Высшая математика для экономистов

О.А. КАСТРИЦА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

4-е издание, стереотипное

Допущено

Министерством образования Республики Беларусь

в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего 

образования по экономическим специальностям

 
Минск 
Москва

 
«Новое знание» 
«ИНФРАМ»

2015

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
К28

Кастрица, О.А.

Высшая математика для экономистов : учеб. пособие / 

О.А. Кастрица. — 4-е изд., стер. — Минск : Новое знание ; 
М. : ИНФРА-М, 2015. — 491 с. : ил. — (Высшее образование: 
Бакалавриат).

ISBN 978-985-475-450-5 (Новое знание).
ISBN 978-5-16-010960-2 (ИНФРА-М, print).
ISBN 978-5-16-102992-3 (ИНФРА-М, online).

В полном объеме содержит теоретический материал, соответству
ющий программе дисциплины «Высшая математика» для экономических специальностей. Включенные в пособие примеры иллюстрируют 
экономический смысл математических понятий и технику использования математического аппарата при решении практических задач. Большое число упражнений, снабженных ответами, позволяет использовать 
данное пособие при самостоятельном изучении математики.

Для студентов и преподавателей экономических специальностей 

высших учебных заведений. Может быть полезно учащимся средних 
специальных учебных заведений.

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я73

К28

© Кастрица О.А., 2005
© ООО «Новое знание», 2005
ISBN 978-985-475-450-5 (Новое знание)
ISBN 978-5-16-010960-2 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102992-3 (ИНФРА-М, online)

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра экономико-математических методов управления Академии управления при Президенте Республики Беларусь (зав. кафедрой — кандидат 
физико-математических наук, доцент Б.В. Новыш);
зав. отделом Института математики НАН Беларуси, член-корреспондент, 
доктор физико-математических наук, профессор В.В. Гороховик

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Ïðåäèñëîâèå

Предлагаемое учебное пособие написано на основе опыта преподавания высшей математики на факультете менеджмента Академии управления при Президенте Республики Беларусь. Содержание пособия соответствует программе дисциплины «Высшая
математика», изучаемой на факультетах и отделениях университетов и колледжей экономического направления.
Программа предусматривает изучение многих разделов математики, включая элементы аналитической геометрии, линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления,
теории рядов, и знакомство с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такая широта спектра изучаемых математических разделов обусловлена следующим. Вопервых, студенты
получают математическую базу, необходимую для изучения специальных дисциплин, выполнения курсовых и выпускных работ
и проведения самостоятельных исследований. Вовторых, математические знания являются составной частью всего комплекса
знаний, формирующих специалиста с высшим образованием
экономического профиля, и должны гарантировать ему принятие грамотных и обоснованных решений в его работе.
Сравнительно небольшое количество учебного времени, предусмотренного учебным планом на изучение дисциплины «Высшая математика», обусловливает краткое, насыщенное изложение
учебного материала. Этот принцип использовался и при составлении настоящего пособия. Подробные выводы и доказательства
теорем во многих случаях не приводятся. Вместо этого используются наводящие рассуждения, результатом которых является формулировка некоторого утверждения (теоремы, формулы
и т.п.). Полученные результаты сопровождаются комментариями
и иллюстрируются примерами, облегчающими восприятие нового материала. Используемые примеры можно подразделить
на два типа. Примеры первого типа поясняют математические
понятия и утверждения, а также показывают, как решаются
математические задачи из данного раздела. Примеры второго
типа — это примеры применения математического аппарата при
изучении различных ситуаций, возникающих в реальной жизни — в экономике, торговле, производстве, управлении и т.п.
Пособие состоит из 10 глав, включающих в совокупности
37 параграфов. Содержание параграфа, как правило, соответствует одной лекции. В конце каждого параграфа имеется серия
упражнений (заданий), предназначенных для самостоятельной
отработки соответствующей темы. Этих упражнений достаточно
для проведения практических занятий по данной теме. В конце
пособия имеются ответы и указания по выполнению заданий.
Содержание книги и изложение материала ориентированы
на известные учебники по математике, основные из которых
приведены в списке литературы. Как правило, прямых ссылок
на литературу не делалось.
Пособие адресовано студентам экономических специальностей
университетов и колледжей как очных факультетов и отделений,
так и заочных или изучающим высшую математику в системе
дистанционного обучения. Оно может быть использовано и преподавателями при проведении практических занятий по высшей
математике. Приведенный в конце книги список математических понятий и терминов позволяет использовать пособие как
краткий справочник.
Автор искренне благодарен профессору В.В. Гороховику и доценту Б.В. Новышу за ценные и принципиальные замечания, способствовавшие улучшению содержания этой книги.

О. Кастрица

4
Ïðåäèñëîâèå

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

N — множество натуральных чисел.
Z — множество целых чисел.
R — множество действительных чисел.
Q — множество рациональных чисел.
C — множество комплексных чисел.
Rez — действительная часть комплексного числа z.
Im z — мнимая часть комплексного числа z.
arg z — главное значение аргумента комплексного числа z.
Arg z — множество всех значений аргумента числа z.

— пустое множество.
A
a b c
s
{ , , ,..., } — множество, состоящее из элементов a, b, c,
..., s.
A
x P
{
} — множество A состоит из элементов x, удовлетворяющих условию P.
a
A
— элемент a принадлежит множеству A.
a
A
— элемент a не принадлежит множеству A.
A
B
— множество A является подмножеством множества B.
A
B
— объединение множеств A и B.
A
B
— пересечение множеств A и B.
A\B — разность множеств A и B (множество элементов из A,
не входящих в B).
n! — факториал n, n
n
! 1 2.

Cn
k — число сочетаний из n элементов по k, C
n
k n
k
n
k !
!(
)!
.

ak
k m

p

— конечная сумма,
a
a
a
a
k
m
m
p
k m

p
1
.

ak
k1
— ряд, сумма ряда с членами ak,
a
a
k
n
k
k
k

n
lim

1
1
.

A
aij
[
] — матрица A с элементами aij.

det A — определитель матрицы A.
A T — транспонированная матрица A.
A 1 — обратная для A матрица.
[
]
A b — расширенная матрица линейной системы.
rank A — ранг матрицы A.

( , )
a b — скалярное произведение векторов a и
b.
[ , ]
a b — векторное произведение векторов a и
b.
a b
||
— коллинеарность векторов a и
b.
a b
— ортогональность векторов a и
b.
x P x
( ) — для любого x выполняется P x
( ).
x P x
( ) — существует x, для которого выполняется P x
( ).

— не существует.
P
Q
— из P следует Q.
P
Q
— P и Q равносильны.
(
)
an
— последовательность с nм членом an .
lim
n
n
a
— предел последовательности (
)
an .

a
a
n — последовательность (
)
an
сходится к a.
lim ( )
x
af x
— предел f x
( ) в точке a.

f a
(
)
0 — предел f x
( ) в точке a справа.
f a
(
)
0 — предел f x
( ) в точке a слева.
f x
( ) — производная функции f в точке x.
f
x
n
( )( ) — производная порядка n.
f
x
( ) — производная функции f в точке x справа.
f
x
( ) — производная функции f в точке x слева.
f x
g x
( ) ~ ( ) — эквивалентность f x
( ) и g x
( ).
E
y
x( ) — эластичность y по x.
ymax — максимум значения функции y
f x
( ).
ymin — минимум значения функции y
f x
( ).
sup y — наименьшая верхняя граница множества значений
функции y
f x
( ).
infy — наибольшая нижняя граница множества значений
функции y
f x
( ).
1( )
x — функция единичного скачка Хевисайда.

* — начало доказательства.
) — конец доказательства.
. — необходимость.
. — достаточность.

6
Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

ÃËÀÂÀ I. ×ÈÑËÀ È ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ

§ 1. Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

10. Ìíîæåñòâà

Дать определение понятия множество можно лишь используя
какойлибо синоним этого слова, такой как «совокупность»,
«семейство» и т.п. Множество в математике относят к первичным, изначально ясным, неопределяемым понятиям. Говоря,
например, о множестве решений уравнения или о множестве
студентов в аудитории, отдают себе отчет, о чем идет речь.
Множества, как правило, обозначают большими буквами: A, C,
X, ... . Множество состоит из элементов. Запись a
X
означает,
что a является элементом множества X (читают: «a принадлежит X»). Соответственно b
X
означает, что b не принадлежит X.
Два множества A и B равны, A
B
, если они состоят из одних
и тех же элементов.
Символом обозначают пустое множество, т.е. такое множество, в котором нет ни одного элемента.
Задать множество можно, перечислив все его элементы:

A
a
a
ak
{
,
,...,
}.
1
2

Другим способом задания множества является указание условия P, которому удовлетворяет любой элемент данного множества и только элементы этого множества:
A
x P
|
.

Пример 1. Пусть A
x x
x
{
|
}
2
0 , B { , }
0 1 . Можно записать A
B
.

Объединением множеств A и B называют множество A
B
,
каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств A или B:

A
B
x x
A
x
B
{ |
}.
или

Пересечение множеств A и B — это множество

A
B
x x
A
x
B
{ |
},
и

т.е. A
B
состоит из элементов, принадлежащих и A, и B.
Запись A\B обозначает разность множеств,

A
B
x x
A
x
B
\
{ |
}.
и

Разность A\B содержит все элементы множества A, которые
не принадлежат B.
Если любой элемент из B принадлежит также A, то говорят,
что B есть подмножество множества A и записывают B
A
.

Пример 2. Пусть

A
a b c u
{ , , , },
B
c u v w
{ , , ,
},
C
a b u
{ , , }.
Тогда
A
B
a b c u v w
{ , , , , ,
},
A
B
c u
{ , },
A
B
a b
\
{ , }
,

B
A
v w
\
{ ,
}
,
B C
c v w
\
{ , ,
}
,
C
A
,
c
A
,
{ }
c
A
.

Здесь запись c
A
означает, что c является элементом множества A,
а запись { }
c
A
означает, что множество {c}, состоящее из одного элемента с, является подмножеством множества A.

20. Ñèìâîëû

Изучение и применение математики немыслимо без использования специальных символов. С помощью символов формулировки определений и утверждений, выкладки и доказательства
можно сделать компактными и краткими. Многие математические символы известны из средней школы, например символы
арифметических операций. По мере надобности будем вводить
новые символы.
В формальной записи утверждений (определений, теорем
и т.п.) часто используют следующие символы:
— означает «любой», «для любого». Запись x P читают
так: «Для любого x выполняется P»;
— означает «существует», «найдется». Запись x P читают: «Существует x, для которого выполняется условие P»;
— называют символом следования. Запись P
Q
читают:
«Из утверждения P следует утверждение Q»;

8
Ãëàâà I. ×èñëà è ìíîæåñòâà

— означает равносильность. P
Q
означает: «утверждение P выполняется тогда и только тогда, когда выполняется
утверждение Q».

Пример 3. Пусть A — множество предприятий, выполняющих план
не менее чем на 90 %; B — множество предприятий, выполняющих
план на 100 %. Запись x
B, x
A
означает: любое предприятие,
выполнившее план на 100 %, выполнило его не менее чем на 90 %.
Высказывание «Не все предприятия, выполнившие план не менее чем
на 90 %, выполнили его полностью» можно записать в виде формулы:
x
A, x
B
.

В нашем курсе часто используется построение утверждения,
противоположного некоторому заданному утверждению. В таких
случаях бывает удобным применять следующее правило.

Пример 4. Предприятие имеет n цехов, Ai— множество станков
в iм цехе; C — множество станков, требующих ремонта. Запись
i
n
{ , ...,
}
1
x
Ai, x
C
означает: в любом цехе есть хотя бы один
станок, нуждающийся в ремонте. Отрицание этого утверждения, построенное по правилу Де Моргана, записывают так: i
n
{ , ...,
}
1
x
Ai, x
C
. Это означает, что существует цех, в котором все станки
исправные.

30. Îòîáðàæåíèÿ

Пусть заданы два множества Х и Y. Говорят, что на множестве Х определено отображение f со значениями в Y, если определен закон f, по которому каждому элементу х Х ставится
в соответствие один и только один элемент у Y. Это соответствие, т.е. отображение х
у
, обозначают

f: Х
Y
,
f: x
y
.

Множество Х называют множеством задания отображения f,
элемент у называют образом элемента х или значением f на х

§ 1. Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ
9

Правило Де Моргана. Пусть формальная запись высказывания P содержит символы и (в любом порядке и количестве)
и заключение Q. Для формулировки высказывания «не P»,
противоположного высказыванию P, нужно заменить каждый
символ на , символ на и Q на «не Q».

и обозначают y
f x
( ). В свою очередь, элемент x называют прообразом элемента y. Элемент y может иметь не один прообраз.
Множество всех прообразов элемента y называют его полным
прообразом.
Если A X, то множество

f
y y
f x
x
A
(
{ |
( ),
}
A) называют образом множества A при отображении f, т.е. f A
( )
есть множество всех образов f(x), x
A
.

Пример 5. Пусть Y — множество мест в аудитории, X — множество студентов, присутствующих на лекции. На каждой лекции устанавливается отображение f: X
Y
. (Заметим, что на разных лекциях
отображения могут быть разными.)

Пример 6. Пусть A — множество заводов, выпускающих тракторы;
B — множество тракторов, выпущенных этими заводами в текущем
году; C — множество предприятий, на которые эти тракторы поступили. Тогда могут быть установлены отображения f: B
A
и g: B
C
(опишите эти отображения самостоятельно).

Отображение f: Х
Y
называют инъективным (инъекцией),
если разные элементы из X имеют разные образы, т.е.

x
x
f x
f x
1
2
1
2
(
)
(
).

Это равносильно тому, что

f x
f x
x
x
(
)
(
)
,
1
2
1
2
т.е. разные элементы из множества Y имеют разные прообразы, или каждый элемент из множества Y имеет не более одного прообраза в множестве X.
Отображение f называют сюръективным (сюръекцией), если
любой элемент из Y имеет хотя бы один прообраз. Это означает, что f X
Y
(
) .
Отображение f называют биективным (биекцией), если оно
инъективно и сюръективно. Это означает, что каждый элемент
из множества Y имеет прообраз, причем единственный. Биективное отображение f: Х
Y
называют также взаимно однозначным соответствием между множествами Х и Y.

10
Ãëàâà I. ×èñëà è ìíîæåñòâà

Пример 7. Пусть X — множество кружков, Y — множество квадратиков (рис. 1.1–1.3). Отображение f X
Y
:
кружку ставит в соответствие квадратик, с которым этот кружок соединен линией. На рис. 1.1
определена инъекция, не являющаяся сюръекцией, на рис. 1.2 — сюръекция, не являющаяся инъекцией, на рис. 1.3 — биекция.

Пример 8. Рассмотрим отображение f, введенное в примере 5. Если
количество мест в аудитории больше, чем число студентов, присутствующих на лекции, то f — инъекция (на одном месте не может сидеть более одного студента). Если число мест равно числу студентов,
то f — биекция.

40. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé

Пусть заданы отображения

f X
Y
:
,
f x
X
y
f x
Y
:
( )
,

g Y
Z
:
,
g y
Y
z
g y
Z
:
( )
.

Тогда можно определить отображение h: X
Z
по правилу
(рис. 1.4):
h x
X
z
h x
g f x
:
( )
( ( )).
Такое отображение h: X
Z
называют композицией отображений g и f и обозначают

h
g
f
.

Пусть отображение f: Х
Y
биективно. Тогда каждый y
Y
имеет единственный прообраз x
X
. Отображение, сопоставляющее элементу y
Y
его прообраз x
X
, называют обратным
отображением для f. Его обозначают f 1. Таким образом,

f
Y
X
1:
,
f
y
x
f
y
1
1
:
( )
,

причем элементу y сопоставляется именно тот элемент x
X
,
для которого f x
y
( ) . Это означает, что

f
f x
x
1( ( ))
,
x
X
f f
y
y
(
( ))
1
y
Y,

§ 1. Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ
11

Рис. 1.1
Рис. 1.2
Рис. 1.3