Основы метода конечных элементов в механике деформируемых тел

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

________________________________________________________________________________

В.Л. ПРИСЕКИН, Г.И. РАСТОРГУЕВ

ОСНОВЫ 

МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

Учебник

НОВОСИБИРСК

2009

УДК 539.3:517.9 (075.8)

П 771

Рецензент 

д-р техн. наук, проф. И.П. Олегин

Присекин В.Л.

П 771
Основы метода конечных элементов в механике деформируемых 

тел : учебник / В.Л. Присекин, Г.И. Расторгуев. – Новосибирск : Изд-во 
НГТУ, 2010. – 238 с. (серия «Учебники НГТУ»)

ISBN 978-5-7782-1287-9

Современные пакеты прикладных программ, основанные на МКЭ (NA
STRAN, ANSYS, COSMOS/M), реализуют технологию этого метода для расчета на прочность, устойчивость и колебания любых конструкций, решения задач аэро-, гидро- и электродинамики. Квалифицированное применение подобных пакетов требует знания и понимания основ метода конечных элементов. В 
учебнике излагается принцип возможных перемещений как эффективное 
обоснование современного численного метода – метода конечных элементов 
(МКЭ) применительно к задачам расчета напряженно-деформированного состояния конструкций. Описаны этапы расчета с помощью МКЭ и приводится 
исследование наиболее распространенных конечных элементов. Изложено 
также решение задач теплопереноса с помощью МКЭ.

Учебник предназначен для студентов старших курсов факультета лета
тельных аппаратов, изучающих дисциплины «Вычислительная механика», 
«Прикладная теория упругости», и будет способствовать усвоению теории метода конечных элементов. Кроме того, окажется полезным студентам других 
факультетов, использующих МКЭ для решения прикладных задач.

УДК 539.3:517.9 (075.8)

ISBN 978-5-7782-1287-9
© Присекин В.Л., Расторгуев Г.И., 2010
© Новосибирский государственный

технический университет, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ .................................................................................................. 7

1.1. Основные определения теории упругости.......................................................... 7
1.2. ПВП в задачах плоского напряженного состояния ......................................... 23
1.3. Универсальная форма записи ПВП................................................................... 27

2. РАСЧЕТ ОДНОМЕРНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ .............................................. 29

2.1. Одномерные стержневые системы.................................................................... 30
2.2. Расчет свободной стержневой системы............................................................ 32
2.3. Закрепленные стержневые системы.................................................................. 35
2.4. Принцип минимума полной энергии ................................................................ 39
2.5. Параллельно-последовательные стержневые системы................................... 43
2.6. Пример расчета ................................................................................................... 50

3. РАСЧЕТ ФЕРМ.............................................................................................................. 53

3.1. Исходные данные................................................................................................ 53
3.2. Деформирование стержня.................................................................................. 54
3.3. Вывод уравнений равновесия............................................................................ 57
3.4. Пример расчета ................................................................................................... 61
3.5. Расчет трехмерных ферм.................................................................................... 65

4. РАСЧЕТ РАМ................................................................................................................. 67

4.1. Данные для расчета плоской рамы.................................................................... 68
4.2. Формирование конечных элементов................................................................. 69
4.3. Локальная система координат ........................................................................... 71
4.4. Уравнения изгиба и растяжения КЭ.................................................................. 73
4.5. Работа внутренних и поверхностных сил......................................................... 77
4.6. Матрица жесткости и узловые силы КЭ........................................................... 80
4.7. Уравнения равновесия узлов рамы ................................................................... 83
4.8. Расчет трехмерных рам ...................................................................................... 86

5. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ.............................................................. 95

5.1. Этапы МКЭ.......................................................................................................... 95
5.2. Вычисление работ сил на возможных перемещениях..................................... 97
5.3. Свойства матриц жесткости и узловых нагрузок .......................................... 100
5.4. Формирование уравнений равновесия пластинки......................................... 105
5.5. Шестиузловые треугольные конечные элементы.......................................... 109
5.6. Изопараметрические конечные элементы...................................................... 113
5.7. Условия закрепления........................................................................................ 126
5.8. Динамические задачи ....................................................................................... 130

ОГЛАВЛЕНИЕ
6

6. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛАСТИН ..................................................................................... 137
7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА...................................... 151
8. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ................................... 159
9. РАСЧЕТ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛ ................................................................................... 165

9.1. Четырехузловой тетраэдр................................................................................. 165
9.2. Восьмиузловой шестигранник......................................................................... 168
9.3. Двадцатиузловой изопараметрический КЭ .................................................... 172

10. ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО ПАКЕТА COSMOS/M К РЕ
ШЕНИЮ ЗАДАЧ ПРОЧНОСТИ.............................................................................. 175

10.1. Общие сведения о пакете COSMOS/M......................................................... 176
10.2. Конечные элементы и их атрибуты............................................................... 179
10.3. Пример решения задач с помощью COSMOS/M......................................... 183

11. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ............................................ 197

Задача 11.1. Построение геометрических объектов (варианты 1–17)................. 197
Задача 11.2. Расчет ферм......................................................................................... 202
Задача 11.3. Расчет рам............................................................................................ 205
Задача 11.4. Расчет пластин, подкрепленных стержнями.................................... 209
Задача 11.5. Расчет на прочность, устойчивость и колебания прямого отсе
ка крыла............................................................................................... 214

Задача 11.6. Расчет на прочность, устойчивость и колебания отсека стрело
видного крыла..................................................................................... 217

Задача 11.7. Расчет башни Шухова........................................................................ 221
Задача 11.8. Расчет трубопровода .......................................................................... 222
Задача 11.9. Расчет торообразной оболочки ......................................................... 223
Задача 11.10. Определение чувствительности датчика давления ....................... 224
Задача 11.11. Определение напряжений в косом фланце..................................... 225
Задача 11.12. Расчет теплообменника.................................................................... 226
Задача 11.13. Расчет трубки Бурдена..................................................................... 226
Задача 11.14. Расчет направляющего аппарата потока воздуха.......................... 227
Задача 11.15. Расчет силового набора перекрытия после реконструкции 

дома...................................................................................................... 229

Задача 11.16. Упругопластическое деформирование пластины в процессе 

нагружения и разгрузки..................................................................... 230

Библиографический список ............................................................................................ 232
Приложение...................................................................................................................... 233

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является универсальным численным методом расчета на статическую и динами
ческую прочность любых конструкций с учетом пластического деформирования материала, нестационарных температурных полей и больших перемещений [1–12]. Этот метод классифицируется как метод перемещений. Отчасти 
поэтому в курсе используется принцип возможных перемещений (ПВП) как 
эффективное обоснование МКЭ и инструмент для установления свойств объектов этого метода. Формулировка принципа возможных перемещений вызывает необходимость уточнить некоторые понятия, используемые в строительной механике и теории упругости. Для иллюстрации понятий: «типы сил», 
«возможные перемещения» рассмотрим постановку задачи расчета напряженного и деформированного состояния некоторого тела. Примем, что тело опре
делено в декартовой системе координат  x, y, z с ортами 
0
0
0
, 
, 
x
y
z


 , имеет объ
ем 
, ограниченный поверхностью S. На части поверхности Sp заданы поверх
ностные силы, проекции которых на оси координат  px, py, pz,  а на оставшейся 
части Sf – перемещения u, v, w. Отметим, что S = Sp + Sf . Внутри тела действуют объемные силы  qx, qy, qz. Представим эти величины в векторной форме:

0
0
0
0
0
0

0
0
0

 
,     
,

 
.  

x
y
z
x
y
z
p
p x
p y
p z
q
q x
q y
q z

f
ux
vy
wz















Таким образом, мы рассмотрели определение двух типов сил: поверхно
стные и объемные. Теперь изучим понятие «внутренние» силы. Любое тело 
состоит из атомов, взаимодействие между которыми определяет силы сцепления частиц тела между собой. Широко применяемый в строительной механике 
и теории упругости метод сечений основан на допущении: атомы, лежащие на 

В

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
8

поверхности сечения одной части тела, непосредственно взаимодействуют 
только с противоположно расположенными. Допущение о «близкодействии» 
нейтральных атомов подтверждается законом Ленарда–Джонса, согласно которому сила взаимодействия двух атомов, находящихся на расстоянии r , определяется соотношением

7
13

0

a
a
R
R
r
r
.

Здесь R0 – параметр, зависящий от температуры, постоянной Стефана–
Больцмана и постоянной a, которая представляет расстояние между атомами в 
теле. Эта величина достигает нескольких ангстрем (1 Å =10–10 м). Несложные 
расчеты показывают, что сила притяжения атомов, находящихся на расстоянии r
2a, на два порядка меньше силы, соответствующей расстоянию при
близительно 1.1a. Например, сила притяжения атомов, удаленных на расстояние 1 мм, составляет величину порядка 10–50R0. Эти оценки свидетельствуют о 
безусловной приемлемости гипотезы «близкодействия» для решения задач механики сплошных сред.

Для определения понятия внутренних сил мысленно разделим тело плос
костью на две части (рис. 1.1). На рис. 1.1 изображены силы взаимодействия 
между атомами, лежащими на общей плоскости частей І и ІІ тела. Эти усилия 
принято называть внутренними силами.

ІІ

x

y

z

t

І

dF

t



Рис. 1.1. Метод сечений

1.1. Основные определения теории упругости
9

Для их количественного описания выделим в сечении бесконечно малый 

элемент площади dF, ориентация которого задана вектором внешней нормали  . Усилия, действующие на элемент площади, представим вектором t dF


для части І тела, и 
t dF

для части ІІ. Величину t
назовем вектором внут
ренних сил или вектором напряжений.

Для вектора возможных перемещений точек тела введем обозначение:

0
0
0
f
u x
v y
w z




 ,

где 
( , , ),  
( , , ),  
( , , ) 
u
u x y z
v
v x y z
w
w x y z
представляют собой не
которые функции координат точек тела. Выбор этих функций является произвольным, за исключением требований:

max f



– бесконечно малая величина по сравнению с размерами тела;

f


– непрерывные функции с непрерывными производными первого 

порядка;

на поверхности Sf возможные перемещения должны удовлетворять ус
ловиям закрепления тела. Например, если на Sf
( , , )
u
x y z , то и 

( , , )
u
u
x y z . Поэтому возможное перемещение u на 
f
S
должно удов
летворять условию 
0
u
.

Теперь изложим принцип возможных перемещений: если тело находится 

в состоянии равновесия, то работа W внутренних сил равна работе A
поверхностных сил на возможных перемещениях:

W
A.

Этому утверждению эквивалентна другая, более удобная для практиче
ских вычислений, формулировка: если тело находится в состоянии равновесия, то разность работ 
внутренних и поверхностных сил на возмож
ных перемещениях равна нулю:

0
W
A
.

Для вычисления работ поверхностных и внутренних сил следует исполь
зовать правило «замораживания» удельных сил 
, , 
t
q p

  . Однако отметим, что 

для перемещений имеет место суперпозиция f
f
f





. Принцип возможных 

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
10

перемещений применим для решения любых задач – линейных, нелинейных, 
статического равновесия, движения. В линейных задачах, когда справедлив 
закон Гука, принцип возможных перемещений (ПВП) можно преобразовать в 
принцип полной энергии (принцип Лагранжа): из всех перемещений, удовлетворяющих условиям закрепления, осуществляются в действительности 
только те, для которых полная энергия системы минимальна. Дальше, на частных примерах, мы покажем эквивалентность этих положений механики 
сплошных сред. Практическое применение ПВП является искусством, овладеть которым можно лишь при изучении конкретных задач. Рассмотрим ряд 
примеров.

Усилитель жесткости. Рассмотрим систему жестких стержней с од
ним упругим телом (рис. 1.2). Стержни 0–2, 2–3, 3–4 считаем абсолютно жесткими с шарнирными соединениями между собой, пружина 4–1 имеет жесткость k .

R1
R2
x

R3
R4

y

0

k

0

P

1

4

3

2

Рис. 1.2. Схема усилителя жесткости 

Стержни опираются на две неподвижные опоры и свободно поворачивают
ся в плоскости , 
x y . Конструкция является системой с одной степенью свобо
ды. От действия силы P стержень 0–2 поворачивается на малый угол 
, а 

стержень 3–4 совершает поворот на опоре на угол 
. Происходит сближение 

концевых точек 1–4 пружины. Условие совместности перемещения узлов 2 и 3 
представим, полагая их малыми по сравнению с размерами стержней, в виде

3
0
2
(
cos
)
0
R
R
.

1.1. Основные определения теории упругости
11

Для больших углов поворота стержней подобное соотношение – нелинейное. 
Возможные перемещения узлов определяются величинами 
, 
, которые 

должны удовлетворять условию совместности:

3
0
2
(
cos
)
0
R
R
.

Выразим из этого уравнения 
:

2

3
0
cos
R

R
.

Запишем проекции перемещений узловых точек на ось y :

1
1
2
2
4
4
,  
,  
v
R
v
R
v
R
.

Удлинение пружины 1–4 равно:

4
1
4
1
v
v
R
R
.

Возможное удлинение пружины определяется величинами 
, 
:

4
2

4
1
1

3
0
cos
R R
R
R
R
R
.

Наконец, возможное перемещение узла 2 равно 
2
v :

2
2
v
R
.

В упругом теле пружины возникает внутренняя сила сжатия  по закону Гука:

N
k
.

Вычислим работу внутренних сил па возможных перемещениях и работу поверхностных сил

2
,   
W
N
A
P v .

Принцип возможных перемещений утверждает, что если система находится в 
состоянии равновесия, то эти работы равны:

2

4
2

1
2

3
0
cos
R R
k
R
PR
R
.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
12

Так как 
0 , то, выполняя простые преобразования, имеем связь между си
лой и перемещением узла 3:

2

4
1

2

3
0
2
cos
R
R
P
k
v
R
R
.

Очевидно, путем подбора размеров стержней можно увеличить жесткость системы в несколько раз по сравнению с величиной k .

Абсолютно жесткое тело. Пусть стержень, продольная ось которого  

ориентирована по оси x, имеет сечение F , длину l , нагружен объемными силами 
( )
x
x
q
q
x
и поверхностными силами p1x и p2x на торцах стержня для 

значений x = 0 и x = l соответственно. На рис. 1.3 изображены стержень и приложенная к нему нагрузка.

x

0
l

x
q

1x
p

2x
p

Рис. 1.3. Стержень, нагруженный распределенными силами

Задача вычисления разности работ П разделяется на ряд этапов, к изуче
нию которых приступим.

Уравнения равновесия. Двумя сечениями x и 

x
dx
вырежем бесконечно малый элемент 

стержня (рис. 1.4). В сечениях действуют внутренние силы 
x и 
x
x
d
. Запишем уравнение 

равновесия элемента:

0
x
x
x
x
F
d
F
q F dx
.

После преобразований получим дифференциальное уравнение равновесия 

бесконечно малого элемента стержня:

0
x

x

d
q
dx
.
(1.1)

x + dx

x
x
x
d

x

x
q

Рис. 1.4. Равновесие 

элемента стержня