Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ)

«» 

. . , . . () 

-2013 

22.11
        583 

: 

. . , . . . , .-. . . , , , 583      . ., . . (). -. 

– .: , 2013 – 200 . 

, , 1 2-. . . 

ISBN 978-5-7042-2490-7 

© , 2013 

© «», 2013 

Введение 
 
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для изучения 

высшей математики на факультете Физики и информационных технологий 

МПГУ и учитывает специфику этого факультета. Оно написано в соответствии 

с требованиями ФГОС для направления подготовки «Педагогическое образова
ние», рассчитано на студентов 1 и 2 курса, обучающихся по профилям: Физика, 

Физика и Информатика, Фундаментальная физика. 

 
Пособие включает в себя 8 разделов математического анализа и элементы 

теории вероятностей: 

1) Введение в анализ 

2) Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его приме
нения 

3) Неопределенный и определенный интеграл 

4) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 

5) Кратные и криволинейные интегралы 

6) Векторный анализ 

7) Ряды 

8) Дифференциальные уравнения 

9) Элементы теории вероятностей 

Структура пособия такова, что оно содержит в краткой форме основной тео
ретический материал, подробное решение типовых задач, большое количество 

заданий для самостоятельной работы, ответы и список литературы для более 

подробного ознакомления с рассматриваемыми темами. Изучение каждого раз
дела заканчивается примерным вариантом контрольной работы, коллоквиума 

или индивидуального задания. 

Благодаря такой структуре, пособие может быть использовано не только как 

задачник для практических занятий, но также для организации самостоятельной 

работы студентов, работы по индивидуальным планам, в экстернате. 

Дополнительно можно рекомендовать задачник [5]  

Глава 1. Введение в анализ 

 
Функции и их графики 

 
Говорят, что на некотором множестве X задана функция
( )
x
f
y =
, если 
для любого 
X
x∈
 (читается x принадлежит X) найдется единственное значение 
y, которое определяется соотношением 
( )
x
f
y =
. 
Множество допустимых значений X называется областью определения 

функции. 

Основные элементарные функции:

b
kx
y
+
=
 – линейная функция, график – прямая, область определения 

(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
 
c
bx
ax
y
+
+
=
2
 (
0
≠
a
) – квадратичная функция, график – парабола, область определения 
(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
 

x
k
y =
 (
0
≠
k
) – обратная пропорциональность, график – гипербола, об
ласть определения 
(
)
(
)
+∞
∪
∞
−
∈
;0
0;
x
 или коротко 
0
≠
x
 

3
x
y =
, 
(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
;  
4
x
y =
, 
(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
;  
x
y =
, 
[
)
+∞
∈
;0
x
;  

3 x
y =
, 
(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
;  

α
x
y =
 рассматривается при 
(
)
+∞
∈
;0
x
 – степенные функции 

x
a
y =
 (
0
>
a
; 
1
≠
a
), 
(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
 – показательная функция 
x
y
a
log
=
 (
0
>
a
, 
1
≠
a
), 
(
)
+∞
∈
;0
x
 – логарифмическая функция 

x
y
sin
=
, 
(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
; 
x
y
cos
=
, 
(
)
+∞
∞
−
∈
;
x
; 
x
y
tg
=
; 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
≠
n
x
π
π
2
; 

x
y
ctg
=
, 
)
(
n
x
π
≠
– тригонометрические функции 

Основные приёмы построения графиков 

10 График  функции  
(
)
a
x
f
y
−
=
  получается  из  графика функции 
( )
x
f
y =
 
сдвигом по оси ox на “a ” вправо, если 
0
>
a
, а график функции 
(
)
a
x
f
y
+
=
 
сдвигом по оси ox на “a ” влево, если 
0
>
a
. 
Пример

0

1

3

3

1

2

-1

-1
x

y
y=x
y=(x-2)

20 График функции 
( )
A
x
f
y
+
=
 получается из графика функции 
( )
x
f
y =
 сдви
гом по оси oy на А вверх, если 
0
>
A
 или вниз, если 
0
<
A
. 
 
Пример

0

2

2

-2

x

y

y=x

y = x - 2

 
30 График функции 
(
)
kx
f
y =
 получается из графика функции 
( )
x
f
y =
 сжатием 

в “k ” раз по оси ox, если 
1
>
k
 (если 
1
0
<
< k
, то растяжением в “ k

1 ” раз по 

оси ox ). 
 
Пример

0

1

2

2

x

y

y=sin x

y=sin2x

 
40 Понятие модуля 

⎩
⎨
⎧
<
−

≥
=
0
если
,

0
если
,

x
x

x
x
x
 

 
При построении графика функции 
( )
x
f
y =
сохраняется та часть графика, 
где ( )
0
≥
x
f
, а та часть, где ( )
0
<
x
f
 зеркально отражается относительно оси ox. 

 
Пример

0
0
-2

2
2

-2
x
x

y
y

y = x+2

y = x+2

При построении графика функции 
( )
x
f
y
−
=
 происходит зеркальное отражение графика функции 
( )
x
f
y =
 относительно оси ox, при построении графика 
(
)
x
f
y
−
=
 – зеркальное отражение графика функции 
( )
x
f
y =
 относительно оси oy. 
Примеры

0
0
x
x

-a
a

y
y

y = f(x)
y = f(x)

y = - f(x)

y = f(-x)

 
Примеры для самостоятельного решения 

Построить графики функций: 

1) 
2x
y =
 
 
 
2) 
3x
y =
 
 
3) 
4x
y =
 
 
4) 
(
)

2
1
−
= x
y
 

5) 
(
)

3
2
+
= x
y
 
 
6) 
(
)

4
3
−
= x
y
 
7) 
x
y =
  
8)
3 x
y =
 

9) 
3
−
=
x
y
 
 
10) 
1
+
=
x
y
 
11) 
x
y
3
=
  
12) 
1
3
−
=
x
y
 

13) 

2

3
1
+
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=

x
y
 
 
14) 
x
y
2
log
=
 
15)
(
)
x
y
−
=
2
log
 16) 
x
y
1,
0
log
−
=
 

17) 
(
)1
log
1,
0
+
=
x
y
 
18) 
x
y
ln
=
  
19) 
x
x
y
−
=
2
 
20) 
2
−
= x
y
 

21) 
4
2 +
−
=
x
y
 
 
22) 
1
2 −
= x
y
 
23) 
x
ch
y =
  
24) 
x
sh
y =
 
25) 
(
)

2
2
+
−
=
x
y
  
26) 
9
6
2
+
+
=
x
x
y
 
27) 
(
)
3
2
2 +
−
= x
y
 

28) 
2
2
2
+
+
=
x
x
y
 
29) 
(
)

3
1
+
= x
y
 
 
30) 
3x
y
−
=
  
31) 
1
3 +
= x
y
 

32) 
x
y
1
=
 
 
 
33) 
2
1
x
y =
  
 
34) 
2

1
+
= x
y
 

35) 
3
2

1
+
+
= x
y
  
36) 
1
1

2 +
= x
y
 
 
37) 
(
)

2
1
1
−
=
x
y
 
 

38) 
2
+
= x
y
 
 
39) 
x
y
−
=1
 
 
40) 
x
th
y =
 

41) 
x
y
2
sin
=
 
 
42) 
3
cos x
y =
 
 
43) 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
=
3
2
sin
π
x
y
 

44) 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
+
=
4
cos
2
1
π
x
y
  
45) 
x
y
cos
=
 
 
46) 
x
y
tg
=
 

47) 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
=
3
ctg
π
x
y
 
 
48) 
x
y
tg
=
  
49) 
 
  
sin x
y =
 
50) 
x
y
sin
=
 

 
 
 

Вычисление пределов 
последовательностей и функций 
 
Число А называется пределом последовательности 
na  (обозначается 
A
an
n
=

∞
→
lim
 ), если для любого сколь угодно малого числа 
0
>
ε
 найдется такой 

номер N , что для всех номеров 
N
n >
 справедливо неравенство  

ε
<
− A
an
. 
Геометрически это означает, что все члены последовательности 
na , начиная с некоторого  номера  N  лежат внутри ε  – окрестности точки A: 
 

A

A
a
a
N+1
N+2

A

 
 
Образцы решений 

а) 
1
+
= n

n
an
. Доказать, что 
1
1
lim
=
+
∞
→ n

n

n
, пользуясь только определением и найти 

номер N, соответствующий ε  = 0,1 ; ε  = 0,01. 
Решение 
Пусть 
0
>
ε
 – любое. Требуется найти номер N , такой, чтобы для всех 

N
n >
 выполнялось неравенство 
ε
<
−
+
1
1
n
n
 или 
ε
<
+
−
−
1
1
n
n
n
 , отсюда 

ε
<
+1
1

n
 или 
ε
1
1>
+
n
 , значит 
1
1 −
> ε
n
. 

 
Обозначим через [ ]
x  целую часть числа x . Целой частью числа x  называется наибольшее целое число, не превосходящее x . 

Поэтому если брать 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
= ε
1
N
, то интересующее нас неравенство будет 

выполняться   при  всех   
N
n >
.  В  частности  при  ε  = 0,1  N = 9,  при 

ε  = 0,01 N = 99. 

б) Вычислить предел 
n
n

n
n

n
4
7

2
5
lim
2

3

+
+
−

∞
→
. 

Решение 
Для решения таких примеров, где числитель и знаменатель представляют собой многочлены или степенные функции, а 
∞
→
n
, числитель и 
знаменатель дроби делят на старшую степень n, в данном случае на n

3: 

lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
n

n
n

→∞
→∞
+
+
+
=
+
+

+
= ∞

3

2

2
3

2

5
2
7
4

1
5
2

7
4
, 

т.к. числитель → 1, а знаменатель → 0. 

Примеры для самостоятельного решения 

51) Пользуясь только определением, найти lim 
n
n
n
→∞
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 . 

52) Показать, что предел  последовательности 
1
)1
(
+
−
= n

n
a

n

n
 не может существо
вать. 
Вычислить пределы: 

53) lim 
n
n
→∞
1

2   
 
 
54) lim 
n
n
→∞ 5   
 
         55) lim 
n
n

n
→∞

+ 1 

56) lim 
n
n
n

n
n
→∞
−
+

+

3
2

2
10
1

100
15
 
 
57) 
5
3

5
2
lim
2
3

3

+
+
+
+

∞
→
n
n

n
n
 
n
 
         58) lim 
n
n
n

n
n
→∞
−
+

−
+

2

2
6
7

4
9  

59) lim 
n
n

n
n
→∞

+

−
+
5

7
8

2
 
 
60) 
2

3

6
5

6
lim
n
n

n
 
n
+
+
+

∞
→
 
         61) 

n
n

n
 
n
+
∞
→
2
lim
 

62) 

1000
lim
2 +
∞
→
n

n
 
n
 
 
63) 

n
n
n
 
n
+
∞
→ 10
lim

2
  
 
64) 
1

1
lim

3
2

+
+

∞
→
n
n
 
n
 

 
Число А называется пределом функции y = f(x)  при x
x
→
0, если для любого сколь угодно малого ε >0 найдется такая окрестность 
)
(
0x
U
 точки x0 , что 
для всех x из этой окрестности (
)
x
x
≠
0  выполняется неравенство 
f x
A
( ) −
< ε .  

0

U

x

y

A

A

x

(x )

x

0

0

A

 

 
Геометрически это означает, что для 
всех точек 
)
(
 
0x
U
x∈
, кроме самой 
точки x0 , значения f(x) лежат в промежутке 
(
,
)
A
A
−
+
ε
ε , 
т.е. 

A
f x
A
−
<
<
+
ε
ε
( )
. 

Справедливы следующие правила: 
1) Если числитель и знаменатель дроби стремятся к некоторым постоянным 
числам, то предел равен их отношению. 
2) Если числитель стремится к постоянному числу, а знаменатель к бесконечности, то предел равен 0. 
3) Если числитель стремится к бесконечности, а знаменатель к постоянному 
числу, то предел равен ∞ . 
4) Если же числитель и знаменатель одновременно стремятся к 0 или ∞ , то го
ворят, что имеется неопределенность типа 0

0  или ∞

∞  и её надо раскрыть. Вы
ражение вида ∞ –∞  также представляет собой неопределенность. 

Образцы решений 

а) 
∞
=
−
+

→
3
1
lim
3 x

x

x
  ,т.к. числитель стремится к 4, а знаменатель к 0. 

б) 
x
x

x
x

x
−
+
−

→
2

2

1
1
2
lim
 = 
(
)

(
)
0
1
lim
1
1
lim
1

2

1
=
−
=
−
−

→
→
x
x
x
x
x

x
x
 

в)
 
2
3

2
3
2
lim
2

2

2
+
−
−
−

→
x
x

x
x

x
 
= 
(
)

(
)(
)1
2
2
1
2
2
lim
2
−
−

⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
−

→
x
x

x
x

x
= 
1
1
2
lim
2
−
+

→
x
x

x
= 5 

г)
 
2
5

3
lim
3
4

2

+
+
+

∞
→
x
x

x
x

x
 = 

4

3
2
2
5
1

3
1

lim

x
x

x
x

x
+
+

+

∞
→
= 0 

д) 
x

x
x

x
−
+

+∞
→
1
lim
 = 
(
) (
)

(
)
x
x
x
x
x
x
x

x
+
+
+
+
⋅
−
+

∞
→
1
1
1
lim
 = 
(
)
x
x
x
x
x

x
+
+

−
+

∞
→
1
1
lim
 = 0 

 
Примеры для самостоятельного решения 
 

65) 
3
5
lim
2

2

2
−
+

→ x

x

x
  
    66) 
x

x

x
−
→ 1
lim
1
 
 
 
67) 
x
x

x
x

x
−
+
−

→
3

2

1
1
2
lim
 

68) 
(
)

1
2
1
lim
2
1
−
−
−

→
x

x
x

x
     69) 
(
)
3
3
4
lim

2

3
−
+
−

→
x
x
x
x

x
 
 
70) 
x
x

x
x

x
2

6
5
lim
2

2

2
−
+
−

→
 

71) 
2

2

1
3
4

4
4
lim
x
x

x

x
−
+
−

−
→
 
    72) 
10
7

5
11
2
lim
2

2

5
+
−
+
−

→
x
x

x
x

x
  
73) 
x
x

x
1
1
lim

2

0
−
+

→
 

74) 
1

3
8
lim
1
−
−
+

→
x
x

x
 
    75) 
x
x

x
2
8
lim

3

0
−
−

→
 
 
76) 
)
4
(
lim
2
x
x
x
−
+
+∞
→
 

77) 
1
3
lim
2
4

3

+
−
+

∞
→
x
x

x
x

x
 
    78) 
1
3

5
lim
2

4

+
−
−

∞
→
x
x

x
x

x
 
 
79) 
1
2

1
lim
2

2

+
−

∞
→
x
x

x
 

80) 
3
2

3

3
1

3
1
lim
x
x

x
x

x
+
+
−
+

∞
→
          81) 

x
x
x
x
x

x
2

2
3
7
3
lim
+
+

∞
→
 
82) 
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝

⎛
−
+
∞
→
x
x
x

x
1
lim
2

3

 

83) 

3
3

2

4
3
5
16
lim
−
−
−
−

→
x
x
x

x
   
84) 
1

2
lim
2
3

3

1
+
−
−
−
+

→
x
x
x

x
x

x
    
85) 
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
−
−
→
3
1
1
3
1
1
lim
x
x
x
 
 
 
 

Первый замечательный предел и его следствия 
 

1
sin
lim
0
=
→
x

x

x
 
—  первый  замечательный предел 

 
Следствия

1
tg
lim
0
=
→
x
x

x
 
1
arcsin
lim
0
=
→
x

x

x
 

1
arctg
lim
0
=
→
x

x

x
 
1

2
1
cos
1
lim

2
0
=
−

→
x

x

x
 

 
Функция 
( )
x
y
α
=
 называется бесконечно малой в окрестности точки 
0x , 
если 
( )
0
lim

0
=

→
x
x
x
α
. 

Две  бесконечно  малые  при 
0x
x →
  функции ( )
x
α
 и 
( )
x
β
  называются 

эквивалентными, если 
( )
( )
1
lim

0
=
→
x
x

x
x
β
α
 (записывается ( )
( )
x
x
β
α
~
). 

При вычислении пределов бесконечно малую можно заменить на эквива
лентную величину. 

Таблица эквивалентных бесконечно малых 
при 
0
→
x

x
x ~
sin
x
x ~
arcsin

x
x ~
tg
x
x ~
arctg

2

2
1
~
cos
1
x
x
−
 

 
Образцы решений 

а) 
x
tg
x

x
5
4
sin
lim
0
→
=
5
4

5
4
lim
0
=
→
x
x

x
 

б) 
x
x

x

x
2
sin
cos
1
lim

3

0
−

→
=
(
) (
)

x
x

x
x
x

x
2
sin

cos
cos
1
cos
1
lim

2

0
+
+
⋅
−

→
=
2

2

0
2

3
2
1

lim
x

x

x

⋅

→
= 4

3  

Примеры для самостоятельного решения 

86) 
x

x

x
3
sin
lim
0
→
 
 
87) 
x
kx

x
tg
lim
0
→
 
 
88) 
x
x

x
β
α

sin
sin
lim
0
→
 

89) 
x
x

x
5
sin

2
tg
lim
0
→
 
 
90) 
x

x

x
3

2
arcsin
lim
0
→
  
91) 
x
x
x
x

x
arctg
2
arcsin
2
lim
0
+
−

→