Специальные главы электротехники. Электротепловые поля и аналитические расчеты параметров проводников в установках электронагрева


Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




А.И. ИНКИН, А.И. АЛИФЕРОВ, А.В. БЛАНК




СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫЕ ПОЛЯ
И АНАЛИТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ ПАРАМЕТРОВ ПРОВОДНИКОВ В УСТАНОВКАХ ЭЛЕКТРОНАГРЕВА

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия










НОВОСИБИРСК

2013

УДК 621.3(075.8) И 653

Рецензенты:

В. Н Аносов, д-р техн. наук, доцент;
В.А. Хрусталев, д-р техн. наук, профессор


      Инкин А.И.
И 653 Специальные главы электротехники. Электротепловые поля и аналитические расчеты параметров проводников в установках электронагрева: учеб. пособие / А.И. Инкин, А.И. Алиферов, А.В. Бланк. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. - 156 с.

          ISBN 978-5-7782-2076-8

          В учебном пособии изложен метод каскадных эквивалентных схем замещения, базирующийся на фундаментальных законах теории электромагнитного поля и теории электрических цепей, применительно к исследованию поведения параметров электромагнитного поля и стационарного и нестационарного температурных полей в проводниках прямоугольного и круглого сечений с учетом нелинейной зависимости их свойств от температуры. Даны пояснения к тому, как реализовывать полученные аналитические модели в программном пакете MathCAD.
          Учебное пособие предназначено для закрепления знаний и умений студентов магистерской подготовки направления 140400 - «Энергетика и электротехника» программы «Автоматизированные электротех-нологические комплексы» по дисциплине «Специальные главы электротехники».
          Пособие может быть полезно студентам, аспирантам, научным работникам, занимающимся исследованием и разработкой систем токоподводов электротехнических и электротехнологических установок, а также рабочих режимов установок электроконтактного нагрева.

Работа подготовлена на кафедре автоматизированных электротехнологических установок и кафедре теоретических основ электротехники


УДК 621.3(075.8)


ISBN 978-5-7782-2076-8

                      © Инкин А.И., Алиферов А.И., Бланк А.В.,2013

                                             © Новосибирский государственный технический университет, 2013

                Оглавление





Предисловие.....................................................4
Часть I. Электромагнитные поля и каскадные Е-Н-схемы замещения проводников в установках электронагрева...................5
  1. Электромагнитные поля (основные понятия, законы, уравнения, теоремы).....................................................5
  2. Электромагнитное поле в проводниках с линейными свойствами.39
  3. Электромагнитные поля и каскадные схемы замещения проводников с нелинейными магнитными свойствами.....................58
  4. Электромагнитные поля и каскадные схемы замещения трехфазных многопроводных токоподводов..............................87
  5. Расчет электромагнитного поля в нелинейных проводниках с использованием пакета Mathcad................................108
Часть II. Температурные поля и каскадные T-Q-схемы замещения проводников в стационарных и нестационарных режимах работы....................................................119
  6. Температурное поле в неограниченной пластине с внутренним тепловыделением .............................................119
  7. Температурное поле в стержне круглого сечения с внутренним тепловыделением..............................................133
  8. Расчет температурного поля с использованием пакета Mathcad.143
Библиографический список......................................148
Приложение....................................................149

            Предисловие


   Настоящее учебное пособие преследует цель развить у молодых специалистов навыки и умения в использовании фундаментальных законов электричества и магнетизма, а также методов теории поля и теории цепей в научных исследованиях прикладного характера применительно к конкретным электротехническим устройствам.
   Пособие состоит из двух частей и восьми глав. Часть I (главы 1-5) посвящена электромагнитным расчетам проводников в установках электронагрева. В части II (главы 6-8) описываются расчеты стационарных и нестационарных температурных полей проводников с учетом нелинейной зависимости их свойств от температуры.
   В базовой главе 1 описываются основные законы классической электродинамики в виде уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах записи, а также вытекающие из них частные системы уравнений для стационарных электрических и магнитных полей. Особое внимание в этой главе уделено физической сущности поверхностных эффектов, теореме и вектору Пойнтинга как базовым физико-математическим понятиям, лежащим в основе расчетов энергетических характеристик и различных параметров электроустановок.
   Главы 2-4 посвящены анализу электромагнитных полей в объемах проводников с линейными и нелинейными магнитными свойствами на базе каскадных Е-Н-схем замещения и расчетам их комплексных сопротивлений с многочисленными вариациями исходных данных.
   В главе 5 приводится пример расчета параметров проводника при электрическом поверхностном эффекте. Расчет выполнен по каскадной Е-Н-схеме замещения с использованием известного пакета компьютерной математики Mathcad.
   В главах 6 и 7 описываются каскадные T—g-схемы замещения для расчета температурных полей в декартовой и цилиндрической системах координат. Глава 8 - пример расчета нестационарного температурного поля.

                Часть I. Электромагнитные поля и каскадные Е-Я-схемы замещения проводников в установках электронагрева




            1.            Электромагнитные поля (основные понятия, законы, уравнения, теоремы)


        1.1. Уравнения классической электродинамики (уравнения Максвелла, Г ельмгольца)

   В основе теории и методов расчета электромагнитного поля лежат фундаментальные уравнения, сформулированные Дж. Максвеллом в 1873 году [1]. Эти уравнения универсальны и всеобъемлющи, так как в них обобщены и математически строго описаны все известные к настоящему времени физические проявления электричества и магнетизма, а также взаимно обусловливающие друг друга электромагнитные процессы и волны, включая свет.
   В системе уравнений классической электродинамики базовыми являются два уравнения Максвелла.
   Первое уравнение Максвелла фактически обобщает закон полного тока, который в современном представлении в дифференциальной и интегральной формах записи имеет вид
rot Н = 8 = 8Пр+ 8пер+ 8Ст+ 8С м,   (1.1)

             |Н d = i = ₊ /пер ₊ /ст₊ /см =j ⁸ dS, ⁽¹.2⁾
             i                      s
где Н - вектор магнитной напряженности; iₙ , 8пр - ток и вектор плотности тока проводимости; iₙₑ , 8пер - ток и вектор плотности тока переноса; icт, 8СТ - сторонние ток и вектор плотности тока; icм, 8СМ -ток и вектор плотности тока смещения.


5

   Формулируется закон следующим образом: циркуляция вектора магнитной напряженности по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром.
   Из этого уравнения следует, что источниками магнитных полей Н являются электрические токи, которые могут иметь различную физическую природу.
   Из первого уравнения Максвелла вытекает следствие, которое носит название принципа непрерывности электрического тока. По правилам векторной алгебры дивергенция от ротора любой векторной величины дает тождественный нуль. Поэтому из уравнения (1.1) имеем

divrot Н = div 8 = 0                (1.3)

или в интегральной форме:

f 8 dS = 0,                     (1.4)
                            s

т.               e. поток вектора плотности тока через любую замкнутую поверхность тождественно равен нулю.
   Так как поток вектора плотности тока через замкнутую поверхность есть алгебраическая сумма токов, пронизывающих эту поверхность, выражение (1.4) представляет собой известный из теории цепей первый закон Кирхгофа. Этот закон утверждает, что алгебраическая сумма токов, пронизывающих любую замкнутую поверхность, равна нулю:
ЕI = 0.                         (1.5)

   Сторонние токи в уравнении (1.1) обусловлены электродвижущими силами (ЭДС) и напряженностями Ест неэлектрического происхождения:
8СТ = уЕст,                     (1.6)

где у - удельная электрическая проводимость среды.

   При этом f ЕсTd есть ЭДС замкнутого контура.
   При решении задач теории поля сторонние напряженности и плотности тока являются источниками поля и представляются в виде известных математических функций координат и времени.


6

   Понятие о токах смещения в диэлектриках и других непроводящих средах, включая вакуум, было введено Максвеллом в виде


в    ЭЕ 3D
⁸“ ■Е Эt ~ Эt ’

(1-7)


где в - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; Е - вектор электрической напряженности; D - вектор электрического смещения;

t - время.
   Отметим, что в электрических цепях токи в ветвях с конденсаторами своим существованием обязаны именно максвелловским токам смещения. Рассмотрим ветвь, содержащую конденсатор, и для обозначенной на рис. 1.1 замкнутой поверхности, рассекающей проводник (5П) и диэлектрик между обкладками конденсатора (5даэл), составим уравнение (1.4) или (1.5):


^см

     ис
Рис. 1.1

■-■ -■ -Э Q - Uc                             /1 Q4
’ !пр 'см Эt с Эt ■                          ⁽¹-⁸⁾


   Емкость плоского конденсатора


С = Ц-,                                (1.9)
d


где 5 - площадь обкладки; d - расстояние между обкладками. Напряжение на обкладках


                                   uc = Ed,                              (1.10)


поэтому (1.8) принимает вид


; =i =с в -ЭЕ = 5 X
Пр  ^СМ   ⁵ в Э t  ⁵ °СМ .


(1.11)

7

   Следовательно, токи проводимости и смещения, имея различную физическую природу, оказываются равными по величине, и если


Э Е
— = 0 , то zCM Э t

= /пр = 0, т. е. постоянный ток в ветви с конденсатором


существовать не может.
   Второе уравнение Максвелла обобщает закон электромагнитной индукции, открытый М. Фарадеем в 1831 году. Этот закон утверждает, что при всяком изменении магнитного потока, сцепленного с замкнутым контуром, в контуре наводится ЭДС, равная скорости изменения магнитного потока и направленная так, чтобы воспрепятствовать этому изменению:


ЭФ е =--Э t


(1.12)

   Здесь условно положительные направления ЭДС и магнитного потока образуют правоходовую систему.
   М. Фарадей проводил опыты с реальными контурами, выполненными, в частности, в виде катушек из изолированного провода. Катушки располагались в средах с различными физическими свойствами, и эти свойства проводников и сред никак не проявлялись в конечных результатах эксперимента, определяющих сущность самого закона.
   При выводе второго уравнения Дж. Максвелл абстрагировал понятие «замкнутый контур», допустив, что для любого обобщенного замкнутого контура, расположенного целиком либо отдельными частями в средах с различными физическими свойствами, циркуляция вектора электрической напряженности по этому контуру равна скорости изменения магнитного потока, сцепленного с этим контуром:

е = ф Е dl =

ЭФ "Э7'

(1.13)

    Если далее учесть, что Ф = J ВdS и в соответствии с теоремой Стоs
кса


                          ф Е dl = J rotEdS , i s

(1.14)

8

где S - поверхность, опирающаяся на замкнутый контур I, то при независимости пространственных координат и времени получим


rot Е - 
ЭВ
Э t

   Выражение (1-15) представляет собой второе уравнение Максвелла. Из этого уравнения, в частности, следует, что при изменении во времени магнитного поля В неизбежно возникает электрическое поле Е.
   Следствием второго уравнения Максвелла является принцип непрерывности магнитного потока:

div В = О

(1-16)

или в интегральной форме:

(1-17)

   В теории цепей этот принцип известен как первый закон Кирхгофа для магнитных цепей. Этот закон утверждает, что алгебраическая сумма магнитных потоков, пронизывающих любую замкнутую поверхность, равна нулю:

(1.18)

   Таким образом, можно констатировать, что электрические токи и магнитные потоки обладают свойством непрерывности. Это фактически означает, что линии вектора плотности тока (линии тока) и линии вектора магнитной индукции (силовые линии) и, следовательно, трубки равного магнитного потока не имеют ни начал, ни концов и всегда замкнуты сами на себя.
   Уравнения Максвелла в случае линейных однородных и изотропных сред и при отсутствии сторонних источников имеют вид

    ..    „ . ЭЕ
rot Н - у Е + е—;
                 Э t

(1-19)

ЭН rotЕ - -р-—, Э t

(1.2О)

f В dS = О.
S

Е ф - О
(1-15)

9

и их совместное решение приводит к волновым уравнениям, аналогичным для векторов магнитной (Н) и электрической (Е) напряженностей:

V² Н = ур— + ер —;                    (1.21)
Э t   Э t¹

V²E - ру — + ер —.                    (1.22)
Э t   Э t²

   Если переменное электромагнитное поле синусоидально и круговая частота постоянна и равна ю, уравнения (1.19) и (1.20) можно представить в комплексной форме:

rot Н = уЕ + j юеЕ;                (1.23)

rot Е = - jюр Н.                   (1.24)

   При этом волновые уравнения (1.21) и (1.22) обращаются в уравнения Гельмгольца:

V²Н = (jюру - ю²ер)Н = р²Н ;            (1.25)

V²E = (jюру - ю²ер)Е = р²Е .            (1.26)

   Коэффициент

р — ^/юру - ю²ер - р + jа             (1.27)

в уравнениях (1.25) и (1.26) называется коэффициентом распространения электромагнитной волны; р - коэффициент затухания; а - коэффициент фазы.
   Частными решениями этих уравнений являются плоские электромагнитные волны.
   Рассмотрим простейший случай, когда вектор электрической напряженности Е имеет лишь х-составляющую Ех, будем также считать, что эта составляющая Ех - функция одной переменной z: Ех - f ( z ).


10

   Раскроем второе уравнение Максвелла (1.20):


1     1 Э ЕX
н =-------у j —р Э Z


(1.28)

   Из (1.28) следует, что вектор магнитной напряженности имеет лишь одну у-составляюшую Ну, которая также является функцией одной переменной z, а уравнение Гельмгольца (1.26) при принятых допущениях имеет вид


Э²Ех     ₂ ■
                            ---X- = Р ² ЕX .
Э Z ²    X


(1.29)

   Решением этого однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейная комбинация двух экспоненциальных функций


ЕX = С₁ ерр + С₂ е ⁻ pz


(1.30)

    Пусть комплексному числу С₂ е pz соответствует функция

Е₂ (—t,z). Если С₂ = Е₂теT, а р = Р + jа , то


Е₂(—t,z) = Е₂те РZ sin(—t - az + T).         (1.31)


   Выражение (1.31) описывает бегущую затухающую синусоидальную волну электрической напряженности.
   Бегущая волна характеризуется двумя параметрами: фазовой скоростью и длиной волны. Фазовая скорость <’ф - скорость, двигаясь с которой, наблюдатель фиксирует постоянство фазы колебания. Фаза колебания - это аргумент синусоидальной функции в (1.31). Это значит, что для определения фазовой скорости можно воспользоваться уравнением

(—(-t - az + T) = 0, Э t

(1.32)

11