Квазиуровни дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом на графе

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.958 : 530.145.6

c
⃝ Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин

КВАЗИУРОВНИ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА
С УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ НА ГРАФЕ

Для дискретного оператора Шредингера на графе с вершинами на пересечении двух прямых, возмущенного убывающим потенциалом вида εV, доказано, что в окрестности нуля для малых ε нет
ненулевых квазиуровней.

Ключевые слова: дискретное уравнение Шредингера, собственное значение, резонанс.

Введение
Во многих физических работах (см., напр., [1–6]) изучаются дискретные модели на графах. При этом цепочки узлов графа моделируют квантовую проволоку или квантовую точку,
а разностный оператор, область определения которого состоит из функций, заданных на узлах
графа, представляет собой оператор Шредингера (то есть оператор энергии, или гамильтониан электрона, находящегося в данной структуре) в приближении сильной связи. Кроме того,
подобные операторы возникают в теории спиновых волн при решении уравнения Гейзенберга с помощью анзаца Бете для одномагнонных состояний (состояний с одним перевернутым
спином) в цепочках атомов (см. [7]).
Несмотря на физическую актуальность упомянутых задач, математических работ, исследующих данные модели, почти нет; имеющиеся работы относятся, как правило, к решеткам
Zν (см., напр., [8–11]). Положим Γ = (Z × {0}) ∪ ({0} × Z) (вершины графа располагаем в R2

лишь для удобства обозначений). Обозначим через l2(Γ) гильбертово пространство функций
ψ(n, m), где (n, m) ∈ Γ, со скалярным произведением

(ψ, ϕ) =
(n,m)∈Γ
ψ(n, m)ϕ(n, m).

Определим ограниченный самосопряженный оператор H в l2(Γ) следующими формулами

(Hψ)(0, 0) = ψ(1, 0) + ψ(−1, 0) + ψ(0, 1) + ψ(0, −1),

(Hψ)(n, 0) = ψ(n + 1, 0) + ψ(n − 1, 0), n ̸= 0,

(Hψ)(0, m) = ψ(0, m + 1) + ψ(0, m − 1), m ̸= 0.

(1)

В соответствии со сказанным выше, данный оператор, а также оператор более общего вида
H + V, где V = V (n, m), является, во-первых, гамильтонианом электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок, при этом потенциал V описывает влияние примесей (см. [5]).
Во-вторых, H + V представляет собой гамильтониан одномагнонных состояний для пересекающихся цепочек атомов; в таком подходе V также описывает воздействие примесей (см. [12]),
а также, при рассмотрении бесконечных цепочек, как в данной статье, заменяет наложение
граничных условий.
Спектр и существенный спектр оператора A обозначим σ(A) и σess(A) соответственно.

§ 1. Спектр и резольвента невозмущенного оператора

Теорема 1. Существенный спектр оператора H совпадает с [−2, 2].