Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций

100-летию со дня основания
Саратовского государственного
университета им. Н. Г. Чернышевского
посвящается

В.С. Анищенко,  В.В. АСтАхоВ, т.е. ВАдиВАСоВА

2009

РегуляРные  

и хАотичеСкие 
АВтоколебАния

СинхРонизАция и Влияние 

флуктуАций

В.С. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова
Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и
влияние флуктуаций: Учебникмонография / В.С. Анищенко,
В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова – Долгопрудный: Издательский
Дом «Интеллект», 2009. – 312 с.
ISBN  9785915590662

В книге наиболее полно и последовательно излагается классическая теория периодических автоколебаний, внешней и взаимной синхронизации и
влияния флуктуаций на свойства периодических автоколебаний.
Результаты используются для анализа проблемы генерирования и синхронизации более сложных (квазипериодических и хаотических) автоколебаний в системах с полутора и двумя степенями свободы. Рассмотрены примеры систем, реализующих двухчастотные и хаотические автоколебания и
проблема влияния флуктуаций.
Для студентов и преподавателей университетов, ведущих подготовку по
физикоматематическим, химикобиологическим, биофизическим, инженерным и социальноэкономическим специальностям.

 © 2009, В.С. Анищенко,
В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова
 © 2009, ООО Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN  9785915590662

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Гла ва 1
Основы теории динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2. Динамическая система и ее математическая модель . . . . . . . . . . .
18
1.2.1. Классификация динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.2. Предельные множества динамической системы . . . . . . . . . .
20
1.2.3. Автоколебательные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2.4. Фазовые портреты динамических систем . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3. Устойчивость фазовых траекторий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.3.1. Линейный анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.3.2. Устойчивость состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3.3. Устойчивость периодических решений . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.3.4. Устойчивость квазипериодических и хаотических решений . .
36
1.3.5. Устойчивость фазовых траекторий в системах с дискретным
временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.4. Бифуркации динамических систем, катастрофы . . . . . . . . . . . . . .
39
1.4.1. Бифуркации состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.4.2. Бифуркации предельных циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.4.3. Нелокальные бифуркации. Гомоклинические траектории и
структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.5. Аттракторы динамических систем. Детерминированный хаос . . . . .
52
1.5.1. Регулярные аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.5.2. Грубые гиперболические хаотические аттракторы . . . . . . . .
55
1.5.3. Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа Лоренца
57
1.5.4. Негиперболические хаотические аттракторы . . . . . . . . . . . .
57
1.5.5. Странные нехаотические и хаотические нестранные аттракторы
58
1.6. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Оглавление

Гла ва 2
Автоколебательные системы с одной степенью свободы: осциллятор
Ван дер Поля, генератор с жестким возбуждением . . . . . . . . . . . . .
62

2.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2. Примеры автоколебательных систем, описываемых уравнением осциллятора с нелинейной диссипацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2.1. Маятник Фроуда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.2.2. Закрепленный грузик на движущейся ленте . . . . . . . . . . . .
65
2.2.3. Ламповый генератор с колебательным контуром в цепи сетки
66
2.2.4. RC-генератор с мостом Вина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.2.5. Колебательный контур с активным нелинейным элементом .
69
2.3. Исследование динамики осциллятора Ван дер Поля . . . . . . . . . . .
71
2.3.1. Состояния равновесия и анализ устойчивости . . . . . . . . . .
72
2.3.2. Квазигармонические автоколебания. Энергетический метод
Теодорчика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.3.3. Квазигармонические автоколебания. Метод усреднения Ван
дер Поля. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы .
77
2.3.4. Релаксационные автоколебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.4. Исследование динамики генератора с жестким возбуждением . . . .
84
2.4.1. Типы состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.4.2. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы генератора с
жестким возбуждением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.4.3. Бифуркационная диаграмма генератора с жестким возбуждением
87
2.5. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

Гла ва 3
Автоколебательные системы с полутора и двумя степенями свободы .
92

3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.2. Генератор Теодорчика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.3. Модификация генератора с инерционной нелинейностью. Генератор Анищенко–Астахова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3.1. Периодические режимы автоколебаний и их бифуркации . . .
100
3.3.2. Бифуркации удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума
109
3.3.3. Хаотический аттрактор и гомоклинические траектории в
генераторе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
3.4. Генератор Чуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
3.4.1. Состояния равновесия системы Чуа . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
3.4.2. Гомоклинические траектории и аттракторы системы Чуа . . .
122
3.5. Генераторы квазипериодических колебаний. Цепь Чуа . . . . . . . . .
126

Оглавление
7

3.6. Генератор квазипериодических колебаний с двумя независимыми
частотами. Бифуркация удвоения тора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
3.6.1. Бифуркационная диаграмма системы . . . . . . . . . . . . . . . .
134
3.6.2. Бифуркация удвоения двумерного тора . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.7. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

Гла ва 4
Синхронизация автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
4.2. Синхронизация периодических автоколебаний . . . . . . . . . . . . . .
145
4.2.1. Внешняя синхронизация генератора Ван дер Поля. Укороченные уравнения для амплитуды и фазы . . . . . . . . . . . .
146
4.2.2. Взаимная синхронизация. Бифуркационные механизмы эффектов синхронизации и гашения в диссипативно связанных
генераторах Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
4.3. Синхронизация квазипериодических колебаний . . . . . . . . . . . . . .
178
4.3.1. Резонансный предельный цикл на двумерном торе . . . . . . .
179
4.3.2. Воздействие внешней периодической силы на резонансный
предельный цикл в системе связанных генераторов . . . . . .
183
4.3.3. Основные бифуркации квазипериодических режимов при
синхронизации резонансного предельного цикла . . . . . . . .
185
4.3.4. Фазовая синхронизация системы связанных генераторов Ван
дер Поля внешним гармоническим сигналом . . . . . . . . . .
192
4.3.5. Синхронизация двухчастотных колебаний в автогенераторе
квазипериодических колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
4.4. Синхронизация хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
4.4.1. Частотно-фазовая синхронизация хаотических автоколебаний
208
4.4.2. Полная синхронизация взаимодействующих хаотических систем
221
4.4.3. Количественные характеристики степени синхронности хаотических автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
4.5. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229

Гла ва 5
Флуктуации в автоколебательных системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
5.2. Основы теории случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
5.2.1. Основные характеристики случайных процессов . . . . . . . . .
241
5.2.2. Основы теории марковских процессов. . . . . . . . . . . . . . . .
252
5.2.3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) . . . . .
256

Оглавление

5.3. Флуктуации в автономном квазигармоническом генераторе . . . . . .
258
5.3.1. Стохастические уравнения квазигармонического автогенератора
258
5.3.2. Флуктуации амплитуды автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . .
261
5.3.3. Случайная фаза автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
5.3.4. Автокорреляционная функция и спектр автоколебаний в присутствии шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
5.4. Методы измерения флуктуаций автогенераторов . . . . . . . . . . . . .
267
5.5. Обобщение спектрально-корреляционной теории флуктуаций на
случай генераторов спирального хаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
5.5.1. Численное исследование детерминированных хаотических автоколебаний в режиме спирального хаоса . . . . . . . . . . . .
276
5.5.2. Влияние белого шума на хаотические автоколебания в режиме спирального аттрактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
5.5.3. Исследование динамики мгновенной фазы и спектральных
характеристик автогенератора со спиральным аттрактором в
натурном эксперименте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
5.6. Синхронизация автоколебаний в присутствии шума . . . . . . . . . . .
284
5.6.1. Вынужденная синхронизация зашумленных автоколебаний
гармонической внешней силой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
5.6.2. Взаимная синхронизация квазигармонических автогенераторов в присутствии шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
5.6.3. Синхронизация хаотических автоколебаний в присутствии
шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
5.6.4. Синхронизация автоколебаний узкополосным шумом . . . . .
295
5.7. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299

П р и л о ж е н и я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

П.1. Преобразование источников шума в автогенераторе . . . . . . . . . . .
306
П.2. Получение выражения для автокорреляционной функции колебаний генератора с шумом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемый читатель!

Перед Вами еще одна книга по теории колебаний, которая является
неотъемлемой частью радиофизики. За период становления и развития
радиофизики написано достаточно много замечательных книг по теории колебаний, которые вошли в золотой фонд отечественной науки.
Возникает вопрос, а что интересного, важного и нового можно к этому
добавить? По мнению авторов, сегодня это целесообразно и необходимо
сделать, и мы попытаемся вас в этом убедить. Прежде чем поставить эту
книгу на полку, советуем прочитать краткое предисловие, ознакомиться
с оглавлением, а затем сделать выводы.
Теория колебаний является разделом фундаментальной радиофизики,
изучающей физические явления общего характера, существенные для
радиосвязи в широком ее понимании. Следуя терминологии С. М. Рытова, это направление радиофизики относится к «физике для радио», так
как непосредственно решает одну из главных проблем радиофизики —
проблему генерации электромагнитных колебаний.
Уместно отметить, что радиофизика как фундаментальная область
научных знаний явилась уникальным достижением отечественной науки. Основы радиофизики в СССР были заложены трудами выдающихся советских ученых, таких как Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси,
А.А. Андронов, Г.С. Горелик, С.М. Рытов, В.А. Котельников, С.П. Стрелков, В. И. Калинин, А. А. Харкевич и другие. Нигде в мире не существует такой четко определенной области науки как радиофизика. Безусловно, отдельные направления радиофизических исследований, такие как,
например, электротехника и теория цепей, электродинамика и электроника СВЧ, лазерная физика, нелинейная динамика и другие, существуют и развиваются. Однако указанные направления исследований в
зарубежной науке до сих пор существуют независимо и не объединены единой концепцией радиофизики, как это было в СССР и остается
в настоящее время в России. Отечественная радиофизическая научная

Предисловие

школа является единственной в своем роде и ее достижения за столетие
существования признаны международным научным сообществом.
Вернемся к теории колебаний, а точнее — к теории автоколебаний,
которая составляет главный предмет обсуждения предлагаемой Вашему
вниманию книги. Термин «автоколебания» был введен в рассмотрение
А. А. Андроновым применительно к колебаниям, возникающим в автономных нелинейных диссипативных системах в результате преобразования постоянной энергии источника в энергию периодических незатухающих колебаний. Характеристики процесса, такие как амплитуда,
частота и форма периодических автоколебаний, определяются исключительно параметрами системы и не зависят от начальных условий.
А. А. Андронов с соавторами детально исследовал автоколебательные
режимы в системах с одной степенью свободы, фазовым пространством
которых является плоскость. Была установлена однозначная взаимосвязь
автоколебаний в таких системах с предельным циклом Пуанкаре, который есть изолированная замкнутая фазовая траектория на плоскости.
Значение этого результата во многом повлияло на дальнейшее развитие
нелинейной теории колебаний.
На первом этапе формирования теории колебаний важно было убедиться в фундаментальной общности автоколебаний как явления, присущего широкому классу систем различной природы. Еще в довоенные
годы появилось много работ, в которых колебательные процессы, демонстрирующие принципиальные свойства автоколебаний, иллюстрировались на примерах механических, электротехнических, гидравлических
и других типов систем. Было показано, что незатухающие колебания
поршневых двигателей, язычков духовых музыкальных инструментов,
часов, электронных и других типов систем являются автоколебаниями.
Были вскрыты принципиальные механизмы возбуждения и поддержания устойчивых автоколебаний, обусловленные нелинейностью и диссипативностью, введены понятия отрицательного сопротивления и сформулированы амплитудные и фазовые требования к обратной связи в
автогенераторах.
Замечательной особенностью этих работ явилось то, что достаточно
сложный эффект автоколебаний описывался на языке классических физических представлений. Определенным итогом этих работ явилась книга А. А. Харкевича «Автоколебания», излагающая физическую трактовку
явления автоколебаний применительно к широкому классу систем, которая не содержит ни единой формулы.
Однако физическая трактовка явления автоколебаний нуждается в
количественном, математически строгом описании и эта задача решалась А. А. Андроновым и многими другими выдающимися учеными

Предисловие
11

(Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский). Математический анализ задачи об автоколебаниях наталкивался на серьезную проблему решения нелинейных дифференциальных уравнений. Было установлено, что наиболее простым и в то же время достаточно общим
уравнением автоколебательной системы с одной степенью свободы является уравнение Ван дер Поля (или уравнения типа Ван дер Поля).
Это нелинейное диссипативное однородное уравнение второго порядка,
строгое решение которого в аналитической форме было неизвестно.
В связи с тем, что общих методов строгого решения нелинейных
дифференциальных уравнений не создано, необходимо было разработать
эффективные методы приближенного решения уравнений автогенераторов, которые позволили бы разработать аналитическую теорию автоколебаний. И такие методы были развиты.
В создание приближенных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений огромный вклад внесли отечественные ученые
(Н.М. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, М.А. Бонч–Бруевич,
Ю. Б. Кобзарев и др.). Кроме того, примерно в то же время Л. И. Мандельштам и А. А. Андронов предложили специальные методы анализа
нелинейных уравнений, использующие работы А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре. В частности, ими был эффективно использован метод фазовых
траекторий для анализа режима автоколебаний.
В послевоенные годы в вопросе об автоколебаниях динамических
систем с одной степенью свободы была достигнута практически полная ясность. Создана приближенная аналитическая теория, разработаны
основы качественной теории динамических систем и ее приложения к
задаче автоколебаний (А. А. Андронов, Е. М. Леонтович, И. И. Гордон,
А. Г. Майер), проведены экспериментальные исследования и установлено их соответствие с выводами теории. Все это нашло отражение в
прекрасных книгах (С. П. Стрелков, В. И. Калинин и Г. М. Герштейн,
П.С. Ланда, В.В. Немыцкий и В.В. Степанов, Н.Н. Баутин и Е.М. Леонтович и др.) и вошло в курсы лекций по теории колебаний для радиофизических специальностей вузов.
Во второй половине прошлого века произошло важнейшее событие,
которое оказало принципиальное влияние на понимание и трактовку динамических закономерностей природы. Этим событием явилось открытие феномена детерминированного хаоса (Э. Лоренц, 1963 г., Д. Рюэль
и Ф. Такенс, 1971 г.). Эффект детерминированного хаоса и его математический образ в виде странного аттрактора существенно изменили наши представления об автоколебаниях. Стало понятным, что предельный
цикл как образ устойчивых незатухающих периодических колебаний характеризует лишь частный и наиболее простой пример автоколебаний.
Обсудим это более детально.

Предисловие

Устойчивый предельный цикл является притягивающим предельным
множеством в фазовом пространстве динамической системы, т. е. аттрактором. Наличие области его притяжения означает по сути дела важную характеристику автоколебаний — независимость предельного, установившегося движения от начальных условий. Естественно сделать следующий шаг: постулировать, что любой аттрактор, реализующийся в
автономной динамической системе (исключая тривиальный в виде состояния равновесия), является математическим образом автоколебаний.
Свойства последних будут определяться структурой и свойствами конкретного типа аттрактора. Например, известно, что образом устойчивых колебаний с двумя независимыми частотами является двумерный
устойчивый тор. Это означает, что мы можем говорить в этом случае о
двухчастотных (квазипериодических) автоколебаниях. Следуя этой логике, странный аттрактор, если он реализуется в динамической системе,
является математическим образом хаотических автоколебаний. При этом
необходимо согласиться с тем, что неустойчивая в смысле Ляпунова
фазовая траектория на странном аттракторе характеризует автоколебания. Отметим это важное отличие хаотических автоколебаний от случая
периодических и квазипериодических автоколебаний, которым отвечают
устойчивые по Ляпунову фазовые траектории. Это послужило основанием ввести классификацию аттракторов по принципу «регулярный» и
«хаотический».
Необходимым условием существования странного аттрактора в системе, помимо нелинейности и диссипативности, является достаточная
размерность фазового пространства. Хаотические автоколебания возможны только в системах, описываемых дифференциальными уравнениями
порядка не менее трех, т. е. в системах с числом степеней свободы не
менее 1,5. Отметим два принципиально важных обстоятельства, с этим
непосредственно связанных. Во-первых, увеличение размерности фазового пространства до N ≥ 3 приводит, как установлено, не только и не
столько к возможности наблюдать режим детерминированного хаоса и,
соответственно, режим странного аттрактора. Выход с двумерной плоскости в трехмерное (и более) пространство позволяет резко увеличить
число возможных режимов функционирования системы и их бифуркаций. Если на фазовой плоскости число возможных аттракторов исчерпывается точкой и предельным циклом, то в системах размерности N ≥ 3
их число заметно возрастает: реализуются аттракторы в виде предельных
циклов удвоенного периода, торы и хаотические аттракторы различной
структуры и размерности.
Уместно отметить, что существенное обогащение картины наблюдаемых явлений, обусловленное выходом с плоскости в пространство боль

Предисловие
13

шей размерности, за много лет до установления этого факта предсказал
поэт Федор Сологуб:

Наш темный глаз печально слеп,
И только плоскость нам знакома.
Наш мир широкий — только склеп
В подвале творческого дома.

(На опрокинутый кувшин. . . , 1923)

Во-вторых, в силу того, что режиму детерминированного хаоса отвечает сложное во времени, непериодическое решение, характеризуемое непрерывным спектром мощности, квазигармонический подход к
получению приближенного аналитического решения уравнений динамической системы в принципе не может дать результата. Необходимо
получать решение существенно нелинейных уравнений, а это, как уже
упоминалось, в общем случае невозможно.
Что же делать? Выход из создавшейся ситуации был найден благодаря появлению быстродействующих ЭВМ и персональных компьютеров.
Их использование в современной теории колебаний сыграло поистине революционную роль. Численное решение нелинейных дифференциальных уравнений с помощью компьютера не вызывает трудностей.
Конечно, численное решение не является аналитическим. Однако возможность его расчета с высокой точностью в совокупности с хорошо
развитыми методами графического представления результатов по сути
дела решают основную задачу анализа автоколебательных режимов, их
устойчивости и бифуркаций применительно к многомерным нелинейным системам.
В свете сказанного выше, становится понятной необходимость и важность анализа автоколебаний в системах с конечным числом степеней
свободы, моделируемых дифференциальными уравнениями размерности
три и выше. Этой проблеме и посвящена предлагаемая Вашему вниманию книга.
В основу книги положены разделы курсов лекций по теории колебаний, нелинейной динамике, теории синхронизации и статистической
радиофизике, читаемые на протяжении многих лет авторами студентам
физического факультета Саратовского государственного университета.
По своей структуре и содержанию книга относится к разряду учебников-монографий, так как помимо изложения классической теории автоколебаний, включает ряд современных и новых научных результатов.
Книга содержит пять глав, каждая из которых включает список цитируемой литературы и может изучаться независимо. В первой главе

Предисловие

изложены основы теории динамических систем, необходимые для анализа периодических и хаотических автоколебаний конечномерных систем. Представлена линейная теория устойчивости и теория бифуркаций
применительно к состояниям равновесия, предельным циклам, торам и
хаотическим аттракторам. Даются необходимые сведения о нелокальных
бифуркациях, играющих важную роль в исследованиях многомерных систем. Приведена классификация аттракторов.
Во второй главе представлена классическая теория автоколебаний
в системах с одной степенью свободы. Изложение ведется на примере уравнений генератора Ван дер Поля как наиболее простой и общей
модели периодических автоколебаний с предельным циклом на фазовой
плоскости. Предпринята попытка наиболее полного детального изложения теории с использованием классических работ, которые в силу ряда
объективных обстоятельств сегодня труднодоступны широкой аудитории
студентов и молодых преподавателей.
Третья глава посвящена изложению динамики автоколебательных систем с полутора и двумя степенями свободы. На примерах радиотехнических устройств формулируются уравнения и проводится анализ нескольких базовых моделей нелинейной теории колебаний, иллюстрирующих
автоколебательные режимы и их бифуркации, типичные для указанного
класса динамических систем. Сопоставление результатов третьей главы с
классическими результатами главы 2 дает возможность проиллюстрировать то многообразие, сложность и принципиальные отличия режимов
автоколебаний в многомерных системах в сравнении с моделью генератора Ван дер Поля.
В четвертой главе описаны неавтономные колебания, обусловленные реакцией автогенераторов на внешнее периодическое воздействие.
Исследуется фундаментальное явление синхронизации автоколебаний. В
начале, как и в первой главе ниги, проводится детальный анализ классических результатов по синхронизации генератора Ван дер Поля. Дается
детальное теоретическое описание явления синхронизации периодических автоколебаний на основе полных, укороченных уравнений и уравнений фазового приближения. Сделано это, с одной стороны, в учебных
целях и избавляет читателей от необходимости поиска труднодоступной литературы. С другой стороны, методы и идеи классической теории используются при описании более сложных явлений синхронизации
квазипериодических и хаотических режимов автоколебаний. Отметим,
что вопрос о синхронизации квазипериодических колебаний впервые
описывается в учебной литературе.
Наконец, пятая глава книги посвящена изложению эффектов влияния флуктуаций в автоколебательных системах. В соответствии с принятой методикой в начале приводятся результаты классической теории

Предисловие
15

флуктуаций в генераторе Ван дер Поля (Р. Л. Стратонович, С. М. Рытов,
А. Н. Малахов, Ю. Л. Климонтович). Используя методы компьютерного
моделирования, выводы теории иллюстрируются графически, что делает
результаты более наглядными и ясными. Далее, с использованием классических результатов, исследуется влияние флуктуаций на режим хаотических автоколебаний. Рассматривается влияние флуктуаций на эффекты синхронизации периодических и хаотических автоколебаний.
Таким образом, в предлагаемой книге предпринята попытка наиболее полного и взаимосвязанного изложения теории автоколебательных систем, базирующаяся на выводах классической теории периодических автоколебаний и развивающая идеи А. А. Андронова применительно к автоколебаниям в системах с полутора и более степенями свободы. Нельзя не отметить, что имеется достаточно много книг, в том
числе и в отечественной литературе, которые посвящены описанию автоколебаний в системах с более чем одной степенью свободы. Среди
них отметим работы Ю. И. Неймарка и П. С. Ланды, В. С. Анищенко,
С. П. Кузнецова, В. Я. Кислова, А. С. Дмитриева и др. Однако, в этой
книге сделана попытка более последовательного и детального изложения теории автоколебаний от классики до современных представлений с
целью выделить преемственность в трактовке автоколебаний от простых
к более сложным.
Книга в целом написана для студентов, аспирантов, молодых ученых
и преподавателей физико-математических специальностей университетов, изучающих нелинейную теорию колебаний. Излагаемые проблемы
требуют знаний физики, высшей математики, основ радиоэлектроники
и статистической физики. Однако некоторые главы книги, в которых
обсуждаются классические проблемы теории автоколебаний, рекомендуются более широкой аудитории студентов естественно-научных специальностей университетов.
Мы пользуемся приятной возможностью поблагодарить всех сотрудников кафедры радиофизики и нелинейной динамики физического факультета Саратовского госуниверситета за обсуждения материалов книги
на научных семинарах и в частных беседах, которые во многом определили ее содержание, педагогическую и научную направленность. Мы
благодарны аспирантам С. М. Николаеву, С. В. Астахову и С. А. Коблянскому за проведение компьютерных расчетов и подготовку ряда иллюстраций. Мы выражаем глубокую признательность главному редактору
издательства Л. Ф. Соловейчику за проявленный интерес к работе и ряд
предложений, способствующих улучшению содержания книги. Мы благодарим также профессора А. С. Дмитриева за детальное рецензирование
рукописи, сделанные замечания и предложения, учтенные нами в окончательной редакции книги. Особую благодарность мы выражаем доценту