Аналитическая электростатика на плоскости. Характеристические мультиполи относительно точки и их приложения. Часть 1
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Электричество и магнетизм. Физика плазмы
Издательство:
Сибирский федеральный университет
Автор:
Казанцев Владимир Петрович
Год издания: 2012
Кол-во страниц: 747
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
ВО - Магистратура
ISBN: 978-5-7638-2414-8
Артикул: 617554.01.99
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 13.03.02: Электроэнергетика и электротехника
- ВО - Магистратура
- 13.04.02: Электроэнергетика и электротехника
- Аспирантура
- 13.06.01: Электро- и теплоэнергетика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет В.П. Казанцев Аналитическая электростатика на плоскости Характеристические мультиполи относительно точки и их приложения Монография Красноярск СФУ 2012
УДК 517+530.1 ББК 22.33 К 14 Рецензент: А.К. Цих, д‐р физ.‐ мат. наук, проф. Казанцев, В.П. К 14 Аналитическая электростатика на плоскости. Характеристические мультиполи относительно точки и их приложения / В.П. Казанцев.‐ Красноярск: Сиб. федерал. ун‐т, 2012. – 747 с. ISBN 978‐5‐7638‐2414‐8 На базе вариационных принципов электростатики развит аппарат характеристических мультиполей кривых относительно точек, позво‐ ливший, в частности, построить конструктивное решение задачи многих тел электростатики проводников. Основы разработанного аппарата бы‐ ли заложены в предыдущих работах автора, обобщенных в монографии «Аналитическая электростатика на плоскости», изданной в 2008 г. Си‐ бирским федеральным университетом. УДК 517+530.1 ББК 22.33 ISBN 978‐5‐7638‐2414‐8 © Сибирский федеральный университет, 2012 © Казанцев В.П., 2012
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКА НА ПЛОСКОСТИ Характеристические мультиполи относительно точки и их приложения Введение Напомним, что основная идея аналитической электростатики на плоскости состоит в рассмотрении комплексного анализа как её адек‐ ватного математического аппарата. Важно отметить, что в классическом комплексном анализе понятие, аналогичное энергии электрического поля, не играет сколько‐нибудь существенной роли, тогда как для ана‐ литической электростатики оно является органическим, ибо без него нельзя дать вариационных формулировок задач электростатики и, сле‐ довательно, нельзя развить весьма эффективные прямые методы их решения. С другой стороны, понятие энергии для электростатики, как и для большинства физических теорий, является одним из главных. В классических же математических методах электростатики [1] это поня‐ тие почти не используют, поскольку опираются на классические теории поля и потенциала. В аналитической электростатике энергия электроста‐ тического поля играет центральную роль, так как служит фундаментом ее математических методов [2]. В первых частях монографии [2] были намечены основные подходы к построению аналитической электростатики, связанные с рассмотрени‐ ем в неразрывном единстве электрического поля и его источников – электрических зарядов – на всей комплексной плоскости, а не в отдель‐ ных её областях, как это часто делают в математической физике. Другой особенностью развиваемых подходов служит то обстоя‐ тельство, что конкретные электростатические задачи в аналитической электростатике формулируются как задачи о минимуме энергетических функционалов, поэтому возникает необходимость разработки методов выбора пробных функций с учетом, с одной стороны, характерных осо‐ бенностей задач, а с другой ‐ сохраняющих единство подхода к различ‐ ным задачам. Соответствующие методы были описаны для некоторых классов задач электростатики проводников в первых частях монографии [2]. Их суть заключается в построении на поверхности проводника ба‐ зисной системы распределений зарядов, электрические поля которых ортогональны в энергетической мере. Такие распределения зарядов, упорядоченные по отличным от нуля минимальным порядкам их круго‐ вых мультипольных моментов, получили название характеристических
мультиполей [3]. Нахождение характеристических мультиполей эквива‐ лентно построению ортогонального базиса в функциональном про‐ странстве электрических полей, источниками которых служат поверхно‐ стные заряды проводника, в связи с этим обстоятельством аналитиче‐ скую электростатику можно трактовать как метод координат в Гильбер‐ товом пространстве. Это делает её очень похожей на аналитическую геометрию. Настоящая монография посвящена исследованию характеристиче‐ ских мультиполей кривой относительно точки, впервые введенных в ра‐ боте [4] и представляющих собой распределения зарядов по кривой. Та‐ кие распределения зарядов создают в некоторой фиксированной точке комплексные потенциалы, ряды Тейлора которых в этой точке начина‐ ются со степени, определяющей порядок соответствующего характери‐ стического мультиполя. Электрические поля характеристических муль‐ типолей относительно одной и той же точки различных порядков энер‐ гетически ортогональны. Таким образом, ортогональные базисы здесь определяются не только кривой, но и точкой. Это обстоятельство рас‐ ширяет возможности выбора ортогональных базисов для проводников, а вместе с этим дает новые средства для решения конкретных задач.
Глава 1. Возникновение понятия о характеристических мультиполях кривой… 5 Глава 1 Возникновение понятия о характеристических мультиполях кривой относительно точки 1.1. Характеристические мультиполи области В главе 4 первой части монографии [2] были введены понятия ха‐ рактеристических мультиполей уединенных проводников, позволяющие эффективно решить задачу о проводнике во внешнем электрическом поле. Характеристическим мультиполем порядка 1 односвязной ог‐ раниченной области комплексной плоскости C с границей , обла‐ дающей нужными свойствами, согласно [2, 3] назовем пару распреде‐ лений зарядов ; ; , , комплексные потенциалы Π1 2ln ̃ ̃1.1которых убывают в окрестности бесконечно удаленной точки как Π1 21 ; Π1 21.2и в сравнении с другими убывающими таким же образом комплексны‐ ми потенциалами с источниками на , потенциалы характеристических мультиполей доставляют минимум функционалу энергии: Π2 |Π|. 1.3Здесь штрихом обозначена операция дифференцирования функции комплексного переменного по её аргументу . В области Πи Πпредставляют собой многочлены степени :
Глава 1. Возникновение понятия о характеристических мультиполях кривой… 6 Π; Π. 1.4Положительно определенные и симметричные матрицы ; ; были названы в работе [3] матрицами поляризуемости ‐го порядка. Для характеристических мультиполей будут справедливы соотно‐ шения: 0 при ; 0 при ; ; 1; ; 1.51 2 ; 1 2; Re Re . Последнее соотношение показывает, что матрица симметричная. Особое место в системе характеристических мультиполей занимает мультиполь нулевого порядка ; . Главный член асимптотического разложения его комплексного потен‐ циала в бесконечно удаленной точке имеет логарифмическую особен‐ ность Π1 2ln ,
Глава 1. Возникновение понятия о характеристических мультиполях кривой… 7 в связи с чем интеграл энергии (1.3) для этого потенциала принимает бесконечное значение. Чтобы сделать этот интеграл сходящимся к Π, добавляют [3] Π1 2ln при || ; Π0 при || , а за принимают радиус любой окружности с центром в начале коор‐ динат, охватывающей область . Тогда из всех потенциалов (1.1), удов‐ летворяющих условию постоянства полного заряда, локализованного на , а именно: 1 , минимум функционалу энергии ΠΠдоставит Π. В об‐ ласти Re Π1 2ln , где внешний конформный радиус области . Важно, что функция exp2Πосуществляет конформное отображение области на внешнюю к кругу || область. Комплексные потенциалы Πудовлетворяют соотношениям ортогональности ΠΠ; (1.6) ΠΠΠ0, где ‐ символ Кронекера.
Глава 1. Возникновение понятия о характеристических мультиполях кривой… 8 1.2. Преобразования характеристических мультиполей при дробно‐линейных отображениях комплексной плоскости Дробно‐линейное отображение ; 0 1.7комплексной плоскости на комплексную плоскость z, как мы в этом убедимся на основании соотношений (1.1) – (1.6), позволяет дать пре‐ образованным характеристическим мультиполям существенно иную фи‐ зическую интерпретацию. Напомним [5], что дробно‐линейное преобразование – это единст‐ венное конформное преобразование всей комплексной плоскости. По этой причине весьма интересно установить, как изменяются электроста‐ тические соотношения при таких преобразованиях. Чтобы сделать это, проведем замену переменных (1.7) в выражении (1.1) для комплексного потенциала, источники которого лежат на границе области . В резуль‐ тате приходим к равенствам Π1 2ln ln 2ln 2ln , 1.8где – образ границы области , образом которой служит область комплексной плоскости ; – полный электрический заряд, сосредо‐ точенный на (; 1 2ln . Как видно из соотношений (1.8), преобразованный комплексный потенциал отличается от определенного естественным образом на
Глава 1. Возникновение понятия о характеристических мультиполях кривой… 9 комплексной плоскости потенциала на постоянную величину и комплексный потенциал точечного заряда – , расположенного в точке , образе бесконечно удаленной точки плоскости . Если распределение зарядов по имеет нулевой полный заряд 0, то и будут отличаться лишь на постоянную величи‐ ну. В этом случае ∞, 1.9поскольку должно быть выполнено условие нормировки ∞0. При дробно‐линейном отображении неизменными остаются ска‐ лярные произведения ΠΠ. Это следует из соотношений Π; . Преобразованные комплексные потенциалы характеристических мультиполей выразим через комплексные потенциалы характеристиче‐ ских мультиполей по формуле , ΠΠ∞. 1.10Действительные значения нормировочных постоянных будем выбирать, сообразуясь с физическим смыслом , , которые бу‐ дем называть комплексными потенциалами характеристических муль‐ типолей кривой относительно точки . Чтобы понять физический смысл , , рассмотрим их основные свойства. В окрестности точки комплексные потенциалы , при 1, как это следует из соотношений (1.2), (1.7) и (1.8), будут пред‐ ставляться степенными рядами: , Π∞2; (1.11) , Π∞2.
Глава 1. Возникновение понятия о характеристических мультиполях кривой… 10 Источниками потенциалов , служат заряды, распределенные по кривой с плотностями , . 1.12Здесь подразумевается, что . Выберем 21.13с тем, чтобы в разложениях (1.11) коэффициенты при наименьшей от‐ личной от нулевой степени равнялись 1 и соответственно. В области , когда , и вне этой области, когда , , ; (1.14) , многочлены степени от . По сравнению с любыми другими потенциалами, порождаемыми зарядами кривой и представляемыми в окрестности точки ряда‐ ми (1.11), , доставляют минимум преобразованному функцио‐ налу энергии (1.3) , 2 |, |. 1.15Комплексному потенциалу , , , 1.16будет отвечать энергия электрического поля 2 ; . 1.17Отметим, что коэффициенты и определяют ‐ю производ‐ ную от комплексного потенциала (1.16) в точке Глава 1. Возникновение понятия о характеристических мультиполях кривой… 11 1 ! , |. 1.18Их также можно найти как с помощью формулы Коши 1 2, 1.19где . 1.20Заметим, что согласно формуле (1.20) величину 2можно интерпретировать как момент отрицательной степени – рас‐ пределения зарядов относительно точки . Положительно определенную симметричную матрицу 21.21естественно назвать матрицей поляризуемости – го порядка кривой относительно точки . Чтобы пояснить это, запишем соотношения (1.14) в виде , 2, показывающем, что потенциал , представляет суперпозицию комплексных потенциалов сосредоточенных в точке точечных муль‐ типолей порядков . Момент мультиполя наивысшего порядка может быть выражен через и с помощью матрицы (1.21) согласно .