Двухпараметрические T-системы функций и их применение для исследования оптимальных по быстродействию линейных нестационарных управляемых систем

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.977

c
⃝ В. В. Лукьянов

ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ T-СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Для двухпараметрического семейства функций введено понятие TA-системы, которое является обобщением известного понятия T-системы для однопараметрического семейства функций. Сформулирован и доказан ряд утверждений о системах функций, образующих TA-систему. Построенная теория
TA-систем применена для изучения линейных нестационарных управляемых систем с многомерным
управлением. Для указанных выше систем решена задача о быстродействии в нуль при условии, что
начальная точка движения находится внутри множества докритичности.

Ключевые слова: функции Чебышёва, линейные управляемые системы, задача о быстродействии, функция быстродействия, докритичность, позиционное управление.

Введение

Задача о быстродействии является одним из изучаемых классов задач оптимального управления. Математическая теория оптимального управления, в основе которой лежит принцип
максимума Л. С. Понтрягина [1], была создана в середине 50-х годов XX века.
Наиболее полно изучена задача о быстродействии для линейных стационарных систем ([1]–
[6]), для которых в ряде случаев удается построить позиционное управление [1, гл. 1, § 5], [2].
Вопросы существования и построения позиционного управления достаточно изучены для автономных систем [7] (в том числе для автономных систем с возмущением [8]), тогда как для
неавтономных систем эти вопросы изучены достаточно мало [9, гл. 5, § 20], [10].
В работе Е. Л. Тонкова [11] решена задача о быстродействии в нуль для линейной нестационарной докритической управляемой системы с ограниченным скалярным управлением при
условии, что начальная точка движения находится внутри некоторого множества (множества
докритичности). Для этого автор использовал свойства функций, образующих систему Чебышёва (T-систему) [12]. Впоследствии эти исследования были продолжены его учениками
С. Ф. Николаевым [13]–[16] и Н. В. Миличем [17]–[19]. Они изучали структуру множества управляемости, свойства функции быстродействия и построили позиционное управление линейной
нестационарной докритической системы со скалярным управлением.
В этой работе основные результаты работ [11], [13]–[15] распространены на линейные нестационарные докритические управляемые системы с многомерным управлением. Для этого автор
построил теорию двухпараметрических T-систем (TA-систем) функций, которая излагается в
первом и во втором параграфах представленной работы. В третьем и четвертом параграфах
построенная теория применяется для изучения задачи о быстродействии в нуль для линейных
нестационарных управляемых систем с многомерным управлением. Для таких систем введено
понятие докритичности и определено докритическое множество управляемости по аналогии с
системами со скалярным управлением ([13]–[15]). Основными результатами работы являются
теоремы 7 и 8, позволяющие синтезировать оптимальное в смысле быстродействия позиционное управление для линейной нестационарной докритической управляемой системы внутри ее
докритического множества управляемости.
Ниже приведены используемые в этой работе обозначения.
Rn — стандартное евклидово пространство размерности n, элементы Rn следует представлять
себе в виде вектор-столбцов, даже если они набраны в строку;