Экономико-математические модели и прогнозирование рынка труда

Экономико 
математические  
модели  
и прогнозирование  
рынка труда

Учебное пособие

2-е издание, дополненное и исправленное

Москва
ВУЗоВсКиЙ УчебниК
инФРА-М
2010

в.в. Федосеев

Рекомендовано Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений,  
обучающихся по специальности «Экономика труда»

© ВЗФЭИ, 2005 
© Вузовский  
     учебник, 2010

ISBN 978-5-9558-0159-9 (Вузовский учебник) 
ISBN 978-5-16-004126-1 (ИНФРА-М)

Редактор Л.Б. Герцвольф
 Корректор А.Я. Тищенко
Компьютерная верстка А.И. Паркани

Подписано в печать 25.02.2010.
Формат 60×90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 9,0.  
Уч.изд. л. 10,29. Тираж 1000 экз. (1-й завод 500 экз.) 
Цена свободная. Заказ №         ____

Издательский Дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52
www.vuzbook.ru

Издательский Дом «ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31в 
Тел. (495) 380-05-40; 380-05-43.    Факс: (495) 363-92-12 
E-mail: books@infra-m.ru    http://www.infra-m.ru

УДК 331(075.8)
ББК 62.050я73
Ф 32

Федосеев В.В.
Экономикоматематические модели и прогнозирование рынка 
труда: Учеб. пособие. — 2-е изд., доп. и испр. — М.: Вузовский 
учебник: ИНФРА-М, 2010. — 144 с.

ISBN 978-5-9558-0159-9 (Вузовский учебник) 
ISBN 978-5-16-004126-1 (ИНФРА-М)

Излагается система экономикоматематических методов и моделей 
для решения задач экономического анализа и прогнозирования в области экономики и социологии труда. Рассматриваются оптимальные 
модели экономики труда, методы анализа и прогнозирования трудовых 
показателей на основе временных рядов и эконометрических моделей, 
балансовые модели анализа и планирования трудовых ресурсов, методы 
организации и нормирования труда на основе теории массового обслуживания и теории игр, система моделей распределения заработной 
платы и уровня жизни.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Экономика 
труда», а также для практических работников в области экономики и 
социологии труда.

ББК 62.050я73

Ф 32

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие подготовлено в соответствии с программой дисциплины «Экономико-математические модели и 
 прогнозирование рынка труда», разработанной на основе Государственных образовательных стандартов и утвержденной Научно-методическим советом Всероссийского заочного финансово-экономического института для специальности «Экономика труда». Требования этой программы определяют структуру и содержание отдельных 
глав учебного пособия.
При разработке программы рассматриваемой дисциплины и 
 соответствующего учебного пособия необходимо было учитывать тот 
факт, что для студентов специальности «Экономика труда» существующими образовательными стандартами и учебными программами 
не предусмотрено изучение общих методов экономико-математического моделирования в рамках отдельной дисциплины, например, 
«Экономико-математические методы и прикладные модели». Поэтому в данном пособии сначала дается краткое описание этих методов и лишь затем рассматриваются конкретные задачи моделирования и прогнозирования показателей экономики и социологии 
труда.
В гл. 1 «Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем» раскрываются общие понятия системного анализа и моделирования в области экономики и социологии, дается описание этапов экономико-математического моделирования и прогнозирования.
Многие задачи экономики труда при их моделировании сводятся 
к задачам линейного программирования. В связи с этим гл. 2 «Основы линейного программирования» посвящена раскрытию общих 
понятий оптимального, в том числе линейного, программирования, 
описанию графического (геометрического) и симплексного методов 
решения задач линейного программирования.
В гл. 3 «Методы оптимизации и оптимальные модели в экономике труда» раскрываются основы теории двойственности линейного 
программирования и ее использования при анализе оптимальных 
решений. Особое внимание уделяется рассмотрению транспортной 
задачи и основным типам оптимизационных задач в экономике и 
социологии труда: задача о назначениях, задача о диете и др.
Глава 4 «Математические методы анализа и прогнозирования трудовых показателей» посвящена рассмотрению вопросов экономического анализа и прогнозирования этих показателей на основе временных рядов, при этом особое внимание уделяется анализу сезон

ности в задачах рынка труда. Отдельный параграф посвящен 
использованию многофакторных эконометрических моделей, включая производственные функции, в задачах экономики и социологии 
труда.
В гл. 5 «Балансовые модели анализа и планирования трудовых 
ресурсов» даются основные понятия балансовых методов в экономике, раскрывается содержание экономико-математической модели 
материального межотраслевого баланса и рассматриваются балансовые модели в задачах экономики труда, прежде всего модель межотраслевого баланса затрат труда.
В гл. 6 «Экономико-математические методы организации и нормирования труда» дается краткое описание элементов теории массового обслуживания, теории игр и сетевых методов и моделей. Рассматриваются конкретные задачи организации и нормирования 
труда, решаемые методами теории массового обслуживания и теории 
игр, а также вопросы практического применения в задачах организации труда методов сетевого планирования и управления.
В гл. 7 «Модели распределения заработной платы и методы моделирования уровня жизни» рассматривается применение логарифмически нормальной модели в задачах анализа и прогнозирования распределения заработной платы и распределения семей по среднедушевому доходу. В отдельном параграфе дается краткое описание 
системы моделей уровня жизни.
При подготовке второго издания в гл. 6 включен параграф 6.3, 
посвященный сетевым методам моделирования, и несколько дополнен материал гл. 7. Исправлены также замеченные опечатки и неточности.
В конце каждой главы приведены вопросы и задания для самопроверки и упражнения. Все изучаемые темы иллюстрируются примерами решения конкретных задач экономики и социологии труда, 
которые, как надеется автор, окажут существенную помощь читателям данного учебного пособия при изучении рассматриваемой дисциплины.

Глава 1
ОСнОВныЕ ПОнятИя  
матЕматИчЕСкОГО мОДЕЛИРОВанИя 
СОцИаЛьнО-экОнОмИчЕСкИх СИСтЕм

1.1. 
мЕтОДы ИССЛЕДОВанИя И мОДЕЛИРОВанИя 
СОцИаЛьнО-экОнОмИчЕСкИх СИСтЕм

Под социально-экономической системой понимается сложная вероятностная динамическая система, охватывающая процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и 
других благ. Она относится к классу кибернетических систем, т.е. 
систем управляемых. Рассмотрим ряд основных понятий, связанных 
с такими системами и методами их исследования.
Центральным понятием кибернетики является понятие «система». Единого определения этого понятия нет; возможна такая формулировка: системой называется комплекс взаимосвязанных элементов вместе с отношениями между элементами и между их атрибутами. Исследуемое множество элементов можно рассматривать как 
систему, если выявлены следующие четыре признака:
1) целостность системы, т.е. принципиальная несводимость 
свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов;
2) наличие цели и критерия исследования данного множества 
элементов;
3) наличие более крупной, внешней по отношению к данной, 
системы, называемой средой;
4) возможность выделения в данной системе взаимосвязанных 
частей (подсистем).
Основным методом исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретического и практического действия, направленного на разработку и использование моделей. При этом под 
моделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальной форме или описанный знаковыми средствами на какомлибо языке, отражающий существенные свойства моделируемого 
объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, 
т.е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, 
а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, его 
модели. В дальнейшем мы будем говорить только об экономико-математическом моделировании, т.е. об описании знаковыми математическими средствами социально-экономических систем.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов и 
процессов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии. Следует, однако, иметь в виду, что далеко не во всех случаях данные, 
полученные в результате экономико-математического моделирования, могут использоваться непосредственно как готовые управленческие решения. Они скорее могут быть представлены как «консультирующие» средства. Принятие управленческих решений остается 
за человеком. Таким образом, экономико-математическое моделирование является лишь одним из компонентов (пусть очень важным) 
в человеко-машинных системах планирования и управления экономическими системами.
Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как при всяком моделировании, является понятие адекватности модели, т.е. соответствия модели моделируемому объекту или 
процессу. Адекватность модели является в какой-то мере условным 
понятием, так как полного соответствия модели реальному объекту 
быть не может, что характерно и для экономико-математического 
моделирования. При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Следует отметить, что проверка адекватности экономико-математических моделей является весьма 
серьезной проблемой, тем более что эту проблему осложняет трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки применение результатов моделирования в управленческих решениях может не только оказаться малополезным, но и принести существенный вред.
Социально-экономические системы относятся, как правило, 
к так называемым сложным системам. Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их 
моделировании, иначе невозможно будет говорить об адекватности 
построенной экономико-математической модели. Важнейшими из 
этих свойств являются следующие:
эмерджентность как проявление в наиболее яркой форме свойства целостности системы, т.е. наличие у системы таких свойств, 
которые не присущи ни одному из составляющих систему элементов, 
взятому в отдельности, вне системы. Эмерджентность есть результат 
возникновения между элементами системы так называемых синергических связей, которые обеспечивают увеличение общего эффекта 
до величины большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо. Поэтому социально-экономические системы 
необходимо исследовать и моделировать в целом;

массовый характер экономических явлений и процессов. Закономерности экономических процессов не обнаруживаются на основании небольшого числа наблюдений. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения;
динамичность экономических процессов, заключающаяся в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием 
среды (внешних факторов);
случайность и неопределенность в развитии экономических явлений. Поэтому экономические явления и процессы носят в основном 
вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение 
экономико-математических моделей на базе теории вероятностей и 
математической статистики;
невозможность изолировать протекающие в экономических системах явления и процессы от окружающей среды, с тем чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде;
активная реакция на появляющиеся новые факторы, способность 
социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и методам их воздействия.

1.2. 
этаПы экОнОмИкО-матЕматИчЕСкОГО 
мОДЕЛИРОВанИя И кЛаССИфИкацИя  
экОнОмИкО-матЕматИчЕСкИх мОДЕЛЕй

Процесс моделирования носит циклический характер, и в каждом 
цикле выделяется несколько этапов. Рассмотрим последовательность 
и содержание этапов экономико-математического моделирования.
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. 
На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели. Это этап формализации 
экономической проблемы, т.е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). 
Построение моделей подразделяется, в свою очередь, на несколько 
стадий. Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма 
связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить 
несколько разноаспектных моделей, при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются агрегированно и приближенно. Оправдано стремление постро

ить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать некоторого упрощения исходных 
предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация 
проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.
3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства 
модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. 
При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах 
они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.
4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах это 
чаще всего наиболее трудоемкий этап моделирования, поскольку 
дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации, при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но 
и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе 
подготовки информации используются методы теории вероятностей, 
теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты 
функционирования одних моделей служат исходной информацией 
для других.
5. Численное решение. Этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов, при этом значительные трудности 
вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно 
расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, 
изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. 
Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно 
возможным.
6. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе 
прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адекват

ности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве 
существенных (другими словами, должна быть произведена верификация и валидация модели). Применение численных результатов 
моделирования в экономике направлено на решение практических 
задач (анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии).
Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь место 
возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может 
выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее 
часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации.
Перейдем к вопросам классификации экономико-математических моделей. Общепринятой системы такой классификации в настоящее время не существует, однако можно выделить примерно десять 
классификационных рубрик таких моделей; рассмотрим некоторые 
из них.
По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на макроэкономические и микроэкономические. Хотя между 
ними и нет четкого разграничения, но к первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.
По предназначению, т.е. по цели создания и применения, выделяют балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования; трендовые модели, в которых 
развитие моделируемой экономической системы отражается через 
тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта 
из определенного или бесконечного числа вариантов производства, 
распределения или потребления; имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов, и др.
По типу информации, используемой в модели, экономико-математические модели делятся на аналитические, построенные на априорной (т.е. известной до опыта) информации, и идентифицируемые, 
построенные на апостериорной информации.
По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, 
и динамические, описывающие экономические системы в развитии.

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на 
детерминированные, если в них результаты на выходе однозначно 
определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора.
Экономико-математические модели могут классифицироваться 
также по характеристике математических объектов, включенных в 
модель, другими словами, по типу математического аппарата, используемого в модели. С этой точки зрения могут быть выделены 
следующие модели: матричные, линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные, теории массового обслуживания, сетевого планирования, теории игр и т.д. 
Если рассмотреть в качестве примера экономико-математическую 
модель межотраслевого баланса затрат труда, то с учетом приведенных выше классификационных рубрик это макроэкономическая, 
аналитическая, балансовая, матричная детерминированная модель, 
при этом такие модели могут быть как статическими, так и динамическими.

1.3. 
ЗаДачИ экОнОмИкИ И СОцИОЛОГИИ тРуДа  
как ОбъЕкт матЕматИчЕСкОГО мОДЕЛИРОВанИя  
И ПРОГнОЗИРОВанИя

Переходя к рассмотрению задач экономики и рынка труда как объекта математического моделирования и прогнозирования, следует отметить, что им присущи все основные свойства социально-экономических систем, рассмотренные выше. Однако в этих задачах социальная составляющая значительно более важна, чем в других областях 
экономического анализа. В качестве примера можно назвать задачи 
воспроизводства трудовых ресурсов, распределения семей по уровню 
среднедушевого дохода и т.д. Социальная сторона задач экономики и 
социологии труда принимает еще большее значение в условиях рыночной экономики, когда рынок труда выступает в качестве самостоятельного раздела экономического анализа и прогнозирования. 
Перечислим основные задачи в области рынка труда:
 
• анализ состава и показателей численности трудовых ресурсов, в 
том числе анализ занятости и безработицы;
 
• анализ показателей рабочего времени, включая вопросы научной организации труда и анализа трудовых затрат;
 
• расчет фактической и планируемой производительности труда, 
анализ факторов, влияющих на производительность труда;
 
• анализ форм и систем оплаты труда, распределения работающих по уровню заработной платы;