Сопротивление материалов. Расчёты при сложном сопротивлении

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 

СИБИРСКИЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

Л. П. Шатохина 

Е. М. Сигова 

Я. Ю. Белозёрова 

СОПРОТИВЛЕНИЕ  МАТЕРИАЛОВ 

РАСЧЁТЫ 

ПРИ  СЛОЖНОМ  СОПРОТИВЛЕНИИ 

Под общей редакцией кандидата технических наук 

Л. П. Шатохиной 

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим 

центром высшего профессионального образования для межвузовского  
использования в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по техническим направлениям и специальностям 

Красноярск 

СФУ 
2012 

УДК 539.3/.6(07) 
ББК  30.121я73 

Ш288 

Рецензенты: 

С. В. Доронин, канд. техн. наук, доц., ст. науч. сотр. отдела безо
пасности технических систем СКТБ «Наука» КНЦ  СО  РАН; 

Н. А. Кокорин, канд. техн. наук, доц. кафедры «Прикладная ме
ханика» СибГТУ 

Шатохина, Л. П. 

Ш288 
 
Сопротивление материалов. Расчёты при сложном сопротив
лении : учеб. пособие / Л. П. Шатохина, Е. М. Сигова, Я. Ю. Белозёрова ; под общ. ред. Л. П. Шатохиной. – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2012. – 140 с. 

ISBN 978-5-7638-2308-0 

 
Приведены краткие теоретические сведения по курсу «Сопротивление материалов», необходимые для выполнения расчётно-графических  
и курсовых работ. Рассмотрены расчёт прямого бруса при косом изгибе, 
внецентренном растяжении-сжатии, изгибе с кручением; расчёт плоских  
и пространственных рам; расчёт статически неопределимых рам и балок; 
расчёт при динамических воздействиях (учёт сил инерции, ударное нагружение, колебания); расчёт на устойчивость центрально-сжатого 
стержня. 

Предназначено для студентов, обучающихся по техническим направле
ниям и специальностям. 

УДК 539.3/.6(07) 

ББК  30.121я73 

ISBN 978-5-7638-2308-0 
 
 
© Сибирский федеральный университет, 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Предисловие .................................................................................................  
4 
 
Задача 1. Определение допускаемой нагрузки при косом изгибе...........  
6 
Задача 2. Подбор размеров сечения при косом изгибе ............................  17 
Задача 3. Определение допускаемой нагрузки при внецентренном 
сжатии ...........................................................................................  23 
Задача 4. Подбор диаметра вала при изгибе с кручением .......................  40 
Задача 5. Подбор размеров сечения бруса с ломаной осью .....................  49 
Задача 6. Расчёт плоской рамы ...................................................................  58 
Задача 7. Расчёт статически неопределимой рамы ...................................  68 
Задача 8. Расчёт статически неопределимой балки ..................................  84 
Задача 9. Учёт сил инерции при вращении рамы .....................................  91 
Задача 10. Определение  допускаемой  высоты  падения  груза  при 
ударной нагрузке ........................................................................  106 
Задача 11. Подбор сечения рамы при колебании ......................................  111 
Задача 12. Подбор сечения центрально-сжатого стержня  по  условию 
устойчивости ..............................................................................  116 
Задача 13. Определение  критической  силы  центрально-сжатого 
стержня ........................................................................................  121 
Задача 14. Проверочный расчёт центрально-сжатого стержня ...............  124 
 
Приложения ..................................................................................................  126 
 
Библиографический список ......................................................................  138 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 

 
Рабочей программой курса «Сопротивление материалов» предусмотрено выполнение курсовой работы (КР) и расчётно-графических   
заданий (РГЗ), которые являются важной частью самостоятельной работы 
студента. 
Цель настоящего пособия – помочь студентам в выполнении КР           
и РГЗ по второй части названного курса. 
В пособии рассмотрены: 
расчёт прямого бруса при косом изгибе, внецентренном растяжениисжатии, изгибе с кручением; 
расчёт плоских и пространственных статически определимых рам; 
расчёт статически неопределимых рам и балок; 
расчёты при динамических воздействиях (учёт сил инерции, расчёты 
при ударе и колебании); 
расчёт на устойчивость центрально-сжатого стержня. 
В учебном пособии представлены все три типа расчётов: проектный, 
проверочный и определение нагрузки. Расчёты выполняются по общепринятым и разработанным авторами методикам. 
Задачи для КР и РГЗ выбираются преподавателем для конкретной 
специальности. По усмотрению преподавателя некоторые пункты задания 
могут быть опущены или заменены другими. Исходные расчётные схемы 
задач и числовые данные также выбираются преподавателем. 
Чтобы выполнить КР и РГЗ, студенту необходимо освоить следующий учебный материал по лекциям, учебникам и пособиям [2–4]: 
построение эпюр внутренних силовых факторов в плоских и пространственных системах; 
условия прочности при сложном сопротивлении; 
вычисление перемещений методом Мора и способом Верещагина; 
раскрытие статической неопределимости систем. 
Для успешного выполнения КР и РГЗ необходимо знание и других 
дисциплин: математики, физики, начертательной геометрии и черчения, 
теоретической механики, материаловедения. 
Выполненные КР и РГЗ оформляются студентом в виде сборника          
решений задач и заданий на листах формата А4 (297×210), который должен 
содержать необходимые чертежи и расчёты. В сборник включается:  
1-й лист – титульный лист (см. прил. 2 данного пособия);  
2-й лист – содержание;  
дальнейшие листы содержат описание решения задач и выполненного задания. 
Текстовую часть нужно выполнять от руки, хорошо читаемым почерком, оставляя поля: слева, снизу и сверху – по 3 см, справа – 1 см. Обозначение тригонометрических функций, букв греческого и латинского алфа

витов выполнять правильным начертанием (см. табл. П.1.1). Все страницы 
сборника решений нужно пронумеровать. Номер страницы проставляется  
в правом нижнем углу. 
На титульном листе сборника КР и РГЗ записывается тема работы: 
«Сложное сопротивление» (см. прил. 2). На следующей строке указывается номер варианта и номер строки числовых данных из таблиц к задачам. 
Ниже – фамилия и инициалы студента, шифр его группы, на следующей 
строке – фамилия и инициалы руководителя (преподавателя). 
Оформление каждой задачи начинается с нового листа. Вначале        
необходимо указать номер задачи и тему. Далее надо написать её условие, 
указать требуемые пункты задания и исходные данные, вычертить            
заданную схему в масштабе, указав на ней все размеры и действующие  
нагрузки. 
При изложении решения задачи к расчётной схеме добавляются        
необходимые дополнительные построения. При этом эпюры внутренних 
усилий нужно располагать непосредственно под расчётными схемами. На 
эпюрах следует указывать значения характерных ординат и единицы измерения откладываемой величины. Все схемы и эпюры выполняются по правилам и нормам машиностроительного черчения. 
Решение задач должно сопровождаться последовательными, краткими и чёткими пояснениями. Размерность величин следует приводить          
в единицах СИ (см. табл. П.1.2 и П.1.3), значения представлять в виде      
десятичных или простых дробей. В вычислениях следует ограничиваться 
тремя значащими цифрами. Каждая задача должна содержать вывод        
согласно условию задачи: назначение размеров, вывод о прочности            
и жёсткости конструкции, указание о более предпочтительном выборе   
поперечного сечения, материала и т. п. 
Сдача КР и РГЗ преподавателю производится в форме собеседования: студент должен изложить решение и результаты, а также решить     
задачи  по соответствующей тематике. Полученная оценка и дата проставляются преподавателем на строке титульного листа, где указана фамилия   
и инициалы руководителя (преподавателя). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 1 
 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ДОПУСКАЕМОЙ  НАГРУЗКИ 
ПРИ  КОСОМ  ИЗГИБЕ 
 
 
Условие задачи 
 
Для балки задано двутавровое сечение и вид нагрузки. Значение интенсивности q нагрузки неизвестно. Расчётные схемы балок даны в двух 
вариантах: 
вариант 1 – двухопорная балка (рис. 1.3);
вариант 2 – консольная балка (рис. 1.5).
Требуется найти допускаемую величину интенсивности [q] нагрузки, 
построить эпюру нормальных напряжений σ, указать положение нулевой 
линии. 
 
Краткие теоретические сведения 
 
В реальных балочных конструкциях (балках) встречаются случаи, 
когда изгиб вызывается силами и моментами, расположенными либо            
в обеих плоскостях инерции бруса (рис. 1.1, а), либо в одной плоскости, проходящей через ось бруса и не совпадающей с главными плоскостями инерции (рис. 1.1, б). При этом изогнутая ось балки не располагается в главных 
плоскостях инерции сечения (рис. 1.1, г), т. е. изгиб является неплоским.  
За таким видом деформирования закрепилось название «косой изгиб». 
Известно, что деформации балок в пределах упругих деформаций от 
суммы нагрузок равны сумме деформаций от каждой нагрузки (это принцип сложения или суперпозиции), поэтому неплоский косой изгиб рассматривают как совокупность двух плоских изгибов, совершаемых в главных плоскостях инерции сечения. 
Часто главные плоскости инерции балки лежат в горизонтальной          
и вертикальной плоскостях. В этом случае косой изгиб удобно представлять одновременным плоским изгибом в этих плоскостях. Например, для 
балки, изображённой на рис. 1.1, б, силу Р можно представить в виде векторной суммы 
y
x
P
P
P
+
=
 (рис. 1.1, в), тогда от силы 
ϕ
=
sin
P
Py
 возникает 
изгиб в вертикальной плоскости инерции балки, а от силы 
ϕ
=
cos
P
Px
 –         
в горизонтальной (рис. 1.1, г). 
Изобразим векторы нормальных напряжений, возникающие отдельно от изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях 
Mx и My (рис. 1.1, д). Они направлены по одной прямой, поэтому их можно 
алгебраически складывать (рис. 1.2). Тогда для любой точки поперечного 
сечения нормальные напряжения 

,x
J

M
y
J
М

y

y

x

х
+
=
σ
                                             (1.1) 

 
где x, y – координаты этой точки; Jx, Jy – главные моменты инерции поперечного сечения. Точки, в которых напряжения σ = 0, образуют так называемую нулевую линию (линия n–n на рис. 1.2). Угол β наклона этой линии 
можно найти, записав σ = 0. При этом получим 
 

tg
tg .
y
x
x

y
x
y

M
J
J
J
M
J
β =
=
ϕ                                         (1.2) 

Здесь 

х

у
М

М
=
ϕ
 – угол наклона линии суммарного изгибающего мо
мента в этом сечении, определяемого как 
2
2
у
х
М
М
М
+
=
. Эта линия назы
вается силовой (рис. 1.1, д). Положительным направлением угла φ принят 
поворот от вертикальной оси y по часовой стрелке, положительным направлением угла β – поворот от горизонтальной оси x по часовой стрелке. 
Из (1.2) следует, что при Jx ≠ Jy имеем β ≠ φ. Это означает, что нулевая линия при косом изгибе не перпендикулярна силовой. 
Суммируя векторы прогибов сечения в вертикальной и горизонтальной плоскостях 
xf  и 
,
yf
 получим полное реальное перемещение сечения 

2
2
=
.
x
y
f
f
f
+
 

Для сечений, у которых Jx ≠ Jy перемещение f не располагается            
в плоскости суммарного изгибающего момента, т. е. линия перемещения 
сечения не совпадает с силовой линией в сечении. Получается, что перемещение сечения происходит под углом к силовой линии сечения. Oтсюда 
и возникло название «косой изгиб». Но следует помнить, что линия полного прогиба перпендикулярна нулевой линии. 
Заметим, что для сечений с равными моментами инерции Jx = Jy     
косого изгиба нет, но если для них задана разная нагрузка в вертикальной  
и горизонтальной плоскостях, то расчёт удобно вести по методике косого 
изгиба, т. е. изгиб представлять как сумму изгибов в этих плоскостях. 
По мере удаления от нулевой линии величина нормальных напряжений растёт и достигает наибольшего значения σmax в опасной точке. Для 
сечений в виде прямоугольника, двутавра и др., имеющих углы, опасной 
при косом изгибе является угловая точка. Подставив для этой точки 

max
y
y =
 и 
max
x
x =
, получим условие прочности 

 

],
[σ
≤
+

y

y

x

x
W

M

W
M
                                             (1.3) 

 
где Wx и Wy – осевые моменты сопротивления сечения. 

а                                                                        б 
 
 

 
в 
 
г 
 
д 
 
Рис. 1.1 
 

 

Эпюра 
x

x

M
y
J
σ =
 

 

Эпюра 
x
J

M

y

y
=
σ
 

 

Эпюра 
x
J

M
y
J
M

y

y

x

x
+
=
σ

 
Рис. 1.2 
 
 
Условие прочности балок составляют по (1.3) для так называемых 
опасных сечений, положение которых и опасные величины изгибающих 
моментов  Mx  и  My  можно определить, построив эпюры этих моментов. 

Решение 
 
Вариант 1. Двухопорная балка 
 
Для двухопорной балки задана нагрузка в вертикальной и горизонтальной плоскостях инерции сечения (рис. 1.3, а). Дано: l  = 1,6 м;                    
Р = 0,8ql;  M = ql2;  сечение балки – двутавр № 20. 
 
1. Определение  допускаемой  величины интенсивности нагрузки 
Балка при действии нагрузки в вертикальной и горизонтальной плоскостях инерции испытывает косой изгиб, поэтому допускаемую величину 
интенсивности [q] нагрузки найдём из условия прочности (1.3), для которого изгибающие моменты в горизонтальной и вертикальной плоскостях 
нагрузки Mx и My запишем через неизвестную величину интенсивности [q], 
а значения осевых моментов сопротивления сечения Wx и Wy выпишем из 
ГОСТ 8239–93 по заданному номеру двутавра (см. табл. П.1.4): для двутавра № 20 Wx = 184 cм3, Wy = 23,1 cм3. 
Чтобы установить величины расчётных моментов Мх и Мy, построим 
эпюры моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Для удобства вычислений изобразим отдельно нагрузки, действующие в горизонтальной и вертикальной плоскостях, далее выполним вычисления в каждой 
плоскости. 
В е р т и к а л ь н а я  п л о с к о с т ь  (рис. 1.3, б). Для двухопорной 
балки перед вычислением изгибающих моментов необходимо найти величины опорных реакций 
в
A
R  и 
в
В
R  из уравнений равновесия: 

 
в

в
2
4
2
3
0,
0,         
0,
4
2
0.

A
В

А
B

R
l
q
l
l
М

М
R
l
q
l

⎧
⎧
⋅
−
⋅
⋅
=
=
⎪
⎪
⎨
⎨
=
⋅
−
⋅
=
⎪
⎪
⎩
⎩
∑
∑
 

 
Получим 
в
A
R  = 1,5ql, 
в
В
R  = 0,5ql. Найденные величины реакций проверим неиспользованным уравнением равновесия, которое должно удовлетворяться тождественно: 
 
0,   1,5
2
0,5
0,
y
F
ql
ql
ql
=
−
+
≡
∑
 

.
0
0
≡
 
 
Изобразим эпюру поперечных сил Qy (рис. 1.3, б). На участке с распределённой нагрузкой будет наклонная линия, пересекающая базисную 
прямую в сечении С, в котором поперечная сила равна нулю, а момент на 
этом участке экстремален. Найдём координату сечения С, составив уравнение Qy = 0: 
−
в
A
R
qz0 = 0, 

 
отсюда z0 = 1,5l. 

а 
 

б                                                             в 
Рис. 1.3 
 
Вычислим значения Мх в характерных сечениях С и D:  
 
(
)

2
в
2
1,5
1,5
1,125
,
2
A
C
x
l
M
R
l
q
ql
=
⋅
−
=
     
в
2
0,5
.
D
x
В
M
R l
ql
=
=
 

 
Изобразим эпюру моментов Mx (рис. 1.3, б): на участке с распределённой нагрузкой проводим кривую 2-го порядка, на втором – наклонную 
прямую. 

Г о р и з о н т а л ь н а я  п л о с к о с т ь  (рис. 1.3, в). Составим уравнения равновесия и вычислим значения реакций 
г
В
R  и 
:
г
A
R
 
 
0,   
0,

А

В

М
М

⎧
=
⎪⎨
=
⎪⎩
∑
∑

г

г
4
0,2
1,5
0,1
3
0,
 
4
0,1
0,2
2,5
0.

В

А

R
l
Р
l
Р
l

R
l
Рl
P
l

⎧
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⎪⎨
⋅
−
−
⋅
=
⎪⎩
 

 
Получим 
г
В
R = 0,15ql  и 
г
A
R  = 0,15ql. Проверим правильность найденных значений реакций: 
 
0:
y
F =
∑
   0,15
0,2
0,1
0,15
0,  0
0.
P
P
P
P
−
−
+
=
=
 

 
Для построения эпюры изгибающих моментов Мy вычислим значения Мy в сечениях С и D: 
 
г 1,5
0,15
1,5
0,225
,
C
y
A
M
R
l
P
l
Pl
=
⋅
=
⋅
=
 

 
г
0,15
0,15
.
D
y
B
M
R
l
Pl
Pl
=
⋅ =
=
 

 
Построим эпюру изгибающих моментов Мy (рис. 1.3, в), отложив            
в принятом масштабе значения моментов в сечениях C и D и соединив их 
прямыми. 
О п а с н о е   с е ч е н и е.  Чтобы нагляднее указать опасные сечения, 
построим эпюры изгибающих моментов  Мх  и Мy  в изометрии (рис. 1.3, а). 
По виду этих эпюр возможны такие случаи, когда нельзя назвать 
лишь одно сечение как опасное и приходится принимать за возможно 
опасные два и более сечений. В нашем примере по эпюре моментов в изометрии видно, что опасным является сечение С, тогда расчётные значения 
моментов (это модули моментов в опасном сечении)  
 
2
2
1,125
1,125
(1,6)
2,88
C
x
M
ql
q
q
=
=
⋅
=
, 

 
2
0,225
0,225 0,8
(1,6)
0,461
C
y
M
Pl
q
q
=
=
⋅
⋅
=
. 

 
Подставим полученные расчётные значения моментов и величины 
Wx = 184 cм3, Wy = 23,1 cм3 в условие прочности (1.3): 
 

6
6
6
2,88
0,461
200 10
184 10
23,1 10
q
q
−
−
+
≤
⋅
⋅
⋅
. 

 
Отсюда 
5 618
q ≤
 Н/м. Принимаем допускаемое значение интенсивности распределённой нагрузки [ ]
5,6
q =
 кН/м.