Лекции по физике плазмы

Д.А.ФРАНК-КАМЕНЕЦКИЙ

третье издание

2008

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

ЛЕКЦИИ ПО 
ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ

УДК 533.9(075.8)
ББК 22.333
Ф83

Франк-Каменецкий Д. А.
Ф83
Лекции по физике плазмы: Учебное пособие /
Д. А. Франк-Каменецкий. — 3-е изд. — Долгопрудный:
Издательский Дом <Интеллект>, 2008. — 280 с.
ISBN 978-5-91559-002-0

Излагаются основные понятия физики плазмы и простейшие
инженерные расчеты. Подробно рассматриваются термодинамические свойства плазмы; равновесная и стационарная ионизация;
адиабатическое и дрейфовое движение заряженных частиц; элементарная гидродинамическая теория распространения волн в холодной
и горячей плазме; простейшие вопросы физической кинетики и ее
применения к плазме.
Книга рассчитана на студентов физических и технических
специальностей и инженеров, имеющих дело с многообразными
приложениями физики плазмы.
ББК 22.333
УДК 533.9(075.8)

ISBN 978-5-91559-002-0
© 2008, наследники
© 2008, ООО Издательский Дом
<Интеллект>, оригинал-макет,
оформление

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие автора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава I. Основные понятия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

1. Квазинейтральность и разделение зарядов
. . . . . . . . . . .
10
2. Электростатическое экранирование
. . . . . . . . . . . . . .
15
3. Плазма как сплошная среда
. . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4. Идеальная проводимость и дрейфовое движение
. . . . . . . .
20
5. Вмороженное поле
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
6. Диффузия магнитного поля
. . . . . . . . . . . . . . . . .
27
7. Модель двух жидкостей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
8. Проводимость плазмы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
9. Кулоновские столкновения
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
10. Столкновения с нейтральными частицами и перезарядка
. . . .
38
11. Гидродинамическое представление диффузионных процессов
. .
40
12. Вязкое течение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
13. Плазма как система независимых частиц
. . . . . . . . . . .
43
Задачи к главе I
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Глава II. Термодинамика плазмы
. . . . . . . . . . . . . . . .
54

1. Температура плазмы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2. Тепловая и кулоновская энергия плазмы
. . . . . . . . . . .
55
3. Кулоновские поправки к свободной энергии и давлению плазмы
58
4. Равновесие ионизации
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5. Вывод формулы С ´аха из квазиклассической статистики
. . . .
63
6. Вывод формулы С ´аха из химической термодинамики
. . . . .
66
7. Многоступенчатая ионизация
. . . . . . . . . . . . . . . . .
68
8. Статистический вес и внутренние степени свободы . . . . . . .
69
9. Расходимость и обрезание полного статистического веса
. . . .
72
Задачи к главе II
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

Глава III. Траектории частиц в плазме
. . . . . . . . . . . . . .
80

1. Дрейфовое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2. Наглядное объяснение дрейфового движения
. . . . . . . . .
83
3. Количественное рассмотрение дрейфового движения
. . . . . .
84
4. Электрический дрейф
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5. Дрейф в неоднородном магнитном поле
. . . . . . . . . . . .
88
6. Поляризационный дрейф
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
7. Ток намагничивания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
8. Квазигидродинамическое приближение
. . . . . . . . . . . .
99
9. Плазма как диамагнитная среда
. . . . . . . . . . . . . . .
102
Задачи к главе III
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

3

Глава IV. Колебания и волны в холодной плазме
. . . . . . . . .
109
1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . .
109
2. Волны в плазме без магнитного поля
. . . . . . . . . . . . .
114
3. Простейшие случаи распространения волн при наличии магнитного поля
115
4. Магнитогидродинамические волны
. . . . . . . . . . . . . .
117
5. Дисперсия вблизи циклотронных частот . . . . . . . . . . . .
121
6. Магнитный звук
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
7. Гибридные частоты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
8. Дисперсия магнитного звука
. . . . . . . . . . . . . . . . .
129
9. Структура прямых волн в плотной плазме . . . . . . . . . . .
132
10. Косые волны и тензорные характеристики плазмы
. . . . . . .
137
11. Волны в плазме с конечной проводимостью
. . . . . . . . . .
149
12. Резонансы поглощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
13. Плазменные волноводы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
14. Магнитно-звуковой резонанс
. . . . . . . . . . . . . . . . .
160
Задачи к главе IV
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162

Глава V. Колебания и волны в горячей плазме
в гидродинамическом приближении
. . . . . . . . . . . . . . .
164
1. Уравнения гидродинамического приближения
. . . . . . . . .
164
2. Скорость звука
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
3. Плазменные волны и ионный звук
. . . . . . . . . . . . . .
169
4. Тензорные характеристикигорячейплазмыипространственнаядисперсия
173
5. Ускоренные и замедленные магнитно-звуковые волны
. . . . .
178
6. Дисперсия магнитного звука в горячей плазме
. . . . . . . .
181
Задачи к главе V
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182

Глава VI. Физическая кинетика плазмы
. . . . . . . . . . . . .
185
1. Функция распределения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
2. Фазовое пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
3. Моменты функции распределения
. . . . . . . . . . . . . .
189
4. Уравнение Фоккера—Планка
. . . . . . . . . . . . . . . . .
192
5. Феноменологическое описание процессов переноса . . . . . . .
197
6. Кинетическое уравнение без столкновений
. . . . . . . . . .
206
7. Самосогласованное поле
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
8. Кинетическая теория плазменных волн
. . . . . . . . . . . .
212
9. Волны в магнитном поле и тензорные характеристики плазмы
221
10. Решение кинетического уравнения с помощью интегрирования по углу
224
11. Специфическое затухание и раскачка колебаний . . . . . . . .
230
12. Слабая и сильная пространственная дисперсия
. . . . . . . .
231
13. Волны на анизотропном фоне
. . . . . . . . . . . . . . . .
233
14. Тензорные характеристики термической плазмы
. . . . . . . .
235
15. Предельные случаи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
16. Релятивистские эффекты и синхротронное излучение
. . . . .
243
17. Интегрирование по траекториям
. . . . . . . . . . . . . . .
245
18. Применение метода траекторий к линеаризованному кинетическому уравнению
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
19. Флуктуационное
взаимодействие
и
кулоновские
столкновения
251
Задачи к главе VI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263

Приложение 1. Гауссова система единиц
. . . . . . . . . . . . .
267
Приложение 2. Сведения из векторного анализа
. . . . . . . . . .
268
Приложение 3. Свойства функции Бесселя
. . . . . . . . . . . .
269
Приложение 4. Основные
формулы
статистической
термодинамики
270
Приложение 5. Данные для расчета равновесий ионизации
. . . .
272
Приложение 6. Интегралы от распределения Максвелла
. . . . . .
274

Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277

4

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Молодая и быстро развивающаяся отрасль физики, изучающая ионизированный газ — плазму, привлекает к себе
все большее внимание. С плазмой связаны такие перспективные проблемы новой техники, как управляемые термоядерные реакции, прямое преобразование тепловой энергии
в электрическую, получение сверхскоростных газовых струй
и потоков, новые направления в сварке и поверхностной
обработке металлов, получившие название электронной технологии. Быстро расширяется круг научных работников и инженеров, которым необходимо знание основ физики плазмы.
В основу книги положен курс лекций, читанный автором в течение ряда лет студентам Московского физикотехнического института. Задача книги чисто педагогическая:
научить студента разбираться в основных вопросах физики
плазмы и производить простейшие расчеты. Книга адресована читателю, интересующемуся прежде всего практическими
выводами.
Имеющаяся литература по плазме связана в основном
либо с проблемой управляемых термоядерных реакций, либо
с классическим газовым разрядом. Настоящая книга охватывает более широкий круг вопросов и дает общее представление о свойствах плазмы, лежащих в основе разнообразных
ее применений. При этом основное внимание уделено важнейшему вопросу, характерному для современного этапа развития плазменной науки и техники: взаимодействию плазмы
с сильными магнитными полями в условиях, когда магнитное поле ограничивает движение частиц в плазме. Такую
плазму мы называем замагниченной. Объем книги не позволил нам рассмотреть обширную проблему неустойчивости

5

плазмы. Читатель может ознакомиться с ней по специальной литературе, список которой помещен в конце книги.
Простейшие качественные идеи физики плазмы изложены мной в популярной книге <Плазма — четвертое состояние вещества>, которая может служить для читателя
введением к настоящей книге.
Книга рассчитана на читателя, знакомого с основами
высшей математики и физики в объеме первых курсов высшей технической школы. Все необходимые дополнительные
сведения даны в приложениях. Автор старался не углубляться в вопросы, требующие громоздких или сложных
математических расчетов.
Физика плазмы имеет дело с простыми и общими закономерностями, которые вполне заслуживают изучения не
только в специальных курсах, но и в общем курсе физики.
Автор считает приятным долгом выразить свою глубокую благодарность В. И. Карпману, В. И. Когану, В. Д. Русанову, Р. З. Сагдееву, Г. Н. Тилинину, В. Д. Шафранову и
М. Д. Франк-Каменецкому за ценные замечания, Д. В. Сивухину, из лекций которого заимствованы задачи к гл. III,
и Т. Д. Кузнецовой за помощь при оформлении рукописи.

Д. Франк-Каменецкий

ОБОЗНАЧЕНИЯ

A, B — коэффициенты Фоккера—Планка;
a, b — тензорные индексы, отмечающие координаты пространства;
C — постоянная интегрированная; емкость конденсатора;
c — скорость света;
D — коэффициент диффузии;
E — напряженность электрического поля;
E∗ — то же в сопутствующей системе координат;
E — энергия;
e — плотность энергии;
e — заряд электрона;
F — свободная энергия;
F — сила;
f — функция распределения;
f 0 — основная (фоновая) функция распределения;
f — функция распределения;
f 1 — возмущение функции распределения;
g — статистический вес; гиротропный компонент тензора электрической проницаемости;
H — напряженность магнитного поля;
h=2π ¯h — постоянная Планка;
h — единичный вектор в направлении магнитного поля;
J — энергия ионизации; электрический ток;
Js — функция Бесселя первого рода порядка s;
I — интенсивность излучения;
Is — модифицированная функция Бесселя;
i — индекс, отмечающий ионы;
I — полный момент атома (сумма орбитального и спинового);
j — плотность электрического тока;
k — индекс, нумерующий все сорта частиц; главное квантовое число; волновое число; постоянная Больцмана;
k — волновой вектор;
k1 — поперечное волновое число;
k3 — продольное волновое число;
L — орбитальный момент (в единицах ¯h);
l — длина пробега;
lD — длина экранирования (дебаевская или поляризационная);
M — масса иона или произвольной частицы;
m — масса электрона; азимутальное число;
em — приведенная масса;

7

N — полное число частиц; показатель преломления;
Nз — звуковой показатель преломления;
nk — концентрация частиц, обозначенных индексом k;
n — концентрация электронов;
P — давление;
pe, pi — парциальные давления;
p — гиротропное число;
Q — эффективное сечение; заряд;
Q0 — тепловой эффект реакции при абсолютном нуле;
q — плотность заряда; обобщенная координата;
R — радиус кривизны; тензор сопротивления; коэффициент взаимного трения (диффузионного сопротивления);
Rc — циклотронный радиус;
r — расстояние;
r — радиус-вектор;
S — спин (в единицах ¯h); площадь;
s — целое число, нумерующее циклотронные обертоны;
st — интеграл столкновений;
stik — то же между частицами сортов i и k;
T — температура (в энергетических единицах);
t — время;
u — скорость распространения волн; скорость звука;
uф — фазовая скорость;
uг — групповая скорость;
uA — альфвеновская скорость;
uз — скорость ионного звука;
V — напряжение (разность потенциалов); объем;
v — дрейфовая скорость; средняя массовая скорость плазмы; скорость;
W — энергия, передаваемая за единицу времени;
w — вероятность; скорость реакции;
w(z) — специальная функция (VI.14.3)* или (VI.14.5);
Z — зарядовое число; цилиндрическая функция;
α — корни функции Бесселя;
αab — тензорная величина, входящая в кулоновский интеграл столкновений;
β — отношение газового давления к магнитному;
γ — показатель адиабаты;
Δ — оператор Лапласа;
δ — декремент затухания; дельта-функция;

δik =
8>>><>>>:
1
при i=k;
0
при i̸=k;
ε — электрическая проницаемость; тензор электрической проницаемости; первый и второй диагональные компоненты тензора
электрической проницаемости;
η — третий диагональный компонент тензора электрической проницаемости; вязкость;
ϑ — полярный угол;
κ — постоянная
экранирования
(величина,
обратная
дебаевской
длине); мнимая часть волнового числа;

* Римские цифры в номерах формул указывают на номер главы.

8

λ — теплопроводность;
μ — магнитный момент орбиты; косинус полярного угла;
ν — эффективная частота передачиимпульса; кинематическаявязкость;
Π — погонное число частиц;
Π∗ — эффективное погонное число электронов;
ρ — плотность;
σ — проводимость; тензор проводимости;
Σ — статистическая сумма;
τ — время передачи импульса; вспомогательный тензор;
T — тензор;
Φ(z) — интеграл вероятности;
φ — азимутальный угол; электростатический потенциал;
χ — магнитная восприимчивость;
ψ — вспомогательная величина, определяемая формулой (IV.13.2);
ω — круговая частота;
ω0 — плазменная частота (круговая); если специально не оговорено,
то электронная;
ωc, ωi, ωe — циклотронные частоты;
Ω — вектор направления (телесного угла);
∇ — оператор градиента;
∇v — то же в пространстве скоростей;
∥ — индекс, указывающий направление, параллельное магнитному
полю;
⊥ — то же, перпендикулярное к магнитному полю;
:: — знак пропорциональности;
∼ — знак, обозначающий порядок величины;
≈ — знак приближенного равенства.

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Прежде чем перейти к подробному рассмотрению различных вопросов науки о плазме, дадим элементарный обзор
основных понятий.

1. Квазинейтральность и разделение зарядов

Плазмой называют квазинейтральную систему, содержащую положительно и отрицательно заряженные свободные
частицы. Положительные частицы — это всегда ионы, а отрицательные — обычно электроны.
В результате <прилипания> электронов к нейтральным
атомам в плазме могут возникать и отрицательные ионы, но
они встречаются редко и имеют второстепенное значение.
Поясним смысл понятия квазинейтральности. Квазинейтральный означает почти нейтральный. Квазинейтральная
плазма — плазма, электрически нейтральная в среднем в достаточно больших объемах или за достаточно большие промежутки
времени. Величины объемов и промежутков времени, в которых
проявляется квазинейтральность, определяются пространственным и временн ´ым масштабами разделения зарядов.
Рассмотрим сначала масштаб разделения зарядов во
времени. Представим себе, что в плоском слое плазмы толщиной x и площадью S все частицы одного знака, например
электроны, сместились на одну из ограничивающих этот
слой плоскостей (рис. 1). Получится плоский конденсатор с
емкостью

C=
S

4πx .
(1.1)

Заряд этого конденсатора Q равен суммарному заряду всех

10

Рис. 1. Разделение зарядов

электронов, содержащихся в объеме слоя Sx:

Q=Snex,
(1.2)

где n — концентрация электронов,
т. е. число их в единице объема.
Разность
потенциалов
между
пластинами конденсатора

V = Q

C =4πnex2,
(1.3)

и однородное электрическое поле между ними

E= V

x =4πnex.
(1.4)

Это поле сообщает каждому электрону ускорение

d2x
dt2 =− eE

m =− 4πne2

m
x.
(1.5)

Полученное уравнение описывает простое гармоническое колебание с круговой частотой

ω0=

t

4πne2

m
,
(1.6)

пропорциональной
корню
квадратному
из
концентрации
электронов. Эта частота — одна из важнейших характеристик плазмы. Ее и называют плазменной частотой.
Таким образом, в случае разделения в плазме зарядов
возникающие электростатические силы вызывают так называемые электростатические, или ленгмюровские, колебания.
Последнее название происходит от имени исследователя,
впервые обратившего внимание на эти колебания. Соответственно и плазменную частоту иногда называют ленгмюровской. У плазмы много различных типов колебаний, особенно
если она помещена в магнитное поле. Но плазменными колебаниями принято называть не всякие колебания плазмы,
а именно этот простейший электростатический тип колебаний.

11

Таким образом, по принятой терминологии <плазменные
колебания> и <колебания плазмы> — не одно и то же. Термин
<колебания плазмы> имеет более широкий смысл.
Выведем выражение для плазменной частоты общим
способом. Пусть в результате разделения зарядов в плазме
возник объемный заряд плотностью q. По закону сохранения
заряда

q
t =−div j,
(1.7)

где j — плотность тока. Допустим, что ток переносится
только электронами. Тогда

j=−nev,
(1.8)

где v — скорость электронов, переносящих ток (<токовая
скорость>). Уравнение движения электрона:

m dv

dt =−eE.
(1.9)

Подставив выражение (1.8) в уравнение (1.7), продифференцировав последнее по времени и подставив затем уравнение (1.9), получим

2q
t2 =− ne2

m
div E.
(1.10)

При этом, имея в виду линейные колебания и не делая
различия между частной и полной производными времени,
отбросим все квадратичные члены, а n вынесем за знаки
дифференциалов. По уравнению Максвелла

div E=4πq.
(1.11)

Подставив это выражение в уравнение (1.10), получим

2q
t2 =− 4πne2

m
q.
(1.12)

Теперь уже не обкладки воображаемого конденсатора, а
плотность объемного заряда в плазме колеблется с той же
круговой частотой ω0.

12