Финансовая математика в инвестиционном проектировании

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.Ф. Долгополова   Т.А. Гулай   Д.Б. Литвин

Финансовая математика

в инвестиционном проектировании

Учебное пособие

Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому и 

техническому образованию в качестве учебного пособия для студентов 

высших учебных заведений направления подготовки

080100.68 - «Экономика»

г. Ставрополь

2014

УДК 51:330.322(075.8)
ББК 22.1:65.050я7
Д641

Долгополова А.Ф.

Д641 Финансовая математика в инвестиционном проектировании: учебное 

пособие / А.Ф. Долгополова   Т.А. Гулай   Д.Б. Литвин. – Ставрополь: 

Сервисшкола, 2014.- 55 с.

Учебное 
пособие 
«Финансовая
математика 
в 
инвестиционном 

проектировании» предназначено в помощь студентам высших учебных 

заведений очной и заочной формы обучения при изучении курса 

«Финансовая математика» обучающихся в магистратуре по направлению 

080100.68 - «Экономика».

Пособие может быть использовано как для работы под руководством

преподавателя, так и для самостоятельного изучения дисциплины.

Пособие подготовлено коллективом авторов:

А.Ф. Долгополовой, Т.А. Гулай , Д.Б. Литвиным.

УДК 51:330.322(075.8)
ББК 22.1:65.050я7

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 
5

1. Значение финансовых параметров инвестиций в оценке эффективности 

инвестиционных проектов и методы их расчета
7

2. Оценка финансовых параметров инвестиций в условиях

неопределенности               
14

3.Основные типы неопределенностей и связь между ними
19   

4. Основы интервальной и нечетко-интервальной математики
24

5. Методы интервальной математики
35

6. Расчет параметров инвестиций с применением интервального и 

нечетко-интервального анализа
38

ВВЕДЕНИЕ

Учебное 
пособие 
«Финансовая 
математика 
в 
инвестиционном 

проектировании» предназначено в помощь студентам высших учебных 

заведений очной и заочной формы обучения при изучении курса 

«Финансовая математика» обучающихся в магистратуре по направлению 

080100.68 - «Экономика».

Предлагаемое учебное пособие полностью соответствует рабочей 

программе по дисциплине «Финансовая математика». Основной задачей 

данной дисциплины является изучение основополагающих понятий и 

моделей финансовой математики - от элементарного начисления процентов 

до анализа сложных инвестиционных, кредитных и коммерческих проблем. 

Рассмотренный в пособии материал может быть применен в расчетах часто 

встречающихся 
на 
практике 
финансовых 
операций: в финансовом 

менеджменте, в страховом деле, в анализе инвестиционных проектов, расчете 

кредитных и коммерческих операций, эффективности предпринимательской 

деятельности и т.д.

Материал, излагаемый в данном учебном пособии, опирается на знания, 

полученные студентами при изучении дисциплин «Математический анализ», 

«Теория вероятностей и математическая статистика» и тесно связан с 

курсами «Страховое дело», «Банковское дело», «Стратегический и 

инновационный 
менеджмент» 
и 
др., 
читаемым 
студентам 
вузов 

экономических направлений.

Характерной особенностью учебного пособия «Финансовая математика 

в инвестиционном проектировании» является его многоцелевое назначение. 

При его написании были выполнены следующие требования:

• лаконичность изложения, присущая лекционному курсу;

• наличие практических задач с решениями;

• систематизированный и автономно замкнутый материал.

В большинстве случаев финансовая математика применяется для оценки 

эффективности инвестиций. Поскольку при этом речь идет о возможности 

реализации тех или иных событий в будущем, неизбежно проявляются 

неопределенности 
различного 
типа, игнорирование которых
делает 

решаемую задачу слишком далекой от реальности. Поэтому в настоящем 

пособии вопросам учета неопределенностей уделяется большое внимание. 

При этом наряду с классическим теоретико-вероятностным подходом к 

математической формализации неопределенностей рассматриваются методы 

их анализа с использованием элементов теории нечетких множеств.

Пособие состоит из пяти разделов, в каждом из которых приводится 

краткий теоретический курс, основные определения и формулы. Далее 

излагаются решения типовых примеров, затем следуют задачи для 

самостоятельного решения. Образцы решений в значительной степени 

облегчают студентам всех форм обучения пользование пособием при 

самостоятельной работе. 

При решении задач большое внимание уделяется не только методам и 

алгоритмам, но и переходу от экономической постановки проблемы к 

математической и анализу полученных результатов. Внутри разделов 

сложность возрастает от простых задач, для решения которых необходимо 

использовать стандартные формулы и приемы, до довольно сложных, 

рассчитанных на студентов, изучающих расширенный курс дисциплин 

«Теория вероятностей и математическая статистика» и «Математический

анализ» - решение этих задач содержит принципиально важные идеи либо 

требуют аккуратного проведения достаточно больших математических 

выкладок.

Таким образом, целью предлагаемого учебного пособия является 

привитие студентам навыков постановки задач инвестиционного анализа, 

проведения 
финанансово-экономических расчетов для оптимального 

управления 
инвестициями, 
разработки 
необходимого
для 
этого 

программного обеспечения.

ЗНАЧЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ПАРАМЕТРОВ ИНВЕСТИЦИЙ В ОЦЕНКЕ 

ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ И МЕТОДЫ ИХ 

РАСЧЕТА

В настоящее время для оценки финансовой стороны планируемых 

инвестиций 
принято 
использовать 
дисконтированные
параметры 

эффективности. При этом чаще всего применяются следующие показатели: 

чистый 
приведенный 
доход, 
внутренняя 
норма 
доходности, 
срок 

окупаемости капитальных вложений, рентабельность проекта, точка 

безубыточности. 
Перечисленные 
показатели 
являются 
результатами 

сопоставлений распределенных во времени доходов с инвестициями и 

затратами на производство. Как показывают исследования, за рубежом 

наиболее часто используются два основных показателя: чистый приведенный 

доход (Net Present Value, NPV) и внутренний коэффициент окупаемости 

(Internal Rate of Return, IRR).

Таблица 1

Чистый приведенный доход (NPV)
представляет собой разность 

дисконтированных на один момент времени (обычно на год начала 

реализации проекта) показателей дохода и капиталовложений. Потоки 

доходов и капитальных вложений обычно представляются в виде единого 

потока - чистого потока платежей, равного разности текущих доходов и 

Частота использования финансовых показателей (данные 

опроса 103 крупнейших нефтяных и газовых компаний 

США в 1983 г.)

Показатель 

эффективности

Тип применения

Основной 
Вспомогательный 

IRR
69%
14%

NPV
32%
39%

Другие 
12%
21%

расходов.

Представим формулу для расчета чистого приведенного дохода при 

заданной норме дисконтирования в виде:

0
(1
)
(1
)

c

n

t
T

t
t

t
t

t t
t

P
KV
NPV
d
d
,                                      (1)

где d - величина ссудного процента, или норма дисконтирования, %;

tn- год начала производства продукции;

tc - год окончания строительства по проекту;

KVt - инвестиционные расходы (капитальные вложения) в году t, руб.;

Pt- чистый поток платежей (доходов) в году t, руб.;

T - время реализации инвестиционного проекта в годах.

Необходимо 
отметить, 
что 
в 
данном 
случае 
предполагается 

существование совершенного рынка капитала, на котором существует 

единая расчетная процентная ставка. Исходя из этого, обычно NPV

оценивается путем задания d, равным средней учетной банковской ставке в 

стране инвестора или равным другому значению, соответствующему норме 

прибыли при вложении капитала в другие проекты и ценные бумаги.

При оценке инвестиционных расходов наиболее важным является учет 

источников средств, которые использовались при выплатах (весь капитал 

или только заемные средства). В остальном методы расчета инвестиционных 

расходов почти не различаются. Для определения доходов используются 

существенно различающиеся схемы.

Например, 
рекомендуется 
исключить 
из 
суммы 
доходов 

амортизационные отчисления, или предлагается включать не только 

накапливаемые амортизационные отчисления, а также и ликвидную 

стоимость основных производственных фондов (на последнем шаге расчета).

Такое различие вычислительных схем при расчете доходов определяется 

различием в отчетных документах зарубежных и российских компаний и 

фирм. Зарубежные компании по итогам своей деятельности за год помимо 

отчета о прибылях и убытках представляют отчеты об источниках и 

использовании фондов (отчет о фондах и их использовании), в которых 

денежные 
средства 
накапливаются 
за 
счет 
чистой 
прибыли, 

амортизационных отчислений, нового акционерного капитала, кредитов и 

других доходов.

Определяемые таким образом фонды распределяются для выплаты 

дивидендов 
акционерам, 
приобретения 
недвижимости, 
машин 
и 

оборудования, увеличения оборотного капитала и т.д. При этом на 

расширение основных производственных фондов затрачивается средств не 

менее, чем получено в результате амортизационных отчислений, т.е. 

свободные денежные средства компании должны работать на расширение и 

модернизацию производства. Аналогичной отчетности для российских 

предприятий не предусмотрено.

Необходимость учета ликвидной стоимости основных производственных 

фондов при определении чистого приведенного дохода определяется 

назначением инвестиций. В случае замены оборудования, срок службы 

которого соответствует продолжительности расчетного периода, учет его 

ликвидной стоимости необходим.

Источники финансирования проектов разделяются на две основные 

группы:

1. Собственный капитал - средства, предоставляемые акционерами 

(учредителями), который должен быть увеличен в результате реализации и 

последующей эксплуатации исследуемого объекта.

2. Заемный капитал - кредит банков, государства, местных органов 

власти или других компаний, который должен быть погашен вместе с 

задолженностью в установленном контрактом порядке и в заданные сроки.

Результатом инвестиций, с финансовой точки зрения, является 

погашение кредитной задолженности и выплаты дивидендов акционерам. 

При этом по мере погашения кредита увеличивается стоимость акционерного 

капитала. Акционер, получая дивиденды за акции, в любой момент может 

реализовать свои акции. При условии, что деятельность предприятия при 

реализации данного инвестиционного проекта будет прибыльной, чем позже 

он продаст свои акции, тем больше выиграет. В этом случае разумно 

предполагать, что акционерный капитал не будет выплачен и изъят из 

средств предприятия. Тогда критерии оценки эффективности капитальных 

вложений должны быть определены только для заемного капитала и 

предназначены 
для 
партнеров, 
предоставивших 
этот капитал. Для 

акционеров основными будут при этом являться критерии эффективности 

акционерного капитала. Однако в ряде случаев такого рода разделение не 

может быть четко проведено, поскольку оно определяется целью 

инвестиции.

Если цель инвестиций - замена оборудования, то при расчете критериев 

эффективности 
капитальных 
вложений 
должен 
учитываться 
весь 

затраченный капитал.

При строительстве новых объектов, срок службы которых значительно 

превышает расчетный период, следует учитывать только заемные средства, а 

в некоторых случаях - сумму заемных и собственных средств.

Таким образом, чистый приведенный доход может иметь формально 

шесть различных значений для всех затраченных или только для заемных 

средств, с учетом или без учета амортизационных отчислений, а также с 

учетом ликвидной стоимости основных производственных фондов. Выбор 

схемы расчета чистого приведенного дохода зависит от конкретной 

ситуации.

Экономический смысл внутреннего коэффициента окупаемости IRR

состоит в следующем. В качестве альтернативы вложения финансовых 

средств в инвестиционный проект рассматривается помещение тех же 

средств (так же распределенных во времени) под некоторый банковский 

процент. Распределенные во времени доходы, получаемые от реализации 

проекта, также помещаются на депозитный счет в банке под тот же процент. 

При ставке ссудного процента, равной IRR, инвестирование средств в проект 

даст в итоге тот же суммарный доход, что и помещение их на депозитный 

счет. Таким образом, при этой ставке ссудного процента обе альтернативы 

помещения финансовых средств экономически эквивалентны. Если реальная 

ставка ссудного процента меньше IRR проекта, инвестирование средств в 

него выгодно, и наоборот. Следовательно, IRR является граничной ставкой 

ссудного 
процента, 
разделяющей 
эффективные 
и 
неэффективные 

инвестиционные проекты. IRR
находится как решение нелинейного 

уравнения относительно d:

0

0
(1
)
(1
)

c

n

t
T

t
t

t
t

t t
t

P
KV

d
d
.        
(2)

Зависимость чистого приведенного дохода от процентной ставки имеет 

вид, изображенный на рис. 3.5, только в том случае, если имеют место 

изолированно 
осуществляемые 
инвестиции, 
то 
есть 
превышение 

поступлений над выплатами на протяжении всего планового периода идет 

только на уплату процентов по внутренней процентной ставке и на амор
тизацию затраченного капитала.

Рис. 1. Зависимость чистого приведенного дохода от значения процентной 
ставки

Это означает, что в плановый период капитал не реинвестируется, и 

внутренняя процентная ставка не зависит от процентной ставки, по которой 

могут быть вложены высвобожденные финансовые средства. При не 

изолированно осуществляемых инвестициях, например, при заемном 

характере инвестируемого капитала, возможны случаи, когда уравнение для 

расчета внутреннего коэффициента окупаемости будет иметь несколько 

корней или не иметь их вовсе.

За рубежом расчет коэффициента IRR часто применяется в качестве 

первого шага при финансовом анализе инвестиционного проекта. Для 

дальнейшего анализа отбирают те инвестиционные проекты, которые имеют 

IRR не ниже некоторого порогового значения (обычно не ниже 15-20% 

годовых).

Широко используется при предварительной оценке эффективности 

инвестиций такой важный для практики параметр, как срок окупаемости 

инвестиций (Payback Period, PB).

Срок окупаемости определяется как продолжительность периода 

времени, в течение которого сумма чистых доходов, дисконтированных на 

момент завершения инвестиций, сравняется с суммой инвестиций.

Уравнение для периода срока окупаемости можно записать в виде:

0 (1
)

h

t

t

Pt
KV
d
,   
(3)

где h - срок окупаемости; 

KV - суммарные капиталовложения в инвестиционный проект.

В этом уравнении t=0 соответствует моменту окончания строительства. 

Величина h определяется путем последовательного суммирования членов 

ряда дисконтированных доходов до тех пор, пока не будет получена сумма, 

равная объему инвестиций или превышающая его.

Введем

0 (1
)

m

t

t

Pt
Sm
d
,              
(4)

причем Sm < KV < Sm+1.

Тогда срок окупаемости приблизительно равен:

.                           (5)

Очевидно, что на величину срока окупаемости, помимо интенсивности 

поступления доходов, существенное влияние оказывает используемая норма 

дисконтирования доходов.

На практике срок окупаемости может быть равен бесконечности.