Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам

Москва 2023

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра металловедения и физики прочности

М.Ю. Беломытцев

ДЕФЕКТЫ РЕШЕТКИ. 
ПОСОБИЕ К ПРАКТИЧЕСКИМ 
ЗАНЯТИЯМ И ДОМАШНИМ 
РАБОТАМ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4725

УДК 620.17
 
Б43

Р е ц е н з е н т
канд. физ.-мат. наук, доц. А.С. Мельниченко

Беломытцев, Михаил Юрьевич.
Б43  
Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям 
и домашним работам : учеб. пособие / М.Ю. Беломытцев. – 
Москва : Издательский Дом НИТУ 
МИСИС, 2023. – 160 с.
ISBN 978-5-907560-65-9

Пособие включает в себя описание последовательности решения 
задач по курсу «Дефекты решетки», рассматриваемых 
на практических занятиях и выносимых в домашние задания. 
Приведенные примеры задач охватывают все основные темы, 
излагаемые по курсу. Каждому примеру предшествует краткое 
теоретическое введение, описывающее рассматриваемое в задаче 
явление. Приведены необходимые для решения справочные данные 
и иллюстративный материал. Последовательность выполнения 
работ иллюстрируется демонстрационными примерами. 
Цель пособия – привить студентам навыки решения типовых 
и ситуационных задач, связывающих особенности строения 
и формирования атомной структуры металлов и сплавов с появлением 
и эволюцией дефектов кристаллической решетки. Предлагаемые 
варианты домашних работ позволяют получить опыт 
самостоятельного решения задач, аналогичных рассматриваемым 
на учебных занятиях.
Пособие предназначено для бакалавров и магистров, обучающихся 
по направлениям 22.04.01 «Металловедение и технологии 
материалов» и 22.03.01 «Материаловедение и технологии 
материалов», осваивающих курсы «Физика прочности» 
и «Высо котемпературная прочность материалов».

УДК 620.17

 М.Ю. Беломытцев, 2023
ISBN 978-5-907560-65-9
 НИТУ МИСИС, 2023

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Практическое занятие 1.
Потенциал парного взаимодействия атомов 
в кристаллической решетке (гармоническое 
и ангармоническое описание)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Практическое занятие 2. 
Образование и поведение точечных дефектов 
в кристаллической решетке  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Практическое занятие 3.
Анализ векторных характеристик дислокаций . . . . . . . . . .31

Практическое занятие 4.
 Взаимодействие дислокаций (векторный анализ 
и энергетический баланс дислокационных реакций) . . . . .42

Практическое занятие 5. 
Графическое описание дислокаций в ГЦК-решетке 
(тетраэдр Томпсона) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

Практическое занятие 6.
 Тензорное описание напряженного состояния 
в кристаллической решетке  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

Практическое занятие 7. 
Анализ сил взаимодействия между дислокациями  . . . . . .90

Практическое занятие 8.
Анализ образования порогов (ступенек)на дислокациях  .106

Практическое занятие 9. 
Реакции расщепления дислокаций в ГЦК-решетке  . . . . .115

Практическое занятие 10.
Анализ поведения дефектов упаковки под нагрузкой . . . .122

Практическое занятие 11.
Скалярная и тензорная плотности дислокаций . . . . . . . . .131

Практическое занятие 12.
 Малоугловые границы (субграницы) . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Практическое занятие 13.
Границы зерен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

Библиографический список  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

Заключение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие «Дефекты решетки. Пособие к практическим 
занятиям и домашним работам» включает в себя 
примеры решения задач, посвященных атомно-кристаллическому 
строению металлов и сплавов, с точки зрения образования 
и поведения в них дефектов атомного масштаба 
(дефектов решетки). Примеры, приведенные в пособии, охватывают 
все темы теоретической части курса. Характер и 
содержание работ соответствуют учебным программам по общим 
и специальным курсам.
Учебное пособие должно дать студентам навык решения 
типовых задач, возникающих при исследовании и анализе 
атомно-кристаллической структуры металлов. Более прочному 
усвоению материала должна способствовать самостоятельная 
работа студентов, которая планируется в форме выполнения 
ими домашних заданий, формулировки которых и 
указания по их выполнению также приведены в пособии.
Учебное 
пособие 
составлено 
на 
основе 
учебника 
М.А. Штремеля «Прочность сплавов. Ч. 1: Дефекты решетки». 
В этом учебнике приведена теория, условия задач, описаны 
основные шаги для их решения, даны ответы, позволяющие 
оценить правильность и разумность полученных 
результатов. Практически работы и домашние задания, описанные 
в пособии, составлены на основе задач указанного 
учебника.
Пособие предназначено для студентов, проходящих обучение 
по курсу «Дефекты решетки» и родственных ему 
«Основы прочности твердых тел», «Высокотемпературная 
прочность материалов», поставленных на кафедре металловедения 
стали и высокопрочных сплавов (ныне кафедра металловедения 
и физики прочности) профессором М.А. Штре-
мелем и читаемых преподавателями кафедры студентам 
металловедческих специальностей. Учебное пособие является 
второй частью работы по описанию способов решения 
учебных задач, излагаемых в последовательности курсов 

«Дефекты решетки»  «Физика прочности»  «Механические 
свойства и закономерности разрушения». Первая часть 
работы, относящаяся к анализу процессов пластической деформации, 
выполнена в учебном пособии М.Ю. Беломытцева «
Физика прочности. Пособие к практическим занятиям 
и домашним работам» (Москва: Издательский Дом НИТУ 
«МИСиС», 2022. 74 с.).
Настоящее пособие не могло быть написано без помощи 
преподавателей кафедры М.А. Штремеля, Ю.А. Крупина, 
А.С. Мельниченко, которым автор выражает свою благодарность.

Практическое занятие 1
ПОТЕНЦИАЛ ПАРНОГО 
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМОВ 
В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ 
РЕШЕТКЕ (ГАРМОНИЧЕСКОЕ 
И АНГАРМОНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ) 

Кристаллические тела состоят из атомов, расположенных 
в кристалле в строгом порядке. Структуру таких тел 
представляют в виде трехмерной решетки, в узлах и характерных 
точках которой расположены атомы. Сила связи 
атомов в решетке, позволяющая им, с одной стороны, 
не рассыпаться, как песчинкам в горсти песка, а с другой 
стороны, поддерживать между друг другом строго одинаковые 
расстояния, в разных кристаллических телах может 
иметь разную природу. В металлах эти силы формируются, 
с одной стороны, взаимным отталкиванием положительных 
ионов металла, находящихся в узлах кристаллической решетки (
а изначально электронейтральные атомы металла 
становятся положительно заряженными ионами в твердом 
теле из-за того, что они часть своих валентных электронов 
отдают в «общее пользование», в результате чего образуется 
«электронный газ из обобществленных электронов проводимости»), 
а с другой стороны – силами связи, образуемыми 
электронным газом. Для описания свойств такого металлического 
твердого тела физики анализируют модели парного 
центрального межатомного взаимодействия (т.е. считается, 
что основные закономерности можно понять и получить, 
рассматривая только взаимодействие двух ближайших атомов 
и рассматривая силы, действующие вдоль линии, соединяющей 
их центры). Когда наблюдаемые природные 
явления не полностью описываются моделью парного взаимодействия, 
рассматривают модели с большим числом атомов (
и тогда сложность моделей и математики для их описания 
возрастает на порядки).

График, иллюстрирующий энергию взаимодействия двух 
атомов (называемую потенциалом парного взаимодействия) 
в зависимости от расстояния между ними, принято изображать 
кривой следующего вида (рис. 1.1, а).

b
r
атом
№1

атом
№2

0
x=r–b

 
 
а 
 
б

Рис. 1.1. Зависимость потенциала парного 
взаимодействия от межатомного расстояния в исходном 
(а) и приведенном (б) видах 

Самый «глубокий» минимум на этой зависимости наблюдается 
при расстоянии r, равном кратчайшему межатомному 
при данной температуре (b). Это устойчивое состояние: отклонение 
атома как вправо, так и влево приводит к увеличению 
энергии системы, что невыгодно. Такая форма кривой 
удовлетворяет двум очевидным крайним ситуациям: 
на бесконечном удалении энергия взаимодействия стремится 
к нулю; при попытке совместить два атома в одной точке 
энергия взаимодействия (отталкивания) возрастает многократно (
эта ситуация может реализоваться только при ядерных 
реакциях). Для математического описания этой модели 
предлагают зависимость потенциала межатомного взаимодействия  
от малой величины х = r – b в окрестностях точки 
устойчивого равновесия атома 2 (рис. 1.1, б). Эти смещения 
х << 1, поэтому допустимо разложение потенциала (х) 
по его степеням вида 

2
3
( )
(0)
(0)
(0)
(0)
...
1!
2!
3!
x
x
x
x




 
 

 

 


 
(1.1, а)

Ряд почти всегда ограничивают членом с х3. Кроме того, 
для удобства математических выкладок переносят начало 
координат в точку r = b (тогда (0)
0


), а раз это точка минимума, 
то и 
(0)
 в точке х = 0 равен 0. Тогда потенциал взаимодействия 
запишется в виде 

 

2
3
( )
(0)
(0)
.
2!
3!
x
x
x



 

 

 
(1.1, б)

В физике исследование всех явлений и процессов начинается 
с некоторых упрощенных моделей, для которых используют 
простые математические зависимости. В данном 
случае такой упрощенной моделью является «гармоническое 
приближение» потенциала парного взаимодействия . 
В математических формулах для описания гармонических 
процессов (к ним также относят процессы колебания математического 
маятника, идеальной пружины, прогиба балки 
и др.) присутствуют члены со степенями, не выше второй. 
В нашем случае формула потенциала парного межатомного 
взаимодействия в гармоническом приближении будет иметь 
вид

 

2
( )
(0)
2! .
x
x


 

 
(1.1, в)

«Идеальное» кристаллическое состояние, когда атомы 
вещества занимают все без исключения узлы кристаллической 
решетки (и количество атомов не превышает количество 
атомных узлов, то есть атомы не располагаются 
в промежутках между узлами), в природе не существует. 
В реальных кристаллах всегда имеются дефекты кристаллического 
строения («дефекты решетки») различных размеров 
и имеющие разное строение. Именно благодаря наличию 
дефектов решетки реальные металлические материалы обладают 
свойствами пластичности – способностью изменять 
свою форму под нагрузкой и сохранять эти изменения после 

снятия нагрузки. Без дефектов решетки пластичность невозможна. 
Но образование и поведение дефектов решетки также 
определяется (в главном) силами связи атомов, а значит, 
и потенциалом их парного взаимодействия. Чтобы иметь 
практическую возможность рассчитывать характеристики 
кристаллической решетки, нужно найти коэффициенты («
константы») в формулах (1.1) для потенциала парного 
взаимодействия. И в идеальном варианте – выразить эти 
коэффициенты через известные физические, термические, 
механические, химические (и иные) константы конкретных 
веществ.
Рассмотрим процесс трехосного равномерного сжатия 
твердого тела, представленного единственной элементарной 
ячейкой (такое напряженное состояние возникает при гидростатическом 
давлении). Для простоты и удобства начальный 
анализ будет проводиться для вещества с простой кубической 
решеткой с периодом, равным b, схема расположения 
атомов в которой приведена на рис. 1.2. Начальный объем 
ячейки V0 равен V0 = b3.

b

Рис. 1.2. Элементарная ячейка материала 
с простой кубической решеткой

При гидростатическом давлении силы сжатия распространяются 
по всем направлениям одинаково, поэтому укорочение 
межатомных расстояний в кубической решетке 
будет одинаково по всем осям X, Y, Z. После приложения 
давления, равного p, расстояния между атомами уменьшат-

ся (рис. 1.3) на х и станут равны (b – x). Объем ячейки V станет 
равен 

 

2
3
2
2
3
(
)
3
3
.
V
b
x
b
b x
bx
x






 
(1.2)

Экспериментами и расчетами было показано, что максимальное 
смещение атомов из позиции равновесия не превышает ~
15% (правило Линдемана), то есть x << 1 (при больших 
смещениях кристаллическая решетка разрушается). Тогда 
в формуле (1.2) членами с x2 и x3 можно пренебречь и 

 

3
3 2
.
V
b
b x


 
 (1.3)

Изменение объема V = V – V0 составит 

 

3
2
2
2
(
3
)
3
.
V
b
b x
b
b x




 
 
(1.4)

b
x

Рис. 1.3. Изменение объема элементарной ячейки 
при сжатии

Из курса физики известна связь давления p и изменения 
объема (форма закона Гука для трехосного сжатия)

 
/ 0
,
p
KV
V
 
 
(1.4, а)

а для малых смещений атомов 

 
0
(
/
),
dp
Kd V
V
 
 
(1.4, б)

или приводя это к выражению дифференцирования

 
0
/
/
.
dp dV
K
V
 
  
(1.4, в)

Переходя от дифференцирования по объему к дифференцированию 
по координате ( .../
.../
/
)
d
dV
d
dx dx dV


, формулу (
1.4, в) можно преобразовать к виду

 
0
(
/
)/(
/
)
/
.
dp dx
dx dV
K
V
 
 
(1.4, г)

В этих формулах K – модуль всестороннего сжатия («модуль 
объемной упругости»). 
По определению давление p есть сила, деленная на площадь, 
к которой она приложена. В принятой геометрической 
модели решетки (см. рис. 1.2) сила приложена к каждому 
атому на любой из координатных осей; «площадь» 
атома – это площадь его поперечного сечения, равная примерно 
b2 (как теперь доказано прямыми наблюдениями 
атомной структуры, атомы в кристаллической решетке действительно «
уложены» плотно друг к другу без промежутков). 
Тогда сила f, действующая на атом, равна 

 

2.
f
 pb
 
(1.5)

Уравнение для работы (и энергии) в виде 

 
u
 fx
 
(1.6, а)

в бесконечно малых величинах (приводящих в пределе 
к дифференциалам) может быть представлено как 

 
,
du
 fdx
 
(1.6, б)

откуда следует связь между энергией и силой вида 

/
,
f
du dx


или в обозначениях для потенциала парного взаимодействия 

/
.
f
d
  dx
 

Для получения связи макроскопической характеристики 
(K) с микроскопическими показателями (b) выполним последовательные 
преобразования:

2
2
/
1/(
/
)
1/ [( 3
)/
]
1/3
;
dx dV
dV
dx
d
b x
dx
b



 

2
/
[
(0)
/2]/
(0) ;
f
d
dx
d
x
dx
x


 


 