Математика

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Сибирский федеральный университет  
 
 
 
 
 
 
 
 
С. И. Исаева, Л. В. Кнауб, Е. В. Юрьева 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
Рекомендовано Сибирским региональным учебнометодическим центром высшего профессионального 
образования для межвузовского ипользования в качестве учебного пособия для студентов инженерных 
направлений подготовки заочной формы обучения 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2011 
 

УДК 51(07) 
ББК 22.16я73 
         И851 
 
 
 
 
 
 
Рецензенты: А. А. Родионов, д-р физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Института вычислительного моделирования СО РАН;  
Я. Н. Нужин, д-р физ.-мат. наук, проф. каф. «Математика» ФГБОУ 
ВПО ИрГУПС 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Исаева, С. И. 
И851          Математика : учеб. пособие / С. И. Исаева, Л. В. Кнауб, 
Е. В. Юрьева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2011. – 156 с. 
ISBN 978-7638-2405-6 
 
Учебное пособие посвящено основным разделам математики. Пособие 
состоит из программы дисциплины «Математика», тринадцати разделов, вариантов контрольных работ и указаний по их выполнению, библиографического 
списка. Излагаются элементы теории чисел, алгебры, математического анализа, 
теории функций комплексного переменного, дифференциальных уравнений, 
теории вероятностей  и математической статистики. 
Предназначено для студентов заочной формы обучения технических специальностей. 
 
УДК 51(07) 
ББК 22.16я73 
 
ISBN 978-7638-2405-6                        © Сибирский федеральный 
                                                                                                        университет, 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение……………………………………………………………. 
4
 
Программа курса…………………………………………………… 
5
 
I. Линейная алгебра……………………………………………….. 
10
 
II. Векторная алгебра…………………………………………….. 
18
 
III. Элементы аналитической геометрии………………………... 
22
 
IV. Введение в анализ…………………………………………….. 
31
 
V. Дифференциальное исчисление функций  
     одной переменной………………………………………………. 
36
 
VI. Интегральное исчисление функций  
      одной переменной……………………………………………. 
41
 
VII. Дифференциальное исчисление функции  
        нескольких переменных…………………………………….. 
49
 
VIII. Интегральное исчисление функции  
         нескольких переменных….. 
56
 
IX. Теория функций комплексного переменного………………... 
66
 
X. Дифференциальные уравнения………………………………… 
72
 
XI. Ряды…………………………………..…………………………. 
82
 
XII. Теория вероятностей………………….………………………. 
88
 
XIII. Математическая статистика…………………………………. 
108
 
Контрольные работы………………………………………………. 
118
 
Библиографический список………………………………………. 
153

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Настоящее пособие предназначено для студентов направлений и 
специальностей заочной формы обучения, изучающих курс высшей 
математики: 
131000.62 – «Нефтегазовое дело»; 
151000.62 – «Технологические машины и оборудование»; 
240100.62 – «Химическая технология»; 
280705.65 – «Пожарная безопасность»; 
151000.62 – «Технологические машины и оборудование»; 
190600.62 – «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»; 
190110.65 – «Транспортные средства специального назначения»; 
150802.65 – «Гидравлические машины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика»; 
150202.65 – «Оборудование и технология сварочного производства»; 
200503.65 – «Стандартизация и сертификация»; 
220501.65 – «Управление качеством»; 
151001.65 – «Технология машиностроения»; 
190100.65 – «Наземные транспортные системы»; 
190201.65 – «Автомобиле- и тракторостроение»; 
190603.65 – «Сервис транспортных и технологических машин и 
оборудования»; 
190601.65 – «Автомобили и автомобильное хозяйство»; 
190701.65 – «Организация перевозок и управление на транспорте». 
Объём и содержание всех разделов определены программой 
курса, составленной в соответствии с ФГОС Министерства образования и науки РФ. Данное пособие не заменяет основную учебную литературу, а имеет своей целью помочь студенту-заочнику быстрее разобраться в материале, необходимом для выполнения контрольных 
работ и лучше усвоить наиболее сложные вопросы разделов. В пособии приведены основные определения, понятия и теоремы, а также 
типовые задания. 
Студент должен выполнять один и тот же вариант всех контрольных работ. Номер варианта совпадает с последней цифрой номера студенческого билета или зачетной книжки. Если номер студенческого билета заканчивается на 0, то нужно выполнять вариант 10. 

При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать 
следующие правила: 
1. В начале работы разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер и вариант контрольной работы; 
2. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради 
(или на белой бумаге формата А4); 
3. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в 
контрольных работах. В начале каждого решения записывать условие 
задачи (без сокращений); 
4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, 
аккуратными, без сокращения слов. Обязательно, если требуется, выполнять аккуратные чертежи с пояснениями. 
Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных 
правил или не своего варианта, не засчитываются и возвращаются без 
проверки. 
Получив прорецензированную работу, студент обязан исправить 
в ней отмеченные ошибки и недочеты. Зачтенные и исправленные 
контрольные работы предъявляются преподавателю при защите перед 
зачетом или экзаменом. 
 
 
 
ПРОГРАММА КУРСА 
 
I. Линейная алгебра 
1. Матрицы и действия над ними. 
2.  Определитель матрицы. Минор. Алгебраическое дополнение. 
3.  Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы. 
4.  Ранг матрицы и его вычисление. 
5.  Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 
6.  Теорема Кронекера – Капелли. 
7.  Матричный метод решения СЛАУ. 
8.  Метод Крамера решения СЛАУ. 
9.  Метод Гаусса решения СЛАУ. 
II. Векторная алгебра 
10. Векторы. Линейные операции над векторами. 
11. Линейная зависимость векторов. Базис. 
12. Декартовы прямоугольные координаты. 
13. Скалярное произведение векторов. 
14. Векторное произведение векторов. 

15. Смешанное произведение векторов. 
III. Элементы аналитической геометрии 
16. Прямая на плоскости. 
17. Плоскость в пространстве. 
18. Прямая в пространстве. 
19. Кривые второго порядка. 
20. Полярная система координат. Связь полярных и декартовых 
координат точки. 
21. Поверхности второго порядка. 
IV. Введение в анализ 
22. Элементарные функции. 
23. Предел функции. Свойства пределов. 
24. Неопределенности. Раскрытие неопределенностей. 
25. Замечательные пределы. 
26. Таблица эквивалентностей. 
27. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. 
V. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 
28. Определение производной. Геометрический и физический 
смысл производной. 
29. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного, 
сложной и обратной функции. 
30. Дифференцирование функций, заданных параметрически и 
неявно. 
31. Дифференцирование сложнопоказательной функции. 
32. Производные основных элементарных функций. 
33. Производные высших порядков. 
34. Дифференциал. 
35. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей 0 , 1, др. 
36. Исследование функции методами дифференциального исчисления. Общая схема построения графика функции. 
VI. Интегральное исчисление функций одной переменной 
37. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. 
38. Таблица основных неопределенных интегралов. 
39. Методы интегрирования: интегрирование по частям, замена 
переменной. 
40. Интегрирование рациональных функций. 
41. Интегрирование тригонометрических функций.  
42. Определенный интеграл и его свойства.  
43. Формула Ньютона – Лейбница. 

44. Методы вычисления определенного интеграла. 
45. Приложения определенного интеграла. 
46. Несобственные интегралы. 
VII. Дифференциальное исчисление функции нескольких 
переменных 
47. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. 
48. Частные производные. Полный дифференциал функции нескольких переменных. 
49. Производная сложной и неявной функции нескольких 
переменных. 
50. Частные производные высших порядков. 
51. Экстремум. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции двух переменных. 
VIII. Интегральное исчисление функции нескольких переменных 
52. Определение и свойства двойного интеграла. Вычисление 
двойного интеграла. 
53. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление 
двойного интеграла в полярных координатах. 
54. Приложения двойного интеграла. 
55. Определение и свойства тройного интеграла. Вычисление 
тройного интеграла. 
56. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и 
сферические координаты. 
57. Приложения тройного интеграла. 
58. Криволинейные интегралы I рода. 
59. Криволинейные интегралы II рода. 
60. Формула Грина. 
IX. Теория функций комплексного переменного 
61. Комплексные числа. Алгебраическая форма.  
62. Операции над комплексными числами. 
63. Тригонометрическая форма. Показательная форма комплексного числа. 
64. Возведение в степень, извлечение корня. 
65. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность. 
66. Дифференцируемость и аналитичность. Условия Коши – 
Римана. 
67. Интеграл от функции комплексного переменного. 
68. Интеграл Коши. 

X. Дифференциальные уравнения 
69. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). 
70. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее 
решение. Задача Коши. 
71. Уравнения с разделяющимися переменными.  
72. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 
73. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.  
74. Уравнение Бернулли. 
75. Уравнение в полных дифференциалах. 
76. Обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка.  
77. Уравнения, допускающие понижение порядка.  
78. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 
79. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка. 
80. Решение неоднородного дифференциального уравнения с 
постоянными коэффициентами и специальной правой частью. 
81. Нормальная система дифференциальных уравнений. 
82. Уравнения математической физики. Классификация уравнений 
математической физики. 
83. Волновое уравнение. Решение задачи Коши методом Даламбера. 
84. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом 
Фурье. 
85. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом 
Фурье. 
XI. Ряды 
86. Числовые ряды. Сумма и сходимость числового ряда.  
87. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 
88. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. 
89. Знакочередующиеся ряды. Условная сходимость. 
90. Функциональные ряды. Степенные ряды. 
91. Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды. 
92. Приложение рядов. 
93. Ряды Фурье. 
XII. Теория вероятностей 
94. Случайные события. Алгебра событий. 
95. Классическая 
вероятность. 
Частота, 
статистическая 
вероятность. 

96. Аксиомы вероятности. 
97. Теорема сложения вероятностей. 
98. Зависимые и независимые события. Условная вероятность, 
теорема умножения вероятностей. 
99. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 
100. Элементы комбинаторики. 
101. Независимые испытания. Формула Бернулли. 
102. Предельные теоремы для схемы Бернулли (локальная теорема Лапласа, интегральная теорема Лапласа, формула Пуассона). 
103. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функция распределения. Плотность вероятности. 
104. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. 
Свойства. 
105. Начальные и центральные моменты случайной величины. 
106. Законы распределения дискретных случайных величин: биномиальное, Пуассона, геометрическое. 
107. Законы распределения непрерывных случайных величин: 
нормальное, равномерное, распределение Симпсона, показательное, 
Лапласа. 
108. Некоторые распределения случайных величин: биномиальное, Пуассона, равномерное, показательное, Лапласа. 
109. Предельные теоремы теории вероятностей. 
110. Двумерные случайные величины. Функция распределения. 
Плотность. Свойства. 
111. Зависимые и независимые случайные величины. Коэффициент корреляции. Его свойства. 
XIII. Математическая статистика 
112. Задачи математической статистики. 
113. Генеральная совокупность, выборка. Статистические ряды 
абсолютных и относительных частот. Группированные статистические ряды. 
114. Эмпирическая функция распределения. Полигон. Гистограмма. 
115. Статистические оценки числовых характеристик случайных 
величин и их свойства (состоятельность, несмещенность, эффективность). 
116. Выборочные числовые характеристики. 

117. Методы получения точечных оценок (метод моментов, 
метод максимального правдоподобия). 
118. Интервальные оценки: доверительный интервал и доверительная вероятность. 
119. Статистические гипотезы. Простая, сложная. Нулевая, 
конкурирующая. 
120. Статистический критерий, построение критических областей. 
Ошибки I и II рода. 
121.  Проверка гипотезы о виде функции распределения. 
Критерий Пирсона 
2x . 
122. Выборочный коэффициент корреляции.  
123. Линейная регрессия. Выборочное уравнение линейной 
среднеквадратической регрессии. 
 
 
I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
 
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица 
чисел 

11
12
13
1

21
22
23
2

1
2
3

...
...
...
...
...
...
...

n

n

m
m
m
mn

а
а
а
а
а
а
а
а
A

а
а
а
а







 






, 

где 
ija  – произвольные числа. Первый индекс i  – номер строки, в которой находится элемент, j  – номер столбца. Матрица, содержащая 
m строк и n столбцов, имеет размерность m
n
 . 
 
Виды матриц 
1. Квадратные 

m
n

. 
2. Прямоугольные 

m
n

. 
3. Трапециевидные 

11
1

22
2

...
...
0
...
...
...
...
...
0
0
...

n

n

mm
mn

a
a

a
a

a
a














. 

Частный случай трапециевидной матрицы – верхнетреугольная 
матрица (в случае, когда m
n

): 

11
1

22
2

...
...
0
...

...
...
...
...
0
0
0

n

n

nn

a
a
a
a

a














. 

Элементы 
11,
,
nn
a
a

 формируют главную диагональ, элементы 

1
1
,
,
n
n
a
a

 – побочную диагональ. 
4. Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением 
элементов 
11
22
,
,...,
nn
a
a
a  главной диагонали, равны нулю, называется 
диагональной и обозначается 


1,
,
n
diag a
a

. 
5. Скалярная матрица (частный случай диагональной матрицы)  
матрица, у которой все элементы равны друг другу. Среди всех скалярных матриц выделяют так называемую единичную матрицу: 

1
0
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...

0
0
0
1

E







 






. 

6. Нулевая матрица: 

0
...
0
0
...
...
...
0
...
0





 






. 

Определение. Две матрицы называются равными, если:  
1) порядки матриц совпадают; 
2) равны соответствующие элементы. 
 
Действия над матрицами 
Сложение матриц. При сложении матриц необходимо, чтобы 
матрицы имели одинаковую размерность. 

11
1

1

...
...
...
...
...

n

m
mn

a
a
A
a
a





 






;     

11
1

1

...
...
...
...
...

n

m
mn

b
b
B
b
b





 






;