В.П. КРАЙНОВ

ЛЕКЦИИ ПО ИЗБРАННЫМ 
ПРОБЛЕМАМ МЕХАНИКИ 
СПЛОШНЫХ СРЕД

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Â.Ï. Êðàéíîâ
Ëåêöèè ïî èçáðàííûì ïðîáëåìàì ìåõàíèêè ñïëîøíûõ
ñðåä: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Â.Ï. Êðàéíîâ – Äîëãîïðóäíûé:
Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2014. – 120 ñ.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîñâÿùåíî àíàëèòè÷åñêèì è ïðèáëèæåííûì ìå-
òîäàì îïèñàíèÿ ðàçëè÷íûõ ðàçäåëîâ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä. Áîëü-
øîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé è êà÷åñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè
òåîðèè.
Îáùèé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû, çíàÿ îòâåò
äëÿ äàííîé ôèçè÷åñêîé çàäà÷è èíòóèòèâíî èëè èç ýêñïåðèìåíòàëü-
íûõ äàííûõ, ðàçâèòü ìàòåìàòè÷åñêèé ìåòîä ïîëó÷åíèÿ äàííîãî îòâå-
òà, ôîðìóëèðóÿ óðàâíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà íà îñ-
íîâå áîëåå îáùèõ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ èëè ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèìè,
óæå ðåøåííûìè, ïðîáëåìàìè. Ðàçâèòûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò ïðàâèëüíî
îöåíèòü ïîðÿäêè ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí â ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ è íåëè-
íåéíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññàõ.
Ðàññìîòðåíû ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ ïðè âîëíîâîì äâèæåíèè â ãàçàõ
è æèäêîñòÿõ, äàí ïðîñòîé àíàëèç ñöåíàðèÿ âîçíèêíîâåíèÿ òóðáóëåíò-
íîãî òå÷åíèÿ ÷åðåç óäâîåíèå ïåðèîäîâ âèõðåé, ñöåíàðèÿ îáðàçîâàíèÿ
âèõðåé, ÿâëåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî õàîñà â ìåõàíè÷åñêèõ è ãèäðîäèíà-
ìè÷åñêèõ çàäà÷àõ.  Ïðèâåäåíû ñòðóêòóðû ôðîíòà óäàðíûõ âîëí è âîëí
ðàçðåæåíèÿ, ÿâëåíèÿ îïðîêèäûâàíèÿ âîëí, ðàçîáðàíî òå÷åíèå ÷åðåç
ïîðèñòûå ñðåäû. Äàíî ïîëóêîëè÷åñòâåííîå îïèñàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ
ïëîòíîñòè è äàâëåíèÿ âîçäóõà ïðè ñèëüíîì âçðûâå. Àíàëèçèðóåòñÿ
ñàìîîðãàíèçàöèÿ â ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñðåäå. Áîëüøîå âíèìàíèå óäå-
ëÿåòñÿ ðàñïðîñòðàíåíèþ çâóêà â æèäêîñòè, â äâóõôàçíûõ ñðåäàõ, â
ïîäâîäíîì êàíàëå îêåàíà, à òàêæå ðàññåÿíèþ çâóêà íà ìàëûõ îáúåêòàõ.
Ðåøåíû íåñêîëüêî çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ôàçîâûì ðàâíîâåñèåì æèäêîñòè
è ïàðà.
Äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ, àñïèðàíòîâ, ïðåïîäàâàòåëåé ôèçè-
÷åñêèõ è èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ
â îáëàñòè ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä.

ISBN 978-5-91559-181-2

ISBN 978-5-91559-181-2

© 2014, Â.Ï. Êðàéíîâ
© 2014, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Л е к ц и я 1.
Игра: орел–решка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Л е к ц и я 2.
Оценка просачивания воды через песок . . . . . . . . .
9
Л е к ц и я 3.
Вращательная диффузия молекул в собственном газе
12
Л е к ц и я 4.
Плотность воздуха внутри области взрыва . . . . . . .
14
Л е к ц и я 5.
Давление воздуха внутри области взрыва . . . . . . . .
19
Л е к ц и я 6.
Распространение волны разрежения в воздухе . . . . .
21
Л е к ц и я 7.
Слабая ударная волна в воздухе . . . . . . . . . . . . . . .
31
Л е к ц и я 8.
Распространение мощных уединенных волн
по поверхности воды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Л е к ц и я 9.
Процесс опрокидывания волны на воде . . . . . . . . . .
47
Л е к ц и я 10. Образование стационарных вихрей в воздухе при
движении тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Л е к ц и я 11. Образование вихрей в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Л е к ц и я 12. Самоорганизация в гидродинамической среде . . . . .
72
Л е к ц и я 13. Распространение звука в океане по звуковому каналу
82
Л е к ц и я 14. Динамический хаос при распространении звука
в океане . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Л е к ц и я 15. Оценка скорости звука в жидкости . . . . . . . . . . . . .
99
Л е к ц и я 16. Рассеяние звуковой волны в воздухе на теле малого
радиуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
Л е к ц и я 17. Фазовое равновесие жидкости с ее насыщенным
паром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
Л е к ц и я 18. Теплоемкости вблизи критической точки . . . . . . . . .
110
Л е к ц и я 19. Скорость звука в модели Ван-дер-Ваальса . . . . . . . .
113
Л е к ц и я 20. Оценка скорости звука в кипящей воде . . . . . . . . . .
115

ПРЕДИСЛОВИЕ

Это учебное пособие, в основу которой положен курс лек-
ций по гидродинамике, читаемый автором в МФТИ по выбору для сту-
дентов 5-го курса различных специальностей, ставит своей целью углу-
бить знания изучающих этот предмет. Оно составлено в форме задач с
решениями. Учебное пособие содержит решения ряда типичных задач
гидродинамики приближенными методами. Необходимость приближен-
ных методов диктуется тем соображением, что численные расчеты, как
правило, связаны с обширными и трудоемкими компьютерными вычис-
лениями. Всегда, прежде чем обращаться к таким вычислениями, це-
лесообразно произвести качественные и приближенные оценки резуль-
татов, которые вообще не требуют привлечения компьютеров и не тре-
буют знания сложных специальных функций математической физики.
Приближенные оценки позволяют правильно оценить порядки физи-
ческих величин, получающиеся при решении задач, а также довольно
часто позволяют упростить сами уравнения, программируемые на ком-
пьютерах, путем отбрасывания в них несущественных членов. При этом
сам факт несущественности обнаруживается лишь при использовании
приближенных методов, а заранее не очевиден.
Конечно, в гидродинамике имеется также и большое число задач, в ко-
торых приближенный подход неосуществим. В таких случаях целесооб-
разно привлекать сведения экспериментального или наглядного характера.
Для понимания материала данного учебного пособия читателю до-
статочно знать курс общей физики для студентов высших технических
учебных заведений. Что касается математических сведений, то от чи-
тателя требуется умение правильно проводить математические оценки
выражений. Например, если имеется простая функция вида

f(x) =
1

x + x0 ,

Предисловие
5

то производная этой функции оценивается в области x ≪ x0 как f/x0, а
в области x ≫ x0 как f/x. При отсутствии явного математического вы-
ражения вида функции производная оценивается, исходя из наглядных
представлений о виде функции. Например, производная df/dx может
быть приближенно аппроксимирована как f/x или x/f в зависимости от
характера физического объекта, которому сопоставляется эта функция.
На первый взгляд, кажется, что основой большинства решений мо-
жет служить метод размерностей. В действительности, в большинстве
задач имеются безразмерные комбинации из физических параметров,
определяющих требуемый результат, так что главная проблема всегда
заключается в том, чтобы найти, как входят в ответ эти безразмерные
величины. Эта проблема решается путем привлечения соображений фи-
зической интуиции, законов сохранения и аналогий с ходом решения
других задач.
В гидродинамике широко распространен метод автомодельных ре-
шений. Это позволяет определить динамику изменения всех интересу-
ющих величин со временем, оставляя неизвестными только постоянные
множители в решениях. В других аналогичных задачах приближенное
решение может быть не столь детальным как точное. Например, если
сильный точечный взрыв происходит не в воздухе, а в пористой среде
с высокой степенью пористости, то часть энергии взрыва переходит в
теплоту, а часть в кинетическую энергию захваченного взрывом грунта.
При этом из общих соображений удается определить лишь связь между
скоростью фронта и массой вещества, захватываемого ударной волной.
Основная сложность уравнений гидродинамики заключается в нели-
нейном по скорости члене в уравнении Навье–Стокса. С точки зрения
качественного подхода переход от ламинарного режима течения к тур-
булентному течению должен был бы происходить при числах Рейнольд-
са порядка единицы. Однако экспериментально известно, что, напри-
мер, при течении в трубах критическое число Рейнольдса составляет
несколько тысяч. В линейных дифференциальных уравнениях с коэф-
фициентами порядка единицы и при начальных условиях на безразмер-
ные комбинации участвующих физических величин порядка единицы
решение этих уравнении также всегда порядка единицы. Таким обра-
зом, все дело в нелинейности уравнений гидродинамики и большом чи-
сле самих уравнений, в которых зачастую надо учитывать и уравнение
теплопроводности и т. п.
Из сказанного следует, что приближенные методы все же требуют
привлечения экспериментальных данных, чтобы в их выводы можно
было поверить. Это связано с весьма сложным характером решений
нелинейных уравнений Навье–Стокса — только из вида самих уравне-
ний не удается угадать основные черты решения, которые сами по себе

Предисловие

не являются сложными. В процессе приближенного решения задач ча-
сто предварительно используется предполагаемый вид ответа, который
далее подтверждается задним числом.
Отбор материала для этого пособия, разумеется, включает лишь
малую часть задач гидродинамики в целях иллюстрации типичных под-
ходов к решениям. Ряд других задач рассматривается в книге автора:
Крайнов В. П. Качественные методы в физической кинетике и гидрога-
зодинамике. М.: Высшая Школа, 1989. 224 с, где акцент делается не на
приближенных, а просто на качественных подходах.

Л Е К Ц И Я
1

ИГРА: ОРЕЛ–РЕШКА

Эта вводная задача нацелена не на методы динамики, а на
развитие интеллекта у студента, способствующего пониманию следую-
щих задач. В этой азартной игре на деньги много раз бросается монета
и каждый раз выпадает орел или решка. Вам предложил поиграть в нее
жулик. Вы договариваетесь с жуликом все время ставить, например,
на орла, т. е. каждый раз получаете один рубль, если выпадает орел, и
отдаете один рубль, если выпадает решка. Жулик тогда, разумеется,
подбирает из своих запасов такую монету, которая из-за небольшой
неровности (например, малозаметной выпуклости), чуть-чуть чаще па-
дает на решку, чем на орла. Вероятности выпадения орла и решки
обозначим соответственно

p1 = 1 − a

2
;
p2 = 1 + a

2
;
0 < a ≪ 1.

Мой средний выигрыш за N ≫ 1 бросаний монеты равен N(p1 −p2) = −aN
(отрицательное значение соответствует проигрышу). Среднеквадратич-
ное отклонение от этого среднего значения при гауссовом распреде-
лении вероятности (это предел биноминального распределения при
большом числе бросаний и большом среднем значении выпадения орла
или решки) вычисляется элементарно и равно (при a ≪ 1)
√

N. Итак,
выигрыш заключен в диапазоне, учитывающем флуктуации

[−aN +
√

N, −aN −
√

N].

Обе зависимости показаны на рис. 1 для примера a = 0,1.
Верхняя кривая имеет максимум при N = 1/(4a2) = 25 ≫ 1 и обра-
щается в нуль при N = 1/a2 = 100 ≫ 1. Ваша стратегия на выигрыш,
несмотря на ухищрения жулика, должна выглядеть так: Вы играете,
например, до момента N = 16. С равной вероятностью Вы попадаете на

Лекция 1. Игра: орел–решка

верхнюю или нижнюю кривые, или между ними, т. е. проигрываете в
среднем −aN = −1,6 рубль. Но есть шанс, что при этом из-за флук-
туации подряд выпадет орел N 1/2 = 4 раза (полоса выигрышей). После
этого Вы сразу прекращаете игру, имея выигрыш −aN+
√

N = 2,4 рубля.
Наиболее разумно прекращать игру на максимуме верхней кривой на
рисунке, т. е. при N = 25. Тогда максимальный выигрыш при выпадении
подряд N 1/2 = 5 орлов составит −aN +
√

N = 2,5 рубля.

Рис. 1

Если такой полосы нескольких выигрышей подряд не происходит в
эти моменты времени, то надо подождать, пока эта полоса не наступит.
При этом согласно рис. 1 суммарный выигрыш будет меньше, чем мак-
симальный, но все же будет. Однако нельзя ждать более N = 100 броса-
ний монеты. Тогда согласно рис. 1 безусловно игра будет проигранной.
Поэтому при N = 100, если полоса выигрышей из-за флуктуации не на-
ступила, то надо остановить игру — при этом Вы ничего не выиграете,
но хотя бы ничего не проиграете. Для того, чтобы определить величи-
ну a при такой стратегии Ваших действий, надо следить за начальной
стадией игры, рассчитывая свой средний проигрыш за N бросаний (до
полосы выигрышей), равный −aN, откуда Вы и находите величину a.

Л Е К Ц И Я
2

ОЦЕНКА ПРОСАЧИВАНИЯ ВОДЫ
ЧЕРЕЗ ПЕСОК

Медленное течение воды через поры в песке под действием
градиента давления — это вязкое течение Пуазейля, имеющее место
при малых числах Рейнольдса. Мы моделируем поры полыми трубоч-
ками. Пусть l — длина трубочки, r — ее характерный поперечный
размер, а δp — малая разность давлений на концах трубочки. Ско-
рость медленного течения пропорциональна градиенту давления δp/l:
это первый член разложения скорости в ряд Тейлора в уравнениях
Навье–Стокса. Подчеркнем, что скорость течения определяется именно
градиентом давления, а не разностью давлений на концах трубочки.
Коэффициент пропорциональности в этой зависимости (уже не содер-
жащий l) можно оценить из соображений размерности — он содержит
плотность воды ρ, r и кинематическую вязкость воды ν. Последняя
величина имеет размерность см2/с — она оценивается как произведение
скорости молекулы воды на длину ее свободного пробега (вязкость
среды определяется передачей импульса от одной молекулы к другой
при столкновении друг с другом). Получаем

u ∝ δp

l
r2

ρν

»
г

см2 · с2
см2

(г/см3) · (см2/с) = см

с

–
.
(2.1)

Объемный расход жидкости через одну трубочку оценивается как

q ∝ ur2 ∝ δp

l
r4

ρν .
(2.2)

Если трубочка имеет цилиндрическую форму радиуса r, то численный
коэффициент в этой зависимости равен π/8 (формула Пуазейля). Мы
видим, что коэффициент имеет порядок единицы. Этот факт является
достаточно общим утверждением: решение дифференциального урав-
нения (в данном случае, уравнения Навье–Стокса) с коэффициентами

Лекция 2. Оценка просачивания воды через песок

порядка единицы, как правило, также имеет порядок единицы. Эти соотно-
шения справедливы при малом значении безразмерного числа Рейнольдса

Re = ur

ν < 1.

Тогда можно пренебречь нелинейным слагаемым в уравнении Навье–
Стокса.
Рассмотрим параллепипед из песка длиной l и поперечным сече-
нием S. Скорость течения воды через этот параллепипед запишем в
виде, аналогичным (2.1)
u = δp

l
k
ρν .

Величина k называется коэффициентом проницаемости. Он имеет
размерность площади. Нам требуется оценить его величину. Объемный
расход воды через весь параллепипед равен (закон Дарси)

Q = δp

l
kS
ρν .
(2.3)

Это верно, если считать, что вода течет через множество трубочек,
причем течения через различные трубочки не зависят друг от друга
(лучше сказать, в лабиринте пустот в песке они редко пересекаются).
Радиус трубочки r оценим ниже.
В такой модели пористость ε (отношение объема пустот к суммар-
ному объему песчинок и пустот) можно представить в виде

ε = V′

V = S′l

Sl ∝ n′r2l

V .
(2.4)

Здесь S′ ∝ n′r2 — суммарная площадь трубочек, через которые просачи-
вается вода. Величина n′ — это число трубочек. Числовые множители
во всех оценках опускаем.
Число песчинок оценивается как

n ∝ V − V′

a3
= (1 − ε)V

a3
.
(2.5)

Площадь поверхности всех песчинок, которые омывает вода, равна a2n.
Главная идея модели состоит в том, что, с другой стороны, эта площадь
равна площади поверхности всех пустотелых трубочек, которые омы-
вает вода, т. е.
a2n ∝ n′rl!
(2.6)

Подставляя (2.4) и (2.5) в (2.6), находим

(1 − ε)V

a
∝ εV

r .

Лекция 2. Оценка просачивания воды через песок
11

Отсюда получаем оценку для радиуса каждой трубочки

r ∝
ε

1 − εa.
(2.7)

Конечно, при малой проницаемости (ε ≪ 1) радиус трубочки мал по
сравнению с размером песчинки, в соответствии с качественным пред-
ставлением о просачивании. Далее, из-за изгибов трубочки при обте-
кании песчинки длина трубочки больше длины параллепипеда l. Для
шарообразной песчинки радиуса a эта длина увеличивается в π/2 раз.
Однако при качественном подходе мы пренебрегаем всеми такими
факторами.
Объемный расход q воды через одну трубочку дается соотноше-
нием (2.2). Расход воды через все трубочки равен

Q = qn′ ∝ δp

l
r4

ρν n′.

Сравнивая эту формулу с определением (2.3), находим коэффициент
проницаемости (учитывая (2.4))

k ∝ n′r4

S
∝ S′r2

S
= εr2.

Подставляя радиус трубочки (2.7) в это соотношение, получим

k ∝
ε3

(1 − ε)2 a2.
(2.8)

Она справедлива при малом значении числа Рейнольдса

Re =
ε

(1 − ε)
ua
ν < 1.

При обычном условии ε ≪ 1 выражение (2.8) приобретает совсем про-
стой вид
k ∝ ε3a2.
(2.9)

Видно, что коэффициент проницаемости очень сильно зависит от пори-
стости среды.
Если учесть все численные множители, опущенные выше, а также
увеличение длины трубочки из-за ее изгиба при обтекании песчинок,
о котором упоминалось выше, то получим формулу Козени–Кармана

k =
ε3

45(1 − ε)2 a2.

Она хорошо согласуется с экспериментальными данными.