Теория и практика по вычислительной математике

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 

СИБИРСКИЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

В. Е. Зализняк 
Г. И. Щепановская 
 
 
ТЕОРИЯ  И  ПРАКТИКА 
ПО  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  МАТЕМАТИКЕ 

 
 
Допущено УМО по классическому университетскому образованию  
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по специальности (направлению) подготовки ВПО 010501 
(010500.62) «Прикладная математика и информатика» (ОПД.Ф.09 – Численные методы), 11.10.2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2012 

УДК 519.6(07) 
ББК 22.19я73 
          З-236 

 
      Рецензенты: 

        В. В. Шайдуров, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, директор Института вычислительного моделирования СО РАН; 
        В. Е. Распопов, кандидат физико-математических наук, доцент, 
профессор кафедры «Вычислительные и информационные технологии» Института математики СФУ 

 
        Зализняк, В. Е. 

З-236           Теория и практика по вычислительной математике :  учеб. 

пособие / В. Е. Зализняк, Г. И. Щепановская. – Красноярск : 
Сиб. федер. ун-т, 2012. – 174 с. 

ISBN 978-5-7638-2498-8 

Изложены методы решения задач численного анализа, приведены 

краткое руководство по программированию в среде MATLAB и задания 
для практических занятий.  

Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучаю
щихся по специальности (направлению) подготовки ВПО 010501 
(010500.62) «Прикладная математика и информатика» (ОПД.Ф.09 – Численные методы). 

 
УДК 519.6(07) 
ББК 22.19я73 

ISBN 978-5-7638-2498-8 
 
        © Сибирский федеральный университет, 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 
 
Предисловие  ...................................................................................  
6 
 
ГЛАВА 1. Некоторые понятия математического и функционального анализа  ....................................................................  
7 
1.1. Сравнение функций  ..........................................................  
7 
1.2. Классы функций  ................................................................  
8 
1.3. Элементы множеств. Метрическое пространство  ..........  
8 
1.4. Линейное пространство  ....................................................  
8 
1.5. Линейно зависимые элементы  .........................................  
9 
1.6. Линейное нормированное пространство  ........................  
9 
1.7. Понятие сходимости  .........................................................  
10 
 
ГЛАВА 2. Краткие сведения из линейной алгебры  ................  
11 
 
ГЛАВА 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений  ................................................................................................  
17 
3.1. Типы матриц, часто встречающиеся при решении задач   
17 
3.2. Число обусловленности  ....................................................  
21 
3.3. Основные принципы прямых методов решения систем 
линейных алгебраических уравнений  ............................  
23 
3.4. Оценка ошибки приближённого решения  ......................  
26 
3.5. Основные принципы итерационных методов решения 
СЛАУ ..................................................................................  
27 
3.5.1. Метод Якоби  ...........................................................  
29 
3.5.2. Метод Гаусса — Зейделя  .......................................  
30 
3.5.3. Метод релаксации ...................................................  
31 
3.5.4. Вариационно-итерационные методы  ....................  
35 
3.6. Задания для практических занятий  .................................  
37 
 
ГЛАВА 4. Вычисление собственных значений и векторов  ...  
45 
4.1. Степенной метод  ...............................................................  
45 
4.2. Метод обратной итерации  ................................................  
46 
4.3. Итерации со сдвигом начала  ............................................  
48 

Оглавление 

4 

4.4. Применение ортогональных преобразований (QRметод)  ................................................................................  
50 
4.5. Задания для практических занятий  .................................  
52 
 
ГЛАВА 5. Решение уравнения f(x) = 0  ......................................  
56 
5.1. Одноточечный итерационный процесс  ...........................  
59 
5.2. Многоточечный итерационный процесс  .........................  
64 
5.3. Одноточечный итерационный процесс с памятью  ........  
65 
5.4. Задания для практических занятий  .................................  
66 
 
ГЛАВА 6. Решение систем нелинейных уравнений  ................  
68 
6.1. Метод простой итерации  ..................................................  
68 
6.2. Метод Ньютона  .................................................................  
72 
6.3. Метод с кубической сходимостью  ..................................  
75 
6.4. Модификации метода Ньютона  .......................................  
75 
6.5. Повышение надёжности метода Ньютона  ......................  
76 
6.6. Задания для практических занятий  .................................  
77 
 
ГЛАВА 7. Численное интегрирование  ......................................  
81 
7.1. Простейшие квадратурные формулы  ..............................  
81 
7.2. Вычисление интегралов с заданной точностью  .............  
89 
7.3. Формулы Гаусса — Кристоффеля  ...................................  
90 
7.4. Задания для практических занятий  .................................  
93 
 
ГЛАВА 8. Интерполяция и приближение функций  ................  
97 
8.1. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона  ....  
97 
8.2. Тригонометрические интерполяционные полиномы  .....  
100 
8.3. Сплайн-интерполяция  ......................................................  
102 
8.4. Метод наименьших квадратов  .........................................  
104 
8.5. Приближение функции набором ортогональных функций   
106 
8.6. Использование интерполяционных полиномов для 
приближения функций  .....................................................  
110 
8.7. Задания для практических занятий  .................................  
111 
 
ГЛАВА 9. Основные понятия построения разностных схем   
114 
9.1. Простейший пример конечно-разностной схемы  ..........  
114 
9.2. Аппроксимация дифференциального уравнения разностной схемой  .....................................................................  
116 

Оглавление 

5 

9.3. Замена производных разностными отношениями  .........  
118 
9.4. Определение устойчивости разностной схемы  ..............  
119 
9.5. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости  ..................................................................................  
120 
 
ГЛАВА 10. Численное решение задачи Коши  ..........................  
122 
10.1. Условие устойчивости разностных схем для задачи 
Коши  ................................................................................  
122 
10.2. Методы Рунге — Кутты  .................................................  
125 
10.3. Методы Адамса  ...............................................................  
126 
10.4. Задания для практических занятий  ...............................  
130 
 
ГЛАВА 11. Численное решение краевых задач  .......................  
134 
11.1. Сведение разностной схемы к системе уравнений  ......  
134 
11.2. Метод установления  .......................................................  
136 
11.3. Аппроксимация граничных условий в случае, когда 
на границе задано значение производной  .....................  
138 
11.4. Оценка ошибки приближённого решения  ....................  
140 
11.5. Задания для практических занятий  ...............................  
141 
 
ГЛАВА 12. Программирование в среде MATLAB  ..................  
145 
12.1. Числа, переменные и специальные символы  ................  
146 
12.2. Арифметические и логические выражения  ..................  
148 
12.3. Условные операторы  ......................................................  
149 
12.4. Операторы цикла  .............................................................  
150 
12.5. Массивы  ...........................................................................  
152 
12.6. Функции  ...........................................................................  
154 
12.7. Ввод и вывод  ...................................................................  
157 
12.8. Визуализация  ...................................................................  
160 
 
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Узлы и веса некоторых квадратурных 
формул Гаусса — Кристоффеля  .................................................  
163 
 
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Условия устойчивости для некоторых 
разностных схем Рунге — Кутты, Адамса и «предикторкорректор»  ......................................................................................  
172 
 
Библиографический список  ........................................................  
173 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
 
Развитие науки и современных технологий в значительной степени основано на компьютерном моделировании. Для того чтобы освоить общие принципы и методы компьютерного моделирования, 
студенты прежде всего должны овладеть основами классических численных методов. В настоящее время широко используется различное 
программное обеспечение, и его невозможно применять грамотно  
и эффективно без глубокого понимания численных методик, на которых эти программы основаны. Наряду с теоретической подготовкой 
студенты должны получить и практические навыки в решении различных задач численного анализа. 
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов математических и физико-технических специальностей, изучающих дисциплину «Численные методы». В пособии кратко излагаются методы 
решения задач численного анализа и приводятся задания для практических занятий.  
Наиболее подходящей для проведения практических занятий, по 
мнению авторов, является среда программирования MATLAB, поэтому последняя глава пособия содержит краткое руководство по программированию в этой среде. Однако можно использовать и другие 
программные среды. В этом случае следует заменить функции 
MATLAB, которые используются в практических заданиях, на соответствующие функции выбранной программной среды. 
При написании книги авторы опирались на личный опыт чтения 
лекций и ведения практических занятий по вычислительной математике в течение ряда лет в Институте математики и Институте космических и информационных технологий Сибирского федерального 
университета.  
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам — 
члену-корреспонденту Российской академии наук В. В. Шайдурову, 
профессору В. Е. Распопову — за ряд ценных замечаний в рукописи  
и благодарность И. В. Тимошиной за помощь в подготовке книги  
к печати. 
 

ГЛАВА 1 
Некоторые понятия математического  
и функционального анализа  
 
 
 
При изучении численных методов нам понадобятся основные 
понятия математического и функционального анализа. Рассмотрим их. 
 
 
1.1. Сравнение функций 
 
Пусть j(h) — некоторая функция переменной h с конечной областью определения D4 на полуоси h > 0, причём h Î D4 может принимать сколь угодно малые значения. Тогда если существуют такие 
положительные числа h, c, k, что при всех h Î D4, удовлетворяющих 
условию 0 < h < h0, выполняется неравенство |j(h)| ≤ chk, то  
 
j(h) = O(hk), 
 
и говорят, что j(h) есть O большое от hk при h → 0.  
Отсюда следует: если j(h) = O(hk) и y(h) = O(hk), причём 
Dj = Dy, то j(h) + y(h) = O(hk), т. е. O(hk) + O(hk) = O(hk). Если 
k > m > 0, то O(hk) в то же время есть O(hm). Наконец, если 
j(h) = O(hk), то aj(h) = O(hk), где a — постоянная, не зависящая  
от h.  
Аналогично вводится понятие «O большое от Nk» при N → ¥. 
Функция j(N) есть O большое от Nk, если найдётся такая постоянная 
c > 0, что для всех N > N0 
 

(
)
.
k
N
cN
j
£
 

 
П р и м е р. 3h2 = O(h2), так как 3h2 ≤ 4h2.  

Глава 1 

8 

1.2. Классы функций 
 
Будем говорить, что f(x) принадлежит классу Ck[a, b], и писать 
f Î Ck[a, b], если функция определена на отрезке [a, b] и имеет на нём 
непрерывные производные до порядка k включительно.  
Это означает, что на интервале (A, B), содержащем отрезок  
[a, b], существует k раз непрерывно дифференцируемая функция f *, 
совпадающая на [a, b] с f. Тогда нет вопросов о производных на концах отрезка.  
 
 
1.3. Элементы множеств. Метрическое пространство 
 
Пусть M — множество элементов f, g, r произвольной природы. 
Множество M называется метрическим пространством, если любой 
паре его элементов поставлено в соответствие неотрицательное число 
r(f, g), называемое расстоянием между элементами f и g, которое 
удовлетворяет аксиомам расстояния:  
1) r(f, g) = 0 тогда и только тогда, когда f = g;  
2) r(f, g) = r(g, f), " f, g Î M; 
3) r(f, r) ≤ r(f, g) + r(g, r), " f, g, r Î M. 
Последнее свойство называется неравенством треугольника. 
Функцию r(f, g) называют метрикой пространства M.  
 
 
1.4. Линейное пространство 
 
Пространство M называется линейным, если в нём определены 
операции сложения и умножения на действительные числа. При этом 
операции не выводят элементы за пределы множества и обладают 
следующими свойствами:  
1) сложение ассоциативно: ( + )+
+( + )
f
g
r = f
g
r ;  
2) сложение коммутативно: +
=
+
f
g
g
f ; 
3) существует нулевой элемент 
,
0
M
Î
 т. е. 
,
+0 =
f
f  f
M
"
Î
; 

Некоторые понятия математического и функционального анализа 

9 

4) 
,
;

0
= 0  
f
f
M
" Î
 
5) 
,




( + ) =
+
f
f
f  где α, β — действительные числа (и далее); 
6) 
;



( + )=
+
f
g
f
g  
7) 
;
 

(
)=(
)
f
f  
8) 
.

1
=
f
f  
 
 
1.5. Линейно зависимые элементы 
 
Система элементов 
1
2
,
,
,
n
f
f
f
...
 пространства M называется линейно зависимой, если существуют 
1
2
,
,
,
n



...
¹ 0 такие, что  
 

1 1
2 2
0
n n
f
f
f
a
+ a
+... + a
=
, 

 
в противном случае 
1,
,
n
f
f
...
 линейно независимые и равенство возможно только при 
n



1
2
=
=...=
= 0.  
 
 
1.6. Линейное нормированное пространство 
 
Множество F называется линейным нормированным пространством, если оно линейно и каждому элементу f
F
Î
 поставлено в соответствие действительное число f
 , называемое нормой f и удовлетворяющее аксиомам:  
1) f
³ 0
 
, причём f
= 0
 
 тогда и только тогда, когда 
= 0
f
, 
т. е. f  является нулевым элементом в F ;  
2) 
=|
|
f
f
a
a ⋅



 для любого действительного ;  
3) 
,  
,
+
+
f
g
f
g
f g
F
£
"  
Î





— неравенство треугольника.  
Примером нормированного пространства является класс 
,
[
]
C a  b  
всех непрерывных функций, заданных на отрезке. 
Любое линейное нормированное пространство является одновременно метрическим пространством с расстоянием (метрикой) 

Глава 1 

10 

,f g
f
g
(  ) =
r

, 

 
так как аксиомы 1, 2 выполняются, а аксиома 3 следует из неравенства треугольника для нормы 
 
,f r
f
r
f
g
g
r
(
)
(
)
(
)
r
=
=
+
£




 

,
,
f
g
g
r
f g
g r
(
)
(
)
£
+
= r
+ r
.




 

 
 
1.7. Понятие сходимости 
 
Последовательность { }
nf
 элементов метрического (нормированного) пространства сходится к его элементу ,f  если 
 
, n
n
f f
f
f
(
)
0 (
0)
r




 при n  ¥. 

 
Приближённые решения задач удобно трактовать как элементы 
некоторого метрического или нормированного пространства. Погрешность измеряется расстоянием или нормой разности точного  
и приближённого решений в соответствующем пространстве.  
 
 

ГЛАВА 2 
Краткие сведения из линейной алгебры 
 
 
 
Рассмотрим некоторые основные определения из линейной алгебры, которые необходимы для понимания матричных вычислений. 
В дальнейшем будем предполагать, что матрицы и векторы вещественные. Векторы являются элементами N-мерного линейного пространства. 
Любой паре векторов x, y можно поставить в соответствие вещественное число (x, y), которое называется скалярным произведением.  
Для скалярного произведения постулируются следующие аксиомы: 
 
(x, y) = (y, x),   

(ax, y) = a(x, y),  
 
где a — вещественное число; 
 
(x + y, z) = (x, z) + (y, z), 
 
где (x, x) > 0 при x  o, где o — нулевой вектор, (o, o) = 0. 
Вещественное линейное пространство с определённым таким 
образом скалярным произведением называется N-мерным евклидовым 
пространством RN. 
Векторы-столбцы 
 

1

1

0

.

.

.

0

æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
ç ÷
ç
=
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø

b
, 
2

0

1

.

.

.

0

æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
ç ÷
ç
=
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø

b
, ..., 

0

.

.

.

0

1

N

æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
ç ÷
ç
=
÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø

b
 

Глава 2 

12 

образуют стандартный базис в RN. Все другие векторы могут быть 
разложены по базису bn (n = 1, ..., N): 
 

1
1
...
N
N
x
x
=
+
+
x
b
b . 

 
Коэффициенты xn представляют собой компоненты вектора x,  
и это представление обычно записывается в компактной форме 
 
x = (x1, …, xN)T. 

 
Надстрочный индекс «T» обозначает операцию транспонирования, которая превращает векторы-столбцы в векторы-строки и наоборот.  
Скалярное произведение векторов x = (x1, …, xN)T и y = (y1, …, yN)T 
вычисляется следующим образом: 
 

,

N

n
n
n
x y
T

1
(
)
.

=
=
= å
x y
x y
 

 
Два вектора x и y ортогональны, если (x, y) = 0. Скалярное произведение порождает норму вектора 
 

,
N

N

n
R
n
x

1/2

2

1
||
||
(
)

=

æ
ö÷
ç
÷
ç
=
=
÷
ç
÷÷
çè
ø
å
x
x x
. 

 
Для вектора x = (x1, …, xN)T вещественное число 
 
1/

1
||
||
|
|

p
N
p
p
n
n
x

=

æ
ö÷
ç
÷
ç
=
÷
ç
÷÷
çè
ø
å
x
 

 
есть норма при любом значении p  1 (p-норма Гёльдера). На практике часто применяются следующие нормы: 

Краткие сведения из линейной алгебры 

13 

1
1
||
||
|
|

N

n
n
x

=
= å
x
, 

 

,

N

n
n
x

1/2

2
2
1
||
||
(
)

=

æ
ö÷
ç
÷
ç
=
=
÷
ç
÷÷
çè
ø
å
x
x x ,          ||
||
max |
|
n
n
x
¥=
x
. 

 
Каждая квадратная матрица образует линейный оператор в векторном пространстве. Если вектор y представляет собой линейную 
функцию вектора x, тогда 
 
,
=
y
Ax  
{
}
nm
a
=
A
, 

 
 
или 

 
 

,

1

N

n
nm
m
m
y
a
x

=
= å
 n = 1, ..., N.  

 
Правила операций над матрицами следуют из свойств линейных 
отображений. Так, C = {cnm} = A + B представляет собой сумму двух 
линейных функций, заданных матрицами A = {anm} и B = {bnm}, где 
cnm = anm + bnm. Произведение AB представляет собой результат применения отображения B, а затем отображения A. Если мы имеем 
y = A(Bx) = ABx = Cx, тогда компоненты матрицы C определяются 
по формуле 
 

1

N

nm
nk km
k
c
a b

=
= å
,    n, m = 1, ..., N. 

 
Транспонирование матрицы A осуществляется вращением A относительно её главной диагонали: AT = {anm }T = {amn}. 
Диагональная матрица D имеет все нулевые компоненты, кроме 
компонент dn на главной диагонали: D = diag(d1, …, dN). 
Теперь рассмотрим нормы матриц. Вещественное число ||A|| 
есть норма матрицы, если выполняются следующие условия: