ЭКОНОМЕТРИКА

Москва
РИОР
2005

Л.Е.БАСОВСКИЙ

УДК 330.115(075.8)
ББК 65в6я73
          Б27

Басовский Л.Е.
Эконометрика: Учеб. пособие. — М.: Издательство РИОР,
2005. — 48 с.

ISBN 5-9557-0275-Х

Изложены ответы на вопросы по дисциплине «Эконометрика»,
изучаемой студентами экономических специальностей и направле-
ний высшего профессионального образования. Даны ответы на все
вопросы, все расчетные формулы и объяснения всех понятий, пре-
дусмотренных требованиями обязательных к применению государ-
ственных стандартов высшего профессионального образования, ут-
вержденных Министерством образования Российской Федерации.
Предназначена для студентов вузов, обучающихся по экономи-
ческим направлениям и специальностям, преподавателей дисцип-
лины «Эконометрика».

УДК 330.115(075.8)
ББК 665в6я73

ISBN 5-9557-0275-Х
©  Басовский Л.Е., 2005

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве РИОР

Сдано в набор 16.03.2005. Подписано в печать 21.07.2005.
Формат 70×100/32. Бумага типографская № 2. Гарнитура «Pragmatica».
Печать офсетная.  Усл. печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,78.
Тираж 5000 экз. Заказ №

Издательство РИОР
127247, Москва, ул. Софьи Ковалевской, д. 1, стр. 50.
E-mail: info@rior.ru
www.rior.ru

Б27

ВВЕДЕНИЕ

1. ЭКОНОМЕТРИКА

Закономерности в экономике выражаются в виде мате-
матических моделей, характеризующих связи между различными
показателями. Такие модели могут быть получены путем обработки
статистических данных методами математической статистики
с учетом случайных факторов.
Эконометрика — это наука, изучающая количественные зако-
номерности и связи в экономике методами математической ста-
тистики. Цель эконометрики — эмпирический вывод экономи-
ческих закономерностей. Задачи эконометрики — построить
модели, выражающие эти закономерности, оценить их парамет-
ры, проверить гипотезы о закономерностях изменения и связях
экономических показателей. Методы эконометрики основаны на
представлениях теории вероятностей и математической статистики.
Эконометрический анализ служит основой для прогнозирова-
ния, которое необходимо для принятия обоснованных решений.
Для решения задач эконометрики используют статистические
пакеты программ для компьютеров, значительная часть которых
специально создана для эконометрического анализа. Простейшие
задачи эконометрики могут быть решены с помощью функций ана-
лиза данных в среде электронных таблиц (например, Microsoft
Excel).

2. ТИПЫ ДАННЫХ: ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ДАННЫЕ И ВРЕМЕННЫґ Е РЯДЫ

Экономические процессы могут характеризоваться двумя
типами данных, обработка которых выполняется в процессе эко-
нометрического анализа. Это пространственные данные и времен-
ныґе ряды.
Пространственные данные — это относящиеся к одному и
тому же моменту времени данные о каком-либо экономическом
показателе, характеризующем однотипные объекты. Например,
данные об объеме производства на разных предприятиях про-
мышленности за один и тот же период времени или о количестве
работников разных предприятий промышленности в один и тот же
момент времени.
Временные ряды — это данные о каких-либо показателях, харак-
теризующих одни и те же объекты в различные моменты времени.

Например, ежемесячные данные об объеме промышленного про-
изводства в стране или данные о количестве безработных в стра-
не на начало календарного года за последние 10 лет. Особенность
временных данных — временных рядов состоит в упорядоченности
их во времени.
Экономические данные включают случайную составляющую,
поэтому для их анализа и обработки применяются методы мате-
матической статистики.

3. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Три основных класса наиболее распространенных эконо-
метрических моделей: регрессионные модели с одним уравне-
нием, системы одновременных уравнений и модели временных
рядов.
Регрессионная модель — это уравнение, в котором объяс-
няемая переменная представляется в виде функции от объясня-
ющих переменных (например, модель спроса на некоторый товар
в зависимости от его цены и дохода покупателей). По виду функ-
ции регрессионные модели делятся на линейные и нелинейные.
Известны эффективные методы оценки и анализа линейных
регрессионных моделей. Анализ линейных регрессионных моде-
лей — наиболее часто встречающийся вид эконометрического
анализа.
Системы одновременных уравнений представляют собой
системы уравнений, состоящие из регрессионных уравнений и
тождеств, в каждом из которых помимо объясняющих — незави-
симых переменных содержатся объясняемые переменные из дру-
гих уравнений системы. Пример: система, включающая уравнение
спроса, уравнение предложения и тождество — уравнение равен-
ства спроса и предложения, характеризующее рыночное равно-
весие.
Модели временныґх рядов. Простейшие модели этого клас-
са — это модели тренда и модели сезонности. Тренд представ-
ляет собой устойчивое изменение уровня показателя в течение
длительного времени. Сезонность характеризует устойчивые внут-
ригодовые колебания уровня показателя. К этому же классу отно-
сится множество более сложных моделей — например, модель
адаптивного прогноза, модель авторегрессии. Общая черта моде-
лей этого класса — они объясняют поведение временного ряда
исходя из его предыдущих значений.

4. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
МОДЕЛЕЙ

Экономическая модель  вначале формулируется в общем
виде — представляется в виде уравнений, характеризующих свя-
зи между экономическими показателями. Например, это может
быть одно уравнение, указывающее связь доходами семей (x) и
сбережениями семей (y), величины которых установлены в резуль-
тате проведенных опросов нескольких сотен случайно отобранных
семей:

  y =
+
+
α
β
ε
x
,

где
x — объясняющая (независимая) переменная (доходы се-
мей);
y — объясняемая (зависимая) переменная (сбережения
семей);
ε — случайный член (ошибка);
α и β — неизвестные наперед, подлежащие определению в ре-
зультате эконометрического анализа параметры урав-
нения.
При решении поставленной задачи эконометрики необходимо
проверить, соответствует ли эта модель реальным экономическим
данным. Если модель соответствует реальным данным, то необ-
ходимо определить (оценить) параметры качества модели. Разли-
чают два уровня анализа: теоретический и эмпирический.
На теоретическом уровне предполагается, что известны все
возможные реализации экономических показателей — генераль-
ная совокупность. Зная или предполагая статистические свойства
генеральной совокупности, можно теоретически определить пара-
метры модели. На практике чаще всего множество возможных
исходов — возможных значений показателей неизвестно, можно
наблюдать только выбранные значения интересующих показате-
лей — выборочную совокупность.
На эмпирическом уровне, располагая лишь выборочными
значениями экономических показателей — выборочной совокуп-
ностью, можно оценить, но нельзя точно определить значения
параметров модели. Такие оценки являются случайными величи-
нами. Цель оценивания — получение как можно более точных зна-
чений неизвестных параметров модели, характеризующей гене-
ральную совокупность.

5. ТИПЫ ЗАВИСИМОСТЕЙ И МОДЕЛЕЙ

В экономических исследованиях одна из основных задач —
анализ зависимостей между переменными (показателями). Зави-
симость может быть функциональной или статистической.
Функциональная зависимость, часто называемая детерми-
нированной, задается в виде формулы, которая каждому значению
одной переменной ставит в соответствие строго определенное
значение другой переменной (воздействием случайных факторов
при этом пренебрегают). В экономике функциональные зависи-
мости между переменными являются исключениями из общего
правила.
Статистическая зависимость — это связь переменных, на
которую накладывается воздействие случайных факторов. При
этом изменение одной переменной приводит к изменению мате-
матического ожидания — наиболее вероятного ожидаемого зна-
чения другой переменной. В экономике, как правило, приходится
сталкиваться со статистическими связями между переменными.
Уравнение регрессии — это формула статистической связи
между переменными. Если эта формула линейна, она представля-
ет собой линейную регрессию, в если нелинейная — нелиней-
ную регрессию. Существует большое количество форм нелиней-
ных моделей, которые могут быть преобразованы в линейные.

6. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина под воздействием случайных фак-
торов может с определенными вероятностями принимать те или
иные значения из некоторого множества чисел. Для характерис-
тики случайной величины должны быть указаны не только все ее
значения, но и вероятности появления этих значений. Различают
дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной называется случайная величина, которая прини-
мает отдельные, изолированные друг от друга значения. Число
возможных значений дискретной случайной величины конечно.
Дискретные случайные величины обычно представляют в виде
ряда распределения, который включает пары чисел, одно из ко-
торых — значение величины, другое — вероятность появления
этого значения. Сумма вероятностей появления всех значений
дискретной случайной величины равна 1.
Непрерывной называется случайная величина, множество
значений которой непрерывно заполняет некоторый числовой про-
межуток. Число возможных значений непрерывной случайной
величины бесконечно. Непрерывная случайная величина характе-

ризуется функцией распределения, которая показывает вероят-
ность того, что эта величина принимает значение, меньшее задан-
ной величины. Всему диапазону изменения случайной величины
соответствует единичное значение функции распределения.

7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ,
ДИСПЕРСИЯ (ВАРИАЦИЯ), СТАНДАРТНОЕ
ОТКЛОНЕНИЕ

Математическое ожидание — наиболее вероятное ожидаемое
значение случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной вели-
чины — это сумма произведений всех ее значений на соответству-
ющие им вероятности:

    
M x
x p
i
i

i n

i
( )
,
=
=

=
∑
1

где M(x)  —математическое ожидание случайной величины x;
xi — i-е значение величины x;
pi — вероятность появления i-го значения величины x;
i — порядковый номер дискретного значения величины x;
n — общее число дискретных значений величины x.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины
определяется выражением:

  M x
xf x dx
( )
( )
,
= ∫

где f(x) — плотность распределения величины x, она представляет
собой производную функции распределения величины x
по x;

∫
— интеграл, который берется на всем интервале, в кото-
ром определена x;
dx — дифференциал x.

Случайные величины, с которыми оперируют в эконометрике,
имеют нормальное или близкое к нормальному распределение.
Математическое ожидание случайной величины (mx), имеющей
нормальное распределение, равно среднему значению генераль-
ной совокупности.
Теоретическая (генеральная) дисперсия случайной величи-
ны определяется как математическое ожидание квадрата откло-

нения случайной величины x относительно ее математического
ожидания:

    D x
M x
mx
( )
.
=
−
(
)
2

Стандартное отклонение — среднее квадратическое откло-
нение случайной величины x представляет собой корень квадрат-
ный из ее дисперсии:

σ x
D x
=
( ) .

Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем откло-
няется случайная величина в совокупности от среднего значения.
Случайные величины, которые используются в эконометричес-
ком анализе, обычно представлены в виде ограниченной выборки.
Для нее оценкой математического ожидания служит выборочная
средняя — среднее арифметическое значений случайной величи-
ны в выборке:

x
n
xi
i

n
=
=∑
1

1
,

где x — выборочная средняя;
xi — i-е значение величины x;
i — порядковый номер выборочного значения величины x;
n — общее число данных в выборке.

Выборочная дисперсия (вариация) представляет собой
среднее арифметическое квадратов отклонения случайной вели-
чины от среднего значения:

var ( )
.
x
n
x
x
i
i

n
=
−
(
)
=∑
1
2

1

Стандартное отклонение, т.е. среднее квадратическое от-
клонение случайной величины x, представляет собой корень квад-
ратный из выборочной дисперсии:

σ x
x
=
var ( ) .

8. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ: НЕСМЕЩЕННОСТЬ,
ЭФФЕКТИВНОСТЬ, СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ

Характеристики генеральной совокупности, т.е. всего
возможного набора показателей обычно неизвестны, поэтому их
оценивают на основе характеристик выборочной совокупности —

ограниченного числа значений показателей. Характеристики гене-
ральной совокупности принято называть параметрами, а выбороч-
ной совокупности — оценками. Чтобы выборочная оценка давала
хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна
удовлетворять требованиям несмещенности, эффективности и
состоятельности.
Несмещенность оценок. Оценка называется несмещенной,
если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру
при любом объеме выборки. Если это не так, то оценка называется
смещенной.
Выборочная средняя  является несмещенной оценкой матема-
тического x ожидания генеральной совокупности — генеральной
средней mx:

m
x
x =
.

Выборочная дисперсия var(x) является смещенной оценкой
генеральной дисперсии. В качестве несмещенной оценки гене-
ральной дисперсии используется уточненная величина (исправ-
ленная дисперсия):

S
n
n
x
n
x
x
i
i

n
2

1
1
1
1
=
−
=
−
−
(
)
=∑
var ( )
,

где S2 — несмещенная оценка дисперсии генеральной совокуп-
ности;
S — несмещенная оценка стандартного отклонения гене-
ральной совокупности;
n — число измерений в выборке;
xi — i-е значение измеренного показателя в выборке;
i — порядковый номер измерения.

Величину S обычно называют стандартным отклонением слу-
чайной величины в выборке.
Эффективность оценок. Несмещенная оценка называется
эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по срав-
нению с другими выборочными оценками. Выборочная средняя x
является эффективной оценкой генеральной средней, она имеет
наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.
Состоятельность оценок. Оценка называется состоятельной,
если при увеличении объема выборки (n → ∞) она стремится к оце-
ниваемому параметру. Выборочная средняя x  является состоя-
тельной оценкой математического ожидания генеральной сово-
купности — генеральной средней mx.

9. КОВАРИАЦИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Ковариация. Различают выборочную и теоретическую
ковариацию. Выборочной ковариацией двух переменных х и у на-
зывается средняя величина произведений отклонений этих пере-
менных от своих средних значений:

cov( , )
,
x y
n
x
x
y
y
i
i

n

i
=
−
(
)
−
(
)
=∑
1

1

где cov(x, y) — ковариация случайных величин x и у;
xi и yi — i-е значения величин x и у;
x  и y — средние значения величин x и y;
i — порядковый номер дискретного значения пар ве-
личин x и у;
n — общее число дискретных значений пар величин
x и у.

Выборочная ковариация служит мерой связи между двумя
переменными. Более простое объяснение в качестве меры зави-
симости между величинами дается с помощью коэффициента кор-
реляции.
Коэффициент корреляции определяется выражением:

r
x y
x
y
x y
xy
x
y
=
=
cov( , )
var ( )var ( )
cov( , ) ,
σ σ

где
cov(x, y) — ковариация случайных величин x и у;
var(x) и var(y) — вариации величин x и у;
σx и  σy — стандартные отклонения величин x и y.

Коэффициент корреляции  является безразмерной величиной
и показывает степень линейной связи двух переменных:
r > 0 при положительной связи и r = 1 при строгой положитель-
ной линейной связи;
r < 0 при отрицательной связи и r = –1 при строгой отрицатель-
ной линейной связи;
r = 0 при отсутствии линейной связи.
Случайные величины x и y называются некоррелированными,
если r = 0, и коррелированными, если r ≠ 0. Если случайные вели-
чины x и y независимы, то они и некоррелированы (r = 0), но из
некоррелированности не следует их независимость. Некоррели-
рованность указывает лишь на отсутствие линейной связи между
переменными, но не на отсутствие связи между ними вообще.