Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость


Кудрявцев Л.Д.
Кутасов А.Д.
Чехлов В.И.
Шабунин М.И.





                Сборник задач по математическому анализу









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517
ББК 22.161

     К88


    Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: Учеб. пособ. / Под ред. Л. Д. Кудрявцева. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 496 с. — ISBN 978-5-9221-0306-0.
    Книга является первой частью трехтомного сборника задач, созданного на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал, связанный с понятием предела, непрерывности и производной. Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами.
    Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.
    Табл. 55. Ил. 94. Библиогр. 20 назв.


Рецензенты:


    заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, академик В.А. Ильин;
    профессор МФТИ, академик С.М. Никольский.


ISBN 978-5-9221-0306-0 (Т. 1)
ISBN 978-5-9221-0305-3

(О ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2010
(О Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов,

В. И. Чехлов, М. И. Шабунин, 2003, 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Настоящая книга является первой частью сборника задач и содержит материал, относящийся к трем важным разделам курса математического анализа— “Предел”, “Непрерывность” и “Дифференцируемость”. Сборник состоит из четырех глав.
   В первой главе рассматриваются множества и операции над ними, основные понятия комбинаторики, сведения о действительных и комплексных числах, многочлены и алгебраические уравнения, числовые функции и последовательности. Изучение материала этой главы имеет целью подготовить читателя к освоению курса математического анализа.
   Во второй главе содержится большое число задач, связанных с понятием предела последовательности и функции.
   В третьей главе собраны задачи по разделу “Производная и дифференциал”, а четвертая глава посвящена применению производных к исследованию функций.
   При составлении сборника авторы опирались на многолетний опыт преподавания курса математического анализа в Московском физикотехническом институте. В сборнике содержится большое число оригинальных задач, составленных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ и используемых в работе со студентами. Значительная часть задач сборника подготовлена авторами. В сборник включены задачи из широкоизвестных изданий, в частности, из сборника задач по математическому анализу Б. П. Демидовича и сборника задач по высшей математике Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина.
   Каждый параграф сборника содержит теоретические сведения, примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельной работы. Задачи каждого параграфа сгруппированы по темам и каждая группа задач расположена в порядке возрастания трудности — от совершенно простых до достаточно сложных.
   Особое внимание в сборнике уделено задачам, способствующим усвоению фундаментальных понятий математического анализа. Большой набор задач, иллюстрирующих ту или иную тему, дает возможность преподавателю использовать задачник для работы в аудитории, для домашних заданий и при составлении контрольных работ.
   Сборник задач предназначается в основном для вузов с расширен-

Предисловие


ной программой по математике. Наличие большого числа задач разной трудности дает возможность использовать задачник как в университетах, так и в технических вузах.
   Первое издание вышло в свет в 1984 г.
   В настоящее издание внесен ряд существенных изменений. В каждом параграфе четко выделен справочный материал, затем даны примеры с решениями и задачи с ответами, которые для удобства читателей приводятся в конце каждого параграфа. Переработан материал гл. I и § 11, 23 в направлении существенного сокращения, добавлены задачи (в небольшом числе) в § 8 — 10, 16, 18, 19, 24 без изменения общей нумерации задач.
   Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики МФТИ, многолетняя плодотворная работа которого в значительной степени способствовала появлению этого сборника.

ГЛАВА 1


ВВЕДЕНИЕ







§ 1. Множества. Комбинаторика

   СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

   1. Множества.
   1)   Буквами N, Z, Q, R, С обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.
   2)   Если х — элемент множества А, то пишут х Е А, а если х не является элементом множества А, то пишут х А.
   3)   Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то пишут А С В или В D А и говорят, что множество А является подмножеством множества В. В этом случае говорят также, что А содержится в В или что В содержит А.
   4)   Если А с В и В С А, то А = В.
   5)   Для удобства вводится понятие пустого множества (его обозначают 0), которое по определению не содержит элементов и содержится в любом множестве.
   2. Операции над множествами.
   1)   Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением множеств А и В и обозначается A U В или А + В.
   2)   Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается А А В или АВ. Если А Г, В = 0, то говорят, что множества .4 и В не пересекаются.
   3)   Множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А \ В.
   4)   Если А С В, то разность В \ А называют дополнением множества А до множества В и обозначают А'в.
   В тех случаях, когда рассматриваются только подмножества некоторого основного множества U, дополнение множества М до множества U называют просто дополнением М и вместо Мв пишут просто М'.
   Непосредственно из определения дополнения множества следуют

Гл. 1. Введение

равенства
мим' = и, МПМ' = 0, (М'У = м.
   5)   Для любых подмножеств А и В множества U справедливы также следующие равенства, которые называют законами двойственности или законами де Моргана:
(AU В)' = А! П В', (АПВ)' = А'иВ',
т. е. дополнение объединения двух множеств равно пересечению их дополнений, а дополнение пересечения двух множеств равно объединению их дополнений.
   3. Эквивалентные и неэквивалентные множества.
   1)   Говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества А сопоставлен один и только один элемент множества В, так что различным элементам множества А сопоставлены различные элементы множества В и каждый элемент множества В оказывается сопоставленным некоторому элементу множества А.
   2)   Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными. Если множества .4 и В эквивалентны, то пишут А ~ В; если они не эквивалентны, то пишут А / В.
   3)   Если А ~ В, то говорят, что множества А и В имеют одинаковую мощность.
   Если А У В, но А ~ Bi С В, то говорят, что множество А имеет меньшую мощность, чем множество В.
   4)   Множество А У 0 называется конечным, если существует такое число п G N, что
А~{1,2,3,...,п}.
   В этом случае говорят, что множество А содержит п элементов или что множество А имеет мощность п.
   Пустое множество 0 также считается конечным, его мощность принимается равной нулю.
   Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
   5)   Множество А называется счетным, если А ~ N. Говорят, что счетное множество имеет счетную мощность. Если множество конечно или счетно, то его называют не более чем счетным.
   Множество называется несчетным, если оно имеет мощность, большую, чем мощность множества N.
   Теоремы Кантора.
   1. Множество всех рациональных чисел счетно.
   2. Множество всех действительных чисел несчетно.
   Множество А называется множеством мощности континуума, если А ~ R.

§1. Множества. Комбинаторика

7

   4. Система множеств.
   1)   Пусть дано множество S = {s}, называемое множеством индексов, и каждому индексу s сопоставлено множество Ае. Множество {А}, элементами которого являются множества Aₛ, s € S, называют системой или семейством множеств. Понятия объединения и пересечения двух множеств обобщаются на случай произвольной конечной или бесконечной системы множеств следующим образом.
   2)   Объединением системы множеств Aₛ, s € S, называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств системы.
   3)   Пересечением системы множеств Aₛ, s € S, называется мно

жество всех элементов, содержащихся в каждом множестве системы.
   4)    Объединение и пересечение системы множеств Aₛ, s € S, обозначают соответственно
U А и П А-
sES        sES

В частных случаях, когда система множеств конечна шут п           п                          оо
        U А, П А, п & N, или и А,
        8=1     8=1                        8=1

или счетна, ин-
ое
П А.
8=1

   5.    Упорядоченные множества. Множество называется упорядоченным, если для любых двух его элементов а и Ь установлено отношение порядка а Ь или Ь а (а не превосходит Ь или Ь не превосходит а), обладающее свойствами:
   1)    рефлексивности: а а, т. е. любой элемент не превосходит самого себя;
   2)    антисимметричности: если а Ь и Ь а, то элементы а и Ь равны;
   3)    транзитивности: если а b, Ь с, то а с.
   6. Размещения и перестановки.
   1)    Пусть имеется множество, содержащее п элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из к элементов, называется размещением из п элементов по к элементов.
   Число размещений из п элементов по к элементов обозначается А* и вычисляется по формуле
А^ = п(п — 1)(п — 2)...(п — (к — 1)).       (1)
   2)    Размещения из п элементов по п элементов называются перестановками из п элементов. Число перестановок из п элементов обозначается Рп и вычисляется по формуле
Рп = 1 • 2 • ... • п = п\.            (2)
   7.    Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из п элементов. Каждое его подмножество, содержащее к элементов, называется сочетанием из п элементов по к элементов.

Гл. 1. Введение

   Число всех сочетаний из п элементов по к элементов обозначается символом и вычисляется по формуле
Ск ₌ ----п!---
п к\(п-к)\'
или по формуле _ п^п _         _ 2)... (п _ 1)
" -                          ■              (А)
   Справедливы равенства
Ск _ f-m-к f~ik+l _ f~ik+l ,f~ik I. ₙ
— л ’ un+l — л                    ll-



   ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
   Пример 1. Доказать закон двойственности
(AnB)' = A'UB'.
   ▲ Пусть х G (АпВ)'; тогда х $ А П В и, следовательно, х $ А или х В, т. е. х G А' или х G В¹, а это означает, что х G A' U В¹. Таким образом, доказано включение
(АПВ)' с A' UB'.
   Пусть х G A' U В¹; тогда х G А' или х G В¹ и, следовательно, х $ А или х <У В, т. е. х <У А А В, а это означает, что х € (А Г, В)'. Таким образом, доказано включение
A'U В' С (АпВ)'.
Из включений (А П В)' С A' U В' и A' U В' С (А П В)' следует, что множества (А П В)' и A' U В' состоят из одних и тех же элементов, т. е. равны. ▲
   Пример 2. Группа студентов изучает семь учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если на этот день недели запланированы занятия по четырем дисциплинам?
   ▲ Различных способов составления расписания столько, сколько существует четырехэлементных упорядоченных подмножеств у семиэлементного множества, т. е. равно числу размещений из семи элементов по четыре элемента. По формуле (1), полагая в ней п = 7, к ⁼ 4, находим ц 7 _            ।  ₈₄₀. д
   Пример 3. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
   ▲ Для того чтобы число, составленное из заданных цифр, делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т. е. 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120. ▲

§1. Множества. Комбинаторика

9

   Пример 4. В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?
   ▲ В первом круге состоится столько матчей, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, содержащего 18 элементов, т. е. их число равно Cfₛ. По формуле (3) находим

= 153-
   Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течение сезона состоится 306 встреч. ▲


   ЗАДАЧИ


   1. Даны множества А, В, С. С помощью операций объединения и пересечения записать множество, состоящее из элементов, принадлежащих:
   1) всем трем множествам; 2) хотя бы одному множеству;
   3) по крайней мере двум из этих множеств.
   2.     Доказать, что равенства: 1) A U В = В; 2) А А В = А; верны тогда и только тогда, когда А С В.
   3.    Доказать, что равенство А \ (В \ С) = (А \ В) U С верно тогда и только тогда, когда А D С.

   4.    Доказать равенство:
   1)  А \ (А \ В) = А П В- 2) (А \ В) U (В \ А) = (A U В) \ (А П В);
   3)  (А \ В) \ С = А \ (В U С); 4) (А \ В) П С = (А ПС) \ (ВП С).
   5.     Доказать, что включение А \ В С С верно тогда и только тогда, когда А С В U С.
   6.    Доказать, что:
   1)  A U (В \ С) D (A U В) \ С; 2) (A U С) \ В с (А \ В) U С.
   7.     Определить, в каком отношении (X С Y, X D Y, X = Y) находятся множества X и Y, если:
   1)  X = A U (В \ С), Y = (A U В) \ (A U С);
   2)  X = (А П В) \ С, Y = (А \ С) П (В \ С);
   3)  X = А \ (В U С), Y = (А \ В) U (А \ С).
   8.     Пусть А и В — произвольные подмножества множества U. Доказать равенство:
   1) (А \ В)' = A' U В; 2) (А П В') U (А' П В) = A U В;
   3) (A U В) П (A' U В') = A U В.

   9. Пусть А С В, В С U. Найти множество X С U, удовлетво-

ряющее уравнению

(X U A)' U (X U А') = В.

Гл. 1. Введение

   10.    Найти подмножества А и В множества U, если известно, что для любого множества X С U верно равенство
X П А = X U В.

11. Пусть Aₛ С U, s € S. Доказать:
1) ( и лУ = п Л; 2) ( п лУ = и Л-vseS' ⁷ ses                vseS' ⁷ ses
12. Дана система произвольных множеств Aₛ, s € N.

                 п
1) Пусть Вп = U Aₛ, п Е N. Доказать, что

'в

                 5=1                           5=1
                  п                            ОО
2) Пусть Вп = Р| Aₛ, п € N. Доказать, что Р| Bₛ

8=1

8=1

— и Л5 ’ 5=1
    ОО
= П Л-8=1

   13.    Доказать, что множество является бесконечным тогда и только тогда, когда оно эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.

   14.     Доказать, что если множество А бесконечное, а множество В счетное, то (A U В) ~ А.
   15.  Доказать, что если А \ В ~ В \ А, то А ~ В.
   16.  Доказать, что если АсВсС и А ~ С, то А ~ В.

   17. Доказать счетность следующих множеств:
   1) множества всех чисел вида 2к, к € N;
   2)    множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты;
   3)    множества всех точек плоскости с рациональными координатами;
   4)    множества всех многочленов с рациональными коэффициентами.

18. Доказать, что следующие множества имеют мощность конти-

ну ума:                                                         
  1) множество всех точек непустого интервала (а;&);            
  2) множество всех последовательностей, составленных из цифр 0
и 1;                                                            
  3) множество всех последовательностей действительных чисел;   
  4) множество всех точек квадрата;                            
  5) множество всех точек круга;                               
  6) множество всех подмножеств счетного множества;            
  7) множество всех счетных подмножеств множества     МОЩНОСТИ 

континуума.
   19. В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выде-

лить двух человек для дежурства, если:
   1) один из них должен быть старшим;
   2) старшего быть не должно?