Теория и практика построения и применения сетей и графов

Введение

1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Экономический факультет

Е. А. БЕРЕЗОВСКАЯ

С. В. КРЮКОВ

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА 

ПОСТРОЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ

СЕТЕЙ И ГРАФОВ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2023

Введение

2

УДК 330.4(075.8)
ББК 65.050.03я73

Б48

Печатается по решению кафедры экономической кибернетики 

экономического факультета Южного федерального университета

(протокол № 10 от 10 мая 2023 г.)

Рецензенты:

доктор экономических наук, доцент, заведующий кафедрой 

Информационных систем и прикладной информатики Ростовского 
государственного экономического университета С. М. Щербаков

кандидат экономических наук, доцент, заведующая кафедрой 

экономической кибернетики Южного федерального университета 

Е. В. Маслюкова

Березовская, Е. А.

Б48      Теория и практика построения и применения сетей и графов : учеб-

ное пособие / Е. А. Березовская, С. В. Крюков ; Южный федеральный 
университет. – Ростов-на Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального 
университета, 2023. – 115 с.

ISBN 978-5-9275-4427-1
Учебное пособие содержит изложение теоретических основ построения 

графов и сетей, а также примеры применения графов и сетей для решения прикладных 
задач в области экономики, бизнеса и управления. Применение теории 
графов в экономике является одной из актуальных и перспективных областей 
исследования. В экономике графы могут быть использованы для моделирования 
сложных сетевых структур, анализа рисков и определения оптимальных 
стратегий развития бизнеса.

Пособие разработано на основе нормативных документов Министерства 

науки и высшего образования Российской Федерации.

Характер изложения учебного материала способствует развитию навыков 

самостоятельной исследовательской работы.

Адресовано студентам, магистрантам, аспирантам, работникам высшей 

школы и практикам, специализирующимся в области применения математических 
методов анализа экономики.

УДК 330.4(075.8)
ББК 65.050.03я73

ISBN 978-5-9275-4427-1

© Южный федеральный университет, 2023
© Березовская Е. А., Крюков С. В., 2023
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2023

Введение

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………...
4

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФОВ ……...
6

1.1. Графы как модели ………………………………………………..
6

1.2. Деревья и графы ………………………………………………….
27

1.2.1. Алгоритм Краскала ……………………………………………….
30

1.2.2. Алгоритм Дейстры ………………………………………………..
32

1.2.3. Разрезы ………………………………………………………………
35

1.3. Эйлеровы графы ………………………………………………….
43

1.4. Раскрашивание графов …………………………………………..
61

2. ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВ И СЕТЕЙ В ЭКОНОМИКЕ, 
БИЗНЕСЕ И УПРАВЛЕНИИ …………………………………………
85

2.1 Методы сетевого планирования и управления …………………
85

2.1.1. Метод критического пути (МТП) ……………………………..
86

2.1.2. Расчет резервов времени выполнения операций …………….
89

2.1.3. Анализ критического пути ………………………………………
90

2.2. Распределение прав и обязанностей в аппарате управления ….
97

2.3 Анализ организационных структур управления ………………..
98

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………
102

ГЛОССАРИЙ ……………………………………………………………
103

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………...
114

Введение

4

ВВЕДЕНИЕ

Теория графов является математической дисциплиной, изучающей 

структуры, называемые графами. Граф представляет собой абстрактную 
модель, состоящую из вершин и ребер, связывающих эти вершины. Основное 
понятие в теории графов – это вершина (или узел). Вершины могут 
быть связаны друг с другом ребрами (или дугами), которые представляют 
отношения или связи между вершинами. Ребро может быть направленным 
или не направленным.

Графы могут быть ориентированными или неориентированными. 

В ориентированном графе каждое ребро имеет направление, что означает 
одностороннюю связь между вершинами. Например, можно представить 
экономические потоки товаров и услуг как ориентированный граф, где 
ребро указывает направление потока.

Неориентированный граф не имеет направления на своих рёбрах и 

образует более простую структуру. Это может использоваться для моделирования 
взаимоотношений между объектами без указания направления. 
Например, граф можно использовать для анализа социальных сетей или 
торговых связей.

Применение теории графов в экономике является одной из самых ак-

туальных и перспективных областей исследования. В экономике графы могут 
быть использованы для моделирования сложных сетевых структур, анализа 
рисков и определения оптимальных стратегий развития бизнеса.

Одной из основных областей применения теории графов в эконо-

мике является анализ социально-экономических сетей. Социально-экономическая 
сеть представляет собой систему связей между индивидами, организациями 
или регионами, которые взаимодействуют друг с другом на 
различных уровнях. Используя методы теории графов, можно проанализировать 
структуру таких сетей, выявить ключевых игроков или центры влияния, 
а также оценить степень зависимости между участниками.

Другой интересный пример – это использование моделей на основе 

графов для анализа цепочек поставок. С помощью таких моделей можно 
определить оптимальную структуру цепочки поставок, минимизировать 
затраты на доставку и улучшить эффективность всего процесса. Модели на 

Введение

5

основе графов также позволяют выявить узкие места и проблемные звенья 
в цепочке поставок, что помогает оптимизировать её работу.

Ещё один пример – оптимальное планирование производства. Ис-

пользуя теорию графов, можно построить модель, отображающую зависимости 
между различными этапами производственного процесса. Это поможет 
выявить узкие места в системе и найти способы оптимизации распределения 
ресурсов и времени.

Ещё одной областью применения теории графов в экономике явля-

ется моделирование и анализ финансовых рынков. Финансовые рынки 
представляют собой сложные сети, в которых многочисленные активы и 
участники взаимодействуют друг с другом. Используя теорию графов,
можно исследовать структуру связей между активами, выявить основные 
факторы, влияющие на динамику цен или риски на рынке, а также разрабатывать 
оптимальные стратегии инвестирования.

Таким образом, применение теории графов в экономике позволяет 

более полно и точно описывать, и анализировать сложные системы и процессы. 
Это открывает новые возможности для прогнозирования экономического 
развития, определения эффективных стратегий управления бизнесом 
и минимизации финансовых рисков.

1. Теоретические основы построения графов

6

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФОВ

1.1. Графы как модели

Социальные сети становятся все более заметными в современной 

жизни. В Интернете социальная сеть состоит из множества пользователей. 
Эти люди дружат с одними людьми и не дружат с другими. Это виртуальная 
версия реальной дружбы. Вместо дружбы могут быть и другие отношения 
между людьми, это может быть знакомство или биологическое родство.

В других областях возможны более чёткие взаимосвязи. Например, 

в академических кругах мы можем обозначить связь между людьми в случае 
совместной работы над каким-либо научно-исследовательским проектом 
или в случае совместной подготовки научной статьи.

Есть много вопросов, которые мы можем задать о социальных сетях. 

У кого больше всего друзей? Каково наибольшее количество людей, которые 
все являются друзьями? Выбрав произвольно двух человек, какое 
наименьшее количество людей требуется, чтобы «соединить» их?

Вместо того чтобы пытаться решать подобные проблемы по отдель-

ности в разных контекстах, мы можем использовать математическую модель, 
которая опишет все эти ситуации и поможет решить множество задач, 
применив результаты к получению ответов на многие реальные вопросы.

Мы можем представить социальную сеть, нарисовав точку для обо-

значения каждого человека и линию между двумя точками, когда два человека 
являются друзьями.

Пример. Алла дружит с Борисом и Дашей. Борис дружит с Аллой и 

Иваном. Кирилл дружит с Дашей. Даша дружит с Аллой, Кирилл и Иваном. 
Иван дружит с Борисом и Дашей. Эти дружеские отношения проиллюстрированы 
на рис. 1.1. Эту же модель можно использовать для иллюстрации 
других отношений между людьми и для решения многих других задач.

Определение. Граф G – это математический объект, состоящий из 

двух конечных непустых множеств, одно из которых называется множество 
вершин V(G), а другое – множество рёбер E(G). Таким образом, 
ребро – это двухэлементное подмножество множества вершин.

Будем использовать для обозначения графов буквы G и H; u, v, w –

для вершин; e и f – для рёбер. Ребро e = {u, v} обычно записывается uv
или vu, отбрасывая неудобные фигурные скобки.

1.1. Графы как модели

7

Рис. 1.1. Модель дружеских отношений 

между частниками сети в виде графа

Возможно несколько вариантов представления графа: с допущением 

наличия нескольких рёбер или наличия направленных рёбер. Если мы допускаем 
несколько рёбер между вершинами, это позволяет создавать несколько 
копий одного и того же объекта. Для направленных рёбер мы заменяем 
неупорядоченные пары упорядоченными парами вершин.

Определение. Мультиграф G – это математический объект, состоя-

щий из конечного непустого множества объектов, называемых вершинами 
V(G), и мультимножества E(G) пар вершин.

Ориентированный граф (орграф) D – это математический объект, со-

стоящий из конечного непустого множества объектов, называемых вершинами 
V(D), и множества E(D) упорядоченных пар различных вершин, называемых 
направленными рёбрами. Ориентированный мультиграф заменяет 
множество E(D) мультимножеством.

Примеры мультиграфа и орграфа приведены на рис. 1.2. Каждый 

граф также является мультиграфом. Мультиграфу разрешено, но не обязательно, 
иметь несколько рёбер между парами вершин.

Рис. 1.2. Мультиграф (слева) и орграф (справа)

Алла

Иван
Борис

Даша
Кирилл

1. Теоретические основы построения графов

8

Каждый из этих математических объектов может быть использован 

для моделирования многих реальных ситуаций. Какой из них будет выбран 
в конкретном случае зависит от того, существуют ли множественные или 
направленные ребра в контексте решаемой проблемы. 

Пример. Графы могут моделировать транспортные сети. Сеть дорог 

может быть смоделирована с помощью графов. Вершины представляют пересечения 
дорог, а ребра – сегменты дорог. В некоторых районах есть 
улицы с односторонним движением, которые должны быть представлены 
направленными рёбрами. Таким образом, орграф является подходящей моделью 
в этой ситуации. Иногда между одной и той же парой перекрёстков 
может быть несколько дорог. В этом случае мы бы использовали мульти-
граф с несколькими рёбрами между некоторыми вершинами.

Пример. Регулярное движение пассажирских самолётов может быть 

смоделировано с помощью вершин, представляющих аэропорты. Если ребра 
представляют собой полёты между аэропортами, они являются направленными 
и множественными. Наличие ориентированного ребра между 
населёнными пунктами изначально может означать существование регулярного 
рейса между двумя аэропортами. В этом случае ребра не являются 
множественными.

Графы также могут быть использованы для моделирования комму-

никационных и информационных сетей. Например, компьютерная сеть состоит 
из нескольких компьютеров, соединённых кабелями. Граф, моделирующий 
эту ситуацию, имеет вершины – компьютеры, а ребра представляют 
кабели.

Пример. Веб-граф – это орграф, который моделирует сеть Интернет. 

Вершины данного графа представляют собой веб-страницы. Направленное 
ребро представляет собой ситуацию, когда один веб-сайт ссылается на другой. 
Веб-граф может быть очень большим, и, как правило, он постоянно 
растёт. Эта сеть меняется по мере добавления или удаления сайтов, а также 
по мере добавления или удаления ссылок на страницы сети. Многие другие 
графы, моделирующие реальные ситуации, также меняются со временем.

Пример. Граф цитирования имеет вершины, представляющие такие 

документы, как научные статьи или монографии. Направленное ребро характеризует 
переход к цитируемому документу из документа, который 
имеет ссылку на цитируемый документ. 

1.1. Графы как модели

9

Пример. Химическая молекула состоит из нескольких атомов, кото-

рые удерживаются вместе химическими связями. Граф моделирует эту ситуацию 
с вершинами для атомов и рёбрами для химических связей. Метки 
вершин и рёбер могут быть необходимы для идентификации разных атомов 
и разных типов связей. 

Пример. Восемь бизнесменов должны провести пять встреч. Группы 

людей на собраниях – это m1 = {1, 2, 3, 4}; m2 = {1, 5, 6}; m3 = {2, 5, 7};
m4 = {6, 7, 8} и m5 = {3, 4, 7, 8}. Мы можем использовать граф, где вершины 
представляют встречи. Между вершинами есть ребро, когда множества 
имеют непустое пересечение. Целесообразно запланировать встречи 
рациональным образом, чтобы занять как можно меньшее количество временных 
интервалов. Например, встречи 1 и 4 могут быть запланированы в 
одном интервале, 2 и 5 – в другом, а 3 – в третьем. Для совещаний с участием 
1, 2 и 3 участников потребуются отдельные временные слоты. Граф 
в этом примере называется графом пересечений, вершины которого представляют 
множества, а ребра между вершинами, когда множества имеют 
непустое пересечение (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Граф пересечений

Ситуации, которые можно смоделировать с помощью графов, ка-

жутся бесконечными. 

Существует несколько понятий, связанных с графом, содержащим, 

например, ребро e = uv.

1. Теоретические основы построения графов

10

Определение. Пусть e и f являются рёбрами графа G, e =uv и

f = uw, т.е. рёбра e и f имеют общую вершину u. Тогда вершины u и v
называются смежными (или соседними), а также можно сказать, что 
ребро e соединяет вершины u и v, вершины u и v инцидентны, а рёбра e
и f являются смежными. 

Мы можем описать граф, просто перечислив наборы вершин и рёбер. 

Хотя это описание является довольно точным, оно, как правило, не особенно 
удобно для решения и исследования проблемы. Существуют альтернативные 
способы описания графов.

Определение. Список смежности графа – это список каждой вершины 

в отдельной строке, за которым следует список вершин, к которым она примыкает. 
Матрица смежности графа G с множеством вершин {v1, …, vn} 
представляет собой квадратную матрицу размера n, состоящую из нулей и 
единиц. Элемент матрицы смежности (i, j) равен 1, когда существует ребро 
ij ∈ E(G), и 0 в противном случае.

Матрица смежности графа симметрична и содержит 0 по диагонали.
Пример. Пусть G – граф с множеством вершин V (G) = {1, 2, 3, 4, 5} 

и набором рёбер E (G) = {12, 13, 23, 24, 34, 45}. Список смежности и матрица 
смежности приведены в табл. 1.1 и табл. 1.2.

Таблица 1.1

Список смежности графа

Вершины
Инцидентность, с

1
2, 3

2
1, 2, 4

3
1, 2, 4

4
2, 3, 5

5
4

Таблица 1.2

Матрица смежности графа

Вершины
1
2
3
4
5

1
0
1
1
0
0

2
1
0
1
1
0

3
1
1
0
1
0

4
0
1
1
0
1

5
0
0
0
1
0

1.1. Графы как модели

11

Для разреженных графов (тех, у которых относительно мало рёбер) 

список смежности занимает меньше места, чем матрица смежности. Для 
плотных графов (с большим количеством рёбер) использование пространства 
списка и матрицы смежности сопоставимо. Каждое описание графа 
имеет свои преимущества и недостатки с точки зрения эффективности 
вычислений. Однако матрица смежности имеет больше теоретических 
применений, поскольку в этом случае может быть применен аппарат линейной 
алгебры. Часто бывает полезно представить граф с помощью рисунка. 
Именно возможность визуального анализа добавляет привлекательности 
теории графов.

Определение. Изображение графа – это множество точек (вершин) и 

попарно соединяющих их линий (не обязательно прямых). В графе важен 
только факт наличия связи между двумя вершинами. От способа изображения 
этой связи структура графа не зависит. Названия вершин и ребер могут 
быть написаны рядом с ними на чертеже. 

Но как следует рисовать граф? Как минимум, вершины должны иметь 

различные местоположения, а ребра не должны пересекать вершины, которым 
они не инцидентны. Рёбра могут пересекаться, но обычно они не 
должны пересекаться более одного раза. Способов нарисовать граф может 
быть довольно много. Не существует единственного наилучшего изображение 
графа, скорее есть варианты, подчёркивающие разные свойства графа. 

Один из способов представления графа, например, разместить все 

вершины по окружности и сделать все ребра прямыми линиями, которые 
являются хордами окружности. Некоторые компьютерные программы используют 
этот метод, когда не вводится никакой информации о том, где 
разместить вершины. Однако этот способ приводит к появлению многочисленных 
пересечений рёбер, что может затруднить правильное визуальное 
восприятие. 

Другой способ представления графа – начать с одной вершины, ря-

дом расположить её соседей, потом попытаться приблизить к каждой новой 
вершине её соседей и так далее. Независимо от того, какой способ построения 
графа используется, обычно требуется несколько попыток, чтобы 
найти наиболее полезное изображение графа. 

Пример. Сначала нарисуем граф (рис. 1.4, слева), у которого вер-

шины изначально производным образом расположены по окружности.