полиэдров – Polytopes ....... 885 11.5.2. Вращение фигур на плоскости и в пространстве – Rotations.............. 886 11.6. Новые возможности визуализации в Mathematica 5.1..................... 887 11.6.1. Новые средства визуализации графов............................................... 887 11.6.2. Средства GUI Mathematica 5.1 ............................................................ 887 11.6.3. Новые средства анимации в Mathematica 5.1 ..................................... 889 11.6.4. Визуализация скорости вычислений в системе Mathematica 5.1 ....... 889 11.7. Новые средства графики в Mathematica 6 ........................................ 890 11.7.1. Позиция Graphics меню и графический редактор .............................. 890 11.7.2. Расширение возможностей функции Plot .......................................... 892 11.7.3. Использование опций закраски областей двумерных графиков ........ 892 11.7.4. Графические динамические модули в Mathematica 6 ......................... 895 11.7.5. Визуализация данных из списков ...................................................... 897 11.7.6. Рельефная графика ........................................................................... 901 11.7.7. Трехмерные объекты, полученные вращением кривых ...................... 901 11.7.8. Визуализация работы клеточных автоматов ...................................... 904 11.7.9. Графы, деревья и прочее ................................................................... 906 11.7.10. Программирование анимации ......................................................... 907 11.7.11. Новые опции управления цветом и визуализация массивов ............ 911 Глава 12. Пакет расширения Graphics системы Mathematica ........................................................................... 915 12.1. Создание анимационных графиков ................................................... 916 12.1.1. Анимация графика кривой ................................................................. 916 12.1.2. Анимация графика, заданного параметрически ................................ 916 12.1.3. Анимация трехмерного графика поверхности ................................... 917 12.1.4. Другие средства анимации ................................................................ 918 12.2. Управление цветом графиков............................................................. 919 12.2.1. Установка аргумента цвета ................................................................ 919 12.2.2. Установка цветовой системы ............................................................. 919 12.3. Специальные типы графики ................................................................ 920 12.3.1. Построение стрелок – Arrow .............................................................. 920 12.3.2. Задание картографических систем.................................................... 920 12.3.3. Построение объемных контурных графиков – ContourPlot3D ............. 921 12.3.4. Построение графиков с окраской внутренних областей .................... 922 12.3.5. Графики логарифмические и полулогарифмические......................... 924 12.3.6. Графики в полярной системе координат............................................ 925 12.3.7. Построение столбиковых диаграмм .................................................. 925 12.3.8. Построение круговых диаграмм ........................................................ 927 12.3.9. Объединение графиков различного типа ........................................... 929 12.4. Создание трехмерных графиков ........................................................ 930 12.4.1. Трехмерные столбиковые диаграммы ............................................... 930 12.4.2. Построение точек и кривых в пространстве ....................................... 931 12.4.3. Построение графиков поверхности и ее проекций ............................ 931 12.4.4. Построение трехмерных графиков с каскадным расположением ...... 933 12.5. Специальные средства построения графиков ................................. 934 12.5.1. Построение графиков неявных функций ........................................... 934 12.5.2. Вывод обозначений кривых – легенд ................................................. 934 12.5.3. Построение графиков со множеством объектов – MultipleListPlot...... 936 12.5.4. Построение графиков с зонами ошибок ............................................ 937 12.5.5. Построение графиков с примитивами ............................................... 937
Содержание 22 Содержание 23 10.8.11. Построение сложных комбинированных графиков .......................... 834 10.8.12. Визуализация дифференциальных параметров кривых ................... 835 10.8.13. Визуализация колебаний мембраны ................................................ 836 10.8.14. Визуализация экстремумов поверхности ........................................ 838 10.8.15. Визуализация теоремы Стокса ........................................................ 839 10.8.16. Визуализация поля электрических зарядов ..................................... 839 10.9. Работа с геометрическими пакетами ................................................ 842 10.9.1. Набор функций пакета geometry ........................................................ 842 10.9.2. Пример применения расчетных функций пакета geometry ................ 842 10.9.3. Визуализация геометрических построений ....................................... 843 10.9.4. Набор функций пакета geom3d .......................................................... 845 10.9.5. Пример применения пакета geom3d .................................................. 845 10.9.6. Набор функций пакета networks ......................................................... 845 10.10. Новые средства графики Maple 10/11 ............................................. 847 10.10.1. Новые средства двумерной графики в Maple 10/11 ......................... 847 10.10.2. Новые средства трехмерной графики в Maple 10/11 ....................... 849 10.10.3. Массивы разнотипных графиков ...................................................... 849 10.10.4. Графические наброски .................................................................... 850 Глава 11. Визуализация в Mathematica 4/5/6 ........................ 853 11.1. Средства двумерной графики системы Mathematica ...................... 854 11.1.1. Графическая функция Plot и ее опции ................................................ 854 11.1.2. Директивы двумерной графики и их применение .............................. 857 11.1.3. Построение графика по точкам – функция ListPlot ............................. 858 11.1.4. Получение информации о графических объектах .............................. 859 11.1.5. Директива Show ................................................................................. 859 11.1.6. Функция Graphics и ее примитивы ..................................................... 860 11.1.7. Функции для построения параметрически заданных графиков ......... 862 11.1.8. Построения графиков в полярной системе координат....................... 863 11.2. Контурные графики и графики плотности ......................................... 864 11.2.1. Функции для построения контурных графиков................................... 864 11.2.2. Опции для функций контурной графики ............................................. 864 11.2.3. Примеры построения контурных графиков ........................................ 865 11.2.4. Функции графиков плотности ............................................................ 866 11.3. Построение графиков поверхностей ................................................. 867 11.3.1. Основные функции для построения 3Dграфиков.............................. 867 11.3.2. Директивы трехмерной графики ........................................................ 868 11.3.3. Примеры модификации 3Dграфиков с помощью опций ................... 869 11.3.4. Графическая функция ListPlot3D ........................................................ 871 11.3.5. Параметрическая 3Dграфика ........................................................... 873 11.3.6. Построение фигур, пересекающихся в пространстве ........................ 873 11.3.7. Функция Graphics3D и ее опции и примитивы .................................... 875 11.4. Графика пакета дискретной геометрии DiscreteMath ..................... 878 11.4.1. Графы и их функции ........................................................................... 878 11.4.2. Функции вычислительной геометрии................................................. 882 11.4.3. Дискретные функции единичного скачка ........................................... 882 11.4.4. Построение деревьев ........................................................................ 884 11.5. Пакет геометрических расчетов Geometry........................................ 885 11.5.1. Характеристики регулярных полигонов и полиэдров – Polytopes ....... 885 11.5.2. Вращение фигур на плоскости и в пространстве – Rotations.............. 886 11.6. Новые возможности визуализации в Mathematica 5.1..................... 887 11.6.1. Новые средства визуализации графов............................................... 887 11.6.2. Средства GUI Mathematica 5.1 ............................................................ 887 11.6.3. Новые средства анимации в Mathematica 5.1 ..................................... 889 11.6.4. Визуализация скорости вычислений в системе Mathematica 5.1 ....... 889 11.7. Новые средства графики в Mathematica 6 ........................................ 890 11.7.1. Позиция Graphics меню и графический редактор .............................. 890 11.7.2. Расширение возможностей функции Plot .......................................... 892 11.7.3. Использование опций закраски областей двумерных графиков ........ 892 11.7.4. Графические динамические модули в Mathematica 6 ......................... 895 11.7.5. Визуализация данных из списков ...................................................... 897 11.7.6. Рельефная графика ........................................................................... 901 11.7.7. Трехмерные объекты, полученные вращением кривых ...................... 901 11.7.8. Визуализация работы клеточных автоматов ...................................... 904 11.7.9. Графы, деревья и прочее ................................................................... 906 11.7.10. Программирование анимации ......................................................... 907 11.7.11. Новые опции управления цветом и визуализация массивов ............ 911 Глава 12. Пакет расширения Graphics системы Mathematica ........................................................................... 915 12.1. Создание анимационных графиков ................................................... 916 12.1.1. Анимация графика кривой ................................................................. 916 12.1.2. Анимация графика, заданного параметрически ................................ 916 12.1.3. Анимация трехмерного графика поверхности ................................... 917 12.1.4. Другие средства анимации ................................................................ 918 12.2. Управление цветом графиков............................................................. 919 12.2.1. Установка аргумента цвета ................................................................ 919 12.2.2. Установка цветовой системы ............................................................. 919 12.3. Специальные типы графики ................................................................ 920 12.3.1. Построение стрелок – Arrow .............................................................. 920 12.3.2. Задание картографических систем.................................................... 920 12.3.3. Построение объемных контурных графиков – ContourPlot3D ............. 921 12.3.4. Построение графиков с окраской внутренних областей .................... 922 12.3.5. Графики логарифмические и полулогарифмические......................... 924 12.3.6. Графики в полярной системе координат............................................ 925 12.3.7. Построение столбиковых диаграмм .................................................. 925 12.3.8. Построение круговых диаграмм ........................................................ 927 12.3.9. Объединение графиков различного типа ........................................... 929 12.4. Создание трехмерных графиков ........................................................ 930 12.4.1. Трехмерные столбиковые диаграммы ............................................... 930 12.4.2. Построение точек и кривых в пространстве ....................................... 931 12.4.3. Построение графиков поверхности и ее проекций ............................ 931 12.4.4. Построение трехмерных графиков с каскадным расположением ...... 933 12.5. Специальные средства построения графиков ................................. 934 12.5.1. Построение графиков неявных функций ........................................... 934 12.5.2. Вывод обозначений кривых – легенд ................................................. 934 12.5.3. Построение графиков со множеством объектов – MultipleListPlot...... 936 12.5.4. Построение графиков с зонами ошибок ............................................ 937 12.5.5. Построение графиков с примитивами ............................................... 937
Содержание 24 Содержание 25 12.5.6. Построение графиков с примитивами – полигонами ......................... 938 12.5.7. Задание спецификаций линий графиков ........................................... 939 12.5.8. Построение трехмерных графиков функций, заданных параметрически............................................................................. 939 12.5.9. Трехмерные графики в сферической и цилиндрической системах координат ...................................................................................... 940 12.5.9. Изменение точки обзора трехмерных графиков ................................ 941 12.6. Построение графиков полей .............................................................. 941 12.6.1. Представление полей на плоскости ................................................... 941 12.6.2. Представление полей в пространстве – PlotField3D ........................... 943 12.7. Построение пространственных фигур стереометрии ..................... 944 12.7.1. Построение полиэдров ...................................................................... 944 12.7.2. Построение усеченных полиэдров ..................................................... 945 12.7.3. Создание графических форм ............................................................. 946 12.7.4. Преобразования пространственных фигур ........................................ 948 12.7.5. Построение фигур, пересекающихся в пространстве ........................ 948 12.8. Другие возможности пакета ............................................................... 950 12.8.1. Применение сплайнов ....................................................................... 950 12.8.2. Фигуры вращения .............................................................................. 950 12.8.3. Что еще в пакете расширения Graphics? ............................................ 953 Глава 13. Визуализация в других системах ............................ 955 13.1. Построение двумерных графиков в Mathcad .................................... 956 13.1.1. Вставка шаблона графика .................................................................. 956 13.1.2. Вставка шаблона двумерного графика .............................................. 956 13.1.3. Простейшие приемы форматирования двумерных графиков ............ 959 13.1.4. Графики с параметрическим заданием функций ............................... 960 13.1.5. Построение графиков ряда функций на одном рисунке ..................... 961 13.1.6. Полулогарифмические и логарифмические графики......................... 962 13.1.7. Построение графиков в полярной системе координат....................... 963 13.2. Построение трехмерных графиков в Mathcad .................................. 965 13.2.1. Построение поверхностей по матрице аппликат их точек .................. 966 13.2.2. Построение параметрически заданных поверхностей ....................... 968 13.2.3. Построение трехмерных фигур с вырезом......................................... 968 13.2.4. Построение трехмерных графиков без задания матрицы .................. 970 13.2.5. Построение графика поверхности, заданной в векторной параметрической форме ........................................................... 971 13.2.6. Применение новой функции CreateMesh ........................................... 972 13.2.7. Построение объемной фигуры, образованной вращением кривой .... 972 13.2.8. Построение полиэдров ...................................................................... 974 13.2.9. Построение на одном графике нескольких трехмерных объектов ..... 976 13.2.10. Стандартный способ построения контурных графиков .................... 978 13.2.11. Построение контурных графиков без явного задания матрицы ....... 979 13.3. Точечный трехмерный график ............................................................ 980 13.3.1. Определение точечного графика ....................................................... 980 13.3.2. Построение точечного графика c заданием матрицы аппликат точек .... 981 13.3.3. Построение точечного графика с заданием только функции поверхности .................................................................................................. 981 13.3.4. Применение функции CreateSpace .................................................... 982 13.4. Трехмерная гистограмма .................................................................... 983 13.4.1. Обычное построение гистограмм ...................................................... 983 13.4.2. Построение трехмерных гистограмм с заданием только функции поверхности .................................................................................................. 985 13.5. Трехмерный график в векторном представлении ............................ 985 13.5.1. Обычное построение графиков векторного поля ............................... 986 13.5.2. Построение графика векторного поля, заданного в параметрической форме ........................................................... 986 13.6. Специальные приемы построения трехмерных графиков .............. 987 13.6.1. Построение трехмерных графиков мастером .................................... 987 13.6.2. Трехмерный «лоскутный» график ....................................................... 990 13.6.3. Два пересекающихся в пространстве тора ........................................ 991 13.6.4. Тор «в тряпках» и с обмоткой ............................................................. 991 13.6.5. Поверхность в поверхности ............................................................... 993 13.6.6. Поверхность, нанизанная на столбики ............................................... 994 13.6.7. Цилиндры, пересекающиеся в пространстве..................................... 994 13.6.8. Конусы, пересекаемые плоскостью ................................................... 994 13.6.9. Лента Мебиуса ................................................................................... 996 13.6.10. Пирамида ......................................................................................... 996 13.6.11. Пространственные спирали ............................................................. 998 13.6.12. Представление функций двух переменных графиками векторного поля ............................................................................................ 999 13.7. Техника анимации (оживления) графиков ...................................... 1000 13.7.1. Принципы анимации графиков ........................................................ 1000 13.7.2. Подготовка к анимации .................................................................... 1001 13.7.3. Создание кадров изображения ........................................................ 1003 13.7.4. Воспроизведение анимированного рисунка .................................... 1004 13.7.5. Вызов проигрывателя ...................................................................... 1004 13.8. Графика системы Derive .................................................................... 1007 13.8.1. Позиция меню Windows .................................................................... 1007 13.8.2. Построение и форматирование двумерного графика ...................... 1007 13.8.3. Графики функций в полярной системе координат ........................... 1010 13.8.4. Построение трехмерных графиков .................................................. 1011 13.8.5. Построение 3Dфигур с функциональной окраской и параметрическим заданием ..................................................................... 1014 13.8.6. Построение пересекающихся в пространстве фигур ....................... 1015 13.8.7. Двумерная графика с окраской по неравенствам ............................ 1016 13.8.8. Представление вычислений в Derive в форме ноутбуков ................. 1018 13.8.9. Экспорт и печать файлов в Derive .................................................... 1019 13.9. Графическая визуализация в системе MuPAD ............................... 1020 13.9.1. Построение 2Dграфиков функций plotfunc2d ................................. 1020 13.9.2. Построение 3Dграфиков функций plotfunc3d ................................. 1023 13.9.3. Многофункциональные команды plot2d и plot3d .............................. 1024 13.9.4. Построение двумерных графиков .................................................... 1025 13.9.5. Построение графиков функций, заданных параметрически........................................................................... 1026 13.9.6. Построение графика в полярной системе координат ...................... 1027 13.9.7. Построение 3Dграфиков командой plot3d ...................................... 1027 13.9.8. Работа со средствами Vcam ............................................................. 1029 13.9.9. Применение графической библиотеки ............................................ 1029
Содержание 24 Содержание 25 12.5.6. Построение графиков с примитивами – полигонами ......................... 938 12.5.7. Задание спецификаций линий графиков ........................................... 939 12.5.8. Построение трехмерных графиков функций, заданных параметрически............................................................................. 939 12.5.9. Трехмерные графики в сферической и цилиндрической системах координат ...................................................................................... 940 12.5.9. Изменение точки обзора трехмерных графиков ................................ 941 12.6. Построение графиков полей .............................................................. 941 12.6.1. Представление полей на плоскости ................................................... 941 12.6.2. Представление полей в пространстве – PlotField3D ........................... 943 12.7. Построение пространственных фигур стереометрии ..................... 944 12.7.1. Построение полиэдров ...................................................................... 944 12.7.2. Построение усеченных полиэдров ..................................................... 945 12.7.3. Создание графических форм ............................................................. 946 12.7.4. Преобразования пространственных фигур ........................................ 948 12.7.5. Построение фигур, пересекающихся в пространстве ........................ 948 12.8. Другие возможности пакета ............................................................... 950 12.8.1. Применение сплайнов ....................................................................... 950 12.8.2. Фигуры вращения .............................................................................. 950 12.8.3. Что еще в пакете расширения Graphics? ............................................ 953 Глава 13. Визуализация в других системах ............................ 955 13.1. Построение двумерных графиков в Mathcad .................................... 956 13.1.1. Вставка шаблона графика .................................................................. 956 13.1.2. Вставка шаблона двумерного графика .............................................. 956 13.1.3. Простейшие приемы форматирования двумерных графиков ............ 959 13.1.4. Графики с параметрическим заданием функций ............................... 960 13.1.5. Построение графиков ряда функций на одном рисунке ..................... 961 13.1.6. Полулогарифмические и логарифмические графики......................... 962 13.1.7. Построение графиков в полярной системе координат....................... 963 13.2. Построение трехмерных графиков в Mathcad .................................. 965 13.2.1. Построение поверхностей по матрице аппликат их точек .................. 966 13.2.2. Построение параметрически заданных поверхностей ....................... 968 13.2.3. Построение трехмерных фигур с вырезом......................................... 968 13.2.4. Построение трехмерных графиков без задания матрицы .................. 970 13.2.5. Построение графика поверхности, заданной в векторной параметрической форме ........................................................... 971 13.2.6. Применение новой функции CreateMesh ........................................... 972 13.2.7. Построение объемной фигуры, образованной вращением кривой .... 972 13.2.8. Построение полиэдров ...................................................................... 974 13.2.9. Построение на одном графике нескольких трехмерных объектов ..... 976 13.2.10. Стандартный способ построения контурных графиков .................... 978 13.2.11. Построение контурных графиков без явного задания матрицы ....... 979 13.3. Точечный трехмерный график ............................................................ 980 13.3.1. Определение точечного графика ....................................................... 980 13.3.2. Построение точечного графика c заданием матрицы аппликат точек .... 981 13.3.3. Построение точечного графика с заданием только функции поверхности .................................................................................................. 981 13.3.4. Применение функции CreateSpace .................................................... 982 13.4. Трехмерная гистограмма .................................................................... 983 13.4.1. Обычное построение гистограмм ...................................................... 983 13.4.2. Построение трехмерных гистограмм с заданием только функции поверхности .................................................................................................. 985 13.5. Трехмерный график в векторном представлении ............................ 985 13.5.1. Обычное построение графиков векторного поля ............................... 986 13.5.2. Построение графика векторного поля, заданного в параметрической форме ........................................................... 986 13.6. Специальные приемы построения трехмерных графиков .............. 987 13.6.1. Построение трехмерных графиков мастером .................................... 987 13.6.2. Трехмерный «лоскутный» график ....................................................... 990 13.6.3. Два пересекающихся в пространстве тора ........................................ 991 13.6.4. Тор «в тряпках» и с обмоткой ............................................................. 991 13.6.5. Поверхность в поверхности ............................................................... 993 13.6.6. Поверхность, нанизанная на столбики ............................................... 994 13.6.7. Цилиндры, пересекающиеся в пространстве..................................... 994 13.6.8. Конусы, пересекаемые плоскостью ................................................... 994 13.6.9. Лента Мебиуса ................................................................................... 996 13.6.10. Пирамида ......................................................................................... 996 13.6.11. Пространственные спирали ............................................................. 998 13.6.12. Представление функций двух переменных графиками векторного поля ............................................................................................ 999 13.7. Техника анимации (оживления) графиков ...................................... 1000 13.7.1. Принципы анимации графиков ........................................................ 1000 13.7.2. Подготовка к анимации .................................................................... 1001 13.7.3. Создание кадров изображения ........................................................ 1003 13.7.4. Воспроизведение анимированного рисунка .................................... 1004 13.7.5. Вызов проигрывателя ...................................................................... 1004 13.8. Графика системы Derive .................................................................... 1007 13.8.1. Позиция меню Windows .................................................................... 1007 13.8.2. Построение и форматирование двумерного графика ...................... 1007 13.8.3. Графики функций в полярной системе координат ........................... 1010 13.8.4. Построение трехмерных графиков .................................................. 1011 13.8.5. Построение 3Dфигур с функциональной окраской и параметрическим заданием ..................................................................... 1014 13.8.6. Построение пересекающихся в пространстве фигур ....................... 1015 13.8.7. Двумерная графика с окраской по неравенствам ............................ 1016 13.8.8. Представление вычислений в Derive в форме ноутбуков ................. 1018 13.8.9. Экспорт и печать файлов в Derive .................................................... 1019 13.9. Графическая визуализация в системе MuPAD ............................... 1020 13.9.1. Построение 2Dграфиков функций plotfunc2d ................................. 1020 13.9.2. Построение 3Dграфиков функций plotfunc3d ................................. 1023 13.9.3. Многофункциональные команды plot2d и plot3d .............................. 1024 13.9.4. Построение двумерных графиков .................................................... 1025 13.9.5. Построение графиков функций, заданных параметрически........................................................................... 1026 13.9.6. Построение графика в полярной системе координат ...................... 1027 13.9.7. Построение 3Dграфиков командой plot3d ...................................... 1027 13.9.8. Работа со средствами Vcam ............................................................. 1029 13.9.9. Применение графической библиотеки ............................................ 1029
Содержание 26 Содержание 27 Глава 14. Программирование в системах компьютерной алгебры ..................................................................... 1033 14.1. Основные средства программирования СКМ ................................ 1034 14.1.1. Понятие о входном языке системы и языке реализации .................. 1034 14.1.2. О языках программирования СКМ и СКА ......................................... 1035 14.1.3. Алфавит, ключевые слова, процедуры и функции языков программирования .......................................................................... 1036 14.2. Язык программирования системы Maple ........................................ 1036 14.2.1. Задание функции пользователя ....................................................... 1036 14.2.2. Импликативные функции ................................................................. 1038 14.2.3. Условные выражения ....................................................................... 1039 14.2.4. Конструкции циклов в Maple ............................................................ 1041 14.2.5. Процедуры и процедурыфункции ................................................... 1044 14.2.6. Статус переменных .......................................................................... 1046 14.2.7. Вывод сообщений об ошибках ......................................................... 1047 14.2.8. Ключи в процедурах ......................................................................... 1048 14.2.9. Средства контроля и отладки процедур ........................................... 1051 14.2.10. Работа с отладчиком программ...................................................... 1054 14.2.11. Операции ввода и вывода .............................................................. 1056 14.2.12. Создание своей библиотеки процедур .......................................... 1057 14.2.13. Программирование символьных операций .................................... 1060 14.2.14. Вложенные процедуры и интегрирование по частям ..................... 1063 14.2.15. Дополнительные возможности, модули и макросы Mapleязыка ..... 1065 14.3. Язык программирования систем Mathematica ............................... 1068 14.3.1. Общая характеристика языка программирования Mathematica ....... 1068 14.3.2. Образцы и их применение ............................................................... 1069 14.3.3. Функциональное программирование в среде Mathematica .............. 1071 14.3.4. Чистые и анонимные функции в Mathematica ................................... 1072 14.3.5. Специальные средства работы с функциями ................................... 1073 14.3.6. Реализация рекурсивных и рекуррентных алгоритмов .................... 1074 14.3.7. Примеры программирования графических задач ............................ 1075 14.3.8. Процедуры и блоки процедурного программирования .................... 1076 14.3.9. Организация циклов ........................................................................ 1079 14.3.10. Условные выражения и безусловные переходы ............................. 1083 14.3.11. Функциипереключатели ............................................................... 1084 14.3.12. Безусловные переходы .................................................................. 1085 14.3.13. Механизм контекстов .................................................................... 1086 14.3.14. Работа с контекстами..................................................................... 1088 14.3.15. Подготовка пакетов расширений системы Mathematica................. 1090 14.3.16. Защита идентификаторов от модификации ................................... 1094 14.3.17. Практика подготовки пакетов расширений и применений ............. 1095 14.3.18. Трассировка программ .................................................................. 1096 14.3.19. Динамическое изменение переменных в Mathematica 6 и модель Dymamic ....................................................................................... 1097 14.3.20. Динамический модуль DynamicModule в Mathematica 6 ................. 1098 14.3.21. Cброс интерактивных изменений в Mathematica 6 ......................... 1099 14.3.22. Модуль манипуляций Manipulate в Mathematica 6 .......................... 1099 14.4. Функциональное программирование в Derive 5/6 ......................... 1102 14.4.1. Создание функций в системе Derive ................................................ 1102 14.4.2. Функция выбора по условию IF ........................................................ 1102 14.4.3. Применение функций SUM и PRODUCT вместо циклов .................... 1103 14.4.4. Функции ITERATES и ITERATE для создания итераций ...................... 1103 14.4.5. Примеры функционального программирования в Derive ................. 1104 14.4.6. Некоторые замечания по функциональному программированию в Derive ........................................................................................................ 1106 14.4.7. Средства процедурного программирования ................................... 1106 14.5. Программирование в системе MuPAD ............................................ 1107 14.5.1. Условный оператор ifthenelse........................................................ 1107 14.5.2. Оператор – переключатель caseend_case ...................................... 1107 14.5.3. Циклы вида forend_for .................................................................... 1108 14.5.4. Циклы типа repeatuntilend_repeat и whileend_while ....................... 1109 14.5.5. Процедуры и процедурыфункции в системе MuPAD ....................... 1110 14.6. Средства программирования системы Mathcad ............................ 1112 14.6.1. Задание операторов пользователя .................................................. 1113 14.6.2. Задание и применение функций пользователя ................................ 1114 14.6.3. Задание программных модулей ....................................................... 1114 14.6.4. Инструкция добавления линий в модуль Add Line ............................ 1116 14.6.5. Оператор внутреннего присваивания .............................................. 1116 14.6.6. Условная инструкция if ..................................................................... 1116 14.6.7. Инструкция организации цикла for .................................................. 1116 14.6.8. Инструкция организации цикла while ............................................... 1116 14.6.9. Инструкция otherwise ....................................................................... 1117 14.6.10. Инструкция прерывания break ....................................................... 1117 14.6.11. Инструкция continue....................................................................... 1117 14.6.12. Инструкция return........................................................................... 1117 14.6.13. Инструкция on error и функция error ............................................... 1117 14.6.14. Простейшие примеры создания программных модулей ................ 1117 14.6.15. Обработка ошибок в программных модулях................................... 1119 14.6.16. Модуль построения точек в пространстве ..................................... 1120 14.6.17. Модуль Фурьеанализа .................................................................. 1121 14.6.18. Рекурсивная генерация простых чисел .......................................... 1122 14.6.19. Программа моделирования аттрактора Лоренца ........................... 1123 14.6.20. Построение фрактала «кукуруза» ................................................... 1124 14.6.21. Замечания по программированию в Mathcad ................................ 1124 Глава 15. Аналитическое и спектральное моделирование ...................................................................................... 1127 15.1. Исследование и моделирование линейных систем ....................... 1128 15.1.1. Демпфированная система второго порядка .................................... 1128 15.1.2. Система с малым демпфированием под внешним синусоидальным воздействием............................................. 1130 15.1.3. Слабо демпфированная система под воздействием треугольной формы..................................................................................... 1131 15.1.4. Слабо демпфированная система при произвольном воздействии ...... 1133 15.1.5. Улучшенное моделирование свободных колебаний......................... 1136 15.1.6. Улучшенное моделирование колебаний при синусоидальном воздействии ................................................................................................ 1137 15.1.7. Улучшенное моделирование колебаний при пилообразном воздействии ................................................................................................ 1139 15.1.8. Анализ и моделирование линейных систем операторным методом .... 1141
Содержание 26 Содержание 27 Глава 14. Программирование в системах компьютерной алгебры ..................................................................... 1033 14.1. Основные средства программирования СКМ ................................ 1034 14.1.1. Понятие о входном языке системы и языке реализации .................. 1034 14.1.2. О языках программирования СКМ и СКА ......................................... 1035 14.1.3. Алфавит, ключевые слова, процедуры и функции языков программирования .......................................................................... 1036 14.2. Язык программирования системы Maple ........................................ 1036 14.2.1. Задание функции пользователя ....................................................... 1036 14.2.2. Импликативные функции ................................................................. 1038 14.2.3. Условные выражения ....................................................................... 1039 14.2.4. Конструкции циклов в Maple ............................................................ 1041 14.2.5. Процедуры и процедурыфункции ................................................... 1044 14.2.6. Статус переменных .......................................................................... 1046 14.2.7. Вывод сообщений об ошибках ......................................................... 1047 14.2.8. Ключи в процедурах ......................................................................... 1048 14.2.9. Средства контроля и отладки процедур ........................................... 1051 14.2.10. Работа с отладчиком программ...................................................... 1054 14.2.11. Операции ввода и вывода .............................................................. 1056 14.2.12. Создание своей библиотеки процедур .......................................... 1057 14.2.13. Программирование символьных операций .................................... 1060 14.2.14. Вложенные процедуры и интегрирование по частям ..................... 1063 14.2.15. Дополнительные возможности, модули и макросы Mapleязыка ..... 1065 14.3. Язык программирования систем Mathematica ............................... 1068 14.3.1. Общая характеристика языка программирования Mathematica ....... 1068 14.3.2. Образцы и их применение ............................................................... 1069 14.3.3. Функциональное программирование в среде Mathematica .............. 1071 14.3.4. Чистые и анонимные функции в Mathematica ................................... 1072 14.3.5. Специальные средства работы с функциями ................................... 1073 14.3.6. Реализация рекурсивных и рекуррентных алгоритмов .................... 1074 14.3.7. Примеры программирования графических задач ............................ 1075 14.3.8. Процедуры и блоки процедурного программирования .................... 1076 14.3.9. Организация циклов ........................................................................ 1079 14.3.10. Условные выражения и безусловные переходы ............................. 1083 14.3.11. Функциипереключатели ............................................................... 1084 14.3.12. Безусловные переходы .................................................................. 1085 14.3.13. Механизм контекстов .................................................................... 1086 14.3.14. Работа с контекстами..................................................................... 1088 14.3.15. Подготовка пакетов расширений системы Mathematica................. 1090 14.3.16. Защита идентификаторов от модификации ................................... 1094 14.3.17. Практика подготовки пакетов расширений и применений ............. 1095 14.3.18. Трассировка программ .................................................................. 1096 14.3.19. Динамическое изменение переменных в Mathematica 6 и модель Dymamic ....................................................................................... 1097 14.3.20. Динамический модуль DynamicModule в Mathematica 6 ................. 1098 14.3.21. Cброс интерактивных изменений в Mathematica 6 ......................... 1099 14.3.22. Модуль манипуляций Manipulate в Mathematica 6 .......................... 1099 14.4. Функциональное программирование в Derive 5/6 ......................... 1102 14.4.1. Создание функций в системе Derive ................................................ 1102 14.4.2. Функция выбора по условию IF ........................................................ 1102 14.4.3. Применение функций SUM и PRODUCT вместо циклов .................... 1103 14.4.4. Функции ITERATES и ITERATE для создания итераций ...................... 1103 14.4.5. Примеры функционального программирования в Derive ................. 1104 14.4.6. Некоторые замечания по функциональному программированию в Derive ........................................................................................................ 1106 14.4.7. Средства процедурного программирования ................................... 1106 14.5. Программирование в системе MuPAD ............................................ 1107 14.5.1. Условный оператор ifthenelse........................................................ 1107 14.5.2. Оператор – переключатель caseend_case ...................................... 1107 14.5.3. Циклы вида forend_for .................................................................... 1108 14.5.4. Циклы типа repeatuntilend_repeat и whileend_while ....................... 1109 14.5.5. Процедуры и процедурыфункции в системе MuPAD ....................... 1110 14.6. Средства программирования системы Mathcad ............................ 1112 14.6.1. Задание операторов пользователя .................................................. 1113 14.6.2. Задание и применение функций пользователя ................................ 1114 14.6.3. Задание программных модулей ....................................................... 1114 14.6.4. Инструкция добавления линий в модуль Add Line ............................ 1116 14.6.5. Оператор внутреннего присваивания .............................................. 1116 14.6.6. Условная инструкция if ..................................................................... 1116 14.6.7. Инструкция организации цикла for .................................................. 1116 14.6.8. Инструкция организации цикла while ............................................... 1116 14.6.9. Инструкция otherwise ....................................................................... 1117 14.6.10. Инструкция прерывания break ....................................................... 1117 14.6.11. Инструкция continue....................................................................... 1117 14.6.12. Инструкция return........................................................................... 1117 14.6.13. Инструкция on error и функция error ............................................... 1117 14.6.14. Простейшие примеры создания программных модулей ................ 1117 14.6.15. Обработка ошибок в программных модулях................................... 1119 14.6.16. Модуль построения точек в пространстве ..................................... 1120 14.6.17. Модуль Фурьеанализа .................................................................. 1121 14.6.18. Рекурсивная генерация простых чисел .......................................... 1122 14.6.19. Программа моделирования аттрактора Лоренца ........................... 1123 14.6.20. Построение фрактала «кукуруза» ................................................... 1124 14.6.21. Замечания по программированию в Mathcad ................................ 1124 Глава 15. Аналитическое и спектральное моделирование ...................................................................................... 1127 15.1. Исследование и моделирование линейных систем ....................... 1128 15.1.1. Демпфированная система второго порядка .................................... 1128 15.1.2. Система с малым демпфированием под внешним синусоидальным воздействием............................................. 1130 15.1.3. Слабо демпфированная система под воздействием треугольной формы..................................................................................... 1131 15.1.4. Слабо демпфированная система при произвольном воздействии ...... 1133 15.1.5. Улучшенное моделирование свободных колебаний......................... 1136 15.1.6. Улучшенное моделирование колебаний при синусоидальном воздействии ................................................................................................ 1137 15.1.7. Улучшенное моделирование колебаний при пилообразном воздействии ................................................................................................ 1139 15.1.8. Анализ и моделирование линейных систем операторным методом .... 1141
Содержание 28 Содержание 29 15.2. Моделирование динамических физических задач......................... 1144 15.2.1. Расчет траектории камня с учетом сопротивления воздуха ............. 1144 15.2.2. Движение частицы в магнитном поле .............................................. 1147 15.2.3. Разделение изотопов....................................................................... 1150 15.2.4. Моделирование рассеивания альфачастиц .................................... 1152 15.3. Моделирование и расчет электронных схем .................................. 1154 15.3.1. Нужно ли применять Maple для моделирования и расчета электронных схем? ...................................................................................... 1154 13.3.2. Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов ................................................................................................... 1155 15.3.3. Малосигнальный анализ фильтраусилителя на операционном усилителе ....................................................................... 1157 15.3.4. Проектирование цифрового фильтра .............................................. 1160 15.3.5. Моделирование цепи на туннельном диоде ..................................... 1165 15.3.6. Моделирование детектора амплитудномодулированного сигнала .... 1167 15.4. Моделирование систем с заданными граничными условиями .... 1169 15.4.1. Распределение температуры стержня с запрессованными концами ....................................................................... 1169 15.4.2. Моделирование колебаний струны, зажатой на концах ................... 1170 15.5. Моделирование в системе Maple + MATLAB ................................... 1174 15.5.1. Выделение сигнала на фоне шумов ................................................. 1174 15.5.2. Моделирование линейного осциллятора ......................................... 1175 15.6. Моделирование RLCцепи с применением Mapletsинтерфейса ................................................................................... 1177 15.6.1. Подготовка процедуры моделирования и тестового примера ......... 1177 15.6.2. Подготовка окна Mapletsинтерфейса ............................................. 1178 15.6.3. Организация связи между процедурой моделирования и Mapletsинтерфейсом .............................................................................. 1179 15.6.4. Моделирование RLCцепи в окне Mapletsинтерфейса ................... 1179 15.7. Инженерные методы спектрального анализа в СКМ Mathematica 4/5................................................................................ 1182 15.7.1. Метод пяти ординат ......................................................................... 1182 15.7.2. Спектральный анализ методом Берга .............................................. 1186 15.7.3. Задание сигналов различной формы ............................................... 1190 15.7.4. Спектральный анализ и синтез сигналов ......................................... 1194 15.7.5. Дискретный Фурьеанализ и спектр периодических функций ......... 1196 15.7.6. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) ........................................... 1197 15.7.7. Спектральный синтез сигналов средствами Mathematica 4/5 .......... 1197 15.7.8. Спектральный анализ и синтез сигналов, заданных аналитически .. 1201 15.7.9. Цифровая фильтрация зашумленного сигнала ................................ 1202 15.7.10. Спектральный анализ и синтез сигналов с линейной интерполяцией между узлами .................................................. 1204 15.8. Специальные вопросы спектрального анализа и синтеза ............ 1209 15.8.1. Функции БПФ системы Mathcad 12 .................................................. 1209 15.8.2. Примеры выполнения БПФ в Mathcad 12 ......................................... 1211 15.8.3. Альтернативные преобразования Фурье ......................................... 1213 15.8.4. Эффект Гиббса ................................................................................ 1214 15.8.5. Способы подавления эффекта Гиббса ............................................. 1216 15.8.6. Восстановление сигнала по базису Котельникова ........................... 1218 15.9. Оконное преобразование Фурье...................................................... 1219 15.9.1. Ограничения и недостатки преобразования Фурье ......................... 1219 15.9.2. Кратковременное (оконное) преобразование Фурье ....................... 1220 15.9.3. Функции оконного спектрального анализа в пакете Signal Processing СКМ Mathcad.................................................................... 1221 15.9.4. Спектральный анализ с помощью функций CFFT и pspectrum ......... 1222 15.9.5. Спектры на основе оконного преобразования Фурье ...................... 1222 Глава 16. Вейвлеты и вейвлетпреобразования ................ 1225 16.1. Пример вейвлетпреобразований с применением вейвлета Хаара ............................................................................................ 1226 16.2. Прямое вейвлетпреобразование ................................................... 1228 16.3. Вейвлетспектрограммы ................................................................... 1231 16.4. Обратное непрерывное вейвлетпреобразование ........................ 1233 16.5. Примеры вейвлетпреобразований в СКМ Mathcad ...................... 1236 16.6. Средства СКМ для вейвлетпреобразований................................. 1238 Список литературы .............................................................................. 1241 Предметный указатель ...................................................................... 1249
Содержание 28 Содержание 29 15.2. Моделирование динамических физических задач......................... 1144 15.2.1. Расчет траектории камня с учетом сопротивления воздуха ............. 1144 15.2.2. Движение частицы в магнитном поле .............................................. 1147 15.2.3. Разделение изотопов....................................................................... 1150 15.2.4. Моделирование рассеивания альфачастиц .................................... 1152 15.3. Моделирование и расчет электронных схем .................................. 1154 15.3.1. Нужно ли применять Maple для моделирования и расчета электронных схем? ...................................................................................... 1154 13.3.2. Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов ................................................................................................... 1155 15.3.3. Малосигнальный анализ фильтраусилителя на операционном усилителе ....................................................................... 1157 15.3.4. Проектирование цифрового фильтра .............................................. 1160 15.3.5. Моделирование цепи на туннельном диоде ..................................... 1165 15.3.6. Моделирование детектора амплитудномодулированного сигнала .... 1167 15.4. Моделирование систем с заданными граничными условиями .... 1169 15.4.1. Распределение температуры стержня с запрессованными концами ....................................................................... 1169 15.4.2. Моделирование колебаний струны, зажатой на концах ................... 1170 15.5. Моделирование в системе Maple + MATLAB ................................... 1174 15.5.1. Выделение сигнала на фоне шумов ................................................. 1174 15.5.2. Моделирование линейного осциллятора ......................................... 1175 15.6. Моделирование RLCцепи с применением Mapletsинтерфейса ................................................................................... 1177 15.6.1. Подготовка процедуры моделирования и тестового примера ......... 1177 15.6.2. Подготовка окна Mapletsинтерфейса ............................................. 1178 15.6.3. Организация связи между процедурой моделирования и Mapletsинтерфейсом .............................................................................. 1179 15.6.4. Моделирование RLCцепи в окне Mapletsинтерфейса ................... 1179 15.7. Инженерные методы спектрального анализа в СКМ Mathematica 4/5................................................................................ 1182 15.7.1. Метод пяти ординат ......................................................................... 1182 15.7.2. Спектральный анализ методом Берга .............................................. 1186 15.7.3. Задание сигналов различной формы ............................................... 1190 15.7.4. Спектральный анализ и синтез сигналов ......................................... 1194 15.7.5. Дискретный Фурьеанализ и спектр периодических функций ......... 1196 15.7.6. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) ........................................... 1197 15.7.7. Спектральный синтез сигналов средствами Mathematica 4/5 .......... 1197 15.7.8. Спектральный анализ и синтез сигналов, заданных аналитически .. 1201 15.7.9. Цифровая фильтрация зашумленного сигнала ................................ 1202 15.7.10. Спектральный анализ и синтез сигналов с линейной интерполяцией между узлами .................................................. 1204 15.8. Специальные вопросы спектрального анализа и синтеза ............ 1209 15.8.1. Функции БПФ системы Mathcad 12 .................................................. 1209 15.8.2. Примеры выполнения БПФ в Mathcad 12 ......................................... 1211 15.8.3. Альтернативные преобразования Фурье ......................................... 1213 15.8.4. Эффект Гиббса ................................................................................ 1214 15.8.5. Способы подавления эффекта Гиббса ............................................. 1216 15.8.6. Восстановление сигнала по базису Котельникова ........................... 1218 15.9. Оконное преобразование Фурье...................................................... 1219 15.9.1. Ограничения и недостатки преобразования Фурье ......................... 1219 15.9.2. Кратковременное (оконное) преобразование Фурье ....................... 1220 15.9.3. Функции оконного спектрального анализа в пакете Signal Processing СКМ Mathcad.................................................................... 1221 15.9.4. Спектральный анализ с помощью функций CFFT и pspectrum ......... 1222 15.9.5. Спектры на основе оконного преобразования Фурье ...................... 1222 Глава 16. Вейвлеты и вейвлетпреобразования ................ 1225 16.1. Пример вейвлетпреобразований с применением вейвлета Хаара ............................................................................................ 1226 16.2. Прямое вейвлетпреобразование ................................................... 1228 16.3. Вейвлетспектрограммы ................................................................... 1231 16.4. Обратное непрерывное вейвлетпреобразование ........................ 1233 16.5. Примеры вейвлетпреобразований в СКМ Mathcad ...................... 1236 16.6. Средства СКМ для вейвлетпреобразований................................. 1238 Список литературы .............................................................................. 1241 Предметный указатель ...................................................................... 1249
Введение В конце XX в. возникло и получило бурное развитие новое фундаментальное на учное направление – компьютерная математика [1–8], которое зародилось на стыке математики и информатики. Это направление ныне достойно представлено на аппаратном уровне новейшими научными микрокалькуляторами [15] с встро енными системами компьютерной математики, сигнальными, звуковыми и ви деопроцессорами, математическими сопроцессорами (ныне интегрированными с микропроцессорами компьютеров), цифровыми измерительными приборами и многими другими устройствами. Но основным продуктом компьютерной матема тики стали программные системы компьютерной математики – СКМ, в частно сти системы компьютерной алгебры – СКА. Следует отметить, что в современной мировой литературе [3–12] имеются раз ночтения в отношении термина «компьютерная математика». Иногда этот термин отождествляется с математикой, которая преподается студентам специальности «информатика». Естественно, что в книгах, посвященных этому направлению компьютерной математики, излагаются в сущности основы обычной фундамен тальной математики, приправленные отдельными материалами, представляю щими интерес для разработчиков вычислительных устройств и программных средств [9–12]. Однако примерно с четверть века назад стало ясно, что компьютеры, при соот ветствующем особом алгоритмическом, математическом и программном обеспе чении [3–8], способны решать не только численные, но и аналитические задачи, представляя результаты в виде математических формул. Первыми были задачи, относящиеся к алгебре как к наиболее формализованной и продвинутой области математики. Данное направление возникло заметно раньше, чем появились коммерческие СКМ (в начале 80х гг. XX в.). Первые работы в области компьютерной алгебры (КоАл) были выполнены еще в 60–70х гг. прошлого века в ряде ведущих матема тических школ бывшего СССР. Из них особо следует отметить научную школу советского академика В. А. Глушкова, создавшую первые в мире малые ЭВМ се рии «Мир» и язык для таких вычислений «Аналитик» [3]. На этих ЭВМ выполня лись достаточно сложные аналитические вычисления. К сожалению, в СССР дан ные разработки в должной мере не были поддержаны, и последующее развитие этого направления компьютерной математики получило развитие уже за рубежом в виде СКМ. Побудительным мотивом в подготовке данной книги стали наметившиеся мотивы интеграции различных СКМ друг с другом и решения задач в ряде СКА и СКМ. Можно привести массу таких примеров. Например, система Derive вошла в массовые микрокалькуляторы фирмы Texas Instruments, превратив их из элект ронных арифмометров для подсчета стоимости покупок в миниатюрные устрой
Введение В конце XX в. возникло и получило бурное развитие новое фундаментальное на учное направление – компьютерная математика [1–8], которое зародилось на стыке математики и информатики. Это направление ныне достойно представлено на аппаратном уровне новейшими научными микрокалькуляторами [15] с встро енными системами компьютерной математики, сигнальными, звуковыми и ви деопроцессорами, математическими сопроцессорами (ныне интегрированными с микропроцессорами компьютеров), цифровыми измерительными приборами и многими другими устройствами. Но основным продуктом компьютерной матема тики стали программные системы компьютерной математики – СКМ, в частно сти системы компьютерной алгебры – СКА. Следует отметить, что в современной мировой литературе [3–12] имеются раз ночтения в отношении термина «компьютерная математика». Иногда этот термин отождествляется с математикой, которая преподается студентам специальности «информатика». Естественно, что в книгах, посвященных этому направлению компьютерной математики, излагаются в сущности основы обычной фундамен тальной математики, приправленные отдельными материалами, представляю щими интерес для разработчиков вычислительных устройств и программных средств [9–12]. Однако примерно с четверть века назад стало ясно, что компьютеры, при соот ветствующем особом алгоритмическом, математическом и программном обеспе чении [3–8], способны решать не только численные, но и аналитические задачи, представляя результаты в виде математических формул. Первыми были задачи, относящиеся к алгебре как к наиболее формализованной и продвинутой области математики. Данное направление возникло заметно раньше, чем появились коммерческие СКМ (в начале 80х гг. XX в.). Первые работы в области компьютерной алгебры (КоАл) были выполнены еще в 60–70х гг. прошлого века в ряде ведущих матема тических школ бывшего СССР. Из них особо следует отметить научную школу советского академика В. А. Глушкова, создавшую первые в мире малые ЭВМ се рии «Мир» и язык для таких вычислений «Аналитик» [3]. На этих ЭВМ выполня лись достаточно сложные аналитические вычисления. К сожалению, в СССР дан ные разработки в должной мере не были поддержаны, и последующее развитие этого направления компьютерной математики получило развитие уже за рубежом в виде СКМ. Побудительным мотивом в подготовке данной книги стали наметившиеся мотивы интеграции различных СКМ друг с другом и решения задач в ряде СКА и СКМ. Можно привести массу таких примеров. Например, система Derive вошла в массовые микрокалькуляторы фирмы Texas Instruments, превратив их из элект ронных арифмометров для подсчета стоимости покупок в миниатюрные устрой
Введение 32 Введение 33 логии». Многие, заметно обновленные и дополненные материалы книги [68] во шли в данную энциклопедию. Системы Maple уже много лет лидируют в области символьных вычислений и имеют единственного очень серьезного конкурента в лице СКМ Mathematica [78–85], изначально созданной также как СКА. Широкое распространение у нас и во всем мире получили версии Mathematica 4/5 этой системы. Новейшая версия данной системы Mathematica 6 [170] представлена на сайте разработчика систе мы– корпорации Wolfram Research, Inc. (www.wolfram.com). Она вышла в мае 2007 г. Ныне это явный лидер среди универсальных СКМ. Корпорация Wolfram Research, Inc. была создана ее создателем и нынешним руководителем Степфаном Вольфрамом. Им написана огромная книга [85], во шедшая в справочную базу данных по системе Mathematica. В 2000 г. автор дан ной книги прошел стажировку в корпорации Wolfram Research, Inc. (рис. 0.2) и детально познакомился с разработками системы Mathematica. Ее версиям 5.1/5.2 и особенно новейшей и поистине революционной версии Mathematica 6 в данной энциклопедии уделено должное место. Корпорация Wolfram Research, Inc. уделяет огромное внимание развитию средств компьютерной математики, размещая документацию по ним в Интернете. Так, Рис. 0.1. Русскоязычные книги автора по системе Maple на сайте ее разработчика ства для сложнейших научнотехнических расчетов, в том числе аналитических. Ядро мощной СКА Maple вошло в состав популярной СКМ Mathcad и мощной матричной системы MATLAB, превратив их в универсальные СКМ. Новейшая Mathcad 14 использует уже ядро от системы MuPAD. Можно привести ряд и дру гих таких примеров, например интеграции систем Maple с системами Mathema tica и MATLAB. Они показывают, что пользователи систем компьютерной мате матики уже не могут замыкаться на использовании какойлибо одной системы и должны владеть навыками применения нескольких систем. Происходит явная интеграция различных систем СКА. В то же время литературы, проводящей этот тезис в жизнь, пока нет – исключением была давно выпущенная и распроданная книга [1]. Наиболее известными средствами компьютерной математики стали ее про граммные средства – СКМ [21–121]. Первое время такие системы решали раз личные задачи только в численном виде. Это были табличные процессоры, такие как нынешний Excel, и всевозможные программные калькуляторы, например та кие, как Eureka и Mercury [25, 26]. Отдельным направлением были программы для статистических вычислений, например Statistica [119, 120]. Но постепенно были созданы неизмеримо более мощные системы, способные решать математи ческие задачи в символьном (аналитическом) виде, представляя результаты в виде математических формул. Важными в СКМ всегда были графическая и чис ленная визуализации таких вычислений. Известно, что аналитические решения математических задач, если они воз можны, имеют более общий характер, чем численные решения. Поэтому для боль шинства задач науки и техники, как правило, весьма желательно решение в анали тическом виде, а лишь затем интерпретация и визуализация решений в более частном, численном или графическом виде. Нередко удается оптимизировать численное решение сложных задач, получив его вначале в аналитическом виде, а затем уже использовать возможности численного решения и его графической визуализации. На этом построена, например, оптимизация задач в популярной системе Mathcad [36–62]. Но, как правило, аналитические, численные и графи ческие средства применяются совместно. В результате разница между СКА и СКМ стала условной, и все современные СКА стали универсальными СКМ. Это наглядно подтверждает материал данной книги. Достойным представителем систем компьютерной алгебры стали системы Maple [63–77, 198–200], изначально созданные в университетских кругах. С возможностя ми новейшей системы Maple 12 можно познакомиться на сайте производителя этой системы, корпорации Waterloo Maple, Inc. (Канада) – www.maplesoft.com. По данным крупной поисковой системы Google, число ссылок на Maple в Интернете самое большое и достигает более 60 миллионов. По системе Maple выпущены многие сотни книг, и среди них есть русскоязыч ные книги автора – рис. 0.1. Книга [68], завершившая серию книг по различным версиям системы Maple [63–68], сделала автора победителем всероссийского кон курса «Лучшая научная книга 2006», проводимого Фондом развития отечествен ного образования (www.fondro.sochi.ru), в номинации «Информационные техно
Введение 32 Введение 33 логии». Многие, заметно обновленные и дополненные материалы книги [68] во шли в данную энциклопедию. Системы Maple уже много лет лидируют в области символьных вычислений и имеют единственного очень серьезного конкурента в лице СКМ Mathematica [78–85], изначально созданной также как СКА. Широкое распространение у нас и во всем мире получили версии Mathematica 4/5 этой системы. Новейшая версия данной системы Mathematica 6 [170] представлена на сайте разработчика систе мы– корпорации Wolfram Research, Inc. (www.wolfram.com). Она вышла в мае 2007 г. Ныне это явный лидер среди универсальных СКМ. Корпорация Wolfram Research, Inc. была создана ее создателем и нынешним руководителем Степфаном Вольфрамом. Им написана огромная книга [85], во шедшая в справочную базу данных по системе Mathematica. В 2000 г. автор дан ной книги прошел стажировку в корпорации Wolfram Research, Inc. (рис. 0.2) и детально познакомился с разработками системы Mathematica. Ее версиям 5.1/5.2 и особенно новейшей и поистине революционной версии Mathematica 6 в данной энциклопедии уделено должное место. Корпорация Wolfram Research, Inc. уделяет огромное внимание развитию средств компьютерной математики, размещая документацию по ним в Интернете. Так, Рис. 0.1. Русскоязычные книги автора по системе Maple на сайте ее разработчика ства для сложнейших научнотехнических расчетов, в том числе аналитических. Ядро мощной СКА Maple вошло в состав популярной СКМ Mathcad и мощной матричной системы MATLAB, превратив их в универсальные СКМ. Новейшая Mathcad 14 использует уже ядро от системы MuPAD. Можно привести ряд и дру гих таких примеров, например интеграции систем Maple с системами Mathema tica и MATLAB. Они показывают, что пользователи систем компьютерной мате матики уже не могут замыкаться на использовании какойлибо одной системы и должны владеть навыками применения нескольких систем. Происходит явная интеграция различных систем СКА. В то же время литературы, проводящей этот тезис в жизнь, пока нет – исключением была давно выпущенная и распроданная книга [1]. Наиболее известными средствами компьютерной математики стали ее про граммные средства – СКМ [21–121]. Первое время такие системы решали раз личные задачи только в численном виде. Это были табличные процессоры, такие как нынешний Excel, и всевозможные программные калькуляторы, например та кие, как Eureka и Mercury [25, 26]. Отдельным направлением были программы для статистических вычислений, например Statistica [119, 120]. Но постепенно были созданы неизмеримо более мощные системы, способные решать математи ческие задачи в символьном (аналитическом) виде, представляя результаты в виде математических формул. Важными в СКМ всегда были графическая и чис ленная визуализации таких вычислений. Известно, что аналитические решения математических задач, если они воз можны, имеют более общий характер, чем численные решения. Поэтому для боль шинства задач науки и техники, как правило, весьма желательно решение в анали тическом виде, а лишь затем интерпретация и визуализация решений в более частном, численном или графическом виде. Нередко удается оптимизировать численное решение сложных задач, получив его вначале в аналитическом виде, а затем уже использовать возможности численного решения и его графической визуализации. На этом построена, например, оптимизация задач в популярной системе Mathcad [36–62]. Но, как правило, аналитические, численные и графи ческие средства применяются совместно. В результате разница между СКА и СКМ стала условной, и все современные СКА стали универсальными СКМ. Это наглядно подтверждает материал данной книги. Достойным представителем систем компьютерной алгебры стали системы Maple [63–77, 198–200], изначально созданные в университетских кругах. С возможностя ми новейшей системы Maple 12 можно познакомиться на сайте производителя этой системы, корпорации Waterloo Maple, Inc. (Канада) – www.maplesoft.com. По данным крупной поисковой системы Google, число ссылок на Maple в Интернете самое большое и достигает более 60 миллионов. По системе Maple выпущены многие сотни книг, и среди них есть русскоязыч ные книги автора – рис. 0.1. Книга [68], завершившая серию книг по различным версиям системы Maple [63–68], сделала автора победителем всероссийского кон курса «Лучшая научная книга 2006», проводимого Фондом развития отечествен ного образования (www.fondro.sochi.ru), в номинации «Информационные техно
Введение 34 Введение 35 автоматического проектирования. Новейшая Mathcad 14 выпускается уже от ее имени и использует ядро символьных операций от системы MuPAD (см. www.tpc.com). Одной из первых СКА стала система Derive небольшой фирмы SoftWarehous, Inc. (США) [86–95]. Система отличалась поразительной компактностью благода ря ее реализации на языке искусственного интеллекта muLISP – версии известно го языка LISP [96]. Благодаря этому на Derive «положила глаз» могущественная и огромная корпорация Texas Instruments (США), которая наряду с огромным числом выпускаемых измерительных приборов имеет свое микроэлектронное производство специализированных микросхем, обычных и сигнальных микро процессоров и микрокалькуляторов. В итоге фирма SoftWarehous, Inc. влилась в Texas Instruments, и последние версии Derive анонсировались от имени послед ней. Результатом этого слияния стали первые в мире уникальные научные графи ческие микрокалькуляторы фирмы Texas Instruments с встроенной СКА на основе системы Derive [16]. Так впервые СКА попали в hardware миниатюрных вычислительных устройств – микрокалькуляторов [1, 15]. Нынешние версии Derive 5/6 для персональных компьютеров – это довольно мощные СКА со своим ядром символьных операций и довольно эффектными средствами графической визуализации вычислений. На интернетпортале Google по Derive имеется 22,7 миллиона ссылок. Но Derive попрежнему ориентирована на сферу образования и по вычислительной мощности не сопоставима с такими системами, как Maple, Mathematica и Mathcad. Достойно с Derive конкурируют системы MuPAD, созданные в Германии (ныне на рынке их представляет компания Sci Face Software) [1, 97]. Для этих «легкоатлетов» характерны сравнительно невысокие требования к аппаратным ресурсам ПК и направленность на применение в образовании. Как уже отмеча лось, ядро системы MuPAD используется в последней версии системы Mathcad 14, и никаких принципиальных ухудшений в возможностях последней не замечено. Последняя версия MuPAD 4.0.6 имеет установочный файл более 100 Мбайт и мо жет использоваться на ряде компьютерных платформ. Ее можно скачать с интер нетсайта www.sciface.com разработчика системы. В реализации численных методов вычислений и математического моделирова ния бесспорным лидером стали матричные системы класса MATLAB+Simulink [98–118], созданные крупной корпорацией The MathWorks. (www.mathworks.com). Это подлинные мастодонты среди СКМ – последняя версия MATLAB R2008a со всеми пакетами расширения занимает на жестком диске ПК объем памяти около 4 Гбайт. С MATLAB поставляется до сотни пакетов расширения по наиболее важ ным областям науки и техники. Многие пакеты созданы независимыми фирмами. Документация этой системы насчитывает многие десятки тысяч страниц. По СКМ MATLAB подготовлено множество книг, например [98–118]. На ин тернетсайте этой системы сообщается о выпуске по ней более 1000 книг на раз ных языках, в том числе и на русском. Среди них свыше десятка книг автора и его коллег. Объем и направленность данной книги не позволяют детально описать СКМ MATLAB. Отмечены лишь ее возможности в области символьных вычисле под руководством нашего соотечественника, уехавшего в США, Олега Маричева создана интернетстраница по специальным математическим функциям, прави лам их преобразований и визуализации. На этой странице размещено более ста тысяч формул и примеров их визуализации, связанных со специальными матема тическими функциями, и более десяти тысяч разделов по ним с рисунками. Эти данные весьма показательно свидетельствуют о мощи ядра символьных вычисле ний системы Mathematica. И их объем постоянно возрастает из месяца в месяц. Другой масштабный проект World’s of Science (Мир науки) создан одним из ведущих математиков компании Эриком Вэйштейном. В него вошли материалы его крупной энциклопедии Mathworld, существующей в виде огромной книги и в электронном виде. Размещение описаний алгоритмов математических вычисле ний для СКМ в Интернете снимает ограничения на объем документации по таким вычислениям и делает их общедоступными. Фундаментальные справочники по системе Mathematica с общим объемом свыше 5000 стр. написаны другим круп ным математиком фирмы – Михаилом Троттом [182–185]. Широкую популярность, особенно у нас в России, получили СКМ класса Mathcad [36–62]. Вплоть до версии Mathcad 13 они создавались корпорацией MathSoft Engineering&Education и содержали ядро символьных операций систе мы Maple. Но недавно MathSoft Educations влилась в крупную корпорацию Para metric Technology Corporation (PTC), занятую разработкой и внедрением систем Рис. 0.2. Автор данной книги Владимир Дьяконов (в центре) с главой фирмы Wolfram Research, Inc. Степфаном Вольфрамом (справа) и одним из ведущих менеджеров Рогером Гермундсоном (слева) на международной конференции по MathML (США)
Введение 34 Введение 35 автоматического проектирования. Новейшая Mathcad 14 выпускается уже от ее имени и использует ядро символьных операций от системы MuPAD (см. www.tpc.com). Одной из первых СКА стала система Derive небольшой фирмы SoftWarehous, Inc. (США) [86–95]. Система отличалась поразительной компактностью благода ря ее реализации на языке искусственного интеллекта muLISP – версии известно го языка LISP [96]. Благодаря этому на Derive «положила глаз» могущественная и огромная корпорация Texas Instruments (США), которая наряду с огромным числом выпускаемых измерительных приборов имеет свое микроэлектронное производство специализированных микросхем, обычных и сигнальных микро процессоров и микрокалькуляторов. В итоге фирма SoftWarehous, Inc. влилась в Texas Instruments, и последние версии Derive анонсировались от имени послед ней. Результатом этого слияния стали первые в мире уникальные научные графи ческие микрокалькуляторы фирмы Texas Instruments с встроенной СКА на основе системы Derive [16]. Так впервые СКА попали в hardware миниатюрных вычислительных устройств – микрокалькуляторов [1, 15]. Нынешние версии Derive 5/6 для персональных компьютеров – это довольно мощные СКА со своим ядром символьных операций и довольно эффектными средствами графической визуализации вычислений. На интернетпортале Google по Derive имеется 22,7 миллиона ссылок. Но Derive попрежнему ориентирована на сферу образования и по вычислительной мощности не сопоставима с такими системами, как Maple, Mathematica и Mathcad. Достойно с Derive конкурируют системы MuPAD, созданные в Германии (ныне на рынке их представляет компания Sci Face Software) [1, 97]. Для этих «легкоатлетов» характерны сравнительно невысокие требования к аппаратным ресурсам ПК и направленность на применение в образовании. Как уже отмеча лось, ядро системы MuPAD используется в последней версии системы Mathcad 14, и никаких принципиальных ухудшений в возможностях последней не замечено. Последняя версия MuPAD 4.0.6 имеет установочный файл более 100 Мбайт и мо жет использоваться на ряде компьютерных платформ. Ее можно скачать с интер нетсайта www.sciface.com разработчика системы. В реализации численных методов вычислений и математического моделирова ния бесспорным лидером стали матричные системы класса MATLAB+Simulink [98–118], созданные крупной корпорацией The MathWorks. (www.mathworks.com). Это подлинные мастодонты среди СКМ – последняя версия MATLAB R2008a со всеми пакетами расширения занимает на жестком диске ПК объем памяти около 4 Гбайт. С MATLAB поставляется до сотни пакетов расширения по наиболее важ ным областям науки и техники. Многие пакеты созданы независимыми фирмами. Документация этой системы насчитывает многие десятки тысяч страниц. По СКМ MATLAB подготовлено множество книг, например [98–118]. На ин тернетсайте этой системы сообщается о выпуске по ней более 1000 книг на раз ных языках, в том числе и на русском. Среди них свыше десятка книг автора и его коллег. Объем и направленность данной книги не позволяют детально описать СКМ MATLAB. Отмечены лишь ее возможности в области символьных вычисле под руководством нашего соотечественника, уехавшего в США, Олега Маричева создана интернетстраница по специальным математическим функциям, прави лам их преобразований и визуализации. На этой странице размещено более ста тысяч формул и примеров их визуализации, связанных со специальными матема тическими функциями, и более десяти тысяч разделов по ним с рисунками. Эти данные весьма показательно свидетельствуют о мощи ядра символьных вычисле ний системы Mathematica. И их объем постоянно возрастает из месяца в месяц. Другой масштабный проект World’s of Science (Мир науки) создан одним из ведущих математиков компании Эриком Вэйштейном. В него вошли материалы его крупной энциклопедии Mathworld, существующей в виде огромной книги и в электронном виде. Размещение описаний алгоритмов математических вычисле ний для СКМ в Интернете снимает ограничения на объем документации по таким вычислениям и делает их общедоступными. Фундаментальные справочники по системе Mathematica с общим объемом свыше 5000 стр. написаны другим круп ным математиком фирмы – Михаилом Троттом [182–185]. Широкую популярность, особенно у нас в России, получили СКМ класса Mathcad [36–62]. Вплоть до версии Mathcad 13 они создавались корпорацией MathSoft Engineering&Education и содержали ядро символьных операций систе мы Maple. Но недавно MathSoft Educations влилась в крупную корпорацию Para metric Technology Corporation (PTC), занятую разработкой и внедрением систем Рис. 0.2. Автор данной книги Владимир Дьяконов (в центре) с главой фирмы Wolfram Research, Inc. Степфаном Вольфрамом (справа) и одним из ведущих менеджеров Рогером Гермундсоном (слева) на международной конференции по MathML (США)
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.