Алгебра для школьников и абитуриентов

Веселаго И.А.

Алгебра для
ш кольников и
абитуриентов

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 512
ББК 22.141я721.6
В 38

В е с е л а г о И. А. Алгебра для школьников и абитуриентов. —
2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 336 с. —
ISBN 978-5-9221-0789-1.

Перед Вами учебное пособие, в котором ясно, четко и наглядно
изложен школьный курс алгебры. Структура пособия позволяет быстро
найти и надежно закрепить в памяти нужную информацию. Данное
издание поможет школьникам старших классов успешно подготовиться
к выпускным экзаменам в общеобразовательной школе и к вступительным экзаменам в вузы. Книгой могут воспользоваться учителя и
родители школьников, а также все, кто интересуется математикой.

ISBN 978-5-9221-0789-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007

c⃝ И. А. Веселаго, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
5
Числа, числовые и алгебраические выражения. .. .. .. .. .. .. .
8
Преобразование числовых выражений . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .
22
Преобразование алгебраических выражений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
27
Тригонометрия . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
36
Основные тригонометрические формулы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
37
Преобразование тригонометрических выражений . .. .. .. .. .. .. .. .
40
Уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
48
Решение уравнений. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
67
Рациональные уравнения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
67
Уравнения с модулем. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
71
Иррациональные уравнения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74
Показательные уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
77
Логарифмические уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
84
Тригонометрические уравнения . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
94
Неравенства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 111
Решение неравенств . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 124
Рациональные неравенства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 124
Неравенства с модулем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 129
Иррациональные неравенства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 134
Показательные неравенства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 143
Логарифмические неравенства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 148
Тригонометрические неравенства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 158
Числовые оценки. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 162
Системы уравнений и неравенств. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 166
Решение систем уравнений и неравенств . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 168
Текстовые задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 183
Решение текстовых задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 197
Задачи, связанные с понятиями «концентрация»
и «процентное содержание» . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 197
Задачи на движение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 206

Оглавление

Задачи на работу. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 222
Задачи на части и числа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 235
Задачи с целочисленными неизвестными . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 244
Задачи, решаемые с помощью неравенств . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 252
Прогрессии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 257
Задачи на прогрессии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 258
Функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 268
Линейная функция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 269
Квадратичная функция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 270

Функция y = k

x, k ̸= 0. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 271

Степенная функция с целым показателем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 271
Показательная функция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 272
Логарифмическая функция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 273
Тригонометрические функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 273
Преобразование графиков функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 274
Свойства функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 277
Производная функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 279
Производные элементарных функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 280
Правила вычисления производных . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 280
Уравнение касательной к графику функции . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 281
Исследование функций и построение графиков . .. .. .. .. .. .. .. .. . 281
Наибольшее и наименьшее значения функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 282
Первообразная и интеграл. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 283
Три правила нахождения первообразных . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 284
Функции. Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 286
Задания повышенной сложности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 318
Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 331

Предисловие
5

Предисловие

Применение математики и ее приложений давно стало необходимым этапом исследований в экономике, технике, физике,
и даже гуманитарные области деятельности человека не обходятся без применения математического аппарата. Информатизация
и компьютеризация всех без исключения сфер деятельности человека также невозможны без математики.
Строгий логический подход, а математика сильна именно
логикой рассуждений, а не только умением быстро считать,
помогает получить существенные результаты там, где простое
описание явлений не приносит успеха. Математика — царица
наук, и этим все сказано. Математические знания недаром были
существенной частью культуры различных народов. Математика
всегда бурно развивалась там, где развивалось общество. Люди
строили дома, мосты, корабли, создавали различные механизмы,
календари, вели астрономические наблюдения. Математические
знания для этого были жизненно необходимы. В наше время
математика нужна еще более, чем раньше. Математика очень
интересна, дает пищу уму, развивает логическое мышление, учит
рассуждать и достигать своей цели. Математика, по словам
М. В. Ломоносова, «... ум в порядок приводит». Поэтому знать
математику престижно и важно.
Помимо сказанного, существует и практическая проблема —
сдача экзамена по математике в школе и вступительного экзамена в вуз. При поступлении в вуз — это, пожалуй, самое серьезное
и сложное испытание.
Изучение математики начинается в младших классах школы,
и постепенно «математическое здание» усложняется и расширяется. Без базы, заложенной в начальной школе при изучении
чисел и действий над ними, невозможно понимание алгебры,
а затем и математического анализа. Без изучения простейших
геометрических фигур не будет понимания более сложных геометрических построений.
Цель предлагаемого пособия — помочь учащимся систематизировать свои знания по математике как в теории, так и в практике. Знания теории, то есть формул, правил, теорем, далеко
не всегда достаточно для правильного решения задач. А ведь
именно это требуется на письменном экзамене по математике.

Предисловие

Для того чтобы получить исчерпывающее, логически верное
и грамотно изложенное решение задачи, необходимо умение выбрать нужную теоретическую основу и успешно ее применить.
Для этого нужно владеть методами решения задач в различных
областях математики. Многие методы являются комплексными,
использующими аппарат нескольких разделов математики. Так,
геометрические задачи часто решаются с помощью алгебраических и тригонометрических методов, при решении уравнений
используются графики, тригонометрические преобразования во
многом основываются на алгебраических формулах и т. д.
Очень важно владеть логикой математических рассуждений
и уметь применять теоретические знания при решении задач.
Это и является самым сложным, так как гораздо труднее видеть
сущность задачи, ее внутреннюю логику, чем запомнить отдельные формулировки или выполнить действия по определенному
известному алгоритму.
Цель этой книги состоит также в преодолении разрыва между
теорией и практическим решением задач. Каждый теоретический
раздел сопровождается не только примерами, но и большим количеством решенных задач, в том числе нестандартных. Следует
подчеркнуть, что только активное владение всеми средствами
элементарной математики создает возможности для появления
оригинальных идей при решении сложных задач. Задачи, как
правило, располагаются по мере возрастания их сложности. Стоит попробовать сначала решить их самостоятельно и только
в случае неудачи после нескольких попыток смотреть приведенное решение.
Книга предназначена для учащихся средних школ и абитуриентов и в полном объеме содержит понятия, определения,
формулы, теоремы и методы решения задач, входящие в курс
математики средней школы. Кроме того, в справочнике имеются
подробно разобранные задачи и примеры, в решении которых
используется не только материал того раздела, к которому относится пример или задача, но и материал других разделов.
Следует отметить, что не всегда приводятся самые короткие
решения, так как наиболее важным для автора было донести
логику решения и последовательность действий для получения
нужного результата. Мы не стали выделять информацию для
абитуриентов отдельной главой, посчитав, что для поступающих
удобнее будет воспользоваться примерами экзаменационных задач в конце соответствующих разделов справочника.
Эта книга ни в коей мере не является учебником по элементарной математике и не заменяет школьные учебники, но помога

Предисловие
7

ет получить всю необходимую информацию в более компактном
виде, чем в учебнике.
Книга нужна, чтобы активизировать знания, и будет полезна
при:
1) нахождении нужных понятий, формул, теорем;
2) повторении материала к экзамену, зачету, контрольной
работе;
3) решении типовых и нестандартных задач курса математики;
4) подготовке к вступительному экзамену по математике в вузы и другие учебные заведения.

Числа, числовые и алгебраические выражения

Числа, числовые
и алгебраические выражения

Число — это важнейшее математическое понятие. В математике некоторые понятия являются первичными, неопределяемыми. К ним относятся понятия натурального числа, точки, прямой
и т. д. Натуральные числа — это числа, используемые для счета
предметов: 1, 2, 3, ..., n, ...
Другим фундаментальным понятием математики является понятие множества. Принято говорить, что множество объединяет
элементы по какому-либо признаку. Множества можно составлять из самых разнообразных объектов на основе различных
признаков. Элементами множества могут быть как материальные
объекты, так и абстрактные понятия, такие как числа, геометрические фигуры, символы и т. п. Если в роли элементов множества
выступают числа, то оно называется числовым множеством.
Множества чаще всего обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, ..., а их элементы — малыми латинскими буквами
a, b, c, ... Если множество A состоит из k элементов a1, a2, ...,
ak, то пишут A = {a1; a2; ... ; ak}.
Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут a ∈ A.
Множество, которое не содержит элементов, называется пустым и обозначается ∅.
Пересечением множеств A и B называется множество C, которое состоит из элементов, входящих и в множество A, и в множество B, обозначается C = A ∩ B. Объединением множеств
A и B называется множество C, состоящее из всех элементов
множеств A и B и только из них, обозначается C = A ∪ B.
Множество натуральных чисел обозначают буквой N. Если
какое-либо число n принадлежит множеству натуральных чисел,
пишут n ∈ N.
На множестве натуральных чисел определены операции сложения и умножения. Сумма и произведение натуральных чисел — также натуральные числа.
Вычитание натуральных чисел приводит не только к натуральным числам, но и к числам вида (−n), где n — натуральное
число. Множество чисел, состоящее из натуральных чисел, нуля
и чисел вида (−n), называется множеством целых чисел и обо

Числа, числовые и алгебраические выражения
9

значается Z. На множестве целых чисел определены операции
сложения, вычитания и умножения. Деление целых чисел выводит нас за рамки этого множества, т. к. при делении результат
не всегда оказывается целым числом, и возникает необходимость
записи чисел, более «мелких», чем целые. Одна или несколько
равных частей единицы называется обыкновенной дробью.
Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя,
разделенных чертой, например 7

9. Знаменатель 9 обозначает, что
нечто целое разделено на 9 частей, а числитель 7, что взято 7
таких частей.
Важнейшим свойством дроби является то, что числитель
и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число,

т. е. дробь можно сократить. Например, 5

20 = 1

4; 6

42 = 1

7.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется
правильной.
Если числитель дроби больше знаменателя, дробь — непра
вильная.
3
5 — правильная дробь,
5
3 — неправильная дробь.
Из неправильной дроби можно выделить целую часть, разделив
числитель на знаменатель с остатком. Частное от деления будет целой частью числа, остаток — числителем дробной части,
в знаменателе будет знаменатель неправильной дроби. Напри
мер, 43

9 = 47

9; 57

8 = 71

8.
Число, состоящее из целой и дробной частей, — дробное
число. Такое число можно превратить в неправильную дробь.
Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель дроби и
добавить это произведение к числителю, а знаменатель оставить

прежним. Например, 63

4 = 27

4 ; 311

13 = 50

13. Над дробями можно
совершать арифметические действия по следующим правилам:

1) m

n + p

q = mq + pn

nq
;
2) m

n − p

q = mq − pn

nq
;

3) m

n · p

q = mp

nq ;
4) m

n : p

q = mq

np .

Пр и м е р ы

1. 1

9

2 − 1

2

9 = 9 − 2

18
= 7

18.

2. 1 7

85 + 6 2

17 = 92

1

85 + 104

5

17
= 92 + 520

85
= 612

85 = 717

85 = 71

5.

Числа, числовые и алгебраические выражения

3. 1

10 · 5

13 =
1 · 5

2 10 · 13 = 1

26.

4. 3

84 : 7

20 = 3 · 20
5

21 84 · 7 = 15

147 = 5

49.

Дроби со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. называются
десятичными дробями и записываются
1
10 = 0,1;
7

100 = 0,07;

7 3

10 = 7,3.
При сложении и вычитании десятичных дробей числа записывают так, чтобы одинаковые разряды были записаны один под
другим, а запятая — под запятой. Например,
0,132
+3,541

3,673
;
9,2072
−2,45

6,7572
.

При умножении десятичных дробей надо выполнить это действие, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном
произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их
стоит после запятой в обоих множителях вместе.
При делении десятичных дробей на натуральное число делим
сначала целую часть числа на это натуральное число, затем
десятые, сотые и т. д. доли. Если целая часть меньше делителя,
то в целой части частного получим 0. Например, 4,52 : 2 = 2,26;
1,28 : 4 = 0,32.
При делении на десятичную дробь надо в делимом и делителе
перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после
запятой в делителе, и затем делить на натуральное число.
Можно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную
и, обратно, обыкновенную дробь в десятичную. Для первого
преобразования достаточно в числителе дроби записать число,
стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями,
причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от

запятой. Например, 0,3 = 3

10; 0,45 = 45

100; 0,008 =
8

1000.

Чтобы совершить обратное преобразование, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной

дроби на целое число. Например,
6, 0 25
5 0 0,24
100

, т. е. 6

25 = 0,24.

Числа, числовые и алгебраические выражения
11

Отметим, что при этом может получиться бесконечная десятичная дробь. Например,

5,0 9
4 5 0,55 ... ;

50

4,0 7
3 5 0,5714285 ... .

50
49

10

7
30
28

20
14

60
56

40
35

50

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической. Записываются периодические дроби следующим образом:
0,333 ... = 0,(3); 0,5757 ... = 0,(57).
Важно уметь переводить периодические дроби в обыкновенные. Для того чтобы обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до 2-го
периода, вычесть число, стоящее до 1-го периода, и сделать эту
разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько
раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько
нулей, сколько цифр между запятой и 1-м периодом.

Например, 0,11(7) = 117 − 11

900
= 106

900 = 53

450;

0,(37) = 37 − 0

99
= 37

99;

13,74(331) = 1374 331 − 74

99 900
= 1374 257

99 900.
Рациональными называются числа, которые могут быть
представлены в виде p

q, где p — целое, а q — натуральное
число. Множество рациональных чисел обозначается Q. Любое
рациональное число может быть представлено в виде конечной
либо бесконечной периодической десятичной дроби.
На множестве рациональных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натураль

Числа, числовые и алгебраические выражения

ную степень, т. к. последняя операция сводится к умножению:
an = a a a a ... a
n раз
.

Возведение в отрицательную целую степень возможно для
любого рационального числа, кроме 0, т. к. a−1 = 1

a, а на 0
делить нельзя.
Прямую линию с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют числовой прямой,
или числовой осью.
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными. Например, 5 и −5; 1,7 и −1,7.
Каждому рациональному числу соответствует единственная
точка на числовой прямой. Противоположные числа на числовой
прямой расположены симметрично относительно нуля.

Модулем (абсолютной величиной) числа a называется само
это число, если a ⩾ 0, и противоположное число −a, если a < 0.

|a| =
a, если a ⩾ 0,
−a, если a < 0.

На числовой прямой |a| означает расстояние от точки, соответствующей числу a, до точки, обозначающей 0.
|0| = 0; если a ̸= 0, то на числовой прямой находятся две
точки, равноудаленные от нуля, соответствующие |a|, это a и −a.
На числовой прямой правее расположено то из двух чисел,
которое больше. Поэтому любое положительное число больше
нуля и больше отрицательного числа; любое отрицательное число меньше нуля; из двух отрицательных чисел больше то, модуль
которого меньше. Например, −0,3 > −1,5; −7,21 < −2,4.
Сумма двух рациональных чисел с одинаковыми знаками
равна числу того же знака, модуль которого равен сумме модулей
слагаемых. Сумма двух чисел с разными знаками равна числу,
модуль которого равен разности большего и меньшего модулей
этих чисел, а знак суммы совпадает со знаком того слагаемого,
модуль которого больше.
Например,
(−5) + (−1,7) = −6,7;
(−2,6) + (+4,2) = 1,6;
(−72,1) + (+50) = −22,1.
Разности двух рациональных чисел соответствует сложение
уменьшаемого с числом, противоположным вычитаемому.